Минск, БГЭУ.
Основные понятия:
Дифференциальное исчисление функции одной переменной: монотонность функции, точка минимума (максимума), локальный и глобальный экстремумы функции, выпуклость (вогнутость) графика функции, точка перегиба, асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные, горизонтальные).
Интегральное исчисление: первообразная, неопределённый интеграл, формулы замены переменной и интегрирования по частям; определённый интеграл и его геометрический смысл, интегрируемые функции, интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница, формулы замены переменной и интегрирования по частям в определённом интеграле, приложения определённого интеграла (площадь, длина дуги); несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
Функции нескольких переменных (ф.н.п.): функция 2-х и n переменных, окрестность точки, предел последовательности, предел ф.н.п. в точке, непрерывность ф.н.п. в точке и на множестве; частные производные ф.н.п.; полное приращение, дифференцируемость и полный дифференциал ф.н.п., необходимое условие дифференцируемости, применение полного дифференциала к приближённым вычислениям; локальный экстремум ф.н.п., необходимое условие экстремума, критическая точка, достаточные условия экстремума, условный и глобальный экстремумы ф.н.п.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (д.у.): д.у. n-го порядка; д.у. 1-го порядка, разрешён-ное относительно производной, решение, общее решение и общий интеграл д.у. 1-го порядка; д.у. с разделяющимися переменными, линейные д.у. 1-го порядка; линейные однородные д.у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами, линейные неоднородные д.у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Числовые и степенные ряды: числовой ряд, его сходимость и сумма, необходимое условие сходимости, признаки сходимости рядов с положительными членами (2 признака сравнения, признак Даламбера, 2 признака Коши); знакопеременные и знакочередующиеся ряды, абсолютная и условная сходимость, признак Лейбница; степенной ряд, радиус и интервал сходимости, теорема Абеля; ряды Тейлора и Маклорена, разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды. Вопросы, требующие развёрнутого ответа:
Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
Правило Лопиталя.
Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
Локальные экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции.
Свойства неопределённого интеграла.
Таблица основных неопределённых интегралов.
Определённый интеграл и его геометрический смысл.
Свойства определённого интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
Длина дуги плоской кривой.
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
Понятие функции нескольких переменных. Примеры.
Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.
Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.
Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала к приближённым вычислениям. Примеры.
Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума.
Условный экстремум функции нескольких переменных.
Глобальный экстремум функции нескольких переменных.
Метод наименьших квадратов (для случая ).
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общий интеграл, общее и частное решение, задача Коши.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Примеры.
Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Примеры.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной.
Числовой ряд и его сумма. Свойства сходящихся рядов.
Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
Признаки сравнения сходимости рядов с положительными членами.
Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами.
Признаки Коши сходимости рядов с положительными членами.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
Понятие функционального ряда. Область сходимости.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.
Ряды Тейлора и Маклорена. Вопросы для доказательства:
Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
Вывод формулы для вычисления длины дуги плоской кривой.
Второе свойство интеграла с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница.
Расходимость гармонического ряда.
Признак сравнения сходимости рядов с положительными членами.
Предельный признак сравнения сходимости рядов с положительными членами.
Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами.
Признак Лейбница.
Теорема Абеля.
Дифференциальное исчисление функции одной переменной: монотонность функции, точка минимума (максимума), локальный и глобальный экстремумы функции, выпуклость (вогнутость) графика функции, точка перегиба, асимптоты графика функции (вертикальные, наклонные, горизонтальные).
Интегральное исчисление: первообразная, неопределённый интеграл, формулы замены переменной и интегрирования по частям; определённый интеграл и его геометрический смысл, интегрируемые функции, интеграл с переменным верхним пределом, формула Ньютона-Лейбница, формулы замены переменной и интегрирования по частям в определённом интеграле, приложения определённого интеграла (площадь, длина дуги); несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
Функции нескольких переменных (ф.н.п.): функция 2-х и n переменных, окрестность точки, предел последовательности, предел ф.н.п. в точке, непрерывность ф.н.п. в точке и на множестве; частные производные ф.н.п.; полное приращение, дифференцируемость и полный дифференциал ф.н.п., необходимое условие дифференцируемости, применение полного дифференциала к приближённым вычислениям; локальный экстремум ф.н.п., необходимое условие экстремума, критическая точка, достаточные условия экстремума, условный и глобальный экстремумы ф.н.п.
