Экзамен. — БГУИР, Беларусь, Пастушенко В.А., 2012.
1 семестр, 46 вопросов.
Матрицы, определение, операции над матрицами.
Определители, вычисление определителей, Теорема Лапласа.
Свойства определителей.
Обратная матрица. Условие наличие у матрицы обратной.
Ранг матрицы. Определения, свойства. Теорема об элементарных преобразованиях матрицы.
Линейная зависимость и независимость строк матрицы.
Система линейных уравнений. Основные определения.
Матричное решение линейной системы. Формулы Крамера.
Совместимость системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Ранг системы линейных уравнений. Базисные и свободные неизвестные. Решение системы линейных уравнений.
Однородные системы линейных уравнений. Необходимое и достаточное условие наличия ненулевого решения.
Свойства решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о линейной независимости решений.
Фундаментальная система решений однородной системы. Структура общего решения.
Неоднородная система линейных уравнений. Структура общего решения.
Векторы. Операции над векторами. Базисные векторы, декартова система координат.
Скалярное произведение, определение свойства.
Скалярное произведение в декартовой прямоугольной системе координат. Длина вектора, угол между векторами.
Векторное произведение. Определение, свойства, вычисления.
Смешанное произведение. Определение, вычисление, условия компланарности трех векторов.
Прямая на плоскости. Основные уравнения, угол между прямыми.
Плоскость. Общее уравнение, уравнение плоскости, проходящей через три точки
Линейное пространство. Определение. Арифметическое пространство.
Линейная зависимость и независимость векторов в линейном пространстве. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в линейном пространстве. Матрица системы векторов.
Евклидово пространство. Основные аксиомы. Норма вектора.
Линейные операторы. Определение, свойства, матрица линейного оператора.
Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Определение, характеристическое уравнение, свойства собственных векторов.
Числовые последовательности. Определение, предел, свойства сходящихся числовых последовательностей
Функция. Предел функции. Теоремы о пределах функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определения. Сравнение бесконечно малых функций.
Непрерывность функции. Определения. Свойства непрерывных функций.
Точки разрыва функции, их классификация.
Свойства функций непрерывных на отрезке
Производная. Определение. Условие существования конечной производной. Правила дифференцирования. Геометрический смысл производной.
Дифференцируемость функции. Определение, условие дифференцируемости функции.
Дифференциал функции.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Правило Лопиталя
Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Асимптоты графика функции, их построение.
Первообразная, неопределенный интеграл, свойства.
Определенный интеграл. Определение через предел интегральной суммы, геометрический смысл определенного интеграла, его свойства.
Класс интегрируемых функций. Основные теоремы.
Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы второго рода.
Приложение определенного интеграла: площадь плоских фигур, длина дуги кривой.
Определители, вычисление определителей, Теорема Лапласа.
Свойства определителей.
Обратная матрица. Условие наличие у матрицы обратной.
Ранг матрицы. Определения, свойства. Теорема об элементарных преобразованиях матрицы.
Линейная зависимость и независимость строк матрицы.
Система линейных уравнений. Основные определения.
Матричное решение линейной системы. Формулы Крамера.
Совместимость системы линейных уравнений. Теорема Кронекера-Капелли.
Ранг системы линейных уравнений. Базисные и свободные неизвестные. Решение системы линейных уравнений.
Однородные системы линейных уравнений. Необходимое и достаточное условие наличия ненулевого решения.
Свойства решений однородной системы линейных уравнений. Теорема о линейной независимости решений.
Фундаментальная система решений однородной системы. Структура общего решения.
Неоднородная система линейных уравнений. Структура общего решения.
Векторы. Операции над векторами. Базисные векторы, декартова система координат.
Скалярное произведение, определение свойства.
Скалярное произведение в декартовой прямоугольной системе координат. Длина вектора, угол между векторами.
Векторное произведение. Определение, свойства, вычисления.
Смешанное произведение. Определение, вычисление, условия компланарности трех векторов.
Прямая на плоскости. Основные уравнения, угол между прямыми.
Плоскость. Общее уравнение, уравнение плоскости, проходящей через три точки
Линейное пространство. Определение. Арифметическое пространство.
Линейная зависимость и независимость векторов в линейном пространстве. Базис и размерность линейного пространства. Координаты вектора в линейном пространстве. Матрица системы векторов.
Евклидово пространство. Основные аксиомы. Норма вектора.
Линейные операторы. Определение, свойства, матрица линейного оператора.
Собственные векторы и собственные значения линейных операторов. Определение, характеристическое уравнение, свойства собственных векторов.
Числовые последовательности. Определение, предел, свойства сходящихся числовых последовательностей
Функция. Предел функции. Теоремы о пределах функции.
Бесконечно малые и бесконечно большие функции. Определения. Сравнение бесконечно малых функций.
Непрерывность функции. Определения. Свойства непрерывных функций.
Точки разрыва функции, их классификация.
Свойства функций непрерывных на отрезке
Производная. Определение. Условие существования конечной производной. Правила дифференцирования. Геометрический смысл производной.
Дифференцируемость функции. Определение, условие дифференцируемости функции.
Дифференциал функции.
Основные теоремы дифференциального исчисления.
Правило Лопиталя
Экстремумы функции. Необходимые и достаточные условия экстремума.
Асимптоты графика функции, их построение.
Первообразная, неопределенный интеграл, свойства.
Определенный интеграл. Определение через предел интегральной суммы, геометрический смысл определенного интеграла, его свойства.
Класс интегрируемых функций. Основные теоремы.
Интеграл как функция верхнего предела. Формула Ньютона-Лейбница.
Несобственные интегралы первого рода
Несобственные интегралы второго рода.
Приложение определенного интеграла: площадь плоских фигур, длина дуги кривой.