М.: Айрис-пресс, 2006 г. , 608 стр.: ил.
Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов высших учебных заведений, изучающих в том или ином объеме высшую математику.
Книга содержит необходимый материал по всем разделам курса высшей математики (линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, основы математического анализа), которые обычно изучаются студентами на первом и втором курсах вуза, а также дополнительные главы, необходимые при изучении специальных курсов (двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы, дифференциальные уравнения, элементы теории поля и теории функций комплексного переменного, основы операционного исчисления).
Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
Пособие поможет студентам освоить курс высшей математики, подготовиться к сдаче зачетов и экзаменов по математическим дисциплинам.
Содержание
Элементы линейной алгебры
Матрицы
Основные понятия
Действия над матрицами
Определители
Основные понятия
Свойства определителей
Невырожденные матрицы
Основные понятия
Обратная матрица
Ранг матрицы
Системы линейных уравнений
Основные понятия
Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли
Решение невырожденных линейных систем.
Формулы Крамера
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Системы линейных однородных уравнений
Элементы векторной алгебры
Векторы
Основные понятия
Линейные операции над векторами
Проекция вектора на ось
Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
Действия над векторами, заданными проекциями
Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение скалярного произведения
Свойства скалярного произведения
Выражение скалярного произведения через координаты
Некоторые приложения скалярного произведения
Векторное произведение векторов и его свойства
Определение векторного произведения
Свойства векторного произведения
Выражение векторного произведения через координаты
Некоторые приложения векторного произведения
Смешанное произведение векторов
Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
Свойства смешанного произведения
Выражение смешанного произведения через координаты
Некоторые приложения смешанного произведения
Свойства векторного произведения
Выражение векторного произведения через координаты
Некоторые приложения векторного произведения
Смешанное произведение векторов
Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
Свойства смешанного произведения
Выражение смешанного произведения через координаты
Некоторые приложения смешанного произведения
Аналитическая геометрия на плоскости
Система координат на плоскости
Основные понятия
Основные приложения метода координат на плоскости
Преобразование системы координат
Линии на плоскости
Основные понятия
Уравнения прямой на плоскости
Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Линии второго порядка на плоскости
Основные понятия
Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола
Общее уравнение линий второго порядка
Аналитическая геометрия в пространстве
Уравнения поверхности и линии в пространстве
Основные понятия
Уравнения плоскости в пространстве
Плоскость. Основные задачи
Уравнения прямой в пространстве
Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Прямая и плоскость в пространстве.
Основные задачи
Цилиндрические поверхности
Поверхности вращения. Конические поверхности
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Введение в анализ
Множества. Действительные числа
Основные понятия
Числовые множества.
Множество действительных чисел
Числовые промежутки. Окрестность точки
Функция
Понятие функции
Числовые функции. График функции.
Способы задания функций
Основные характеристики функции
Обратная функция
Сложная функция.
Основные элементарные функции и их графики
Последовательности
Числовая последовательность
Предел числовой последовательности
Предельный переход в неравенствах
Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы
Предел функции
Предел функции в точке
Односторонние пределы
Предел функции при х -» бесконечности
Бесконечно большая функция (б. б. ф. )
Бесконечно малые функции (б. м. ф. )
Определения и основные теоремы
Связь между функцией, ее пределом
и бесконечно малой функцией
Основные теоремы о пределах
Признаки существования пределов
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Эквивалентные бесконечно малые функции.
