Киев: «Наукова думка», 1974.
Различные процессы, протекающие в средах с инородными включениями, описываются решениями эллиптических краевых задач с теми или иными граничными условиями, задаваемыми на поверхностях этих включений. При большом числе включений области, в которых ставятся такие краевые задачи, имеют чрезвычайно сложную структуру, и даже при помощи численных методов практически невозможно найти их решения. Поэтому принципиальное значение приобретает вопрос о том, как и при каких условиях задачи такого типа можно свести к значительно более простым задачам для однородной среды и найти описывающие их уравнения. В монографии развивается общая математическая теория, дающая ответ на этот вопрос и охватывающая большое количество конкретных задач. В качестве иллюстрации рассмотрены ее приложения к некоторым задачам радиофизики, акустики, теории упругости и гидромеханики.
Книга предназначена для математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов. Она будет полезна также физикам, радиофизикам и механикам, интересующимся вопросами распространения волн в средах с большим числом мелких неоднородностей и аналогичными вопросами, возникающими в теории упругости и гидромеханике.
Оглавление:
Первая краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка.
Первая краевая задача для эллиптических систем уравнений произвольного порядка.
Вторая краевая задача.
Задача Дирихле для оператора Лапласа.
Некоторые сведения из теории потенциала.
Постановка задачи.
Основные теоремы.
Некоторые частные случаи.
Мера, связанная с последовательностью множеств F(s).
Оценка точности приближений.
Вариационные методы исследования краевых задач в областях с мелкозернистой границей.
Пространства дифференцируемых функций и вариационные методы.
Функциональная схема.
Задача Дирихле.
Общий случай поверхностного распределения множеств F(s).
Некоторые примеры.
Вторая краевая задача.
Вторая краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка. Поверхностное распределение множеств F(s).
Некоторые частные случаи.
Объемное распределение множеств F(s) (случай слабого возмущения границей).
Случай сильного возмущения границей при объемном распределении F(s).
Некоторые приложения и обобщения.
Поведение разложений единицы операторов, порождаемых краевыми задачами в областях с мелкозернистой границей.
Поведение решений некоторых эволюционных уравнений.
Задача о рассеянии волн на густых металлических решетках.
Первая краевая задача в областях со случайной мелкозернистой границей.
Краевые задачи для уравнений Навье—Стокса.
Вторая краевая задача в областях с каналами.
Постановка задачи и вывод интегрального представления для предельной функции.
Резонансные явления.
Различные процессы, протекающие в средах с инородными включениями, описываются решениями эллиптических краевых задач с теми или иными граничными условиями, задаваемыми на поверхностях этих включений. При большом числе включений области, в которых ставятся такие краевые задачи, имеют чрезвычайно сложную структуру, и даже при помощи численных методов практически невозможно найти их решения. Поэтому принципиальное значение приобретает вопрос о том, как и при каких условиях задачи такого типа можно свести к значительно более простым задачам для однородной среды и найти описывающие их уравнения. В монографии развивается общая математическая теория, дающая ответ на этот вопрос и охватывающая большое количество конкретных задач. В качестве иллюстрации рассмотрены ее приложения к некоторым задачам радиофизики, акустики, теории упругости и гидромеханики.
Книга предназначена для математиков — научных работников, аспирантов и студентов старших курсов. Она будет полезна также физикам, радиофизикам и механикам, интересующимся вопросами распространения волн в средах с большим числом мелких неоднородностей и аналогичными вопросами, возникающими в теории упругости и гидромеханике.
Оглавление:
Первая краевая задача для эллиптического уравнения второго порядка.
Первая краевая задача для эллиптических систем уравнений произвольного порядка.
Вторая краевая задача.
Задача Дирихле для оператора Лапласа.
Некоторые сведения из теории потенциала.
Постановка задачи.
Основные теоремы.
Некоторые частные случаи.
Мера, связанная с последовательностью множеств F(s).
Оценка точности приближений.
Вариационные методы исследования краевых задач в областях с мелкозернистой границей.
Пространства дифференцируемых функций и вариационные методы.
Функциональная схема.
Задача Дирихле.
Общий случай поверхностного распределения множеств F(s).
Некоторые примеры.
Вторая краевая задача.
Вторая краевая задача для эллиптических уравнений второго порядка. Поверхностное распределение множеств F(s).
Некоторые частные случаи.
Объемное распределение множеств F(s) (случай слабого возмущения границей).
Случай сильного возмущения границей при объемном распределении F(s).
Некоторые приложения и обобщения.
Поведение разложений единицы операторов, порождаемых краевыми задачами в областях с мелкозернистой границей.
Поведение решений некоторых эволюционных уравнений.
Задача о рассеянии волн на густых металлических решетках.
Первая краевая задача в областях со случайной мелкозернистой границей.
Краевые задачи для уравнений Навье—Стокса.
Вторая краевая задача в областях с каналами.
Постановка задачи и вывод интегрального представления для предельной функции.
Резонансные явления.