М., Наука, 1981 г., - 176 с.
Книга посвящена изложению основ теории устойчивых многочленов,
играющих основную роль в проблемах устойчивости систем
автоматическогo регулирования и других динамических систем. На
простом элементарном материале книга вводит в кpyг важных идей
классической алгебры в анализа. В последней глaвe, более трудной по
содержанию, изложены основные результаты об устойчивости целых
функций и, в частности, квазимногочленов.
Для школьников старших классов, студентов вузов и любителей математики . Предисловие
Вводная
Постановка задачи
Многoчлены и их корни
Задача о расположении корней
Устойчивыe многочлены
Многочлены малых степеней и теорема Стодолы
Устойчивые многочлены первой и второй степеней
Многочлены с пoложительными коэффициентами
История задачи
Mаксвелл
Вышнеградский
Эрмит
Раус
Стодола в Гурвиц
Льенар и Шипар
Теоретическая
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости
Мнoгочлены g и h
Амплитудно-фазовая характеристика
Многочлены без чисто мнимых корней
Многочлены с вещественными коэффициентами
Амплитудно-фазовая характеристика многочленов третьей степени
Фазовая функция и фазовая характеристика
Фазовые характеристики многочленов третьей степени
Фазовая функция произведения
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости
Критерий Вышнеградского
Теорема Эрмита – Билера
Амплитудно-фазовая характеристика устойчивого многочлена
Многочлены с перемежающимися корнями
Теорема Эрмита – Билера
Индекс рациональной функции
Полюсы рациональной функции и её главные коэффициенты
Индекс рациональной функции
Простейшие свойства индекса
Индекс инверсной функции
Индекс и условие устойчивости
Устойчивые многочлены и индекс функций h/g и g/h
Многoчлены с вещественными положительными коэффициентами
Вычислительная
Вычисление индекса
Алгoрифм вычисления индекса
Ряд Штурма
Число перемен знака
Теорема Штурма об индексе
Теорема Штурма о числе корней
Теорема Рауса
Индекс на всей оси
Регулярный случай
Формулы деления с остатком
Алгoрифм вычисления индекса в регулярном случае
Критерий того, что индекс рациональной функции равен степени знаменателя
Критерий Рауса
Теоремы Гурвица и Льенара - Шипара
Матрица Гурвица многочлена
Критерий Гурвица устойчивости многочлена с вещественными коэффициентами
Критерий Гурвица устойчивости многoчлена с произвольными комплексными коэффициентами
Матрица Гурвица многочленов одинаковой степени
Критерий Льенара – Шипара
Квадратичная форма, ассоциированная с рациональной функцией
Квадратичные формы
Разложение рациональной функции на простейшие дроби
Вычет рациональной функции в полюсе
Разложение рациональной функции в ряд
Ганкелевы формы, acсоциированные с рациональной функцией
Рациональные функции, все полюсы которых вещественны и просты
Рациональные функции, для которых ассоциированная ганкелева форма положительно определена
Редукция условии Сильвестра к условию Гурвица
Теорема Шура
Многочлен f*
Определение и свойства преобразования Шура
Многочлен F(z,ζ)
Многочлен fζ
Теорема Шура
Вспомогательная лемма
Доказательство теоремы Гурвица
Дополнительная
Теоремы Чеботарева в Понтрягина
Целые функции
Амплитудно-фазовая характеристика целой функции
Условия Эрмита – Валера
Вещественные пары целых функций
Сильно устойчивые целые функции и формулировка теоремы Чеботарева
Квазимногочлены
Результаты Понтрягина
Необходимые сведения из теории функций комплексного переменного
Регулярные функции
Принцип максимума модуля
Теорема о неявной функции
Мероморфные функции
Принцип аргумента
Теорема Руше
Лемма о существовании корня
Доказательство тeopeмы Чеботарева
Равносильность условий (А), (Б) и (В)
Доказательство теоремы Чеботарева
Доказательство предложений о вещественных парах функций из п. 1
Квазимногочлены без главного члена
Две вспомогательные леммы
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы Понтрягина
Квазимногочлены с постоянными коэффициентами
Квазимногoчлены с переменными коэффициентами
Доказательство теоремы Понтрягина
Вещественные тригонометрические многочлены
Введение
Тригонометрические многочлены с постоянными коэффициентами