Обыкновенные дифференциальные уравнения (д.у.): д.у. n-го порядка; д.у. 1-го порядка, разрешён-ное относительно производной, решение, общее решение и общий интеграл д.у. 1-го порядка; д.у. с разделяющимися переменными, линейные д.у. 1-го порядка; линейные однородные д.у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами, линейные неоднородные д.у. 2-го порядка с постоянными коэффициентами.
Числовые и степенные ряды: числовой ряд, его сходимость и сумма, необходимое условие сходимости, признаки сходимости рядов с положительными членами (2 признака сравнения, признак Даламбера, 2 признака Коши); знакопеременные и знакочередующиеся ряды, абсолютная и условная сходимость, признак Лейбница; степенной ряд, радиус и интервал сходимости, теорема Абеля; ряды Тейлора и Маклорена, разложения некоторых элементарных функций в степенные ряды. Вопросы, требующие развёрнутого ответа:
Основные теоремы о дифференцируемых функциях.
Правило Лопиталя.
Монотонность функции. Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
Локальные экстремумы функции. Необходимое условие экстремума. Достаточное условие экстремума.
Наибольшее и наименьшее значения функции на отрезке.
Выпуклость, вогнутость и точки перегиба графика функции.
Асимптоты графика функции.
Свойства неопределённого интеграла.
Таблица основных неопределённых интегралов.
Определённый интеграл и его геометрический смысл.
Свойства определённого интеграла.
Интеграл с переменным верхним пределом и его свойства. Формула Ньютона-Лейбница.
Длина дуги плоской кривой.
Несобственные интегралы 1-го и 2-го рода.
Понятие функции нескольких переменных. Примеры.
Предел функции нескольких переменных в точке и его свойства.
Непрерывность функции нескольких переменных. Свойства непрерывных функций.
Дифференцируемость функции нескольких переменных. Необходимое условие дифференцируемости.
Полный дифференциал функции нескольких переменных. Применение дифференциала к приближённым вычислениям. Примеры.
Локальный экстремум функции нескольких переменных. Необходимое и достаточное условия экстремума.
Условный экстремум функции нескольких переменных.
Глобальный экстремум функции нескольких переменных.
Метод наименьших квадратов (для случая ).
Задачи, приводящие к дифференциальным уравнениям.
Дифференциальные уравнения 1-го порядка. Общий интеграл, общее и частное решение, задача Коши.
Линейные дифференциальные уравнения 1-го порядка. Примеры.
Линейные однородные дифференциальные уравнения 2-го порядка с постоянными коэффициентами. Примеры.
Линейные неоднородные дифференциальные уравнения. Метод вариации произвольной постоянной.
Числовой ряд и его сумма. Свойства сходящихся рядов.
Необходимое условие сходимости числового ряда. Гармонический ряд.
Признаки сравнения сходимости рядов с положительными членами.
Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами.
Признаки Коши сходимости рядов с положительными членами.
Знакопеременные и знакочередующиеся ряды. Признак Лейбница.
Свойства абсолютно и условно сходящихся рядов.
Понятие функционального ряда. Область сходимости.
Степенные ряды. Теорема Абеля. Свойства степенных рядов.
Ряды Тейлора и Маклорена. Вопросы для доказательства:
Достаточное условие возрастания (убывания) функции.
Вывод формулы для вычисления длины дуги плоской кривой.
Второе свойство интеграла с переменным верхним пределом.
Формула Ньютона-Лейбница.
Расходимость гармонического ряда.
Признак сравнения сходимости рядов с положительными членами.
Предельный признак сравнения сходимости рядов с положительными членами.
Признак Даламбера сходимости рядов с положительными членами.
Признак Лейбница.
Теорема Абеля.