Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2
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Ðàñïîëàãàÿ ýòèìè õàðàêòåðèñòèêàìè, ïîëüçóåìñÿ äàëüøå äëÿ ðàñ÷åòà ñìå-
øàííîãî ñîåäèíåíèÿ òåìè ïðèåìàìè, êîòîðûå áûëè èçëîæåíû â ïðåäûäóùåì ïà-
ðàãðàôå. Òàê, äëÿ öåïè, èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 20.11, ñêëàäûâàåì àáñöèññû êðè-
âûõ u
db
= F(i
4
)èu
db
= F(i
5
), èçîáðàæàþùèõ õàðàêòåðèñòèêè âåòâåé d–4–b è
d–5–b, òàê êàê ýòè âåòâè ñîåäèíåíû ïàðàëëåëüíî. Ïîëó÷àåì õàðàêòåðèñòèêó
u
db
= F (i
3
) ýòèõ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûõ âåòâåé, èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 20.17.
Ñêëàäûâàÿ çàòåì îðäèíàòû êðèâîé u
db
= F (i
3
) ñ îðäèíàòàìè êðèâîé u
cd
= u
3
= r
3
i
3
,
òàê êàê òðåòèé ó÷àñòîê ñîåäèíåí ïîñëåäîâàòåëüíî ñ ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûìè
÷åòâåðòûì è ïÿòûì ó÷àñòêàìè, ïîëó÷àåì õàðàêòåðèñòèêó âñåõ ýòèõ òðåõ ó÷àñò
-
êîâ u
cb
= F(i
3
) (ðèñ. 20.18).
Ê àáñöèññàì ýòîé êðèâîé ïðèáàâëÿåì àáñöèññû êðèâîé u
cb
= F(i
2
), èçîáðàæàþ
-
ùåé õàðàêòåðèñòèêó âòîðîé âåòâè. Ïîëó÷àåì õàðàêòåðèñòèêó u
cb
= F(i
1
) ÷àñòè
öåïè ìåæäó çàæèìàìè c è b (ðèñ. 20.19). Íàêîíåö, ñêëàäûâàÿ îðäèíàòû ýòîé
êðèâîé ñ îðäèíàòàìè êðèâîé u
ac
= F(i
1
), íàõîäèì õàðàêòåðèñòèêó âñåé öåïè ìåæ
-
äó çàæèìàìè a è b (ðèñ. 20.20). Ðàñïîëàãàÿ ïîñòðîåííûìè õàðàêòåðèñòèêàìè,
Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå 373
Ðèñ. 20.11
Ðèñ. 20.12
Ðèñ. 20.13
Ðèñ. 20.14 Ðèñ. 20.15
Ðèñ. 20.16 Ðèñ. 20.17
ëåãêî íàõîäèì òîêè âî âñåõ âåòâÿõ è íàïðÿæå
-
íèÿ íà âñåõ âåòâÿõ, åñëè çàäàíî ïðèëîæåííîå
êî âñåé öåïè íàïðÿæåíèå è
ab
. Åñëè çàäàí îäèí
èç òîêîâ èëè çàäàíî íàïðÿæåíèå íà êàêîì-ëèáî
ó÷àñòêå âåòâè, òî èç ýòèõ õàðàêòåðèñòèê îïðå-
äåëÿþòñÿ òîêè è íàïðÿæåíèÿ âî âñåõ îñòàëü-
íûõ âåòâÿõ è íàïðÿæåíèå u
ab
íà çàæèìàõ âñåé
öåïè. Øòðèõîâûìè ëèíèÿìè íà ðèñ. 20.17–20.20
ïîêàçàíî ðåøåíèå äëÿ îäíîãî èç òàêèõ ÷àñòíûõ
ðåæèìîâ. Çàìåòèì, ÷òî åñëè çàæèìû a è b çàìê-
íóòû íàêîðîòêî, òî òîêè â öåïè âîçíèêàþò òîëü-
êî ïîä äåéñòâèåì âñåõ èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ, ñîäåðæàùèõñÿ â ñàìîé öåïè. Ïðè ýòîì
u
ab
= 0, è, ñëåäîâàòåëüíî, ðåøåíèå îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ õàðàêòåðè-
ñòèêè u
ab
= F(i
1
) íà ðèñ. 20.20 ñ îñüþ àáñöèññ.
20.4. Ðàñ÷åò ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
ñ îäíèì íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì
Äëÿ ðàñ÷åòà ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ëþáîé ñëîæíîñòè, â îáùåì ñëó÷àå íå îáðàçî
-
âàííîé ïîñëåäîâàòåëüíî èëè ïàðàëëåëüíî ñîåäèíåííûìè ó÷àñòêàìè, èìåþùåé
ëþáîå ÷èñëî èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ, íî ñîäåðæàùåé òîëüêî îäèí íåëèíåéíûé ýëå
-
ìåíò, ìîæåò áûòü ïðèìåíåí ìåòîä ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà.
Ïóñòü íåëèíåéíûé ýëåìåíò âêëþ÷åí â âåòâü ab ñëîæíîé
öåïè. Âûäåëèì íà ðèñ. 20.21 ýòó âåòâü, èçîáðàçèâ âñþ îñòàëüíóþ
÷àñòü ñëîæíîé öåïè óñëîâíî ïðÿìîóãîëüíèêîì. ×àñòü öåïè,
ñîäåðæàùàÿñÿ âíóòðè ýòîãî ïðÿìîóãîëüíèêà, ñîñòîèò òîëüêî èç
ëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ è èñòî÷íèêîâ ÝÄÑ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ê íåé
â îòäåëüíîñòè ïðèìåíèì ïðèíöèï íàëîæåíèÿ. Ïðèíöèï íàëîæå
-
íèÿ íå ïðèìåíèì ê âåòâè ab ñ íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì è âñëåäñò
-
âèå ýòîãî íå ïðèìåíèì êî âñåé öåïè â öåëîì, ñîäåðæàùåé ýòîò ýëåìåíò.
