Москва, Издательство иностранной литературы, 1960. - 534 с.
Перевод с английского И. А. Вайнштейна. Под редакцией В. Г. Болтянского.
В книге излагается геометрическая теория интегрирования по ориентированным многообра-.
зиям в многомерных пространствах. Автор стремится прояснить лежащие в основе этой теории геометрические и аналитические факты и дать полные и ясные доказательства основных теорем. Книга рассчитана на математиков — специалистов по функциональному анализу, топологии и др.; может служить также ценным пособием для студентов старших курсов и аспирантов-математиков, специализирующихся в соответствующих областях. .
Редакция литературы по математическим наукам.
Оглавление.
Предисловие.
Введение.
Общая задача интегрирования.
Интеграл как функция области.
Полиэдральные цепи.
Две гипотезы непрерывности.
Еще одна гипотеза непрерывности.
Несколько примеров.
Случай r = n.
г-вектор r-мерной ориентированной клетки.
О r-векторах и границах (г + 1)-мерных клеток.
Грассмановская алгебра.
Дуальная алгебра.
Интегрирование дифференциальных форм.
Некоторые классические вопросы.
Грассмановская алгебра в метрическом n-мерном ориентированном пространстве.
То же самое, n = 3.
Дифференциал отображения.
Якобианы.
Преобразование интеграла.
Гладкие многообразия.
Частные виды интегралов в трехмерном пространстве.
Теорема Стокса.
Внешний дифференциал.
Некоторые специальные формулы в метрическом ориентированном пространстве.
Теорема существования.
Теорема де Рама.
Набросок общей теории.
Нормированные пространства цепей и коцепей.
Непрерывные цепи.
О нульмерном интегрировании.
Часть первая - Классическая теория.
Грассмановская алгебра.
Поливекторы.
Поликовекторы.
Свойства пространств.
Альтернирующие r-линейные функции.
Применение систем координат.
Внешние произведения.
Внутренние произведения.
n-векторы в n-мерном пространстве.
Простые поливекторы.
Линейные отображения векторных пространств.
Двойственность.
Евклидовы векторные пространства.
Масса и комасса.
Масса и комасса произведений.
О проекциях.
Дифференциальные формы.
Дифференциал гладкого отображения.
Некоторые свойства дифференциалов.
Дифференциальные формы.
Гладкие отображения.
Применение систем координат.
Якобианы.
Теоремы об обратной и о неявной функциях.
Внешний дифференциал.
Представление векторов и ковекторов.
Гладкие многообразия.
Касательное пространство гладкого многообразия.
Дифференциальные формы на гладких многообразиях.
Характеризация внешнего дифференциала.
Риманова теория интегрирования.
r-вектор ориентированного r-мерного симплекса.
r-вектор г-мерной цепи.
Интегрирование по клеточным цепям.
Некоторые свойства интегралов.
Связь с интегралом Римана.
Интегрирование по открытым множествам.
Формула преобразования.
Доказательство формулы преобразования.
Преобразование интеграла Римана.
Интегрирование на многообразиях.
Теорема Стокса для параллелепипеда.
Частный случай теоремы Стокса.
Множества нулевой s-протяженности.
Теорема Стокса для стандартных областей.
Доказательство теоремы.
Регулярные формы в евклидовом пространстве.
Регулярные формы на гладких многообразиях.
Теорема Стокса для стандартных многообразий.
Повторный интеграл в евклидовом пространстве.
Гладкие многообразия.
Многообразия в евклидовом пространстве.
Теорема о вложении.
Компактный случай.
Разделение подмножеств пространства Е.
Регулярная аппроксимация.
Доказательство теоремы 1 А, М компактно.
Допустимые системы координат в М.
Доказательство теоремы 1 А, М не компактно.
Локальные свойства многообразия М в пространстве Е.
О л-направлениях в Е.
Окрестность многообразия М в пространстве Е.
Проекция вдоль плоскости.
Триангуляция многообразий.
