Экзамен. КГЭУ (Казанский Государственный Энергетический
Университет), 2 семестр. Преподаватель - Липачева Е.В., 2011.
Комплексные числа. Действия над комплексными числами в
алгебраической форме. Различные формы комплексных чисел.
Теорема об умножении и делении комплексных чисел в тригонометрической форме (с доказательством). Формула Муавра, формула Эйлера (с выводом).
Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Метод замены переменного в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
Интегрирование дробно-рациональных ф-ий. Простейшие дроби четырех типов, их интегрирование.
Интегрирование тригонометрических ф-ий универсальная подстановка.
интегрирование иррациональных ф-ий. Тригонометрические и гиперболические подстановки.
Подстановки Эйлера. Интегрирование дифференциального бинома.
Определенный интеграл. Теорема об ограниченности интегрируемой ф-ии (с доказательством).
Верхняя и нижняя суммы Дарбу. Теорема о существовании определенного интеграла (с доказательством).
Свойства неопределенного интеграла. Теорема о среднем (с доказательством).
Ф-ия верхнего предела, ее свойства (с доказательством).
Формула Ньютона-Лейбница (с выводом).
Замена переменного в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Приближенное вычисление определенных интегралов (ф-ла прямоугольников, ф-ла трапеций, ф-ла Симпсона).
Несобственные интегралы первого и второго рода, их св-ва.
Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов (с доказательством).
Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора (с доказательством).
Приложение определенного интеграла: вычисление длины дуги (с доказательством).
Приложения определенного интеграла: вычисление объема тела, объема тела вращения и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла (с доказательством).
Дифференцированные уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение бернулли.
Уравнение в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
Уравнение Клеро и Лагранжа.
Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений. Огибающая семейства кривых.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о линейной комбинации решений (с доказательством). Линейно независимые частные решения.
Теорема об определители Вронского (с доказательством). Фундаментальная система решений и общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения (с доказательством).
Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (с доказательством).
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 2-го и высших порядков.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 2-го и высших порядков.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод исключения.
Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений.
Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой, отклонение точки от прямой.
Взаимное расположение прямых на плоскости (условия параллельности, перпендикулярности, угол между прямыми).
Плоскость, различные виды уравнений плоскостей.
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости, отклонение точки от плоскости.
Взаимное расположение прямых и плоскостей (условия параллельности, перпендикулярности , угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью).
Эллипс, его определение , каноническое уравнение (с выводом).
Гипербола, ее определение, каноническое уравнение (с выводом).
Парабола, ее определение, каноническое уравнение.
Поверхности второго порядка, классификация, канонические уравнения.
Теорема об умножении и делении комплексных чисел в тригонометрической форме (с доказательством). Формула Муавра, формула Эйлера (с выводом).
Первообразная. Неопределенный интеграл. Свойства неопределенного интеграла.
Метод замены переменного в неопределенном интеграле. Формула интегрирования по частям.
Интегрирование дробно-рациональных ф-ий. Простейшие дроби четырех типов, их интегрирование.
Интегрирование тригонометрических ф-ий универсальная подстановка.
интегрирование иррациональных ф-ий. Тригонометрические и гиперболические подстановки.
Подстановки Эйлера. Интегрирование дифференциального бинома.
Определенный интеграл. Теорема об ограниченности интегрируемой ф-ии (с доказательством).
Верхняя и нижняя суммы Дарбу. Теорема о существовании определенного интеграла (с доказательством).
Свойства неопределенного интеграла. Теорема о среднем (с доказательством).
Ф-ия верхнего предела, ее свойства (с доказательством).
Формула Ньютона-Лейбница (с выводом).
Замена переменного в определенном интеграле. Формула интегрирования по частям для определенного интеграла.
Приближенное вычисление определенных интегралов (ф-ла прямоугольников, ф-ла трапеций, ф-ла Симпсона).
Несобственные интегралы первого и второго рода, их св-ва.
Признаки сравнения сходимости несобственных интегралов (с доказательством).
Приложения определенного интеграла: вычисление площади криволинейной трапеции и криволинейного сектора (с доказательством).
Приложение определенного интеграла: вычисление длины дуги (с доказательством).
Приложения определенного интеграла: вычисление объема тела, объема тела вращения и площади поверхности тела вращения с помощью определенного интеграла (с доказательством).
Дифференцированные уравнения. Общее и частное решение дифференциального уравнения. Задача Коши.
Дифференциальные уравнения с разделяющимися переменными. Однородные дифференциальные уравнения первого порядка.
Линейные дифференциальные уравнения первого порядка. Уравнение бернулли.
Уравнение в полных дифференциалах.
Дифференциальные уравнения первого порядка, не разрешенные относительно производной.
Уравнение Клеро и Лагранжа.
Особые точки и особые решения дифференциальных уравнений. Огибающая семейства кривых.
Дифференциальные уравнения высших порядков. Случаи понижения порядка.
Линейные однородные дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема о линейной комбинации решений (с доказательством). Линейно независимые частные решения.
Теорема об определители Вронского (с доказательством). Фундаментальная система решений и общее решение линейного однородного дифференциального уравнения.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения высших порядков. Теорема об общем решении линейного неоднородного дифференциального уравнения (с доказательством).
Метод вариации произвольных постоянных для нахождения частного решения линейного неоднородного дифференциального уравнения (с доказательством).
Линейные однородные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 2-го и высших порядков.
Неоднородные линейные дифференциальные уравнения с постоянными коэффициентами 2-го и высших порядков.
Системы обыкновенных дифференциальных уравнений. Метод исключения.
Системы линейных однородных дифференциальных уравнений с постоянными коэффициентами.
Прямая на плоскости, различные виды ее уравнений.
Нормальное уравнение прямой на плоскости. Расстояние от точки до прямой, отклонение точки от прямой.
Взаимное расположение прямых на плоскости (условия параллельности, перпендикулярности, угол между прямыми).
Плоскость, различные виды уравнений плоскостей.
Нормальное уравнение плоскости. Расстояние от точки до плоскости, отклонение точки от плоскости.
Взаимное расположение прямых и плоскостей (условия параллельности, перпендикулярности , угол между прямыми, плоскостями, прямой и плоскостью).
Эллипс, его определение , каноническое уравнение (с выводом).
Гипербола, ее определение, каноническое уравнение (с выводом).
Парабола, ее определение, каноническое уравнение.
Поверхности второго порядка, классификация, канонические уравнения.