М.: Юрайт, 2012. - 447 с. (8-е изд., перераб.и доп.)
Серия: Бакалавр В пособии изложены элементы теории множеств и вещественных чисел, числовые последовательности и теория пределов, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, основы дифференциального и интегрального исчислений функций одной и нескольких переменных, элементы высшей алгебры, теория рядов и обыкновенные дифференциальные уравнения и другие темы общего курса математики для студентов вузов. Особенность книги - сочетание необходимого теоретического материала с широким использованием методов решения основных типов задач по всем разделам курса. Пособие отличается высоким уровнем методической продуманности изложения, точностью формулировок основных понятий и теорем, краткостью и доступностью доказательств.
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров.
Для студентов высших учебных заведений.
Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту ВПО третьего поколения. Содержание К читателю Предисловие Вещественные числа
Геометрическое изображение вещественных чисел.
Грани числовых множеств.
Абсолютная величина числа.
Метод математической индукции
Факториал и формула бинома Ньютона
Аналитическая геометрия на плоскости
Метод координат
Направленные отрезки и их величины. Основное тождество
Координаты на прямой. Числовая прямая
Прямоугольная (или декартова) система координат па плоскости
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости Полярные координаты
Множества точек на плоскости и их уравнения
Множества точек на плоскости и их уравнения
Определение уравнения линии
Примеры па нахождение множеств точек
Прямые и их линейные уравнения
Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Общее уравнение прямой
Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в отрезках
Угол между двумя прямыми
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Расстояние от точки до прямой
Взаимное расположение двух прямых па плоскости Примеры решения геометрических задач методом координат
Линии второго порядка
Эллипс
Гипербола
Директрисы эллипса и гиперболы
Парабола
Основные формулы и факты аналитической геометрии
на плоскости
Теория пределов
Числовые последовательности
Числовые последовательности и арифметические действия над ними. Прогрессии
Ограниченные последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Основные свойства бесконечно малых последовательностей (ИЗ).
Сходящиеся последовательности
Понятие сходящейся последовательности
Основные свойства сходящихся последовательностей Предельный переход в неравенствах Монотонные последовательности
Предел последовательности.
Числовые последовательности.
Сходящиеся последовательности.
Монотонные последовательности.
Теорема о вложенных отрезках.
Функции одной переменной.
Понятие функции. Предел функции.
Теоремы о пределах функций.
Два замечательных предела.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Сравнение бесконечно малых н бесконечно больших функций.
Понятие непрерывности функций.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
Классификация точек разрыва функции.
Основные свойства непрерывных функций.
Понятие сложной функции.
Понятие обратной функции.
Дифференцирование.
Понятие производной.
Понятие дифференцируемости функции.
Понятие дифференциала.
Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
Вычисление производных постоянной, степенной, тригонометрических функций и логарифмической функции.
Теорема о производной обратной функции.
Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций.
Правило дифференцирования сложной функции.
Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
Формула Тейлора.
Исследование поведения функций и построение графиков.
Интерполяция функций.
Методы приближенного вычисления корней уравнений.
Неопределенный интеграл.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Основные методы интегрирования.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
Определенный интеграл.
Определение определенного интеграла.
Условия существования определенного интеграла.
Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций.
Основные свойства определенного интеграла.
Оценки интегралов. Формула среднего значения.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона—Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Математический анализ функций нескольких переменных.
Аналитическая геометрия в пространстве.
Прямоугольная система координат в пространстве.
Понятие вектора.
Линейные операции над векторами и их основные свойства.
Теоремы о проекциях векторов.
Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение.
Смешанное произведение трех векторов.
Уравнения поверхности и линии.
Уравнение цилиндрической поверхности.
Уравнения плоскости.
Уравнение прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Поверхности второго порядка.
Элементы высшей алгебры.
Матрицы.
Определители.
Исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.
Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы.
Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных.
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Предел функции двух переменных.
Непрерывность функции двух переменных.
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
Частные производные.
Понятие дифференцируемости функции.
Производные сложных функций.
Дифференциал функции.
Производная по направлению. Градиент.
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных.
Метод наименьших квадратов.
Интегрирование.
Двойные интегралы.
Сведение двойного интеграла к повторному.
Замена переменных в двойном интеграле.
Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов.
Криволинейные интегралы.
Формула Грина.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Интегрирование полных дифференциалов.
Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода.
Тройные интегралы.
Поверхностные интегралы.
Формула Остроградского.
Формула Стокса.
Скалярное и векторное поля.