Ïðèíöèï íàëîæåíèÿ íå ïðèìåíèì ê âåòâè ñ íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì ïîòîìó,
÷òî ñîïðîòèâëåíèå r ýòîãî ýëåìåíòà çàâèñèò îò òîêà i â íåì. Â ñàìîì äåëå, ïðåä
-
374 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðèñ. 20.18
Ðèñ. 20.19
Ðèñ. 20.20
Ðèñ. 20.21
ïîëîæèì, ÷òî èñêîìûé äåéñòâèòåëüíûé ðåæèì ñ òîêîì i â íåëèíåéíîì ýëåìåíòå
ìû ðàçëîæèëè íà äâà ÷àñòíûõ ðåæèìà ñ òîêàìè i¢ è i² â ýòîì ýëåìåíòå, ïðè÷åì
i = i¢ + i². Íàïðÿæåíèÿ íà íåëèíåéíîì ýëåìåíòå â äåéñòâèòåëüíîì è â ýòèõ ÷àñò
-
íûõ ðåæèìàõ ðàâíû: u = ri, u¢=r¢i¢ è u²=r²i². Òàê êàê r çàâèñèò îò i, òî, âîîáùå ãî
-
âîðÿ, r¢¹r² è, ñëåäîâàòåëüíî, u ¹ è¢ + u². Ïîýòîìó, íàëàãàÿ äðóã íà äðóãà ÷àñòíûå
ðåæèìû, ìû íå ïîëó÷èì äåéñòâèòåëüíîãî ðåæèìà ñ òîêîì i è íàïðÿæåíèåì u.
Îäíàêî ðåçóëüòàò íàëîæåíèÿ áóäåò ïðàâèëüíûì, åñëè â îäíîì èç ÷àñòíûõ ðå
-
æèìîâ òîê i¢ â íåëèíåéíîì ýëåìåíòå è íàïðÿæåíèå u¢ íà íåì îòñóòñòâóþò, ò. å.
i¢=0èu¢=0, à â äðóãîì ÷àñòíîì ðåæèìå òîê i² ðàâåí òîêó i â äåéñòâèòåëüíîì ðå
-
æèìå, à ñëåäîâàòåëüíî, è íàïðÿæåíèå u² ðàâíî íàïðÿæåíèþ u â äåéñòâèòåëüíîì
ðåæèìå. Ïðè ýòîì èìååì
iiuu=+ =+00"".è
Äëÿ òîãî ÷òîáû ýòè äâà ÷àñòíûõ ðåæèìà ïðè íàëîæåíèè äàâàëè äåéñòâèòåëü
-
íûå òîêè è íàïðÿæåíèÿ âî âñåé ñëîæíîé öåïè, ñîäåðæàùåé äàííûé íåëèíåéíûé
ýëåìåíò, íåîáõîäèìî, ÷òîáû ÝÄÑ
¢
e
k
è
¢¢
e
k
â ýòèõ ðåæèìàõ â ëþáîé k-é âåòâè â ñóì-
ìå áûëè ðàâíû äåéñòâèòåëüíîé ÝÄÑ e
k
â ýòîé âåòâè, ò. å. ÷òîáû áûëî
¢
+
¢¢
=ee e
kk k
.
Âñåì ýòèì òðåáîâàíèÿì óäîâëåòâîðÿåò ìåòîä ýêâèâàëåíòíîãî ãåíåðàòîðà.
Ïîëüçóÿñü ýòèì ìåòîäîì, ââåäåì äëÿ ïîëó÷åíèÿ òðåáóåìîãî ïåðâîãî ðåæèìà â
âåòâü ab ñ íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì òàêóþ äîïîëíèòåëüíóþ ÝÄÑ
¢
e
0
, ÷òîáû ïðè
äåéñòâèè âî âñåõ îñòàëüíûõ âåòâÿõ ÝÄÑ
¢
e
k
, ðàâíûõ çàäàííûì ÝÄÑ e
k
,òîêâíå-
ëèíåéíîì ýëåìåíòå ñòàë ðàâíûì íóëþ: i¢=0. Ïóñòü õàðàêòåðèñòèêà íåëèíåéíîãî
ýëåìåíòà òàêîâà, ÷òî ïðè ýòîì è u¢ = 0. ÝÄÑ
¢
e
0
ðàâíà è ïðîòèâîïîëîæíà ïî çíàêó
íàïðÿæåíèþ u
0
, ñîçäàâàåìîìó âñåìè çàäàííûìè èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ ïðè ðàçìû-
êàíèè âåòâè ñ íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì â ìåñòå ðàçðûâà ýòîé âåòâè, ò. å.
¢
=-eu
00
.
Âî âòîðîì ÷àñòíîì ðåæèìå ââåäåì â âåòâü ñ íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì ÝÄÑ
¢¢
=-
¢
=eeu
000
,
à âñå çàäàííûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ çàìêíåì íàêîðîòêî, ñîõðàíèâ â
âåòâÿõ èõ âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ, ò. å. ïðèìåì
¢¢
=e
k
0.
Íàëàãàÿ ýòè äâà ÷àñòíûõ ðåæèìà äðóã íà äðóãà, ïîëó÷àåì âî âñåõ âåòâÿõ ëè
-
íåéíîé ÷àñòè öåïè
¢
+
¢¢
=+=
¢
+
¢¢
=ee e e ii i
kk k kkkk
0;
è â âåòâè ab
¢
+
¢¢
=
¢
+
¢¢
=+
¢¢
=
¢
+
¢¢
=+
¢¢
=ee uu u ii ii
00
00 0;;,u
ò. å. ïîëó÷àåì èñêîìûé äåéñòâèòåëüíûé ðåæèì âî âñåé öåïè.