Теорема о триангуляции.
Набросок доказательства.
Полнота.
Линейные комбинации векторов-ребер симплексов.
Величины, используемые в доказательстве.
Комплекс L.
Комплекс L*.
Пересечения многообразия М с Z*.
Комплекс К.
Вложение симплексов в М.
Комплексы КР.
Доказательство теоремы.
Когомологии в многообразиях.
м-регулярные формы.
Замкнутые формы в звездообразных множествах.
Продолжение форм.
Элементарные формы.
Некоторые замкнутые формы являются производными.
Изоморфизм колец когомологии.
Периоды форм.
Инвариант Хопфа.
О гладких отображениях многообразий.
Другие выражения для инварианта Хопфа.
Часть вторая - Общая теория.
Абстрактная теория интегрирования.
Полиэдральные цепи.
Масса полиэдральных цепей.
Бемольная норма.
Бемольные коцепи.
Примеры.
Диезная норма.
Диезные коцепи.
Характеризация норм.
Алгебраический критерий для поликовекторов.
Диезные г-формы.
Примеры.
Полунормы.
Слабая сходимость.
Некоторые связи между пространствами цепей и коцепей.
р-нормы.
Масса цепей.
Сепарабельность пространств цепей.
Несепарабельность пространств коцепей.
Некоторые связи между цепями и функциями.
Непрерывные цепи на действительной прямой.
Нульмерные цепи в Е, определяемые функциями ограниченной вариации.
Умножение нульмерных цепей на диезные функции.
Часть цепи конечной массы.
Функции ограниченной вариации в Е1, определяемые нульмерными цепями.
Некоторые теоремы анализа.
Непрерывные r-мерные цепи в Е.
О компактных коцепях.
Граница гладкой цепи.
Непрерывные цепи на гладких многообразиях.
Общие свойства цепей и коцепей.
Умножение цепей на диезные функции.
Умножение коцепей на диезные функции.
Носители цепей и коцепей.
О некомпактных цепях.
О полиэдральной аппроксимации.
n-вектор n-мерной цепи.
Диезные цепи в точке.
Множество молекулярных цепей всюду плотно.
Бемольные r-мерные цепи в E равны нулю.
Бемольные коцепи в комплексах.
Элементарные бемольные коцепи в комплексе.
Теорема об изоморфизме.
Цепи и коцепи в открытых множествах.
Цепи и коцепи в открытых множествах; элементарные свойства.
Цепи и коцепи в открытых множествах; дальнейшие свойства.
Свойства массы.
Об открытых множествах, которым принадлежит цепь.
Одно представление для бемольных цепей.
Одно представление для диезных цепей.
Часть третья - Лебеговская теория.
Бемольные коцепи и дифференциальные формы.
n-мерные коцепи в Е1.
Некоторые свойства полноты.
Свойства проекций.
Элементарные свойства функции Dx(p, a).
r-форма, определяемая r-мерной бемольной коцепью.
Бемольные n-формы.
Бемольные n-формы и бемольные r-мерные коцепи.
Бемольные функции r-направления.
Бемольные формы, определяемые компонентами.
Аппроксимация ковектора DX (р).
Дифференцируемость липшицевских функций.
О внешнем дифференциале г-форм.
О средних г-форм.
Произведения коцепей.
Лебеговские цепи.
Произведения коцепей и цепей.
Произведения и слабые пределы.
Характеризация произведений.
Липшицевские отображения.
Аффинная аппроксимация липшицевских отображений.
Аппроксимация на ребрах симплекса.
Аппроксимация якобиана.
Объем и аффинная аппроксимация.
Лемма о непрерывности.
Липшицевские цепи.
Липшицевские отображения открытых множеств.
Липшицевские отображения и бемольные коцепи.
Липшицевские отображения и бемольные формы.
Липшицевские отображения и диезные функции.
Липшицевские отображения и произведения.
О бемольной норме липшицевских цепей.
Деформации цепей.
