Бороденко В.А. Исследование систем управления в среде MATLAB

Подождите немного. Документ загружается.

151

Индивидуально для TF объекта задаются векторы коэффици-

ентов числителя num и знаменателя den передаточной функции, для

ZPK объекта – векторы нулей z, полюсов p, коэффициента усиления k

и формат вывода DisplayFormat 'roots' (по умолчанию) либо 'time con-

stant', 'frequency'. Для обоих этих типов задается обозначение пере-

менной Variable 's' (по умолчанию) или 'p'. Покажем влияние формата

вывода ZPK объекта

>> sys=rss(2);

>> w=zpk(sys) % Формат вывода DisplayFormat = ‘roots’ через полиномы

Zero/pole/gain: % Коэффициент передачи -0.12414 для ZPK-формы

-0.12414 (s^2 + 1.953s + 1.246)

-------------------------------

(s+1.409) (s+0.6482)

>> set(w,'DisplayFormat','time constant')

>> w % Отображение через постоянные времени 0.896 (в числите-

ле), 0.7099 и 1.543 – в знаменателе ПФ. Здесь k = -0.16935 – это коэффициент уси-

ления в установившемся режиме, множитель 1.75 = 2ξ.

Zero/pole/gain:

-0.16935 (1 + 1.75(0.896s) + (0.896s)^2)

----------------------------------------

(1+0.7099s) (1+1.543s)

>> set(w,'DisplayFormat','frequency')

>> w % Отображение через частоты сопряжения 1.116 (в числите-

ле) и 1.409, 0.6482 – в знаменателе ПФ

Zero/pole/gain:

-0.16935 (1 + 1.75(s/1.116) + (s/1.116)^2)

------------------------------------------

(1+s/1.409) (1+s/0.6482)

Для объектов типа TF, ZPK и FRD может указываться значение

внутренней задержки ioDelay.

Только FRD объекту устанавливается массив ResponceData зна-

чений комплексной частотной характеристики и массив Frequency

значений частот в точках отсчета, а также единицы FrequencyUnit из-

мерения частоты 'rad/s' (по умолчанию) и 'Hz'.

Для формирования FRD модели можно использовать вектор

частот, измеренных в герцах, без пересчета значений, если при обра-

щении указать соответствующие единицы измерения – для версии

7.01 в форме sys=frd(response, frqs, 'Units', 'Hz'), для версии 7.11 в

форме sys = frd(response, frqs, 'FrequencyUnit', 'Hz'). Следует заметить,

152

что все стандартные частотные графики по-прежнему будут использо-

вать единицы «рад/с», самостоятельно пересчитывая значения частот,

например, вместо заданных 0.1 Гц выводя 0.628 рад/с.

Изменить единицы измерения с пересчетом значений частот со-

гласно этим единицам позволяет функция chgunits(). К примеру, об-

ращение sys = chgunits(sys, unit) преобразует значения частот FRD мо-

дели sys в соответствии с указанными единицами измерения, где unit

это либо 'Hz', либо 'rad/s'. Программа самостоятельно использует мас-

штабирующий коэффициент 2*π.

Общими для всех типов объектов являются значения входных

InputDelay, выходных OutputDelay задержек, шага по времени Ts (по-

следний для непрерывных систем устанавливается всегда в нуль) и

единиц измерения времени TimeUnit (по умолчанию – секунды, обо-

значается s или пробелом ' '). Если заданы другие единицы измерения

времени: наносекунды 'nanoseconds', микросекунды 'microseconds',

миллисекунды 'msec' или 'milliseconds', секунды 's' или 'seconds', мину-

ты 'min' или 'minutes', часы 'h' или 'hours', дни 'days', недели 'weeks', ме-

сяцы 'months', годы 'years', то соответственно нужно изменить связан-

ные величины – например, единицы измерения частоты 'rad/msec'.

Входам и выходам LTI объекта могут назначаться имена (Input-

Name, OutputName) и единицы измерения (InputUnit, OutputUnit), как

строковые переменные, они могут объединяться в группы (InputGroup,

OutputGroup) с указанием номеров объединяемых каналов. Например,

объединив входы управлений «controls» и шумов «noise», впоследст-

вии можно извлечь передаточные функции группы «controls»

>> sys.InputGroup.controls = [1 2];

>> sys.InputGroup.noise = [3 5];

>> sys(:,'controls')

Свойство Name позволяет назначить имя (идентификатор) объ-

екту, свойство Notes – хранить какие-либо заметки по данному объек-

ту (текст), свойство UserData – сохранять произвольные данные или

текст.

В качестве примера опишем одномерную SISO модель нагрева-

теля с названием «A simple heater model» (рисунок 3.2), имеющую за-

держку 0.3 с, вход «energy» и выход «temperature».

Рисунок 3.2

153

Зададим основные свойства системы при ее создании, а имена

входа, выхода и общий комментарий присвоим позднее командой set.

>> sys = tf(1,[1 1],'inputdelay',0.3);

>> set(sys,'inputname','energy','outputname',...

'temperature','notes','A simple heater model')

При формировании новой модели можно передать ей основные

свойства от другой модели, например, sys=ss(a,b,c,d,sys1) от sys1.