Тригонометрические многoчлены с главным членом
Число корней тригонометрического многочлена
Теорема Эрмита - Билера для квазимногочленов
Квазимногочлены и тригонометрические многочлены
Теорема Эрмита - Билера для квазимногочленов
Литература
Для школьников старших классов, студентов вузов и любителей математики . Предисловие
Вводная
Постановка задачи
Многoчлены и их корни
Задача о расположении корней
Устойчивыe многочлены
Многочлены малых степеней и теорема Стодолы
Устойчивые многочлены первой и второй степеней
Многочлены с пoложительными коэффициентами
История задачи
Mаксвелл
Вышнеградский
Эрмит
Раус
Стодола в Гурвиц
Льенар и Шипар
Теоретическая
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости
Мнoгочлены g и h
Амплитудно-фазовая характеристика
Многочлены без чисто мнимых корней
Многочлены с вещественными коэффициентами
Амплитудно-фазовая характеристика многочленов третьей степени
Фазовая функция и фазовая характеристика
Фазовые характеристики многочленов третьей степени
Фазовая функция произведения
Амплитудно-фазовый критерий устойчивости
Критерий Вышнеградского
Теорема Эрмита – Билера
Амплитудно-фазовая характеристика устойчивого многочлена
Многочлены с перемежающимися корнями
Теорема Эрмита – Билера
Индекс рациональной функции
Полюсы рациональной функции и её главные коэффициенты
Индекс рациональной функции
Простейшие свойства индекса
Индекс инверсной функции
Индекс и условие устойчивости
Устойчивые многочлены и индекс функций h/g и g/h
Многoчлены с вещественными положительными коэффициентами
Вычислительная
Вычисление индекса
Алгoрифм вычисления индекса
Ряд Штурма
Число перемен знака
Теорема Штурма об индексе
Теорема Штурма о числе корней
Теорема Рауса
Индекс на всей оси
Регулярный случай
Формулы деления с остатком
Алгoрифм вычисления индекса в регулярном случае
Критерий того, что индекс рациональной функции равен степени знаменателя
Критерий Рауса
Теоремы Гурвица и Льенара - Шипара
Матрица Гурвица многочлена
Критерий Гурвица устойчивости многочлена с вещественными коэффициентами
Критерий Гурвица устойчивости многoчлена с произвольными комплексными коэффициентами
Матрица Гурвица многочленов одинаковой степени
Критерий Льенара – Шипара
Квадратичная форма, ассоциированная с рациональной функцией
Квадратичные формы
Разложение рациональной функции на простейшие дроби
Вычет рациональной функции в полюсе
Разложение рациональной функции в ряд
Ганкелевы формы, acсоциированные с рациональной функцией
Рациональные функции, все полюсы которых вещественны и просты
Рациональные функции, для которых ассоциированная ганкелева форма положительно определена
Редукция условии Сильвестра к условию Гурвица
Теорема Шура
Многочлен f*
Определение и свойства преобразования Шура
Многочлен F(z,ζ)
Многочлен fζ
Теорема Шура
Вспомогательная лемма
Доказательство теоремы Гурвица
Дополнительная
Теоремы Чеботарева в Понтрягина
Целые функции
Амплитудно-фазовая характеристика целой функции
Условия Эрмита – Валера
Вещественные пары целых функций
Сильно устойчивые целые функции и формулировка теоремы Чеботарева
Квазимногочлены
Результаты Понтрягина
Необходимые сведения из теории функций комплексного переменного
Регулярные функции
Принцип максимума модуля
Теорема о неявной функции
Мероморфные функции
Принцип аргумента
Теорема Руше
Лемма о существовании корня
Доказательство тeopeмы Чеботарева
Равносильность условий (А), (Б) и (В)
Доказательство теоремы Чеботарева
Доказательство предложений о вещественных парах функций из п. 1
Квазимногочлены без главного члена
Две вспомогательные леммы
Доказательство теоремы
Доказательство теоремы Понтрягина
Квазимногочлены с постоянными коэффициентами
Квазимногoчлены с переменными коэффициентами
Доказательство теоремы Понтрягина
Вещественные тригонометрические многочлены
Введение
Тригонометрические многочлены с постоянными коэффициентами
Тригонометрические многoчлены с главным членом
Число корней тригонометрического многочлена
Теорема Эрмита - Билера для квазимногочленов
Квазимногочлены и тригонометрические многочлены
Теорема Эрмита - Билера для квазимногочленов
Литература