Îáîçíà÷àÿ, êàê è ðàíåå, ÷åðåç r
ã
ñîïðîòèâëåíèå âñåé ëèíåéíîé ÷àñòè öåïè ìå
-
æäó çàæèìàìè a è b ïðè çàìêíóòûõ íàêîðîòêî èñòî÷íèêàõ ÝÄÑ â íåé, ïîëó÷àåì
i
u
rri
=
+
0
ã
()
,
ãäå r(i) — ñîïðîòèâëåíèå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ïðè òîêå i â íåì. Òàêèì îáðàçîì,
âñþ ñëîæíóþ ëèíåéíóþ ÷àñòü öåïè çàìåíÿåì ýêâèâàëåíòíûì ãåíåðàòîðîì ÝÄÑ
¢¢
=eu
00
ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâëåíèåì r
ã
(ðèñ. 20.22). Âû÷èñëåíèÿ âåëè÷èí u
0
è r
ã
ÿâëÿþòñÿ ÷èñòî ëèíåéíûìè çàäà÷àìè è ìîãóò áûòü âûïîëíåíû èçëîæåííû
-
ìè â § 5.8–5.16, ò. 2 ìåòîäàìè. Îòûñêàíèå òîêà i â öåïè, ïðåäñòàâëåííîé íà
Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå 375
ðèñ. 20.22, ëåãêî âûïîëíÿåòñÿ ãðàôè÷åñêèì ïîñòðîåíèåì, èçëîæåííûì â § 20.3,
åñëè çàäàíà êðèâàÿ, èçîáðàæàþùàÿ õàðàêòåðèñòèêó u = F(i) íåëèíåéíîãî ýëå
-
ìåíòà.
 âûøåèçëîæåííîì áûëà ñäåëàíà òîëüêî îäíà îãîâîðêà, ÷òî õàðàêòåðèñòèêà
è = F(i) ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, ò. å. ÷òî ïðè i = 0 òàêæå è u = 0. Åñëè
ýòî íå èìååò ìåñòà (ðèñ. 20.23), òî, ïåðåíåñÿ îñü àáñöèññ òàê, ÷òîáû õàðàêòåðè
-
ñòèêà ïðîøëà ÷åðåç íîâîå íà÷àëî êîîðäèíàò 0¢, âèäèì, ÷òî äåéñòâèòåëüíûé íå-
ëèíåéíûé ýëåìåíò ñ õàðàêòåðèñòèêîé è
ab
= F(i), íå ïðîõîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êî-
îðäèíàò, ìîæåò áûòü çàìåíåí ïîñëåäîâàòåëüíûì ñîåäèíåíèåì (ðèñ. 20.24)
íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ñ õàðàêòåðèñòèêîé u
ab¢
= F¢(i) = F(i)–è
b¢b
= F(i)+e
b¢b
, ïðî-
õîäÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, è èñòî÷íèêà ÝÄÑ e
b¢b
ñ âíóòðåííèì ñîïðîòèâ-
ëåíèåì, ðàâíûì íóëþ. Åñëè ýòîò èñòî÷íèê ÝÄÑ îòíåñòè ê ëèíåéíîé ÷àñòè öåïè,
òî ïî îòíîøåíèþ ê çàæèìàì a è b¢ áóäóò ñïðàâåäëèâû âñå ïðèâåäåííûå ðàññóæ-
äåíèÿ.
20.5. Ðàñ÷åò ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
ñ äâóìÿ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè
Ïóñòü ñêîëü óãîäíî ñëîæíàÿ öåïü ñ èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ ñîäåðæèò äâå âåòâè ab
è cd ñ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè. Âûäåëèì íà ðèñ. 20.25 ýòè âåòâè, îáîçíà÷èâ
âñþ îñòàëüíóþ ëèíåéíóþ ÷àñòü öåïè, ïðåäñòàâëÿþùóþ ñîáîé àêòèâíûé ëèíåé
-
íûé ÷åòûðåõïîëþñíèê, óñëîâíî ïðÿìîóãîëüíèêîì. Èñïîëüçóåì èäåþ ìåòîäà,
èçëîæåííîãî â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, â ïðèìåíåíèè ê ýòîé öåïè.
Ââåäåì â âåòâè ab è cd òàêèå ÝÄÑ
¢
e
01
è
¢
e
02
, ÷òîáû ïðè äåéñòâèè â ëèíåéíîé
÷àñòè öåïè âñåõ çàäàííûõ ÝÄÑ òîêè â îáîèõ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòàõ îäíîâðåìåí
-
íî ñòàëè ðàâíûìè íóëþ (ðèñ. 20.26). Ïóñòü õàðàêòåðèñòèêè îáîèõ íåëèíåéíûõ
ýëåìåíòîâ òàêîâû, ÷òî íàïðÿæåíèÿ íà íèõ ðàâíû íóëþ ïðè îòñóòñòâèè òîêîâ â
íèõ.  òàêîì ñëó÷àå ÝÄÑ
¢
e
01
è
¢
e
02
ðàâíû è ïðîòèâîïîëîæíû ïî çíàêó íàïðÿæå
-
íèÿì u
01
è u
02
, âîçíèêàþùèì ïðè îäíîâðåìåííîì ðàçìûêàíèè îáåèõ âåòâåé ñ íå
-
ëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè â ìåñòàõ ðàçðûâà ýòèõ âåòâåé (ðèñ. 20.27). Îòûñêàíèå
ýòèõ íàïðÿæåíèé ÿâëÿåòñÿ ëèíåéíîé çàäà÷åé.
Åñëè òåïåðü çàìêíóòü íàêîðîòêî âñå çàäàííûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ â ëèíåéíîé
÷àñòè öåïè (
¢¢
=e
k
0
), ñîõðàíèâ â âåòâÿõ âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ ýòèõ èñòî÷íè
-
êîâ, è ââåñòè â âåòâè ab è cd èñòî÷íèêè ñ ÝÄÑ
¢¢
=-
¢
=eeu
01 01 01
è
¢¢
=-
¢
=eeu
02 02 02
(ðèñ. 20.28), òî íà îñíîâå ðàññóæäåíèé, ïðèâåäåííûõ â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå,
ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî òîêè â íåëèíåéíûõ ýëåìåíòàõ â ýòîì ðåæèìå áóäóò ðàâ
-
376 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðèñ. 20.22
Ðèñ. 20.23
Ðèñ. 20.24
íû èñêîìûì òîêàì i
ab
è i
cd
, âîçíèêàþùèì â íèõ â äåéñòâèòåëüíîé ñëîæíîé öåïè
(ðèñ. 20.25) ïîä äåéñòâèåì âñåõ çàäàííûõ ÝÄÑ.