Сравнение бесконечно малых функций
Эквивалентные бесконечно малые
Применение эквивалентных бесконечно малых функций
Непрерывность функций
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Точки разрыва функции и их классификация
Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Производная функции
Задачи, приводящие к понятию производной
Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
Связь между непрерывностью и дифферснцируемостью функции
Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Производная сложной и обратной функций
Производные основных элементарных функций
Гиперболические функции и их производные
Таблица производных
Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
Неявно заданная функция
Функция, заданная параметрически
Логарифмическое дифференцирование
Производные высших порядков
Производные высших порядков
явно заданной функции
Механический смысл производной второго порядка
Производные высших порядков
неявно заданной функции
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
Дифференциал функции
Понятие дифференциала функции
Геометрический смысл дифференциала функции
Основные теоремы о дифференциалах
Таблица дифференциалов
Применение дифференциала
к приближенным вычислениям
Дифференциалы высших порядков
Исследование функций при помощи производных
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Правила Лопиталя
Возрастание и убывание функций
Максимум и минимум функций
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Выпуклость графика функции. Точки перегиба
Асимптоты графика функции
Общая схема исследования функции
и построения графика
Формула Тейлора
Формула Тейлора для многочлена
Формула Тейлора для произвольной функции
Комплексные числа
Понятие и представления комплексных чисел
Основные понятия
Геометрическое изображение комплексных чисел
Формы записи комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Сложение комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел
Умножение комплексных чисел
Деление комплексных чисел
Извлечение корней из комплексных чисел
Неопределенныйинтеграл
Неопределенный интеграл
Понятие неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Понятия о рациональных функциях.
Интегрирование простейших рациональных дробей
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических функций
Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегралы типа sinхcostgx
Использование тригонометрических преобразований
Интегрирование иррациональных функций
Квадратичные иррациональности
Дробно-линейная подстановка
Тригонометрическая подстановка
Интегрирование дифференциального бином
«Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы
Определенный интеграл
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Геометрический и физический смысл определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Основные свойства определенного интеграла
Вычисления определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
Интегрирование по частям
Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
Несобственные интегралы
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
Геометрические и физические приложения определенного интеграла
Схемы применения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление длины дуги плоской кривой
Вычисление объема тела
Вычисление площади поверхности вращения
Механические приложения определенного интеграла
Приближенное вычисление определенного интеграла
Формула прямоугольников
Формула трапеций
Формула парабол (Симпсона)
Функции нескольких переменных
Функции двух переменных
Основные понятия
Предел функции
Непрерывность функции двух переменных
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
Производные и дифференциалы функции
нескольких переменных
Частные производные первого порядка
и их геометрическое истолкование
Частные производные высших порядков
Дифференцируемость и полный дифференциал функции
Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
Дифференциалы высших порядков
Производная сложной функции. Полная производная
Инвариантность формы полного дифференциала
Дифференцирование неявной функции.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Экстремум функции двух переменных
Основные понятия
Необходимые и достаточные условия экстремума
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Дифференциальные уравнения
Общие сведения о дифференциальных уравнениях
Основные понятия
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Дифференциальные уравнения первого порядка
Основные понятия
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения
Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли
Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Уравнения Лагранжа и Клеро
Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия
Уравнения, допускающие понижение порядка
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные однородные ДУ второго порядка
Линейные однородные ДУ n-го порядка
Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)
Структура общего решения ЛНДУ второго порядка
Метод вариации произвольных постоянных
Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (п 2)
с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Системы дифференциальных уравнений
Основные понятия
Интегрирование нормальных систем
Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Двойные и тройные интегралы
Двойной интеграл
Основные понятия и определения
Геометрический и физический смысл двойного интеграла
Основные свойства двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Приложения двойного интеграла
Тройной интеграл
Основные понятия
Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
Некоторые приложения тройного интеграла
Криволинейные и поверхностные интегралы
Криволинейный интеграл I рода
Основные понятия
Вычисление криволинейного интеграла I рода
Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода
Криволинейный интеграл II рода
Основные понятия
Вычисление криволинейного интеграла II рода.