Ряды, дифференциальные уравнения.
Ряды.
Понятие числового ряда.
Ряды с неотрицательными членами. Знакочередующиеся ряды.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Степенные ряды.
Комплексные ряды.
Ряды Фурье.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. ДУ 2-го порядка.
Линейные ДУ 2-го порядка.
Линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Применение линейных ДУ к изучению колебательных явлений.
Интегральное исчисление
Первообразная и неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции
Неопределенный интеграл
Основные свойства неопределенного интеграла
Таблица основных интегралов
Основные методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Метод подстановки
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Оценки интегралов. Формула среднего значения
Условия существования определенного интеграла
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Формула Ньютона - Лейбница
Замена переменной в определенном интеграле
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейного сектора
Длина дуги кривой
Площадь поверхности вращения
Объем тела
Центр тяжести кривой и криволинейной трапеции
Работа переменной силы Ответы, решения, указания к контрольным задачам
Предметный указатель
Серия: Бакалавр В пособии изложены элементы теории множеств и вещественных чисел, числовые последовательности и теория пределов, аналитическая геометрия на плоскости и в пространстве, основы дифференциального и интегрального исчислений функций одной и нескольких переменных, элементы высшей алгебры, теория рядов и обыкновенные дифференциальные уравнения и другие темы общего курса математики для студентов вузов. Особенность книги - сочетание необходимого теоретического материала с широким использованием методов решения основных типов задач по всем разделам курса. Пособие отличается высоким уровнем методической продуманности изложения, точностью формулировок основных понятий и теорем, краткостью и доступностью доказательств.
Теоретический материал иллюстрируется большим количеством примеров.
Для студентов высших учебных заведений.
Соответствует Федеральному государственному образовательному стандарту ВПО третьего поколения. Содержание К читателю Предисловие Вещественные числа
Геометрическое изображение вещественных чисел.
Грани числовых множеств.
Абсолютная величина числа.
Метод математической индукции
Факториал и формула бинома Ньютона
Аналитическая геометрия на плоскости
Метод координат
Направленные отрезки и их величины. Основное тождество
Координаты на прямой. Числовая прямая
Прямоугольная (или декартова) система координат па плоскости
Простейшие задачи аналитической геометрии на плоскости Полярные координаты
Множества точек на плоскости и их уравнения
Множества точек на плоскости и их уравнения
Определение уравнения линии
Примеры па нахождение множеств точек
Прямые и их линейные уравнения
Уравнение прямой с угловым коэффициентом Уравнение прямой, проходящей через данную точку, с данным угловым коэффициентом
Уравнение прямой, проходящей через две данные точки
Общее уравнение прямой
Неполное уравнение первой степени. Уравнение прямой «в отрезках
Угол между двумя прямыми
Условия параллельности и перпендикулярности двух прямых
Расстояние от точки до прямой
Взаимное расположение двух прямых па плоскости Примеры решения геометрических задач методом координат
Линии второго порядка
Эллипс
Гипербола
Директрисы эллипса и гиперболы
Парабола
Основные формулы и факты аналитической геометрии
на плоскости
Теория пределов
Числовые последовательности
Числовые последовательности и арифметические действия над ними. Прогрессии
Ограниченные последовательности Бесконечно большие и бесконечно малые последовательности
Основные свойства бесконечно малых последовательностей (ИЗ).
Сходящиеся последовательности
Понятие сходящейся последовательности
Основные свойства сходящихся последовательностей Предельный переход в неравенствах Монотонные последовательности
Предел последовательности.
Числовые последовательности.
Сходящиеся последовательности.
Монотонные последовательности.
Теорема о вложенных отрезках.
Функции одной переменной.
Понятие функции. Предел функции.
Теоремы о пределах функций.
Два замечательных предела.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции.
Сравнение бесконечно малых н бесконечно больших функций.
Понятие непрерывности функций.
Непрерывность некоторых элементарных функций.
Классификация точек разрыва функции.
Основные свойства непрерывных функций.
Понятие сложной функции.
Понятие обратной функции.
Дифференцирование.
Понятие производной.
Понятие дифференцируемости функции.
Понятие дифференциала.
Правила дифференцирования суммы, разности, произведения и частного.
Вычисление производных постоянной, степенной, тригонометрических функций и логарифмической функции.
Теорема о производной обратной функции.
Вычисление производных показательной функции и обратных тригонометрических функций.
Правило дифференцирования сложной функции.