Óïðîùåíèå çàäà÷è çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî âìåñòî áîëüøîãî ÷èñëà çàäàííûõ
ÝÄÑ, äåéñòâóþùèõ â âåòâÿõ ñëîæíîé öåïè, òåïåðü èìååì òîëüêî äâå ýêâèâà
-
ëåíòíûå ÝÄÑ
¢¢
e
01
è
¢¢
e
02
, âêëþ÷åííûå â âåòâè ñ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè. Ïðè
ýòîì âñÿ ñëîæíàÿ ëèíåéíàÿ ÷àñòü öåïè ñòàëà ïàññèâíûì ÷åòûðåõïîëþñíèêîì.
Òàêèì îáðàçîì, çàäà÷à ñâîäèòñÿ ê ðàñ÷åòó ëèíåéíîé öåïè, èçîáðàæåííîé íà
ðèñ. 20.27, è ê ðàñ÷åòó öåïè, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 20.28. Òîêè âî âñåõ âåòâÿõ ïîëó
-
÷àþòñÿ ñóììèðîâàíèåì òîêîâ, íàéäåííûõ â ýòèõ äâóõ çàäà÷àõ, â ÷àñòíîñòè, òîêè
â íåëèíåéíûõ âåòâÿõ ïîëó÷àþòñÿ ñðàçó èç ðåøåíèÿ âòîðîé çàäà÷è, òàê êàê â ïåð-
âîé çàäà÷å îíè ðàâíû íóëþ.
Ðåøåíèå âòîðîé íåëèíåéíîé çàäà÷è (ðèñ. 20.28) âûïîëíÿåòñÿ ïóòåì çàìåíû
ëèíåéíîãî ïàññèâíîãî ÷åòûðåõïîëþñíèêà åãî Ò-îáðàçíîé ýêâèâàëåíòíîé ñõåìîé
(ðèñ. 20.29). Ïàðàìåòðû r
1
, r
2
, r
3
ýòîé ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû îïðåäåëÿþòñÿ ìåòî
-
äàìè, èçëîæåííûìè â § 13.2 è 13.3. Öåïü, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 20.29, ëåãêî ðàñ
-
ñ÷èòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ãðàôè÷åñêèõ ïîñòðîåíèé, ïðèâåäåííûõ â § 20.3.
20.6. Ðàñ÷åò ñëîæíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè
ñ òðåìÿ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè
Ïóñòü ñêîëü óãîäíî ñëîæíàÿ ýëåêòðè÷åñêàÿ öåïü ñ èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ ñîäåðæèò
òðè âåòâè, ab, cd è gk, ñ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè. Âûäåëèì íà ðèñ. 20.30 ýòè âåò
-
âè, îáîçíà÷èâ âñþ îñòàëüíóþ ëèíåéíóþ ÷àñòü óñëîâíî øåñòèóãîëüíèêîì. Ýòà
÷àñòü, èìåþùàÿ òðè ïàðû çàæèìîâ, ïðè÷åì â êàæäîé ïàðå îäèí ÿâëÿåòñÿ âõîä
-
íûì, à äðóãîé — âûõîäíûì ïî îòíîøåíèþ ê ñîîòâåòñòâóþùåé âíåøíåé öåïè
(èëè âåòâè), ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé òàê íàçûâàåìûé øåñòèïîëþñíèê. Â äàí
-
íîì ñëó÷àå øåñòèïîëþñíèê ÿâëÿåòñÿ àêòèâíûì, òàê êàê ñîäåðæèò âíóòðè ñåáÿ
èñòî÷íèêè ÝÄÑ.
Ââåäåì âî âñå âûíåñåííûå íåëèíåéíûå âåòâè òàêèå ÝÄÑ
¢
e
01
,
¢
e
02
è
¢
e
03
, ÷òîáû
ïðè äåéñòâèè âñåõ çàäàííûõ ÝÄÑ òîêè i
ab
, i
cd
è i
gk
â íåëèíåéíûõ ýëåìåíòàõ îäíî
-
âðåìåííî áûëè ðàâíû íóëþ. Ýòè ÝÄÑ
¢
e
01
,
¢
e
02
è
¢
e
03
ðàâíû ïî çíà÷åíèþ è ïðîòèâî
-
Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå 377
Ðèñ. 20.25
Ðèñ. 20.26
Ðèñ. 20.27
Ðèñ. 20.28
Ðèñ. 20.29
ïîëîæíû ïî çíàêó íàïðÿæåíèÿì u
01
, u
02
è u
03
, êîòîðûå ïîÿâëÿþòñÿ â ìåñòàõ ðàç
-
ìûêàíèÿ âåòâåé ab, cd è gk ïîä äåéñòâèåì âñåõ çàäàííûõ ÝÄÑ.
Åñëè òåïåðü ââåñòè â íåëèíåéíûå âåòâè ÝÄÑ
¢¢
=-
¢
=eeu
01 01 01
,
¢¢
=-
¢
=eeu
02 02 02
,
¢¢
=-
¢
=eeu
03 03 03
è çàìêíóòü íàêîðîòêî âñå çàäàííûå èñòî÷íèêè ÝÄÑ, ñîõðàíèâ
â ñîîòâåòñòâóþùèõ âåòâÿõ èõ âíóòðåííèå ñîïðîòèâëåíèÿ (ðèñ. 20.31), òî òîêè
â íåëèíåéíûõ âåòâÿõ áóäóò ðàâíû èñêîìûì òîêàì i
ab
, i
cd
è i
gk
â äåéñòâèòåëüíîé
çàäà÷å. Ïðè ýòîì øåñòèïîëþñíèê ìåæäó çàæèìàìè à è b, c è d, g è k ÿâëÿåòñÿ
ïàññèâíûì.
