СПб.: БХВ-Петербург, 2014. — 272 с.: ил. — ISBN 978-5-9775-3473-4,
OCR.
Изложены новые усовершенствованные методы расчета, относящиеся к
разделам математики, которые учитывают неточности и погрешности в
коэффициентах и параметрах исследуемых моделей технических объектов
и объединены под названием "математика-2". Они позволяют
рассчитывать и реализовывать более надежные технические объекты,
чем это было достижимо ранее, сократить расход материалов и вес
рассчитываемых конструкций, увеличить точность управления, тем
самым уменьшить вероятность аварий и спасти жизни людей. Авторы
призывают широко использовать эти методы в практике инженерных
расчетов.
Для студентов, аспирантов, инженеров и научных работников. Предисловие. Исследование неустранимых погрешностей решений систем линейных алгебраических уравнений.
Правила приближенных вычислений. Интервальный анализ.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Оценки погрешностей решений по "числу обусловленности".
Недостатки оценок по "числу обусловленности".
Вычисление погрешности решений при вариациях правой части.
Новый подход к проблеме оценки погрешностей: подход через дифференциалы определителей и таблицы знаков.
Результаты численного эксперимента.
Практические приложения. Выявление ненадежных и опасных объектов по их математическим моделям.
Анализ расчета одной из конструкций.
Исследование особых частных случаев.
Вычисление точных значений вариаций каждой из составляющих вектора решений (предлагаемый алгоритм).
Общий алгоритм точной оценки погрешностей каждой из составляющих вектора решений.
Использование оценок вариаций при вычислении решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
Применения к решению интегральных уравнений.
Другие критерии оценки степени обусловленности систем линейных алгебраических уравнений.
Оценка вычислительной сложности алгоритма вычисления точного значения неустранимой погрешности СЛАУ. Примеры расчетов.
Сопоставление с методикой интервального анализа.
Практические рекомендации.
Применение к расчетам неустранимой погрешности решений уравнений в частных производных.
Об авариях, происходящих из-за неточностей в методиках расчета и проектирования. Системы дифференциальных уравнений и эквивалентные (равносильные) преобразования.
Примеры систем уравнений и эквивалентных преобразований.
Характеристические полиномы и проверка устойчивости.
Изменение параметрической устойчивости при эквивалентных преобразованиях.
Изменение устойчивости по Ляпунову при эквивалентных преобразованиях.
Изменение корректности при эквивалентных преобразованиях. Третий класс математических моделей — промежуточных между корректными и некорректными.
Существование функции Ляпунова не гарантирует устойчивости.
Всегда ли справедлива теорема о непрерывной зависимости решений систем дифференциальных уравнений от параметров?
Зависимости между параметрами объекта и коэффициентами его математической модели.
Аварии и катастрофы, связанные с несовершенством методов вычислений. Их особенности.
Объяснение трудностей выявления новых свойств эквивалентных преобразований и существования "особых" систем.
Неточности в расчетах устойчивости по части переменных.
Обеспечение надежности вычислительных алгоритмов.
Дополнительные примеры.
Проверка сохранения устойчивости систем вида dх/dt = Ах при конечных вариациях элементов матрицы коэффициентов.
Синтез систем управления с хорошими запасами устойчивости.
Грубые и робастные системы. Возможности регуляризации. Заключение.
Литература.
Именной указатель.
Предметный указатель.
Для студентов, аспирантов, инженеров и научных работников. Предисловие. Исследование неустранимых погрешностей решений систем линейных алгебраических уравнений.
Правила приближенных вычислений. Интервальный анализ.
Системы линейных алгебраических уравнений.
Оценки погрешностей решений по "числу обусловленности".
Недостатки оценок по "числу обусловленности".
Вычисление погрешности решений при вариациях правой части.
Новый подход к проблеме оценки погрешностей: подход через дифференциалы определителей и таблицы знаков.
Результаты численного эксперимента.
Практические приложения. Выявление ненадежных и опасных объектов по их математическим моделям.
Анализ расчета одной из конструкций.
Исследование особых частных случаев.
Вычисление точных значений вариаций каждой из составляющих вектора решений (предлагаемый алгоритм).
Общий алгоритм точной оценки погрешностей каждой из составляющих вектора решений.
Использование оценок вариаций при вычислении решений обыкновенных дифференциальных уравнений.
Применения к решению интегральных уравнений.
Другие критерии оценки степени обусловленности систем линейных алгебраических уравнений.
Оценка вычислительной сложности алгоритма вычисления точного значения неустранимой погрешности СЛАУ. Примеры расчетов.
Сопоставление с методикой интервального анализа.
Практические рекомендации.
Применение к расчетам неустранимой погрешности решений уравнений в частных производных.
Об авариях, происходящих из-за неточностей в методиках расчета и проектирования. Системы дифференциальных уравнений и эквивалентные (равносильные) преобразования.
Примеры систем уравнений и эквивалентных преобразований.
Характеристические полиномы и проверка устойчивости.
Изменение параметрической устойчивости при эквивалентных преобразованиях.
Изменение устойчивости по Ляпунову при эквивалентных преобразованиях.
Изменение корректности при эквивалентных преобразованиях. Третий класс математических моделей — промежуточных между корректными и некорректными.
Существование функции Ляпунова не гарантирует устойчивости.
Всегда ли справедлива теорема о непрерывной зависимости решений систем дифференциальных уравнений от параметров?
Зависимости между параметрами объекта и коэффициентами его математической модели.
Аварии и катастрофы, связанные с несовершенством методов вычислений. Их особенности.
Объяснение трудностей выявления новых свойств эквивалентных преобразований и существования "особых" систем.
Неточности в расчетах устойчивости по части переменных.
Обеспечение надежности вычислительных алгоритмов.
Дополнительные примеры.
Проверка сохранения устойчивости систем вида dх/dt = Ах при конечных вариациях элементов матрицы коэффициентов.
Синтез систем управления с хорошими запасами устойчивости.
Грубые и робастные системы. Возможности регуляризации. Заключение.
Литература.
Именной указатель.
Предметный указатель.