Учебное пособие. - М.: Изд-во МАИ, 1998. - 188 с.
Численные методы решения задач линейной и нелинейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, которые автор в течение многих лет читает студентам факультета "Прикладная математика и физика" Московского государственного авиационного института (технического университета).
Оглавление.
Численные методы алгебры:
Некоторые сведения из линейной алгебры. Понятие о нормах
Основные трудности решения систем линейных уравнений. Классификация методов решения
Метод исключения Гаусса
Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
Метод прогонки для решения систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей
Итерационные методы решения линейных уравнений
Решение нелинейных уравнений. Два этапа отыскания корня
Метод половинного деления (метод дихотомии)
Метод простой итерации нахождения корней нелинейных уравнений
Метод Ньютона (метод линеаризации, метод касательных) и некоторые его модификации
Метод секущих (метод хорд)
Метод парабол (метод квадратичной интерполяции). Метод Мюллера для уточнения корней нелинейных уравнений
Методы нахождения корней систем нелинейных уравнений. Ускорение сходимости по Эйткену
Введение в проблему собственных значений
Итерационный метод вращения для нахождения собственных значений
Метод Данилевского для построения характеристического многочлена матрицы
Метод интерполяции для построения характеристического многочлена
Приближение функций. Численное интегрирование и дифференцирование:
Постановка задачи о приближении (аппроксимации) функций
Интерполяция
Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
Погрешность и сходимость интерполяции
Интерполяция сплайнами
Приближение методом наименьших квадратов (МНК)
Постановка задачи численного дифференцирования
Дифференцирование интерполяционного многочлена Ньютона
Безразностные формулы численного дифференцирования для равноотстоящих узлов
Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования
Постановка задачи численного интегрирования
Формулы численного интегрирования прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона)
Метод Рунге-Ромберга-Ричардсона повышения порядков точности
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений:
Некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
Понятие о методе конечных разностей. Порядок точности разностной схемы
Метод Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом
Метод Рунге-Кутты
Многошаговый метод Адамса
Неявные схемы. Понятие о жестких системах
Постановка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
Метод стрельбы
Конечно-разностный метод решения краевых задач
Численные методы решения уравнений в частных производных:
Некоторые сведения из теории уравнений в частных производных
Основные понятия метода сеток. Задача Дирихле для уравнения Лапласа
Явные и неявные разностные схемы
Аппроксимация, устойчивость, сходимость разностных схем. Основные понятия
Примеры неустойчивых разностных схем
Практические правила исследования устойчивости
Спектральный признак устойчивости
Принцип максимума
Метод гармоник Фурье исследования устойчивости разностных схем
Применение метода гармоник Фурье для исследования устойчивости разностных схем в уравнениях переноса
Применение метода гармоник Фурье в задачах исследования устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности
Метод переменных направлений (метод дробных шагов)
Метод установления - математические и физические основы метода
Разностные схемы метода установления
Методы сквозного счета
Метод прямых
Метод характеристик
Метод конечных элементов
Численные методы решения задач линейной и нелинейной алгебры, обыкновенных дифференциальных уравнений и уравнений в частных производных, которые автор в течение многих лет читает студентам факультета "Прикладная математика и физика" Московского государственного авиационного института (технического университета).
Оглавление.
Численные методы алгебры:
Некоторые сведения из линейной алгебры. Понятие о нормах
Основные трудности решения систем линейных уравнений. Классификация методов решения
Метод исключения Гаусса
Вычисление определителя и обратной матрицы методом исключения
Метод прогонки для решения систем линейных уравнений с трехдиагональной матрицей
Итерационные методы решения линейных уравнений
Решение нелинейных уравнений. Два этапа отыскания корня
Метод половинного деления (метод дихотомии)
Метод простой итерации нахождения корней нелинейных уравнений
Метод Ньютона (метод линеаризации, метод касательных) и некоторые его модификации
Метод секущих (метод хорд)
Метод парабол (метод квадратичной интерполяции). Метод Мюллера для уточнения корней нелинейных уравнений
Методы нахождения корней систем нелинейных уравнений. Ускорение сходимости по Эйткену
Введение в проблему собственных значений
Итерационный метод вращения для нахождения собственных значений
Метод Данилевского для построения характеристического многочлена матрицы
Метод интерполяции для построения характеристического многочлена
Приближение функций. Численное интегрирование и дифференцирование:
Постановка задачи о приближении (аппроксимации) функций
Интерполяция
Интерполяционный многочлен в форме Лагранжа
Интерполяционный многочлен в форме Ньютона
Погрешность и сходимость интерполяции
Интерполяция сплайнами
Приближение методом наименьших квадратов (МНК)
Постановка задачи численного дифференцирования
Дифференцирование интерполяционного многочлена Ньютона
Безразностные формулы численного дифференцирования для равноотстоящих узлов
Применение ряда Тейлора для численного дифференцирования
Постановка задачи численного интегрирования
Формулы численного интегрирования прямоугольников, трапеций, парабол (Симпсона)
Метод Рунге-Ромберга-Ричардсона повышения порядков точности
Численные методы решения обыкновенных дифференциальных уравнений:
Некоторые сведения из теории обыкновенных дифференциальных уравнений (ОДУ)
Понятие о методе конечных разностей. Порядок точности разностной схемы
Метод Эйлера. Метод Эйлера с пересчетом
Метод Рунге-Кутты
Многошаговый метод Адамса
Неявные схемы. Понятие о жестких системах
Постановка краевой задачи для обыкновенного дифференциального уравнения
Метод стрельбы
Конечно-разностный метод решения краевых задач
Численные методы решения уравнений в частных производных:
Некоторые сведения из теории уравнений в частных производных
Основные понятия метода сеток. Задача Дирихле для уравнения Лапласа
Явные и неявные разностные схемы
Аппроксимация, устойчивость, сходимость разностных схем. Основные понятия
Примеры неустойчивых разностных схем
Практические правила исследования устойчивости
Спектральный признак устойчивости
Принцип максимума
Метод гармоник Фурье исследования устойчивости разностных схем
Применение метода гармоник Фурье для исследования устойчивости разностных схем в уравнениях переноса
Применение метода гармоник Фурье в задачах исследования устойчивости разностных схем для уравнения теплопроводности
Метод переменных направлений (метод дробных шагов)
Метод установления - математические и физические основы метода
Разностные схемы метода установления
Методы сквозного счета
Метод прямых
Метод характеристик
Метод конечных элементов