Логарифмическая производная. Производная степенной функции с любым вещественным показателем. Таблица производных простейших элементарных функций.
Производные и дифференциалы высших порядков.
Параметрическое задание функции и ее дифференцирование.
Применение дифференциального исчисления к исследованию функций.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Раскрытие неопределенностей. Правило Лопиталя.
Формула Тейлора.
Исследование поведения функций и построение графиков.
Интерполяция функций.
Методы приближенного вычисления корней уравнений.
Неопределенный интеграл.
Первообразная и неопределенный интеграл.
Основные свойства неопределенного интеграла.
Таблица основных интегралов.
Основные методы интегрирования.
Интегрирование рациональных функций.
Интегрирование иррациональных и трансцендентных функций.
Определенный интеграл.
Определение определенного интеграла.
Условия существования определенного интеграла.
Интегрируемость непрерывных и некоторых разрывных функций.
Основные свойства определенного интеграла.
Оценки интегралов. Формула среднего значения.
Интеграл с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона—Лейбница.
Замена переменной в определенном интеграле.
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле.
Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла.
Несобственные интегралы.
Приближенное вычисление определенных интегралов.
Математический анализ функций нескольких переменных.
Аналитическая геометрия в пространстве.
Прямоугольная система координат в пространстве.
Понятие вектора.
Линейные операции над векторами и их основные свойства.
Теоремы о проекциях векторов.
Разложение вектора по базису.
Скалярное произведение векторов.
Векторное произведение.
Смешанное произведение трех векторов.
Уравнения поверхности и линии.
Уравнение цилиндрической поверхности.
Уравнения плоскости.
Уравнение прямой.
Взаимное расположение прямой и плоскости.
Поверхности второго порядка.
Элементы высшей алгебры.
Матрицы.
Определители.
Исследование системы трех уравнений первой степени с тремя неизвестными.
Матричная запись системы линейных уравнений. Понятие обратной матрицы.
Предел и непрерывность функций нескольких переменных.
Понятие функции нескольких переменных.
Геометрическое изображение функции двух переменных.
Предел функции двух переменных.
Непрерывность функции двух переменных.
Частные производные и дифференцируемость функций нескольких переменных.
Частные производные.
Понятие дифференцируемости функции.
Производные сложных функций.
Дифференциал функции.
Производная по направлению. Градиент.
Частные производные и дифференциалы высших порядков.
Формула Тейлора для функции двух переменных.
Экстремумы функции двух переменных.
Метод наименьших квадратов.
Интегрирование.
Двойные интегралы.
Сведение двойного интеграла к повторному.
Замена переменных в двойном интеграле.
Некоторые геометрические и физические приложения двойных интегралов.
Криволинейные интегралы.
Формула Грина.
Условия независимости криволинейного интеграла от пути интегрирования.
Интегрирование полных дифференциалов.
Некоторые приложения криволинейных интегралов второго рода.
Тройные интегралы.
Поверхностные интегралы.
Формула Остроградского.
Формула Стокса.
Скалярное и векторное поля.
Ряды, дифференциальные уравнения.
Ряды.
Понятие числового ряда.
Ряды с неотрицательными членами. Знакочередующиеся ряды.
Абсолютная и условная сходимость рядов.
Степенные ряды.
Комплексные ряды.
Ряды Фурье.
Обыкновенные дифференциальные уравнения.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. ДУ 2-го порядка.
Линейные ДУ 2-го порядка.
Линейные ДУ 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Применение линейных ДУ к изучению колебательных явлений.
Интегральное исчисление
Первообразная и неопределенный интеграл
Понятие первообразной функции
Неопределенный интеграл
Основные свойства неопределенного интеграла
Таблица основных интегралов
Основные методы интегрирования
Непосредственное интегрирование
Метод подстановки
Метод интегрирования по частям
Интегрирование рациональных функций
Определенный интеграл
Понятие определенного интеграла
Основные свойства определенного интеграла
Оценки интегралов. Формула среднего значения
Условия существования определенного интеграла
Определенный интеграл с переменным верхним пределом
Формула Ньютона - Лейбница
Замена переменной в определенном интеграле
Формула интегрирования по частям в определенном интеграле
Некоторые физические и геометрические приложения определенного интеграла
Площадь криволинейной трапеции
Площадь криволинейного сектора
Длина дуги кривой
Площадь поверхности вращения
Объем тела
Центр тяжести кривой и криволинейной трапеции
Работа переменной силы Ответы, решения, указания к контрольным задачам
Предметный указатель