Пер. с англ. — М.: Мир, 1986. — 448 с.: ил.
Монография известного немецкого математика, отражающая современное
состояние теории пространств дифференцируемых функций многих
переменных. В ней собран, переработан и изложен с единой точки
зрения большой материал по теории конкретных функциональных
пространств, играющих важную роль в анализе и его приложениях.
Для математиков различных специальностей, аспирантов и студентов университетов. Функциональные пространства и эллиптические дифференциальные уравнения Пространства целых аналитических функций
Предварительные сведения
Распределения
Пространства Lp и квазибанаховы пространства
Максимальные неравенства
Допустимые борелевы меры
Неравенства типа Планшереля—Пойа—Никольского
Максимальное неравенство
Неравенства для меры Лебега
Неравенства для атомических мер
Неравенства для допустимых борелевых мер
Одна формула представления
Lp-пространства аналитических функций
Определение и основные неравенства
Основные свойства
Дальнейшие свойства
Мультипликаторы Фурье для пространств Lp
Определение и признак
Теорема о мультипликаторах
Свёрточные алгебры
Дальнейшие утверждения о мультипликаторах
Пространства Lp(lq) аналитических функций
Определение и основные свойства
Максимальные неравенства
Теорема о мультипликаторах
Дальнейшие утверждения о мультипликаторах Функциональные пространства
История вопроса, мотивировки и принципы
Некоторые исторические замечания о функциональных пространствах
Конструктивные пространства
Наш критерий
Метод декомпозиции. Наш принцип
Аппроксимацнонные подходы
Определение и фундаментальные свойства
Определение
Эквивалентные квазинормы и простейшие вложения
Основные свойства
Замечания для ориентировки читателя и некоторые исторические замечания
Максимальные неравенства
Теорема о мультипликаторах Фурье
Свойство лифтинга и связанные с ним эквивалентные квазинормы
Различие пространств Bsp,q(Rn) и Bsp,q(Rn)
Предварительные сведения
Вещественная интерполяция для пространств Bsp,q(Rn) и Fsp,q(Rn) при фиксированном р
Вещественная интерполяция пространств Bsp,p(Rn)
Комплексная интерполяция: определения
Комплексная интерполяция: свойства
Некоторые вспомогательные результаты
Комплексная интерполяция для пространств Bsp,q(Rn) и Fsp,q(Rn)
Мультипликаторы Фурье для пространств Fsp,q(Rn)
Комплексная интерполяция и мультипликаторы Фурье
Эквивалентные квазинормы и представления
Ориентировочные соображения
Представления по Никольскому
Характеризация посредством приближений
Представления по Лизоркину
Дискретные представления и базисы Шаудера для пространств Bsp,q(Rn)
Пространства бесселевых потенциалов Hsp(Rn) и пространства Соболева Wmp(Rn)
Пространства Бесова и пространства Зигмунда
Локальные пространства Харди hр(Rn) пространство bmo(Rn)
Характеризация с помощью максимальных функций от разностей
Характеризация пространств Fsp,q(Rn) посредством разностей
Характеризация пространств Fsp,q(Rn) с помощью шаровых средних от разностей
Характеризация пространств Bsp,q(Rn) посредством разностей
Теоремы типа Фубини
Характеризация пространств Bsp,q(Rn) с помощью переменных разностей
Характеризация пространств Fsp,q(Rn) посредством неаналитических сверток
Характеризация пространств Bsp,q(Rn) посредством неаналитических сверток
Характеризация пространств посредством неаналитических сверток: примеры и задачи
Мультипликаторы Фурье
Определение и предварительное обсуждение вопроса
Классы Mp и MHp
Свойства классов Mр
Свойства классов MHр
Сверточные алгебры
Теоремы вложения
Теоремы вложения для различных метрик
Следы
Поточечные мультипликаторы
Определения и предварительное обсуждение вопроса
Общие мультипликаторы
Мультипликативные алгебры
Специальные мультипликаторы для Bsp,q(Rn)
Два предложения
Характеристические функции как мультипликаторы
Еще о мультипликаторах
Продолжения
Пространства Bsp,q(R+n) и Fsp,q(R+n)
Случай min(p,q)>1
Случай 0< p≤q<∞ и n=1
Теорема о продолжении
Случай q< p
Диффеоморфизмы
Предварительные соображения
