Аскирка В.Ф. Электричество и магнетизм. Волновая оптика

Подождите немного. Документ загружается.

261

Откуда расстояние между ними:

(

)

-l=- Rrr . (2)

Из соотношений (1) и (2) получим:

(

)

2021

-D

Выполнив вычисления, имеем:

(

)

1001,1

2021

341017,4

×=

-×

=- rr

м.

Ответ: 011

,rr =- мм.

Пример 16. На толстую стеклянную пластинку ( 50,1

=n ),

покрытую тонкой пленкой, показатель преломления вещества ко-

торой равен 1,40, падает под углом

30 параллельный пучок мо-

нохроматического света с длиной волны 0,60 мкм. Отраженный

свет максимально ослаблен вследствие интерференции. Опреде-

лить толщину пленки.

Дано:

30,

40,1

=n ,

501

,n = ,

60,0

мкм

1006

×= , м.

Найти: h .

Решение. По условию задачи показатель преломления пленки

меньше показателя преломления стекла (

nn > , рис. 2.51). По-

этому отражение интерферирующих лучей 1 и 2 на границе разде-

ла воздух – пленка и пленка – стекло сопровождается потерей хо-

да в 2l , и разность хода в данном случае будет равна [18.17]:

j-=D

sin2 nhL .

262

Из условия минимума интерференции [18.11] получаем:

()

212sin2

l+=j- mnh .

Полагая ,0

m ,1,2…, выполним вычисления:

(

)

(

)

101,1

30sin40,14

100,6102

sin4

×=

×+×

h м.

(

)

104,3

30sin40,14

100,6112

×=

×+×

м.

(

)

107,5

30sin40,14

100,6122

×=

×+×

м.

В результате получим ряд возможных значений толщины пленки:

11,0

=h мкм, 340

мкм, 570

мкм и так далее.

Ответ: 11,0

=h мкм, 340

,h = мкм, 570

мкм и так далее.

Пример 17. Интерферометр Майкельсона освещается светом

-линии натрия, которая представляет собой две близкие спек-

тральные линии со средним значением длины волны 589,3 нм. При

перемещении одного из зеркал интерференционная картина пе-

риодически исчезала. Определить разность длин волн спектраль-

Рис. 2.51

263

ных линий, если для наблюдения двух соседних исчезновений ин-

терференционной картины необходимо подвижное зеркало пере-

местить на 0,0289 см.

Дано:

3,589=l нм

108935

×= , м,

02890,h

см

10892

×= , м.

Найти:

Решение.

-линия натрия представляет собой дублет, то есть

две желтые линии с незначительно отличающимися значениями

длин волн. Условия максимумов и минимумов определяются раз-

ностью хода между интерферирующими пучками, выраженной в

длинах волн [18.9], [18.11]. Поэтому для одних и тех же порядков

положение максимумов интерференции различается. Это приво-

дит к тому, что интерференционные полосы выглядят несколько

нерезкими. При увеличении разности хода наблюдаемый порядок

интерференции увеличивается, при этом резкость максимумов еще

более ухудшается. Интерференционная картина полностью исчез-

нет, если при внесенной разности хода

2h максимумы

m -го по-

рядка для длины волны

l совпадут с минимумами

(

)

+m -го

порядка для спектральной линии длины волны

(

l>l ):

211

2 l= mh , (1)

()

122

+= mh . (2)

Следующее исчезновение интерференционной картины будет на-

блюдаться при разности хода

2h , при которой снова максимумы

m -го порядка для длины волны

l совпадут с минимумами

(

)

+m -го порядка для спектральной линии длины волны

l :

222

2 l= mh , (3)

()

322

+= mh . (4)

264

Вычитая из (3) выражение (1), а также из (4) выражение (2) и обо-

значив

(

)

22 hhh -= , получим:

(

)

212

2 l-= mmh , (5)

(

)

1112

2 l+l-= mmh . (6)

Решая совместно систему (5) и (6), получим:

=lD . (7)

Поскольку

l»ll (так как линии с близкими длинами волн),

из выражения (7) получим окончательно:

=lD .

Производя вычисления, получим:

(

)

10016

108922

108935

×=

××

=lD ,

м.

Ответ: 6010,

нм.