Äëÿ ïàññèâíîãî ëèíåéíîãî øåñòèïîëþñíèêà (ðèñ. 20.32) èìåþò ìåñòî óðàâ-
íåíèÿ
uRiRiRi
uRiRiRi
uRi
1111122133
2211222233
3311
=++
=++
=
;
;
++Ri Ri
32 2 33 3
,
ãäå u
1
= u
ba
, u
2
= u
dc
è u
3
= u
kg
— ïðèëîæåííûå èçâíå ê çàæèìàì øåñòèïîëþñíèêà
íàïðÿæåíèÿ.
Ýòè óðàâíåíèÿ ëåãêî ïîëó÷èòü, èñïîëüçîâàâ ïðèíöèï íàëîæåíèÿ. Åñëè ïðè
-
ëîæèòü íàïðÿæåíèå
¢
u
1
òîëüêî ê çàæèìàì b è a, à âòîðóþ è òðåòüþ âíåøíèå öåïè
ðàçîìêíóòü (i
2
= 0èi
3
= 0), òî áóäåì èìåòü
¢
=
¢
=
¢
=uRiu Riu Ri
1 111 2 211 3 311
;;.
Ïðèëîæèâ íàïðÿæåíèå
¢¢
u
2
ê çàæèìàì d è c è ðàçîìêíóâ ïåðâóþ è òðåòüþ
âíåøíèå öåïè, ïîëó÷èì
¢¢
=
¢¢
=
¢¢
=uRiu Riu Ri
1 122 2 222 3 322
;;.
Íàêîíåö, ïðè äåéñòâèè âíåøíåãî íàïðÿæåíèÿ
¢¢¢
u
3
ìåæäó çàæèìàìè k è g ïðè
ðàçîìêíóòûõ âíåøíèõ ïåðâîé è âòîðîé öåïÿõ èìååì
¢¢¢
=
¢¢¢
=
¢¢¢
=uRiu Riu Ri
1 133 2 233 3 333
;;.
Íàêëàäûâàÿ ýòè òðè ðåæèìà è ïîëàãàÿ
¢
+
¢¢
+
¢¢¢
=
¢
+
¢¢
+
¢¢¢
=uuu uu u u u
111 12 2 2 2
,
è
¢
+
¢¢
+
¢¢¢
=uuu u
333 3
,
ïîëó÷èì íàïèñàííûå âûøå óðàâíåíèÿ ïàññèâíîãî ëèíåéíîãî
øåñòèïîëþñíèêà. Âõîäÿùèå â ýòè óðàâíåíèÿ ïàðàìåòðû îïðåäåëÿþòñÿ ðàñ÷åò
-
íûì èëè îïûòíûì ïóòåì èç òîëüêî ÷òî ðàññìîòðåííûõ òðåõ ÷àñòíûõ ðåæèìîâ.
Íà îñíîâå ïðèíöèïà âçàèìíîñòè ìîæíî óòâåðæäàòü, ÷òî R
21
= R
12
, R
32
= R
23
è R
31
= R
13
. Òàêèì îáðàçîì, óðàâíåíèÿ øåñòèïîëþñíèêà ñîäåðæàò òîëüêî øåñòü
378 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðèñ. 20.30
Ðèñ. 20.31
Ðèñ. 20.32
íåçàâèñèìûõ ïàðàìåòðîâ, è, ñëåäîâàòåëüíî, ïðîñòåéøàÿ ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà
øåñòèïîëþñíèêà äîëæíà èìåòü øåñòü ýëåìåíòîâ. Íà ðèñ. 20.33 èçîáðàæåíà îäíà
èç òàêèõ âîçìîæíûõ ñõåì, èìåþùàÿ òðè íåçàâèñèìûõ êîíòóðà ñ êîíòóðíûìè òî
-
êàìè i
1
, i
2
è i
3
. Óðàâíåíèÿ øåñòèïîëþñíèêà è ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé óðàâíåíèÿ êîí
-
òóðíûõ òîêîâ äëÿ ýòîé ýêâèâàëåíòíîé ñõåìû.
Ñîáñòâåííûå ñîïðîòèâëåíèÿ êîíòóðîâ ðàâíû
R rrr R rrr R rrr
11 1 4 5 22 2 5 6 33 3 6 4
=++ =++ =++;;.
Âçàèìíûå ñîïðîòèâëåíèÿ R
12
, R
23
è R
31
îòðèöàòåëüíû, òàê êàê ïîëîæèòåëüíûå
íàïðàâëåíèÿ êîíòóðíûõ òîêîâ â îáùèõ âåòâÿõ ïðîòèâîïîëîæíû, à â óðàâíåíèÿõ
øåñòèïîëþñíèêà âñå ÷ëåíû íàìè íàïèñàíû ñî çíàêîì «ïëþñ». Èìååì
RR rRR rRR r
12 21 5 23 32 6 13 31 4
==- ==- ==-;;.
Èç ýòèõ óðàâíåíèé îïðåäåëÿþòñÿ ñîïðîòèâëåíèÿ ýëåìåíòîâ ýêâèâàëåíòíîé
ñõåìû ÷åðåç ïàðàìåòðû øåñòèïîëþñíèêà.
Çàìåíèì ñîåäèíåíèå çâåçäîé ñîïðîòèâëåíèé r
4
, r
5
è r
6
íà ðèñ. 20.33 ýêâèâà
-
ëåíòíûì ñîåäèíåíèåì òðåóãîëüíèêîì. Ïîëó÷èì äðóãóþ âîçìîæíóþ ýêâèâàëåíò
-
íóþ ñõåìó øåñòèïîëþñíèêà (ðèñ. 20.34), èñïîëüçîâàâ êîòîðóþ, ïðèâåäåì ñõåìó
íà ðèñ. 20.31 ê âèäó, èçîáðàæåííîìó íà ðèñ. 20.35.
 ýòîé ñõåìå âåòâè ñ èíäåêñàìè 1 è 45, 2 è 56, à òàêæå3è64ñîåäèíåíû ïîïàð
-
íî ïàðàëëåëüíî, à îáðàçîâàííûå ýòèìè ïàðàìè âåòâåé êîíòóðû ñîåäèíåíû ìåæäó
ñîáîé ïîñëåäîâàòåëüíî. Â òðåõ âåòâÿõ ñîäåðæàòñÿ íåëèíåéíûå ýëåìåíòû è èñ
-
òî÷íèêè ÝÄÑ. Òàêàÿ öåïü ëåãêî ðàññ÷èòûâàåòñÿ ñ ïîìîùüþ ãðàôè÷åñêèõ ïî
-
ñòðîåíèé, ïðèâåäåííûõ â § 20.3.