Основная теорема
Сопряженные пространства
Предварительное обсуждение вопроса
Случай 1≤p< ∞
Случай 0< p< 1
Дальнейшие свойства
Характеризация пространств Fsp,q(Rn) c помощью функций Лузина и Литтлвуда—Пэли
Характеризация с помощью полугрупп Гаусса—Вейерштрасса и Коши—Пуассона
Характеризация посредством сплайнфункций
Нелинейные отображения Функциональные пространства на областях
Предварительные сведения, мотивировки, методы
Мотивировки
Задача внутреннего описания
Метод локализации
Определения и простейшие свойства
С∞-области
Определения
Квазибанаховы пространства
Элементарные вложения
Основные свойства
Вложения
Поточечные мультипликаторы
Оглавление
Следы
Эквивалентные квазинормы
Интерполяция
Некоторые дальнейшие свойства
Специальное мультипликативное свойство
Внутренние описания, эквивалентные квазинормы Регулярные эллиптические дифференциальные уравнения
Определения и предварительные сведения
Основные свойства эллиптических операторов
Основные свойства регулярных эллиптических систем
Априорные оценки
Введение. Пространства Fs,rp,q(R+n)
Априорные оценки Часть I: R+n, постоянные коэффициенты, задача Дирихле
Априорные оценки Часть II: R+n, постоянные коэффициенты, общая краевая задача
Априорные оценки Часть III: ограниченная область, переменные коэффициенты, общая краевая задача
Краевые задачи
Введение и предположения
Начальная теорема
Главная теорема
Краевые задачи в пространствах Зигмунда Однородные функциональные пространства
Определения и основные свойства
Введение к части II
Пространства Z(Rn) и Z' (Rn)
Определения
Пространства Fs∞,q(Rn)
Основные свойства
Некоторые дальнейшие свойства
Максимальные неравенства
Мультипликаторы Фурье
Эквивалентные нормы
Пространства Харди Hp(Rn), пространства BMO(Rn)
Разные другие свойства Ультрараспределения и весовые пространства целых аналитических функций
Ультрараспределения
Определения
Основные свойства
Теоремы Пэли—Винера—Шварца для ультрараспределений
Неравенства типа Планщереля—Пойа—Никольского
Допустимые весовые функции
Некоторые неравенства
Основное неравенство
Lp-пространства аналитических функций
Определение и основные неравенства
Основные свойства Весовые функциональные пространства на Rn
Максимальные неравенства, мультипликаторы Фурье и теоремы Литтлвуда—Пэли
Пространства LΩp(Rn,ρ(x),lq)
Пространства Lp(Rn,ρ(x),lq)
Пространства Lp(Rn,ρ(x))
Весовые пространства типа Bsp,q(Rn) и Fsp,q(Rn)
Определения
Основные свойства
Весовые пространства Соболева
Характеризация с помощью аппроксимации Весовые функциональные пространства на областях и вырождающиеся эллиптические дифференциальные уравнения
Весовые функциональные пространства на областях
Введение и определения
Основные свойства
Внутренние описания
Вырождающиеся эллиптические дифференциальные уравнения
Определение и априорная оценка
Теорема об изоморфизме Пространства периодических функций
Введение и определения
Введение
Периодические распределения на Rn
Функциональные пространства на Tn
Пространства периодических функций на Rn
Свойства
Главная теорема
Мультипликаторы Фурье и максимальные неравенства
Периодические пространства Соболева
Проблема сильной суммируемости Дальнейшие типы функциональных пространств
Анизотропные функциональные пространства
Некоторые обобщения
Абстрактные пространства и пространства, связанные с ортогональными разложениями Добавление. П.И.Лизоркин. Пространства обобщенной гладкости. Пространства обобщенной гладкости на R
Определения и обозначения
Оглавление
Теорема о стандартизации
Представления с помощью рассечений и аппроксимационное описание
Описания с помощью производных
Характеризация в терминах исходных переменных
Теоремы вложения разных метрик для пространств типа B
Вложение пространств типа В и в пространства Лоренца и Орлича
Стеды на Rm и вложение в C(Rn)
Условия мультипликативности и оценки ёмкости множеств
Оператор умножения на характеристическую функцию
Метод покрытий и обобщенные пространства Никольского—Бесова