Цепи и аддитивные функции множества.
О конечномерных банаховых пространствах.
Аддитивные функции множества со значениями в векторном пространстве.
Интегралы со значениями в векторном пространстве.
Умножение функций множества на функции точки.
Связь между функцией множества и ее вариацией.
О положительных линейных функционалах.
Об ограниченных линейных функционалах.
Линейные функции диезной г-формы.
Диезная норма r-вектор-функций множества.
Молекулярные функции множества.
Диезные цепи и функции множества.
Умножение цепей на ограниченные борелевские функции.
Часть цепи в борелевском множестве.
Цепи и функции точки.
Характеризация диезной нормы.
Представление диезной нормы.
Другие представления диезной нормы.
ПРИЛОЖЕНИЯ.
Векторные и линейные пространства.
Векторные пространства.
Линейные отображения.
Сопряженные пространства.
Прямые суммы, дополнения.
Фактор-пространства.
Спаривание линейных пространств.
Абстрактные гомологии.
Нормированные линейные пространства.
Евклидовы линейные пространства.
Аффинные пространства.
Барицентрические координаты.
Аффинные отображения.
Евклидовы пространства.
Банаховы пространства.
Полусопряженные пространства.
Подготовительные сведения из геометрии и топологии.
Клетки, симплексы.
Полиэдры, комплексы.
Подразделения.
Стандартные подразделения.
Ориентация.
Цепи и коцепи.
Граница и кограница.
Гомологии и когомологии.
Произведения в комплексе.
Соединения.
Подразделения цепей.
Декартово произведение клеток.
Отображения комплексов.
Некоторые свойства плоскостей.
Отображения n-мерных псевдомногообразий в n-мерное пространство.
Смещение триангуляции пространства Е.
Подготовительные сведения из анализа.
Существование некоторых функций.
Разложения единицы.
Сглаживание функций посредством усреднения.
Теорема Вейерштрасса об аппроксимации.
Лебеговская теория.
Пространство L1.
Указатель символов.
Предметный указатель.
Перевод с английского И. А. Вайнштейна. Под редакцией В. Г. Болтянского.
В книге излагается геометрическая теория интегрирования по ориентированным многообра-.
зиям в многомерных пространствах. Автор стремится прояснить лежащие в основе этой теории геометрические и аналитические факты и дать полные и ясные доказательства основных теорем. Книга рассчитана на математиков — специалистов по функциональному анализу, топологии и др.; может служить также ценным пособием для студентов старших курсов и аспирантов-математиков, специализирующихся в соответствующих областях. .
Редакция литературы по математическим наукам.
Оглавление.
Предисловие.
Введение.
Общая задача интегрирования.
Интеграл как функция области.
Полиэдральные цепи.
Две гипотезы непрерывности.
Еще одна гипотеза непрерывности.
Несколько примеров.
Случай r = n.
г-вектор r-мерной ориентированной клетки.
О r-векторах и границах (г + 1)-мерных клеток.
Грассмановская алгебра.
Дуальная алгебра.
Интегрирование дифференциальных форм.
Некоторые классические вопросы.
Грассмановская алгебра в метрическом n-мерном ориентированном пространстве.
То же самое, n = 3.
Дифференциал отображения.
Якобианы.
Преобразование интеграла.
Гладкие многообразия.
Частные виды интегралов в трехмерном пространстве.
Теорема Стокса.
Внешний дифференциал.
Некоторые специальные формулы в метрическом ориентированном пространстве.
Теорема существования.
Теорема де Рама.
Набросок общей теории.
Нормированные пространства цепей и коцепей.
Непрерывные цепи.
О нульмерном интегрировании.
Часть первая - Классическая теория.
Грассмановская алгебра.
Поливекторы.
Поликовекторы.
Свойства пространств.
Альтернирующие r-линейные функции.
Применение систем координат.
Внешние произведения.
Внутренние произведения.
n-векторы в n-мерном пространстве.
Простые поливекторы.