Îòìåòèì, ÷òî â ÷àñòíîì ñëó÷àå, êîãäà â çàäàííîé äåéñòâèòåëüíîé ñëîæíîé
öåïè âñå òðè âåòâè ñ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè ñõîäÿòñÿ ê îäíîìó óçëó, îáðàçóÿ
ñîåäèíåíèå çâåçäîé, ïðè îäíîâðåìåííîì ðàçìûêàíèè ýòèõ âåòâåé óçåë îêàçûâà
-
åòñÿ îòêëþ÷åííûì îò âñåé öåïè, åãî ïîòåíöèàë ïî îòíîøåíèþ ê äðóãèì òî÷êàì
öåïè ïîëó÷àåòñÿ íåîïðåäåëåííûì, à ñëåäîâàòåëüíî, íåîïðåäåëåííûìè îêàçûâà
-
þòñÿ è íàïðÿæåíèÿ íà ìåñòàõ ðàçðûâà. Îäíàêî â ýòîì ñëó÷àå äîñòàòî÷íî ðàçî
-
ðâàòü òîëüêî äâå âåòâè ñ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè, òàê êàê òîê â òðåòüåé âåòâè
ñ íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì ïðè ýòîì òàêæå áóäåò ðàâåí íóëþ. Ñîîòâåòñòâåííî, ïðè
ðàñ÷åòå òîêîâ â íåëèíåéíûõ ýëåìåíòàõ äîñòàòî÷íî áóäåò ââåñòè òîëüêî äâà ýêâè
-
âàëåíòíûõ èñòî÷íèêà ÝÄÑ, íàïðèìåð
¢¢
e
01
è
¢¢
e
02
.  ñëó÷àå, êîãäà õàðàêòåðèñòèêà
Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå 379
Ðèñ. 20.33 Ðèñ. 20.34 Ðèñ. 20.35
íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà íå ïðîõîäèò ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, ýòîò íåëèíåéíûé
ýëåìåíò ìîæåò áûòü çàìåíåí íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì ñ õàðàêòåðèñòèêîé, ïðîõî
-
äÿùåé ÷åðåç íà÷àëî êîîðäèíàò, è èñòî÷íèêîì ÝÄÑ, êàê áûëî ïîêàçàíî â êîíöå
§ 20.4.
20.7. Ðàñ÷åò ñëîæíîé íåëèíåéíîé öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà
÷èñëåííûìè ìåòîäàìè
Íàãëÿäíîñòü è ïðîñòîòà ãðàôîàíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà íå êîìïåíñèðóþò îãðàíè
-
÷åííûõ åãî âîçìîæíîñòåé ïðè ðàñ÷åòå ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ öåïåé. Ñ ðàçâèòèåì
âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè øèðîêîå ïðèìåíåíèå íàõîäÿò ðàçëè÷íûå ÷èñëåííûå
ìåòîäû ðàñ÷åòà íåëèíåéíûõ öåïåé, êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü ðàññ÷èòàòü âåñü
-
ìà ñëîæíûå ñõåìû. Äëÿ ðàñ÷åòà íåëèíåéíûõ öåïåé íàèáîëüøåå ðàñïðîñòðàíå
-
íèå ïîëó÷èë ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé (ìåòîä èòåðàöèé).
Íàèáîëåå ïðîñòî ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé ìîæíî ïðèìåíèòü
äëÿ ðåøåíèÿ óðàâíåíèé, çàïèñàííûõ â âèäå
xfx= ().
Òîãäà
xfx x x
kk
k
k+
®¥
==
1
( ), lim .à
èñê
Çäåñü x
k
è x
k+1
— çíà÷åíèÿ èíòåðåñóþùåé íàñ (èñêîìîé) âåëè÷èíû x
èñê
íà k-ì
è(k + 1)-ì øàãàõ èòåðàöèé; f(x
k
) — çíà÷åíèå íåëèíåéíîé ôóíêöèè íà k-ì øàãå
èòåðàöèé. Ãðàôè÷åñêè ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé ìîæíî ïðåäñòàâèòü, èçîáðàçèâ
íà ïëîñêîñòè ôóíêöèè f(x)èõ = x. Òî÷êà ïåðåñå÷åíèÿ ýòèõ ôóíêöèé è åñòü ðåøå-
íèå óðàâíåíèÿ. Òðàåêòîðèÿ ñáëèæåíèÿ ê ýòîé òî÷êå ðàâíîâåñèÿ è îòðàæàåò çíà-
÷åíèÿ f(x
k
)èx
k
ïðè ðàçëè÷íûõ k. Íà ðèñ. 20.36 èçîáðàæåí ñëó÷àé, êîãäà ïåðå-
ñå÷åíèå óêàçàííûõ ôóíêöèé ïðîèñõîäèò
â òðåõ òî÷êàõ, ò. å. ñóùåñòâóþò òðè ðåøå
-
íèÿ óðàâíåíèÿ (òðè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ, a,
b, c). Èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñëåäóåò íà÷è
-
íàòü ñ ïðîèçâîëüíîãî çíà÷åíèÿ x, îáîçíà
-
÷åííîãî íà ðèñ. 20.36 áóêâîé õ
0
. Íà ýòîì
ðèñóíêå èçîáðàæåíû èòåðàöèîííûå ïðî
-
öåññû äëÿ ÷åòûðåõ ðàçëè÷íûõ íà÷àëüíûõ
çíà÷åíèé x
0
, à èìåííî
x
1
0
,
x
2
0
,
x
3
0
è
x
4
0
. Èòå
-
ðàöèîííûé ïðîöåññ ìîæåò ñõîäèòüñÿ ê òî÷
-
êå ðàâíîâåñèÿ, åñëè õàðàêòåð ôóíêöèè f(x)
â îêðåñòíîñòè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ ïîçâîëÿåò
ýòî (ñëó÷àé ñ
x
2
0
,
x
3
0
,
x
4
0
). Íî èòåðàöèîííûé
ïðîöåññ ìîæåò è íå ñõîäèòüñÿ ê òî÷êå ðàâ
-
íîâåñèÿ (ñëó÷àé ñ
x
1
0
â îêðåñòíîñòè òî÷
-
êè a). Äîñòàòî÷íûì óñëîâèåì ñõîäèìîñòè ÿâëÿåòñÿ íåðàâåíñòâî
|()|
¢
<fx 1
â îêðåñòíîñòè òî÷êè ðàâíîâåñèÿ.