Пространства обобщенной гладкости на областях
Определения и обозначения
Представления с помощью разложений по гладким функциям
Продолжение на Rn с сохранением класса
Дальнейшие свойства
Для математиков различных специальностей, аспирантов и студентов университетов. Функциональные пространства и эллиптические дифференциальные уравнения Пространства целых аналитических функций
Предварительные сведения
Распределения
Пространства Lp и квазибанаховы пространства
Максимальные неравенства
Допустимые борелевы меры
Неравенства типа Планшереля—Пойа—Никольского
Максимальное неравенство
Неравенства для меры Лебега
Неравенства для атомических мер
Неравенства для допустимых борелевых мер
Одна формула представления
Lp-пространства аналитических функций
Определение и основные неравенства
Основные свойства
Дальнейшие свойства
Мультипликаторы Фурье для пространств Lp
Определение и признак
Теорема о мультипликаторах
Свёрточные алгебры
Дальнейшие утверждения о мультипликаторах
Пространства Lp(lq) аналитических функций
Определение и основные свойства
Максимальные неравенства
Теорема о мультипликаторах
Дальнейшие утверждения о мультипликаторах Функциональные пространства
История вопроса, мотивировки и принципы
Некоторые исторические замечания о функциональных пространствах
Конструктивные пространства
Наш критерий
Метод декомпозиции. Наш принцип
Аппроксимацнонные подходы
Определение и фундаментальные свойства
Определение
Эквивалентные квазинормы и простейшие вложения
Основные свойства
Замечания для ориентировки читателя и некоторые исторические замечания
Максимальные неравенства
Теорема о мультипликаторах Фурье
Свойство лифтинга и связанные с ним эквивалентные квазинормы
Различие пространств Bsp,q(Rn) и Bsp,q(Rn)
Предварительные сведения
Вещественная интерполяция для пространств Bsp,q(Rn) и Fsp,q(Rn) при фиксированном р
Вещественная интерполяция пространств Bsp,p(Rn)
Комплексная интерполяция: определения
Комплексная интерполяция: свойства
Некоторые вспомогательные результаты
Комплексная интерполяция для пространств Bsp,q(Rn) и Fsp,q(Rn)
Мультипликаторы Фурье для пространств Fsp,q(Rn)
Комплексная интерполяция и мультипликаторы Фурье
Эквивалентные квазинормы и представления
Ориентировочные соображения
Представления по Никольскому
Характеризация посредством приближений
Представления по Лизоркину
Дискретные представления и базисы Шаудера для пространств Bsp,q(Rn)
Пространства бесселевых потенциалов Hsp(Rn) и пространства Соболева Wmp(Rn)
Пространства Бесова и пространства Зигмунда
Локальные пространства Харди hр(Rn) пространство bmo(Rn)
Характеризация с помощью максимальных функций от разностей
Характеризация пространств Fsp,q(Rn) посредством разностей
Характеризация пространств Fsp,q(Rn) с помощью шаровых средних от разностей
Характеризация пространств Bsp,q(Rn) посредством разностей
Теоремы типа Фубини
Характеризация пространств Bsp,q(Rn) с помощью переменных разностей
Характеризация пространств Fsp,q(Rn) посредством неаналитических сверток
Характеризация пространств Bsp,q(Rn) посредством неаналитических сверток
Характеризация пространств посредством неаналитических сверток: примеры и задачи
Мультипликаторы Фурье
Определение и предварительное обсуждение вопроса
Классы Mp и MHp
Свойства классов Mр
Свойства классов MHр
Сверточные алгебры
Теоремы вложения
Теоремы вложения для различных метрик
Следы
Поточечные мультипликаторы
Определения и предварительное обсуждение вопроса
Общие мультипликаторы
Мультипликативные алгебры
Специальные мультипликаторы для Bsp,q(Rn)
Два предложения
Характеристические функции как мультипликаторы
Еще о мультипликаторах
Продолжения
Пространства Bsp,q(R+n) и Fsp,q(R+n)
Случай min(p,q)>1
Случай 0< p≤q<∞ и n=1
Теорема о продолжении
Случай q< p
Диффеоморфизмы
Предварительные соображения
Основная теорема
Сопряженные пространства
Предварительное обсуждение вопроса
Случай 1≤p< ∞
Случай 0< p< 1
Дальнейшие свойства
Характеризация пространств Fsp,q(Rn) c помощью функций Лузина и Литтлвуда—Пэли
