Учебное пособие. — 2-е изд., испр. и доп. — Томск: Томский
государственный университет, 2011. — 184 с.
В учебном пособии рассматриваются разностные схемы для уравнений
эллиптического типа. Подробно анализируется теория метода сеток на
примере задачи Дирихле для уравнения Пуассона. Исследуется
применение теории метода сеток к решению краевых задач для
уравнений параболического и гиперболического типов. Освещены
вопросы аппроксимации, устойчивости и сходимости явных и неявных
разностных схем. Приводится метод установления для численного
решения задачи Дирихле в случае уравнения Лапласа. Даются методы
решения интегральных уравнений, а также примеры задач, которые
приводятся к таким уравнениям.
Для студентов математических и инженерных специальностей вузов, аспирантов и научных работников. Предисловие.
Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
Типы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Постановка граничных задач.
Метод сеток.
Постановка задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Замена дифференциальной задачи разностной.
Исследование корректности постановки разностной задачи.
О методах решения систем разностных уравнений.
Пример решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток.
Лабораторные задания.
Литература.
Метод сеток решения краевых задач для уравнений параболического типа.
Метод сеток решения задачи Коши.
Построение явной и неявной разностных схем методом неопределённых коэффициентов.
Постановка краевых задач для уравнений теплопроводности.
Численное решение первой краевой задачи.
Теория устойчивости разностных схем по начальным данным.
Исследование вопросов аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной краевой задачи первого рода.
Алгоритм численного решения первой краевой задачи.
Метод сеток решения третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Постановка задачи и выбор численного метода.
Оценка погрешности аппроксимации неявной разностной схемы.
Метод прогонки получения численного решения.
Решение уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами методом сеток.
Реализация алгоритма на конкретном примере.
Лабораторные задания.
Литература.
Метод установления.
Метод итераций решения разностной задачи Дирихле.
Ряды Фурье. Случай сеточных функций.
Исследование сходимости явного метода установления.
Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом установления.
Лабораторные задания.
Литература.
Численные методы краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.
Линейные нестационарные уравнения с частными производными первого и второго порядка.
Постановка краевых задач для уравнения второго порядка.
Постановка краевых задач для уравнения первого порядка.
Решение задачи Коши для волнового уравнения.
Построение разностной формулы второго порядка точности методом фиктивной точки.
Об исследовании устойчивости схемы "крест" по начальным данным.
Об областях зависимости дифференциального уравнения и разностной схемы.
Численное решение третьей краевой задачи.
Решение варианта задания.
О задании дополнительных граничных условий для разностных схем.
Дополнительные граничные условия (ДГУ). Понятие о ДГУ.
Анализ нормальных мод.
Численные методы решения задач математической физики для случая трёх независимых переменных.
Постановка краевых задач для двумерного волнового уравнения.
Постановка задачи для двумерного уравнения переноса.
Разностные методы решения краевых задач (двумерный случай).
Лабораторные задания.
Литература.
Методы решения интегральных уравнений.
Основные виды линейных интегральных уравнений.
Примеры задач, сводящихся к решению интегральных уравнений.
Две задачи об упругой нити.
Связь между дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра 2-го рода.
Метод квадратур численного решения интегральных уравнений Фредгольма.
Для студентов математических и инженерных специальностей вузов, аспирантов и научных работников. Предисловие.
Разностные схемы для уравнений эллиптического типа.
Типы дифференциальных уравнений в частных производных второго порядка. Постановка граничных задач.
Метод сеток.
Постановка задачи Дирихле для уравнения Пуассона.
Замена дифференциальной задачи разностной.
Исследование корректности постановки разностной задачи.
О методах решения систем разностных уравнений.
Пример решения задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом сеток.
Лабораторные задания.
Литература.
Метод сеток решения краевых задач для уравнений параболического типа.
Метод сеток решения задачи Коши.
Построение явной и неявной разностных схем методом неопределённых коэффициентов.
Постановка краевых задач для уравнений теплопроводности.
Численное решение первой краевой задачи.
Теория устойчивости разностных схем по начальным данным.
Исследование вопросов аппроксимации, устойчивости и сходимости разностной краевой задачи первого рода.
Алгоритм численного решения первой краевой задачи.
Метод сеток решения третьей краевой задачи для уравнения теплопроводности.
Постановка задачи и выбор численного метода.
Оценка погрешности аппроксимации неявной разностной схемы.
Метод прогонки получения численного решения.
Решение уравнения теплопроводности с переменными коэффициентами методом сеток.
Реализация алгоритма на конкретном примере.
Лабораторные задания.
Литература.
Метод установления.
Метод итераций решения разностной задачи Дирихле.
Ряды Фурье. Случай сеточных функций.
Исследование сходимости явного метода установления.
Численное решение задачи Дирихле для уравнения Лапласа методом установления.
Лабораторные задания.
Литература.
Численные методы краевых задач для дифференциальных уравнений в частных производных гиперболического типа.
Линейные нестационарные уравнения с частными производными первого и второго порядка.
Постановка краевых задач для уравнения второго порядка.
Постановка краевых задач для уравнения первого порядка.
Решение задачи Коши для волнового уравнения.
Построение разностной формулы второго порядка точности методом фиктивной точки.
Об исследовании устойчивости схемы "крест" по начальным данным.
Об областях зависимости дифференциального уравнения и разностной схемы.
Численное решение третьей краевой задачи.
Решение варианта задания.
О задании дополнительных граничных условий для разностных схем.
Дополнительные граничные условия (ДГУ). Понятие о ДГУ.
Анализ нормальных мод.
Численные методы решения задач математической физики для случая трёх независимых переменных.
Постановка краевых задач для двумерного волнового уравнения.
Постановка задачи для двумерного уравнения переноса.
Разностные методы решения краевых задач (двумерный случай).
Лабораторные задания.
Литература.
Методы решения интегральных уравнений.
Основные виды линейных интегральных уравнений.
Примеры задач, сводящихся к решению интегральных уравнений.
Две задачи об упругой нити.
Связь между дифференциальными уравнениями и интегральными уравнениями Вольтерра 2-го рода.
Метод квадратур численного решения интегральных уравнений Фредгольма.