Ðèñ. 20.36 ïîêàçûâàåò, ÷òî ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé íå âñåãäà îáåñïå÷èâàåò
ñõîäèìîñòü ïðîöåññà èòåðàöèé è ÷òî äëÿ íàõîæäåíèÿ âñåõ ðåøåíèé ñëåäóåò
380 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðèñ. 20.36
çàäàâàòü ïîäõîäÿùèå, íàïåðåä íåèçâåñòíûå íà÷àëüíûå ïðèáëèæåíèÿ. Ïðè ðàñ
-
ñìîòðåíèè ñèñòåìû óðàâíåíèé öåïè âåñüìà âàæíî ñôîðìèðîâàòü óðàâíåíèå
õ = f(õ) îòíîñèòåëüíî òàêèõ âåëè÷èí, êîòîðûå äàþò âîçìîæíîñòü îäíîçíà÷íî îï
-
ðåäåëèòü f(x) ïðè äàííîì x. Íàïðèìåð, íà ðèñ. 20.36 äëÿ çíà÷åíèÿ
x
4
0
ìîæíî íàé
-
òè äâà çíà÷åíèÿ f(
x
4
0
). Ïðèìåíèòåëüíî ê ÂÀÕ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé
ýòî óñëîâèå ïðîàíàëèçèðóåì íà ïðèìåðå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ èñòî÷
-
íèêà ÝÄÑ E è äâóõ íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ (ñì. ðèñ. 20.2, à).
Óðàâíåíèÿ öåïè èìåþò âèä
Euu u fi ifu u fi ifu=+ = = = =
121 1 31 2 2 42
;() (); () ().èëè èëè
Çäåñü, ñîãëàñíî ïðèíÿòîìó â § 19.2 ðàçäåëåíèþ, u = f(i) îçíà÷àåò, ÷òî ÂÀÕ
óïðàâëÿåìà òîêîì, ò. å. ïðè çàäàííîì òîêå íàïðÿæåíèå îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷
-
íî. Ôóíêöèÿ i = f(è) îçíà÷àåò, ÷òî ÂÀÕ óïðàâëÿåìà íàïðÿæåíèåì, ò. å. ïðè çàäàí
-
íîì íàïðÿæåíèè òîê îïðåäåëÿåòñÿ îäíîçíà÷íî.  ôîðìå x = f(x) ìîæíî çàïèñàòü
ñëåäóþùèå óðàâíåíèÿ:
uEu EfiEffu uEffu
u
1 2 2 231 1 231
2
=- =- =- =-
=
() [()] [()];èëè
Eu Efi Effu u Effu
ifu
-=- =- =-
=
1 1 14 2 2 14 2
3
() [()] [()];
(
èëè
13 2 424 1
)[ ()] ()[ ()].=- = =-fE fi i fu fE fièëè
Ìîæíî íàéòè u
1
è u
2
òàêæå èç âûðàæåíèé
u fi ffEu u fi ffEu
11 14 1 2 2 23 2
== - == -() [ ( )] () [ ( )].è
Âñå øåñòü óðàâíåíèé (ïî äâà äëÿ i, u
1
è u
2
) èìåþò ôîðìó x = f(x) è ïîýòîìó
ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû äëÿ ìåòîäà ïðîñòûõ èòåðàöèé. Îäíàêî â çàâèñèìîñòè
îò õàðàêòåðà ÂÀÕ íåêîòîðûå èç íèõ áîëåå ïðåäïî÷òèòåëüíû. Ïóñòü ÂÀÕ ïåðâî-
ãî íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà óïðàâëÿåìà òîêîì u
1
= f
1
(i), a ÂÀÕ âòîðîãî ýëåìåíòà
óïðàâëÿåìà íàïðÿæåíèåì i = f
4
(u
2
). Èç øåñòè âûðàæåíèé, ñëåäîâàòåëüíî, íåîá
-
õîäèìî áðàòü ëèøü òå, â êîòîðûå âõîäÿò òîëüêî ôóíêöèè f
1
è f
4
. Òàêîâûìè ÿâëÿ
-
þòñÿ
u E ff u u ff E u i f E fi
21421141 41
=- = - = -[ ( )]; [ ( )]; [( ( )].
Âî âñåõ ýòèõ âûðàæåíèÿõ çíà÷åíèå x
k
îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿåò x
k+1
èç-çà
ñâîéñòâ ÂÀÕ f
1
è f
4
.
Çàìåòèì, ÷òî èñïîëüçîâàíèå äðóãèõ âûðàæåíèé ïðèâåäåò ê íåîïðåäåëåííî
-
ñòè. Íàïðèìåð, ïóñòü f
2
è f
3
òàêîâû, ÷òî äàííûì çíà÷åíèÿì u
1
è i ñîîòâåòñòâóþò
ïî òðè çíà÷åíèÿ i è u
2
, èíà÷å ãîâîðÿ, ôóíêöèè f
2
è f
3
ìíîãîçíà÷íû. Åñëè èñïîëü
-
çîâàòü äëÿ u
1
óðàâíåíèå u
1
= Å – f
2
[f
3
(u
1
)], òî äëÿ çàäàííîãî
u
k
1
èç ôóíêöèè f
3
îïðåäåëèì òðè çíà÷åíèÿ i, ïî êîòîðûì èç ôóíêöèè f
2
îïðåäåëèì äåâÿòü çíà
-
÷åíèé
u
k
1
1+
. Òàêàÿ ìíîãîçíà÷íîñòü íåïðèåìëåìà ñ òî÷êè çðåíèÿ ðàöèîíàëüíîé îð
-
ãàíèçàöèè ïðîöåññà ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Íå èìååò çíà÷åíèÿ è òî
îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî òàêàÿ ìíîæåñòâåííîñòü ðåøåíèÿ äëÿ u
1
âîçìîæíà äëÿ îãðà
-
íè÷åííîãî èíòåðâàëà çíà÷åíèé u
1
, ïîñêîëüêó â ïðîöåññå èòåðàöèé u
1
ìîæåò îêà
-
çàòüñÿ èìåííî â ýòîì èíòåðâàëå.