Пример 18. Свет с длиной волны 0,546 мкм падает нормально

на поверхность стеклянного диска, который перекрывает полторы

зоны Френеля для точки наблюдения

. При какой толщине этого

диска интенсивность света в этой точке будет минимальной; рав-

ной интенсивности падающего света.

Дано:

546,0

мкм

10465

×= , м;

1,50.

Найти:

h ,

h .

Решение. Для определения амплитуды или интенсивности в

точке наблюдения

часто используют простой и наглядный

графический метод, основанный на методе зон Френеля. Суть

метода состоит в следующем. Каждую из зон Френеля (смотри

главу 19 «Дифракция» теоретической части) разбивают на

большое число N одинаковых участков (подзон). При переходе от

265

N одинаковых участков (подзон). При переходе от одного края

зоны к другому фаза волны изменяется на

, а при переходе от

одной подзоны к другой – на Np=DF (рис. 2.52 а). Поскольку

площади подзон одинаковы, то амплитуды волн, приходящих в

точку

от каждого участка, будут в соответствии с методом зон

Френеля также одинаковыми. Обозначим амплитуду волны

E .

Примем фазу волны, приходящей в

из первой подзоны, за нуль.

Тогда суммарная амплитуда волны в точке

, создаваемая первой

зоной, с учетом возникающего сдвига фаз будет равна:

...eEeEEE

+++=

DFDF 2

0101011

При увеличении числа разбиений до бесконечности (

N ) ло-

маная кривая превращается в плавную (рис. 2.52 б). Графическое

построение амплитуды при учете вклада от последующих зон про-

изводится аналогично.

а) б) в)

Необходимо только принять во внимание, что при движении

на край зоны значение

E несколько уменьшается. Вследствие

этого непрерывная кривая не замыкается, а имеет вид спирали

(спираль Френеля, рис. 2.52 в). Она позволяет определить ампли-

туду при открытии любого числа зон Френеля и их частей. Напри-

мер, отрезок

пропорционален амплитуде при открытии

Рис. 2.52

266

первой, второй, третьей и части четвертой зон Френеля

(рис. 2.52 в). Длины отрезков

MM ,

MM , ... пропор-

циональны амплитудам при открытии первой, второй, третьей и

так далее зон. Когда открыты все зоны, амплитуда пропорцио-

нальна OM

. Из рис. 2.52 видно, что первая зона создает в точке

амплитуду примерно в два раза большую, чем при открытии

всех зон.

На отдельном рисунке 2.53 применим графический метод

сложения амплитуд в присутствии стеклянного диска. При отсут-

ствии диска свободно распространяющаяся волна имеет в точке

наблюдения амплитуду, равную

AO . При этом первые полторы

зоны Френеля создают амплитуду

AC , а все остальные зоны – ам-

плитуду

CO , то есть

®®®

+= COACAO .

При внесении диска происходит изменение фазы волны, соз-

даваемой первыми полутора зонами Френеля. Поскольку скорость

света в стекле меньше, чем в воздухе, то волна при этом приходит

в точку наблюдения с опозданием. Изменение фазы волны на ве-

личину

на векторной диаграмме отображается поворотом век-

тора также на угол

, причем при задержке по фазе происходит

поворот вектора против часовой стрелки. Поскольку диск не по-

глощает света, то модуль амплитуды волны, прошедшей через не-

го, не изменяется.

Как следует из рис. 2.53, для того, чтобы при сложении ам-

плитуд получить максимальную амплитуду, необходимо вектор

Рис. 2.53

267

AC , соответствующий амплитуде волны, проходящей через диск,

повернуть против часовой стрелки на угол

mp+

=DF 2

, (1)

где ,0

m ,1,2…. С другой стороны:

111

LLk D

=D=DF , (2)

где

LD – внесенная диском дополнительная разность хода:

(

)

-=D nhL . (3)

Сопоставляя (1) – (3), получим:

(

)

()

h .

Принимая ,0

m ,1,2…, получим ряд значений:

(

)

1014,20

×=h мм,

(

)

1057,51

×=h мм.