Линейные отображения векторных пространств.
Двойственность.
Евклидовы векторные пространства.
Масса и комасса.
Масса и комасса произведений.
О проекциях.
Дифференциальные формы.
Дифференциал гладкого отображения.
Некоторые свойства дифференциалов.
Дифференциальные формы.
Гладкие отображения.
Применение систем координат.
Якобианы.
Теоремы об обратной и о неявной функциях.
Внешний дифференциал.
Представление векторов и ковекторов.
Гладкие многообразия.
Касательное пространство гладкого многообразия.
Дифференциальные формы на гладких многообразиях.
Характеризация внешнего дифференциала.
Риманова теория интегрирования.
r-вектор ориентированного r-мерного симплекса.
r-вектор г-мерной цепи.
Интегрирование по клеточным цепям.
Некоторые свойства интегралов.
Связь с интегралом Римана.
Интегрирование по открытым множествам.
Формула преобразования.
Доказательство формулы преобразования.
Преобразование интеграла Римана.
Интегрирование на многообразиях.
Теорема Стокса для параллелепипеда.
Частный случай теоремы Стокса.
Множества нулевой s-протяженности.
Теорема Стокса для стандартных областей.
Доказательство теоремы.
Регулярные формы в евклидовом пространстве.
Регулярные формы на гладких многообразиях.
Теорема Стокса для стандартных многообразий.
Повторный интеграл в евклидовом пространстве.
Гладкие многообразия.
Многообразия в евклидовом пространстве.
Теорема о вложении.
Компактный случай.
Разделение подмножеств пространства Е.
Регулярная аппроксимация.
Доказательство теоремы 1 А, М компактно.
Допустимые системы координат в М.
Доказательство теоремы 1 А, М не компактно.
Локальные свойства многообразия М в пространстве Е.
О л-направлениях в Е.
Окрестность многообразия М в пространстве Е.
Проекция вдоль плоскости.
Триангуляция многообразий.
Теорема о триангуляции.
Набросок доказательства.
Полнота.
Линейные комбинации векторов-ребер симплексов.
Величины, используемые в доказательстве.
Комплекс L.
Комплекс L*.
Пересечения многообразия М с Z*.
Комплекс К.
Вложение симплексов в М.
Комплексы КР.
Доказательство теоремы.
Когомологии в многообразиях.
м-регулярные формы.
Замкнутые формы в звездообразных множествах.
Продолжение форм.
Элементарные формы.
Некоторые замкнутые формы являются производными.
Изоморфизм колец когомологии.
Периоды форм.
Инвариант Хопфа.
О гладких отображениях многообразий.
Другие выражения для инварианта Хопфа.
Часть вторая - Общая теория.
Абстрактная теория интегрирования.
Полиэдральные цепи.
Масса полиэдральных цепей.
Бемольная норма.
Бемольные коцепи.
Примеры.
Диезная норма.
Диезные коцепи.
Характеризация норм.
Алгебраический критерий для поликовекторов.
Диезные г-формы.
Примеры.
Полунормы.
Слабая сходимость.
Некоторые связи между пространствами цепей и коцепей.
р-нормы.
Масса цепей.
Сепарабельность пространств цепей.
Несепарабельность пространств коцепей.
Некоторые связи между цепями и функциями.
Непрерывные цепи на действительной прямой.
Нульмерные цепи в Е, определяемые функциями ограниченной вариации.
Умножение нульмерных цепей на диезные функции.
Часть цепи конечной массы.
Функции ограниченной вариации в Е1, определяемые нульмерными цепями.
Некоторые теоремы анализа.
Непрерывные r-мерные цепи в Е.
О компактных коцепях.
Граница гладкой цепи.
Непрерывные цепи на гладких многообразиях.
Общие свойства цепей и коцепей.
Умножение цепей на диезные функции.
Умножение коцепей на диезные функции.
Носители цепей и коцепей.
О некомпактных цепях.