Характеризация с помощью полугрупп Гаусса—Вейерштрасса и Коши—Пуассона
Характеризация посредством сплайнфункций
Нелинейные отображения Функциональные пространства на областях
Предварительные сведения, мотивировки, методы
Мотивировки
Задача внутреннего описания
Метод локализации
Определения и простейшие свойства
С∞-области
Определения
Квазибанаховы пространства
Элементарные вложения
Основные свойства
Вложения
Поточечные мультипликаторы
Оглавление
Следы
Эквивалентные квазинормы
Интерполяция
Некоторые дальнейшие свойства
Специальное мультипликативное свойство
Внутренние описания, эквивалентные квазинормы Регулярные эллиптические дифференциальные уравнения
Определения и предварительные сведения
Основные свойства эллиптических операторов
Основные свойства регулярных эллиптических систем
Априорные оценки
Введение. Пространства Fs,rp,q(R+n)
Априорные оценки Часть I: R+n, постоянные коэффициенты, задача Дирихле
Априорные оценки Часть II: R+n, постоянные коэффициенты, общая краевая задача
Априорные оценки Часть III: ограниченная область, переменные коэффициенты, общая краевая задача
Краевые задачи
Введение и предположения
Начальная теорема
Главная теорема
Краевые задачи в пространствах Зигмунда Однородные функциональные пространства
Определения и основные свойства
Введение к части II
Пространства Z(Rn) и Z' (Rn)
Определения
Пространства Fs∞,q(Rn)
Основные свойства
Некоторые дальнейшие свойства
Максимальные неравенства
Мультипликаторы Фурье
Эквивалентные нормы
Пространства Харди Hp(Rn), пространства BMO(Rn)
Разные другие свойства Ультрараспределения и весовые пространства целых аналитических функций
Ультрараспределения
Определения
Основные свойства
Теоремы Пэли—Винера—Шварца для ультрараспределений
Неравенства типа Планщереля—Пойа—Никольского
Допустимые весовые функции
Некоторые неравенства
Основное неравенство
Lp-пространства аналитических функций
Определение и основные неравенства
Основные свойства Весовые функциональные пространства на Rn
Максимальные неравенства, мультипликаторы Фурье и теоремы Литтлвуда—Пэли
Пространства LΩp(Rn,ρ(x),lq)
Пространства Lp(Rn,ρ(x),lq)
Пространства Lp(Rn,ρ(x))
Весовые пространства типа Bsp,q(Rn) и Fsp,q(Rn)
Определения
Основные свойства
Весовые пространства Соболева
Характеризация с помощью аппроксимации Весовые функциональные пространства на областях и вырождающиеся эллиптические дифференциальные уравнения
Весовые функциональные пространства на областях
Введение и определения
Основные свойства
Внутренние описания
Вырождающиеся эллиптические дифференциальные уравнения
Определение и априорная оценка
Теорема об изоморфизме Пространства периодических функций
Введение и определения
Введение
Периодические распределения на Rn
Функциональные пространства на Tn
Пространства периодических функций на Rn
Свойства
Главная теорема
Мультипликаторы Фурье и максимальные неравенства
Периодические пространства Соболева
Проблема сильной суммируемости Дальнейшие типы функциональных пространств
Анизотропные функциональные пространства
Некоторые обобщения
Абстрактные пространства и пространства, связанные с ортогональными разложениями Добавление. П.И.Лизоркин. Пространства обобщенной гладкости. Пространства обобщенной гладкости на R
Определения и обозначения
Оглавление
Теорема о стандартизации
Представления с помощью рассечений и аппроксимационное описание
Описания с помощью производных
Характеризация в терминах исходных переменных
Теоремы вложения разных метрик для пространств типа B
Вложение пространств типа В и в пространства Лоренца и Орлича
Стеды на Rm и вложение в C(Rn)
Условия мультипликативности и оценки ёмкости множеств
Оператор умножения на характеристическую функцию
Метод покрытий и обобщенные пространства Никольского—Бесова
Пространства обобщенной гладкости на областях
Определения и обозначения
Представления с помощью разложений по гладким функциям
Продолжение на Rn с сохранением класса
Дальнейшие свойства