Формула Остроградского-Грина
Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
Поверхностный интеграл I рода
Основные понятия
Вычисление поверхностного интеграла I рода
Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода
Поверхностный интеграл II рода
Основные понятия
Вычисление поверхностного интеграла II рода
Формула Остроградского-Гаусса
Формула Стокса
Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода
Числовые ряды
Числовые ряды
Основные понятия
геометрической прогрессии
Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
Признаки сравнения рядов
Признак Даламбера
Радикальный признак Коши
Интегральный признак Коши
Обобщенный гармонический ряд
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
Абсолютная и условная сходимости числовых рядов
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Степенные ряды
Функциональные ряды
Основные понятия
Сходимость степенных рядов
Теорема Н. Абеля
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Свойства степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Некоторые приложения степенных рядо
Приближенное вычисление значений функции
Приближенное вычисление определенных интегралов
Приближенное решение дифференциальных уравнений
Ряды Фурье, Интеграл Фурье
Ряды Фурье
Периодические функции. Периодические процессы
Тригонометрический ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье
Теорема Дирихле
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
Представление непериодической функции рядом Фурье
Комплексная форма ряда Фурье
Интеграл Фурье
Элементы теории поля
Основные понятия теории поля
Скалярное поле
Поверхности и линии уровня
Производная по направлению
Градиент скалярного поля и его свойства
Векторное поле
Векторные линии поля
Поток поля
Дивергенция поля. Формула Остроградского-Таусса
Циркуляция поля
Ротор поля. Формула Стокса
Оператор Гамильтона
Векторные дифференциальные операциипервого порядка
Векторные дифференциальные операции второго порядка
Некоторые свойства основных классов векторных полей
Соленоидальное поле
Потенциальное поле
Гармоническое поле
Элементы теории функции комплексного переменного
Функции комплексного переменного
Основные понятия
Предел и непрерывность функции комплексного переменного
Основные элементарные функции комплексного переменного
Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера- Даламбера
Аналитическая функция. Дифференциал
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении
Интегрирование функции комплексного переменного
Определение, свойства и правила вычисления интеграла
Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Интеграл Коши. Интегральная формула Коши
Ряды в комплексной плоскости
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряд Тейлора
Нули аналитической функции
Ряд Лорана
Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции
Вычет функции.
Понятие вычета и основная теорема о вычетах
Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов
Элементы операционного исчисления
Преобразование Лапласа
Оригиналы и их изображения
Свойства преобразования Лапласа
Таблица оригиналов и изображений
Обратное преобразование Лапласа
Теоремы разложения
Формула Римана-Меллина
Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем
Приложения
Настоящий курс лекций предназначен для всех категорий студентов высших учебных заведений, изучающих в том или ином объеме высшую математику.
Книга содержит необходимый материал по всем разделам курса высшей математики (линейная и векторная алгебра, аналитическая геометрия, основы математического анализа), которые обычно изучаются студентами на первом и втором курсах вуза, а также дополнительные главы, необходимые при изучении специальных курсов (двойные, тройные, криволинейные и поверхностные интегралы, дифференциальные уравнения, элементы теории поля и теории функций комплексного переменного, основы операционного исчисления).
Изложение теоретического материала по всем темам сопровождается рассмотрением большого количества примеров и задач, ведется на доступном, по возможности строгом языке.
Пособие поможет студентам освоить курс высшей математики, подготовиться к сдаче зачетов и экзаменов по математическим дисциплинам.
Содержание
Элементы линейной алгебры
Матрицы
Основные понятия
Действия над матрицами
Определители
Основные понятия
Свойства определителей
Невырожденные матрицы
Основные понятия
Обратная матрица
Ранг матрицы
Системы линейных уравнений
Основные понятия
Решение систем линейных уравнений.
Теорема Кронекера-Капелли
Решение невырожденных линейных систем.
Формулы Крамера
Решение систем линейных уравнений методом Гаусса
Системы линейных однородных уравнений
Элементы векторной алгебры
Векторы
Основные понятия
Линейные операции над векторами
Проекция вектора на ось
Разложение вектора по ортам координатных осей. Модуль вектора. Направляющие косинусы
Действия над векторами, заданными проекциями
Скалярное произведение векторов и его свойства
Определение скалярного произведения
Свойства скалярного произведения
Выражение скалярного произведения через координаты
Некоторые приложения скалярного произведения
Векторное произведение векторов и его свойства
Определение векторного произведения
Свойства векторного произведения
Выражение векторного произведения через координаты
Некоторые приложения векторного произведения
Смешанное произведение векторов
Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
Свойства смешанного произведения
Выражение смешанного произведения через координаты
Некоторые приложения смешанного произведения
Свойства векторного произведения
Выражение векторного произведения через координаты
Некоторые приложения векторного произведения
Смешанное произведение векторов
Определение смешанного произведения, его геометрический смысл
Свойства смешанного произведения
Выражение смешанного произведения через координаты
Некоторые приложения смешанного произведения
Аналитическая геометрия на плоскости
Система координат на плоскости
Основные понятия
Основные приложения метода координат на плоскости
Преобразование системы координат
Линии на плоскости
Основные понятия
Уравнения прямой на плоскости
Прямая линия на плоскости. Основные задачи
Линии второго порядка на плоскости
Основные понятия
Окружность
Эллипс
Гипербола
Парабола
Общее уравнение линий второго порядка
Аналитическая геометрия в пространстве
Уравнения поверхности и линии в пространстве
Основные понятия
Уравнения плоскости в пространстве
Плоскость. Основные задачи
Уравнения прямой в пространстве
Прямая линия в пространстве. Основные задачи
Прямая и плоскость в пространстве.