О полиэдральной аппроксимации.
n-вектор n-мерной цепи.
Диезные цепи в точке.
Множество молекулярных цепей всюду плотно.
Бемольные r-мерные цепи в E равны нулю.
Бемольные коцепи в комплексах.
Элементарные бемольные коцепи в комплексе.
Теорема об изоморфизме.
Цепи и коцепи в открытых множествах.
Цепи и коцепи в открытых множествах; элементарные свойства.
Цепи и коцепи в открытых множествах; дальнейшие свойства.
Свойства массы.
Об открытых множествах, которым принадлежит цепь.
Одно представление для бемольных цепей.
Одно представление для диезных цепей.
Часть третья - Лебеговская теория.
Бемольные коцепи и дифференциальные формы.
n-мерные коцепи в Е1.
Некоторые свойства полноты.
Свойства проекций.
Элементарные свойства функции Dx(p, a).
r-форма, определяемая r-мерной бемольной коцепью.
Бемольные n-формы.
Бемольные n-формы и бемольные r-мерные коцепи.
Бемольные функции r-направления.
Бемольные формы, определяемые компонентами.
Аппроксимация ковектора DX (р).
Дифференцируемость липшицевских функций.
О внешнем дифференциале г-форм.
О средних г-форм.
Произведения коцепей.
Лебеговские цепи.
Произведения коцепей и цепей.
Произведения и слабые пределы.
Характеризация произведений.
Липшицевские отображения.
Аффинная аппроксимация липшицевских отображений.
Аппроксимация на ребрах симплекса.
Аппроксимация якобиана.
Объем и аффинная аппроксимация.
Лемма о непрерывности.
Липшицевские цепи.
Липшицевские отображения открытых множеств.
Липшицевские отображения и бемольные коцепи.
Липшицевские отображения и бемольные формы.
Липшицевские отображения и диезные функции.
Липшицевские отображения и произведения.
О бемольной норме липшицевских цепей.
Деформации цепей.
Цепи и аддитивные функции множества.
О конечномерных банаховых пространствах.
Аддитивные функции множества со значениями в векторном пространстве.
Интегралы со значениями в векторном пространстве.
Умножение функций множества на функции точки.
Связь между функцией множества и ее вариацией.
О положительных линейных функционалах.
Об ограниченных линейных функционалах.
Линейные функции диезной г-формы.
Диезная норма r-вектор-функций множества.
Молекулярные функции множества.
Диезные цепи и функции множества.
Умножение цепей на ограниченные борелевские функции.
Часть цепи в борелевском множестве.
Цепи и функции точки.
Характеризация диезной нормы.
Представление диезной нормы.
Другие представления диезной нормы.
ПРИЛОЖЕНИЯ.
Векторные и линейные пространства.
Векторные пространства.
Линейные отображения.
Сопряженные пространства.
Прямые суммы, дополнения.
Фактор-пространства.
Спаривание линейных пространств.
Абстрактные гомологии.
Нормированные линейные пространства.
Евклидовы линейные пространства.
Аффинные пространства.
Барицентрические координаты.
Аффинные отображения.
Евклидовы пространства.
Банаховы пространства.
Полусопряженные пространства.
Подготовительные сведения из геометрии и топологии.
Клетки, симплексы.
Полиэдры, комплексы.
Подразделения.
Стандартные подразделения.
Ориентация.
Цепи и коцепи.
Граница и кограница.
Гомологии и когомологии.
Произведения в комплексе.
Соединения.
Подразделения цепей.
Декартово произведение клеток.
Отображения комплексов.
Некоторые свойства плоскостей.
Отображения n-мерных псевдомногообразий в n-мерное пространство.
Смещение триангуляции пространства Е.
Подготовительные сведения из анализа.
Существование некоторых функций.
Разложения единицы.
Сглаживание функций посредством усреднения.
Теорема Вейерштрасса об аппроксимации.
Лебеговская теория.
Пространство L1.
Указатель символов.
Предметный указатель.