Ïðè ïðàêòè÷åñêèõ ðàñ÷åòàõ èòåðàöèîííûé ïðîöåññ ñëåäóåò çàêàí÷èâàòü ïðè
äîñòèæåíèè îïðåäåëåííîãî çíà÷åíèÿ x
k+1
, êîòîðîå îòëè÷àåòñÿ îò ïðåäûäóùåãî
Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå 381
íà âåëè÷èíó | x
k+1
– x
k
| £e, ãäå e çàðàíåå ñëåäóåò çàäàâàòü â êà÷åñòâå êðèòåðèÿ
îøèáêè â îïðåäåëåíèè x.
Íåäîñòàòêè ìåòîäà ïðîñòûõ èòåðàöèé ÷àñòè÷íî óñòðàíÿþòñÿ â ìåòîäå Íüþ
-
òîíà. Ñóòü ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â ñëåäóþùåì. Ïóñòü íåëèíåéíîå óðàâíåíèå
çàäàíî â âèäå f(x) = 0. Äîïóñòèì, ÷òî äâà ïðèáëèæåííûõ çíà÷åíèÿ x
k+1
è x
k
îòëè
-
÷àþòñÿ íà ìàëóþ âåëè÷èíó Dx = x
k+1
– x
k
. Òîãäà, ðàçëîæèâ ôóíêöèþ f(x
k
+ Dx)
â ðÿä ïî Dx è îãðàíè÷èâøèñü òîëüêî äâóìÿ ïåðâûìè ÷ëåíàìè ðÿäà (÷òî ñïðàâåä
-
ëèâî, åñëè Dx — ìàëàÿ âåëè÷èíà), ïîëó÷èì
fx x fx f x x
kkk
( ) () ().+» +DD'
Öåëåñîîáðàçíî âûáðàòü Dx òàêèì, ÷òîáû f(x
k
+ Dx) = 0. Òîãäà
Dxx x fx fx x x
fx
fx
kk k k k k
k
k
=-=- =-
++11
() ()
()
()
.'
'
è
Ïîñëåäíÿÿ ôîðìóëà òàêæå îïðåäåëÿåò íåêîòîðûé èòåðàöèîííûé ïðîöåññ, êî
-
òîðîìó ïðèñóùè âñå îñîáåííîñòè ìåòîäà èòåðàöèé. È â ìåòîäå Íüþòîíà ñëåäóåò
çàäàâàòü íåêîòîðîå íà÷àëüíîå çíà÷åíèå x
0
, îïðåäåëèòü f(x)èf¢(x). Çäåñü òàêæå
ñëåäóåò ïðåêðàòèòü âû÷èñëåíèÿ ïðè âûïîëíåíèè óñëîâèÿ | x
k+1
– x
k
| £e. Â ìåòî-
äå Íüþòîíà âîçìîæíû ñëó÷àè, êîãäà ïðîèç-
âîäíàÿ ôóíêöèè áëèçêà (èëè ðàâíà) íóëþ,
è ïîýòîìó Dx ìîæåò áûòü âåñüìà âåëèêî
(èëè ðàâíî áåñêîíå÷íîñòè). Ïðè ýòîì íîâîå
çíà÷åíèå x
k+1
ìîæåò ñèëüíî îòëè÷àòüñÿ îò
x
k
, ÷òî óõóäøàåò óñëîâèÿ ñõîäèìîñòè. Ýòè
çàòðóäíåíèÿ, êàê ïðàâèëî, îáõîäÿò, çàäàâàÿ
íîâûå çíà÷åíèÿ x
0
, êîòîðûå ïîçâîëÿþò ìè-
íîâàòü òî÷êè (ðèñ. 20.37) ýêñòðåìóìà. Ïðè
-
ìåíèòåëüíî ê ìåòîäó Íüþòîíà îñòàåòñÿ â
ñèëå âñå ñêàçàííîå âûøå î âûáîðå âåëè÷èí, îòíîñèòåëüíî êîòîðûõ çàïèñûâàåòñÿ
óðàâíåíèå f(õ) = 0. Ýòè âåëè÷èíû è âèä ôóíêöèè äîëæíû îáåñïå÷èòü îäíîçíà÷
-
íîñòü f(x
k
) ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè x
k
. Äëÿ öåïè, íà ïðèìåðå êîòîðîé âûøå èë
-
ëþñòðèðîâàëñÿ ìåòîä ïðîñòûõ èòåðàöèé, â êà÷åñòâå íåëèíåéíûõ ôóíêöèé ñëå
-
äóåò òàêæå áðàòü ôóíêöèè f
1
(i)èf
4
(u
2
), êîòîðûå îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþò
íàïðÿæåíèå u
1
÷åðåç òîê è òîê ÷åðåç íàïðÿæåíèå u
2
. Ñîñòàâèì óðàâíåíèå âèäà
f(x) = 0 îòíîñèòåëüíî u
2
:
fx fu E u f f u() ( ) [ ( )] .==-- =
22142
0
Òîãäà
fx fu
f
f
f
u
''() ( ) .==--
2
1
4
4
2
1
¶
¶
¶
¶
Ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå, ÷òî f
4
(u
2
) = i è f
1
(i) = u
1
, à ñëåäîâàòåëüíî,
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
¶
fi
f
fi
i
u
i
r
fu
u
i
u
g
1
4
11
1
42
22
2
() () ( )
,=== ==
ää
è
382 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðèñ. 20.37