Основные задачи
Цилиндрические поверхности
Поверхности вращения. Конические поверхности
Канонические уравнения поверхностей второго порядка
Введение в анализ
Множества. Действительные числа
Основные понятия
Числовые множества.
Множество действительных чисел
Числовые промежутки. Окрестность точки
Функция
Понятие функции
Числовые функции. График функции.
Способы задания функций
Основные характеристики функции
Обратная функция
Сложная функция.
Основные элементарные функции и их графики
Последовательности
Числовая последовательность
Предел числовой последовательности
Предельный переход в неравенствах
Предел монотонной ограниченной последовательности. Число е. Натуральные логарифмы
Предел функции
Предел функции в точке
Односторонние пределы
Предел функции при х -» бесконечности
Бесконечно большая функция (б. б. ф. )
Бесконечно малые функции (б. м. ф. )
Определения и основные теоремы
Связь между функцией, ее пределом
и бесконечно малой функцией
Основные теоремы о пределах
Признаки существования пределов
Первый замечательный предел
Второй замечательный предел
Эквивалентные бесконечно малые функции.
Сравнение бесконечно малых функций
Эквивалентные бесконечно малые
Применение эквивалентных бесконечно малых функций
Непрерывность функций
Непрерывность функции в точке
Непрерывность функции в интервале и на отрезке
Точки разрыва функции и их классификация
Основные теоремы о непрерывных функциях. Непрерывность элементарных функций
Свойства функций, непрерывных на отрезке
Производная функции
Задачи, приводящие к понятию производной
Определение производной; ее механический и геометрический смысл. Уравнение касательной и нормали к кривой
Связь между непрерывностью и дифферснцируемостью функции
Производная суммы, разности, произведения и частного функций
Производная сложной и обратной функций
Производные основных элементарных функций
Гиперболические функции и их производные
Таблица производных
Дифференцирование неявных и параметрически заданных функций
Неявно заданная функция
Функция, заданная параметрически
Логарифмическое дифференцирование
Производные высших порядков
Производные высших порядков
явно заданной функции
Механический смысл производной второго порядка
Производные высших порядков
неявно заданной функции
Производные высших порядков от функций, заданных параметрически
Дифференциал функции
Понятие дифференциала функции
Геометрический смысл дифференциала функции
Основные теоремы о дифференциалах
Таблица дифференциалов
Применение дифференциала
к приближенным вычислениям
Дифференциалы высших порядков
Исследование функций при помощи производных
Некоторые теоремы о дифференцируемых функциях
Правила Лопиталя
Возрастание и убывание функций
Максимум и минимум функций
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке
Выпуклость графика функции. Точки перегиба
Асимптоты графика функции
Общая схема исследования функции
и построения графика
Формула Тейлора
Формула Тейлора для многочлена
Формула Тейлора для произвольной функции
Комплексные числа
Понятие и представления комплексных чисел
Основные понятия
Геометрическое изображение комплексных чисел
Формы записи комплексных чисел
Действия над комплексными числами
Сложение комплексных чисел
Вычитание комплексных чисел
Умножение комплексных чисел
Деление комплексных чисел
Извлечение корней из комплексных чисел
Неопределенныйинтеграл
Неопределенный интеграл
Понятие неопределенного интеграла
Свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных неопределенных интегралов
Основные методы интегрирования
Метод непосредственного интегрирования
Метод интегрирования подстановкой (заменой переменной)
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Понятия о рациональных функциях.