Функции для краткой оценки свойств LTI объекта:

size(имя_модели) – возвращает число выходов и входов,

для FRD модели с обращением nf = size(sys, 'freq') возвращает число

отсчетов nf;

ndims(имя_модели) – возвращает число размерностей;

isct(имя_модели) – дает 1 для непрерывной системы;

isdt(имя_модели) – дает 1 для дискретной системы;

hasdelay(имя_модели) – дает 1 при наличии задержки;

order(имя_модели) – возвращает порядок системы;

class(имя_модели) – возвращает класс объекта;

isa(имя, 'class') – проверка соответствия класса объекта;

isempty(имя_модели) – дает 1 для пустой модели;

isproper(имя_модели) – дает 1 для надлежащей модели;

tfchk(num,den) – возвращает значения числителя и зна-

менателя для правильного TF-объекта или ошибку в ином случае;

issiso(имя_модели) – дает 1 для SISO-модели;

isstable(имя_модели) – дает 1 для устойчивой системы.

Для системы с передаточной функцией 10/(s^3+2s^2+3s+4)

>> size(w)

Transfer function with 1 outputs and 1 inputs.

>> [ny nu]=size(w) % число выходов ny и число входов nu

ny =

nu =

>> iosize(w) % число выходов и число входов

ans =

1 1

>> ndims(w)

ans =

>> isct(w)

ans =

>> isdt(w)

ans =

154

>> hasdelay(w)

ans =

>> order(w)

ans =

>> isa(w,'ss')

ans =

>> isempty(w)

ans =

>> isproper(w)

ans =

>> issiso(w)

ans =

>> isstable(w)

ans =

MATLAB позволяет работать с группой моделей одновременно,

как с одним объектом, если модели собраны в единый LTI массив. Это

особенно полезно при исследовании чувствительности системы к из-

менению того или иного параметра, например, коэффициента усиле-

ния или постоянной времени. У всех объединяемых моделей должно

быть одинаковое число входов и выходов. Место добавляемой в мас-

сив модели определяется третьим и четвертым измерением, независи-

мо от вида модели используется пространство состояний.

>> den=[1 2 3 4];

>> sys(:,:,1)=tf([1 2 2],den);

>> sys(:,:,2)=tf([1 3 2],den);

>> sys(:,:,3)=tf([1 1 2],den);

>> sys

Model sys(:,:,1,1)

==================

a =

x1 x2 x3

x1 -2 -1.5 -2

x2 2 0 0

x3 0 1 0

b =

155

x1 2

x2 0

x3 0

c =

x1 x2 x3

y1 0.5 0.5 0.5

d =

y1 0

Model sys(:,:,2,1)

==================

...

c =

x1 x2 x3

y1 0.5 0.75 0.5

...

Model sys(:,:,3,1)

==================

...

c =

x1 x2 x3

y1 0.5 0.25 0.5

...

3x1 array of continuous-time state-space models.

Анализ затруднен тем, что разные графики выполняются в этом

случае одинаковым цветом и не имеют индивидуальных обозначений

(рисунок 3.3), не помогает и формирование блока «легенда».

Функция reshape(имя_массива) позволяет переопределить раз-

мерности LTI массива, например, после обращения reshape(sys,1,3)

рассмотренный выше массив будет содержать модели sys(:,:,1,1),

sys(:,:,1,2), sys(:,:,1,3), т. е. из вектора-столбца преобразуется в вектор-

строку.

Функция repsys(sys, [n, m]) или repsys(sys, n)заполняет объектом

sys матрицу размером n × m или n × n без его изменения. При обраще-

нии repsys(sys, [n, m, k]) создается массив из k одинаковых моделей.

156

Step Response

Time (sec)

Amplitude

0 5 10 15 20 25 30 35

0.2

0.4

0.6

0.8

1.2

1.4

System: sys(:,:,2)

Time (sec): 1.76

Amplitude: 1.04

System: sys(:,:,1)

Time (sec): 5.49

Amplitude: 0.697

System: sys(:,:,3)

Time (sec): 3.35

Amplitude: 0.375

Рисунок 3.3

>> w=tf(1,[1 2]);

>> q=repsys(w,[1 1 2])

Model q(:,:,1,1)

================

Transfer function:

-----

s + 2

Model q(:,:,2,1)

================

Transfer function:

-----

s + 2

2x1 array of continuous-time transfer functions.

3.3 Описание систем с транспортной задержкой

Описание звеньев чистого запаздывания (транспортной задерж-

ки) и систем с запаздыванием имеет особенности. Прежде всего, для

этого может быть использована символьная запись экспоненциальной

функции (отсутствует в ранних версиях программы)

>> s = tf('s'); G = exp(-2*s)*5/(s^2 + 3*s + 2)

157

Transfer function: % транспортная задержка 2 с

exp(-2*s) * -------------

s^2 + 3 s + 2

или

>> s=zpk('s'); G=exp(-0.12*s)*3*(s+1)/(s^2+2*s+3)

Zero/pole/gain: % транспортная задержка 0.12 с

3 (s+1)

exp(-0.12*s) * --------------

(s^2 + 2s + 3)

Логическая функция hasdelay(sys) проверяет наличие задержки в

системе, функция totaldelay(sys) вычисляет суммарные задержки.

