2.1.2. Автохвилі в середовищах із відновленням (збудливих середовищах)
Перейдемо тепер до автохвиль у середовищах із відновленням.
Середовища з відновленням (інакше їх називають збудливими середовищами) схожі на бістабільні, але
в них один із стаціонарних станів є метастабільним, так що через деякий скінчений проміжок часу після збу-
дження середовища спонтанно переходять в основний
стан. Автохвилі в таких середовищах можна уявити собі
як послідовність двох хвиль перекидання. Перша з них переводить систему з основного стану в метастабільний,
а друга – знову в основний. Такі автохвилі дістали назву біжучих імпульсів.
Прикладами середовищ із відновленням можуть служити, наприклад, ліс, що знову виростає після лісо-
вої пожежі, нервове
волокно, що може збуджуватись зовнішнім подразником, а потім спонтанно переходити в
стан спокою, та інші.
2.1.2.1. Рівняння, що описують середовища з відновленням
Середовища з відновленням описуються системою двох нелінійних кінетичних рівнянь із дифузією:
()
()
11
22
,;
,.
u
uv D u
t
v
uv D u
t
∂
⎧
=+Δ
⎪
⎪
∂
⎨
∂
⎪
=+Δ
⎪
∂
⎩
(2.1.34)
Для стаціонарного однорідного випадку система (2.1.34) набуває вигляду
()
()
1
2
,0;
,0.
fuv
fuv
=
⎧
⎪
⎨
=
⎪
⎩
(2.1.34 а)
Нас цікавитиме випадок, коли система (2.1.34 а) має єдиний стійкий розв’язок u=u
0
, v=v
0
.
Аналітичне дослідження системи (2.1.34) можливе тоді, коли характерні часи зміни величин u і v істот-
но відмінні. Нехай, наприклад, величина u змінюється швидко, а величина v – повільно. Тоді для останньої ди-
фузією можна знехтувати, і система (2.1.34) набирає вигляду:
()
()
1
2
,;
,, 1.
u
uv D u
t
v
fuv
t
μμ
∂
⎧
=+Δ
⎪
⎪
∂
⎨
∂
⎪
=<<
⎪
∂
⎩
(2.1.34 б)
Систему (2.1.34 б) можна розв’язувати шляхом виділення ділянок швидкого і повільного руху.
2.1.2.2. Горіння з виділенням інгібітору (якісний розгляд)
Конкретизуємо модель середовища з відновленням. Розглянемо знову середовище, в якому можливий
процес горіння (див. п. 2.1.1.1). Нехай тепер горіння супроводжується виділенням інгібітору. Інгібітор – це ре-
човина, що пригнічує процес горіння (зокрема, зменшує
тепловиділення при горінні). Якщо інгібітор, який ви-
діляється, буде накопичуватися, то через деякий час горіння стане неможливим. Отже, вважатимемо, що інгібі-
тор з часом може розпадатися (або вивітрюватися), так що його рівноважна концентрація є монотонно зростаю-
чою функцією температури.
Поведінка такого середовища описується системою двох нелінійних кінетичних рівнянь із дифузією
вигляду (2.1.34). Апроксимуючи кінетичну функцію для температури кубічним поліномом, як це було зроблено
вище (п. 2.1.1.6), і вважаючи, що рівноважна концентрація інгібітору прямо пропорційна до температури, ці
рівняння можна подати у формі:
()( )
2
0
2
TT
TTTT n
tz
αβχ
∂∂
=1− −−+
∂∂
; (2.1.35)
2
2
nnT n
D
tz
γ
τ
∂− ∂
=− +
∂∂
,
де параметр Т
0
задовольняє умові 0<Т
0
<1.
Нехай при n=0 „різниця потенціалів”
()
3
1
T
T
TdTΔΦ ≡
∫
(2.1.36)
між станами T=0 i T=1 додатна, так що середовище може перейти зі стану T=0 у стан T=1. Тоді в середовищі
побіжить хвиля запалювання. Але за фронтом цієї хвилі почнеться виділення інгібітору. Зростання концентрації
інгібітору спричинить „опускання” графіка кінетичної функції (рис. 2.1.11 а). Коли концентрація інгібітору пе-
ревищить деяке порогове значення, знак „різниці потенціалів” зміниться, в результаті
чого стан горіння пере-
стане бути „енергетично вигідним, і за хвилею запалювання побіжить хвиля гасіння.