Интегрирование простейших рациональных дробей
Интегрирование рациональных дробей
Интегрирование тригонометрических функций
Универсальная тригонометрическая подстановка
Интегралы типа sinхcostgx
Использование тригонометрических преобразований
Интегрирование иррациональных функций
Квадратичные иррациональности
Дробно-линейная подстановка
Тригонометрическая подстановка
Интегрирование дифференциального бином
«Берущиеся» и «неберущиеся» интегралы
Определенный интеграл
Определенный интеграл как предел интегральной суммы
Геометрический и физический смысл определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Основные свойства определенного интеграла
Вычисления определенного интеграла
Формула Ньютона-Лейбница
Интегрирование подстановкой (заменой переменной)
Интегрирование по частям
Интегрирование четных и нечетных функций в симметричных пределах
Несобственные интегралы
Интеграл с бесконечным промежутком интегрирования (несобственный интеграл I рода)
Интеграл от разрывной функции (несобственный интеграл II рода)
Геометрические и физические приложения определенного интеграла
Схемы применения определенного интеграла.
Вычисление площадей плоских фигур
Вычисление длины дуги плоской кривой
Вычисление объема тела
Вычисление площади поверхности вращения
Механические приложения определенного интеграла
Приближенное вычисление определенного интеграла
Формула прямоугольников
Формула трапеций
Формула парабол (Симпсона)
Функции нескольких переменных
Функции двух переменных
Основные понятия
Предел функции
Непрерывность функции двух переменных
Свойства функций, непрерывных в ограниченной замкнутой области
Производные и дифференциалы функции
нескольких переменных
Частные производные первого порядка
и их геометрическое истолкование
Частные производные высших порядков
Дифференцируемость и полный дифференциал функции
Применение полного дифференциала к приближенным вычислениям
Дифференциалы высших порядков
Производная сложной функции. Полная производная
Инвариантность формы полного дифференциала
Дифференцирование неявной функции.
Касательная плоскость и нормаль к поверхности
Экстремум функции двух переменных
Основные понятия
Необходимые и достаточные условия экстремума
Наибольшее и наименьшее значения функции в замкнутой области
Дифференциальные уравнения
Общие сведения о дифференциальных уравнениях
Основные понятия
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям
Дифференциальные уравнения первого порядка
Основные понятия
Уравнения с разделяющимися переменными
Однородные дифференциальные уравнения
Линейные уравнения. Уравнение Я. Бернулли
Уравнение в полных дифференциалах. Интегрирующий множитель
Уравнения Лагранжа и Клеро
Дифференциальные уравнения высших порядков
Основные понятия
Уравнения, допускающие понижение порядка
Линейные дифференциальные уравнения высших порядков
Линейные однородные ДУ второго порядка
Линейные однородные ДУ n-го порядка
Интегрирование ДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Интегрирование ЛОДУ второго порядка с постоянными коэффициентами
Интегрирование ЛОДУ n-го порядка с постоянными коэффициентами
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения (ЛНДУ)
Структура общего решения ЛНДУ второго порядка
Метод вариации произвольных постоянных
Интегрирование ЛНДУ второго порядка с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Интегрирование ЛНДУ n-го порядка (п 2)
с постоянными коэффициентами и правой частью специального вида
Системы дифференциальных уравнений
Основные понятия
Интегрирование нормальных систем
Системы линейных ДУ с постоянными коэффициентами
Двойные и тройные интегралы
Двойной интеграл
Основные понятия и определения
Геометрический и физический смысл двойного интеграла
Основные свойства двойного интеграла
Вычисление двойного интеграла в декартовых координатах
Вычисление двойного интеграла в полярных координатах
Приложения двойного интеграла
Тройной интеграл
Основные понятия
Вычисление тройного интегралав декартовых координатах
Замена переменных в тройном интеграле. Вычисление тройного интеграла в цилиндрических и сферических координатах
Некоторые приложения тройного интеграла
Криволинейные и поверхностные интегралы
Криволинейный интеграл I рода
Основные понятия
Вычисление криволинейного интеграла I рода
Некоторые приложения криволинейного интеграла I рода
Криволинейный интеграл II рода
Основные понятия
Вычисление криволинейного интеграла II рода.