Используя iodelay, inputdelay и outputdelay свойства LTI объек-

тов, можно вводить сквозную, входную и выходную чистую задержку

(Transport Delay) без специальных звеньев, причем независимо для

каждой пары входов/выходов системы. Воспользоваться этими свой-

ствами можно как в процессе создания модели посредством функций

tf, zpk, ss или frd, так и позднее с помощью команды set или приемов

объектно-ориентированного программирования.

Рассмотрим в виде иллюстрации описание системы с разными

длительностями задержек для каждой пары вход/выход



















































)(

R(s)

1s414

e419

1s910

e66

1s021

e918

1s716

e812

После ввода всех параметров и имен входов-выходов

>> H = tf({12.8 –18.9;6.6 –19.4},...

{[16.7 1] [21 1];[10.9 1] [14.4 1]},'iodelay',[1 3;7 3],...

'inputname',{'R' , 'S'},'outputname',{'Xd' , 'Xb'})

получаем результирующую TF модель многомерной системы

Transfer function from input "R" to output...

12.8

Xd: exp(-1*s) * ----------

16.7 s + 1

6.6

Xb: exp(-7*s) * ----------

10.9 s + 1

158

Transfer function from input "S" to output...

-18.9

Xd: exp(-3*s) * --------

21 s + 1

-19.4

Xb: exp(-3*s) * ----------

14.4 s + 1

Для определения групповых (одинаковых) задержек моделей

TF, ZPK или FRD удобнее использовать свойства inputdelay и output-

delay. Например, при описании командами

>> s = tf('s'); H = [1/s ; 2/(s+1)]; % рациональная часть

>> H.inputdelay = 0.1

системы

s10

)(



















формируется модель с одинаковыми задержками на всех входах

Transfer function from input to output...

#1: exp(–0.1*s) * -

#2: exp(–0.1*s) * -----

s + 1

Если же использовать в подобных случаях свойство iodelay, не-

обходимо указывать задержку отдельно для каждого пути

>> H = [1/s ; 2/(s+1)]; H.iodelay = [0.1 ; 0.1];

При разных временных задержках более наглядным может быть

описание с использованием переменной Лапласа s, например, для TF

модели многомерной системы с передаточными функциями

























e10

10s

s20

s30s10

)(

>> s=tf('s');

159

>> H=[exp(-0.1*s)*2/s, exp(-0.3*s)*(s+1)/(s+10);...

10, exp(-0.2*s)*(s-1)/(s+5)]

Transfer function from input 1 to output...

#1: exp(-0.1*s) * -

#2: 10

Transfer function from input 2 to output...

s + 1

#1: exp(-0.3*s) * ------

s + 10

s - 1

#2: exp(-0.2*s) * -----

s + 5

В этом случае MATLAB автоматически распределяет задержки

между iodelay, inputdelay и outputdelay свойствами.

>> H.iodelay

ans =

0 0.2000

>> H.inputdelay

ans =

>> H.outputdelay

ans =

0.1000

>> totaldelay(H)

ans =

0.1000 0.3000

0 0.2000

Функция pade() вычисляет рациональную аппроксимацию чис-

той задержки для непрерывных LTI моделей, под которой понимают

отношение двух многочленов с единичной АЧХ и ФЧХ, близкой к фа-

зовой характеристике звена чистого запаздывания. При обращении

[num, den] = pade(τ, n) она возвращает Паде-аппроксимацию n-го по-

рядка задержки exp(-τ*s) на время τ в виде передаточной функции.

Векторы num и den содержат коэффициенты полиномов числителя и

знаменателя, расположенные по убыванию степени s. При отсутствии

левой части выражения функция строит переходную и фазовую ха-

160

рактеристики приближенной модели и сравнивает их с реакцией звена

чистого запаздывания в экспоненциальной форме.

Сформируем звено задержки на время 1 с вида





, используя

аппроксимацию Паде второго порядка

>> [num, den]=pade(1, 2); wd=tf(num,den)

Transfer function:

s^2 - 6 s + 12

--------------

s^2 + 6 s + 12

На рисунке 3.4 показано расхождение амплитудных и фазовых

характеристик реального звена Pure delay транспортной задержки на

1 с и его аппроксимации Паде второго порядка, что следует учитывать

при моделировании. Чем выше порядок аппроксимации, тем точнее

воспроизводятся характеристики звена запаздывания, но тем сложнее

становится исследуемая система, увеличивается ее порядок.

Рисунок 3.4

При обращении sysp = pade(sysd, n) функция заменяет систему

sysd с задержками в экспоненциальной форме на систему sysp, в кото-

рой задержки выражены дробью в виде аппроксимации Паде n-го по-

рядка. После такого преобразования перестают отображать наличие

задержки в системе функции totaldelay() и hasdelay(), а к разомкнутой

системе с задержкой может быть применена функция замыкания об-

ратной связью feedback().

Для модели с множественными задержками, либо размещен-

ными разным образом на входах и выходах, используется более слож-