Рига: Зинатне, 1971. – 234 с.
В монографии рассматривается локальная топологическая эквивалентность дифференциальных уравнений в евклидовых пространствах и на гладких многообразиях. Основное внимание уделяется изучению топологической эквивалентности дифференциальных уравнений с нелинейной главной частью в окрестности точки покоя и замкнутой траектории. Изложен также вспомогательный материал, необходимый при изучении этих вопросов.
Книга предназначается для специалистов-математиков, студентов старших курсов, а также научных работников смежных областей, интересующихся вопросами качественной теории дифференциальных уравнений. Содержание:
1 Общие определения многообразий, дифференциальных уравнений и потоков.
Дифференцируемые многообразия и отображения.
Касательные пространства и римановы многообразия.
Основные определения для дифференциальных уравнений в евклидовых пространствах.
Векторные поля и дифференциальные уравнения на многообразиях. 2 Общая теория дифференциальных уравнений.
Вспомогательные предложения.
Теорема существования.
Теорема единственности Осгуда.
Продолжение решений.
Продолжаемость решений автономных уравнений.
Зависимость решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий.
Дифференцируемость решений дифференциальных уравнений по параметрам и начальным условиям.
Основные теоремы для дифференциальных уравнений, определенных на многообразиях. 3 Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений.
Интегральные кривые неавтономных дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве.
Траектории автономных дифференциальных уравнений.
Траектории дифференциальных уравнений, определенных на многообразиях.
Предельные множества траекторий. 4 Некоторые преобразования и оценки решений дифференциальных уравнений.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные уравнения с периодическими коэффициентами.
Псевдолокальные координаты в окрестности замкнутой траектории.
Функции Ляпунова и Ляпунова-Красовского.
Соотношения между решениями полных и укороченных дифференциальных уравнений.
5. Устойчивые и неустойчивые многообразия.
Устойчивые и неустойчивые многообразия точек покоя.
Устойчивые и неустойчивые многообразия замкнутых траекторий. 6 Топологическая структура дифференциальных уравнений в окрестностях точек покоя.
Топологическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений.
Топологическая эквивалентность элементарных точек покоя.
Топологическая эквивалентность сложных точек покоя.
Примеры сложных точек покоя. 7 Топологическая структура дифференциальных уравнений в окрестностях замкнутых траекторий
Топологическая эквивалентность элементарных замкнутых траекторий.
Топологическая эквивалентность некоторых сложных замкнутых траекторий.
В монографии рассматривается локальная топологическая эквивалентность дифференциальных уравнений в евклидовых пространствах и на гладких многообразиях. Основное внимание уделяется изучению топологической эквивалентности дифференциальных уравнений с нелинейной главной частью в окрестности точки покоя и замкнутой траектории. Изложен также вспомогательный материал, необходимый при изучении этих вопросов.
Книга предназначается для специалистов-математиков, студентов старших курсов, а также научных работников смежных областей, интересующихся вопросами качественной теории дифференциальных уравнений. Содержание:
1 Общие определения многообразий, дифференциальных уравнений и потоков.
Дифференцируемые многообразия и отображения.
Касательные пространства и римановы многообразия.
Основные определения для дифференциальных уравнений в евклидовых пространствах.
Векторные поля и дифференциальные уравнения на многообразиях. 2 Общая теория дифференциальных уравнений.
Вспомогательные предложения.
Теорема существования.
Теорема единственности Осгуда.
Продолжение решений.
Продолжаемость решений автономных уравнений.
Зависимость решений дифференциальных уравнений от параметров и начальных условий.
Дифференцируемость решений дифференциальных уравнений по параметрам и начальным условиям.
Основные теоремы для дифференциальных уравнений, определенных на многообразиях. 3 Геометрическая интерпретация решений дифференциальных уравнений.
Интегральные кривые неавтономных дифференциальных уравнений в евклидовом пространстве.
Траектории автономных дифференциальных уравнений.
Траектории дифференциальных уравнений, определенных на многообразиях.
Предельные множества траекторий. 4 Некоторые преобразования и оценки решений дифференциальных уравнений.
Линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами.
Линейные уравнения с периодическими коэффициентами.
Псевдолокальные координаты в окрестности замкнутой траектории.
Функции Ляпунова и Ляпунова-Красовского.
Соотношения между решениями полных и укороченных дифференциальных уравнений.
5. Устойчивые и неустойчивые многообразия.
Устойчивые и неустойчивые многообразия точек покоя.
Устойчивые и неустойчивые многообразия замкнутых траекторий. 6 Топологическая структура дифференциальных уравнений в окрестностях точек покоя.
Топологическая эквивалентность систем дифференциальных уравнений.
Топологическая эквивалентность элементарных точек покоя.
Топологическая эквивалентность сложных точек покоя.
Примеры сложных точек покоя. 7 Топологическая структура дифференциальных уравнений в окрестностях замкнутых траекторий
Топологическая эквивалентность элементарных замкнутых траекторий.
Топологическая эквивалентность некоторых сложных замкнутых траекторий.