Формула Остроградского-Грина
Условия независимости криволинейного интеграла II рода от пути интегрирования
Некоторые приложения криволинейного интеграла II рода
Поверхностный интеграл I рода
Основные понятия
Вычисление поверхностного интеграла I рода
Некоторые приложения поверхностного интеграла I рода
Поверхностный интеграл II рода
Основные понятия
Вычисление поверхностного интеграла II рода
Формула Остроградского-Гаусса
Формула Стокса
Некоторые приложения поверхностного интеграла II рода
Числовые ряды
Числовые ряды
Основные понятия
геометрической прогрессии
Необходимый признак сходимости числового ряда. Гармонический ряд
Достаточные признаки сходимости знакопостоянных рядов
Признаки сравнения рядов
Признак Даламбера
Радикальный признак Коши
Интегральный признак Коши
Обобщенный гармонический ряд
Знакочередующиеся и знакопеременные ряды
Знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница
Общий достаточный признак сходимости знакопеременных рядов
Абсолютная и условная сходимости числовых рядов
Свойства абсолютно сходящихся рядов
Степенные ряды
Функциональные ряды
Основные понятия
Сходимость степенных рядов
Теорема Н. Абеля
Интервал и радиус сходимости степенного ряда
Свойства степенных рядов
Разложение функций в степенные ряды
Ряды Тейлора и Маклорена
Разложение некоторых элементарных функций в ряд Тейлора (Маклорена)
Некоторые приложения степенных рядо
Приближенное вычисление значений функции
Приближенное вычисление определенных интегралов
Приближенное решение дифференциальных уравнений
Ряды Фурье, Интеграл Фурье
Ряды Фурье
Периодические функции. Периодические процессы
Тригонометрический ряд Фурье
Разложение в ряд Фурье
Теорема Дирихле
Разложение в ряд Фурье четных и нечетных функций
Разложение в ряд Фурье функций произвольного периода
Представление непериодической функции рядом Фурье
Комплексная форма ряда Фурье
Интеграл Фурье
Элементы теории поля
Основные понятия теории поля
Скалярное поле
Поверхности и линии уровня
Производная по направлению
Градиент скалярного поля и его свойства
Векторное поле
Векторные линии поля
Поток поля
Дивергенция поля. Формула Остроградского-Таусса
Циркуляция поля
Ротор поля. Формула Стокса
Оператор Гамильтона
Векторные дифференциальные операциипервого порядка
Векторные дифференциальные операции второго порядка
Некоторые свойства основных классов векторных полей
Соленоидальное поле
Потенциальное поле
Гармоническое поле
Элементы теории функции комплексного переменного
Функции комплексного переменного
Основные понятия
Предел и непрерывность функции комплексного переменного
Основные элементарные функции комплексного переменного
Дифференцирование функции комплексного переменного. Условия Эйлера- Даламбера
Аналитическая функция. Дифференциал
Геометрический смысл модуля и аргумента производной. Понятие о конформном отображении
Интегрирование функции комплексного переменного
Определение, свойства и правила вычисления интеграла
Теорема Коши. Первообразная и неопределенный интеграл. Формула Ньютона-Лейбница
Интеграл Коши. Интегральная формула Коши
Ряды в комплексной плоскости
Числовые ряды
Степенные ряды
Ряд Тейлора
Нули аналитической функции
Ряд Лорана
Классификация особых точек. Связь между нулем и полюсом функции
Вычет функции.
Понятие вычета и основная теорема о вычетах
Вычисление вычетов. Применение вычетов в вычислении интегралов
Элементы операционного исчисления
Преобразование Лапласа
Оригиналы и их изображения
Свойства преобразования Лапласа
Таблица оригиналов и изображений
Обратное преобразование Лапласа
Теоремы разложения
Формула Римана-Меллина
Операционный метод решения линейных дифференциальных уравнений и их систем
Приложения