Интенсивность света в точке наблюдения не изменится, если в

результате прохождения света через диск, вектор

AO повернется

на угол, кратный

2 , то есть не изменит своего положения:

p=DF m2

,1,2 3, …. (4)

Необходимый сдвиг фаз для волн, проходящих через диск, будет

равен:

()

2222

=D=DF nhLLk . (5)

Из выражений (4) и (5) получим:

()

h .

Для ,m 1

,2 …, получим ряд значений:

(

)

100911

×= ,h мм,

(

)

101821

×= ,h мм, ….

Ответ:

(

)

1014,20

×=h мм,

(

)

1057,51

×=h мм.

(

)

100910

×= ,h мм,

(

)

101821

×= ,h мм.

268

Пример 19. На ирисовую диафрагму падает свет от точечного

монохроматического источника с длиной волны 500 нм, располо-

женного на расстоянии 2,1 м. При каком минимальном радиусе

диафрагмы интенсивность света на экране, расположенном на рас-

стоянии 70 см от диафрагмы, будет равна нулю? На сколько и в

какую сторону нужно сместить экран, чтобы при полученном ра-

диусе диафрагмы в центре экрана получить максимальную интен-

сивность?

Дано:

500

нм

100,5

×= м,

1,2

=r м,

r см 70,0

м.

Найти:

r .

Решение. Воспользуемся выражением для нахождения радиу-

са внешней границы

-ой зоны Френеля [19.1]:

=r m

, (1)

где

r – расстояние между источником и диафрагмой,

– рас-

стояние от диафрагмы до точки наблюдения.

Интенсивность света в центре экрана будет равна нулю, если

внутри диафрагмы укладывается четное число зон Френеля, при-

чем минимальное значение радиуса получается, если число зон

равно двум ( 2

m ). Выражение (1) для этого условия примет вид:

=r=r 2

Производя вычисления, получим:

102,7100,52

70,010,2

×=××

м.

Если в отверстии диафрагмы укладывается нечетное число

зон Френеля, то в центре экрана будет наблюдаться светлое пятно,

причем максимальная интенсивность будет наблюдаться, если

269

число зон будет равно единице ( 1

m ). Принимая во внимание то,

что по условию задачи во втором случае расстояние между диа-

фрагмой и источником не изменилось, поэтому равенство (1) при-

мет вид:

=r=r

. (2)

Из выражения (2) получим:

r-l

. (3)

Определим расстояние, на которое необходимо передвинуть эк-

ран. Оно будет равно

. (4)

Поскольку

r=r , то

r-l

После подстановки числовых значений имеем:

(

)

()

050,00,2

102,71,2100,5

1,2102,7

×-××

××

r м.

Поскольку 0

r , то есть

, то это означает, что экран необ-

ходимо удалить от диафрагмы.

Ответ: 720

,=r мм, удалить на 05,r

см.

Пример 20. На грань стеклянного клина с преломляющим уг-

лом

15 падает нормально плоская монохроматическая волна дли-

ной 546 нм. На противоположной грани, которая является непро-

зрачной, имеется щель шириной 9,0 мкм, параллельная ребру кли-

на. Найти угол между направлением на Фраунгоферов максимум

нулевого порядка и направлением падающего света.

Дано:

546

нм

10465

×= , м,

15=q ,

270

0,9

b мкм

100,9

×= м,

5,1

n .

Найти:

Решение. Условием возникновения Фраунгоферова максиму-

ма нулевого порядка является равенство нулю разности хода для

волн, дифрагировавших от краев щели по направлению угла ди-

фракции

. На основании рис. 2.54 разность хода равна:

(

)

0sinsinsinsin

=q-j=q-j=D-D=D nbnbbLLL , (1)

где

– показатель преломления стеклянного клина.

Выражая из соотношения (1) угол дифракции

, получим:

(

)

q=j sinarcsin n . (2)

Из рис. 2.54 очевидно, что искомый угол

представляет

собой разность углов

(можно применить свойство равенст-

ва углов со взаимно перпендикулярными сторонами). Принимая во

внимание соотношение (2), запишем:

(

)

q-q=jD sinarcsin n . (3)

Подставляя числовые значения величин, получим окончательно:

(

)

05784,71515sin5,1arcsin

°=°=°-°=jD

Ответ: 057

°=jD .

Рис. 2.54