Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

óðàâíåíèÿõ êîìïëåêñíûå ñîïðîòèâëåíèÿ íåëèíåéíûõ èíåðöèîííûõ ýëåìåíòîâ,

ò. å. ìîäóëè è àðãóìåíòû ýòèõ ñîïðîòèâëåíèé, áóäóò ôóíêöèÿìè äåéñòâóþùèõ

òîêîâ â ýòèõ ýëåìåíòàõ. Ñëåäîâàòåëüíî, àëãåáðàè÷åñêèå óðàâíåíèÿ, çàïèñàííûå

â êîìïëåêñíîé ôîðìå ñîãëàñíî çàêîíàì Êèðõãîôà, ÿâëÿþòñÿ òåïåðü íåëèíåéíû

ìè. Òðóäíîñòü ðåøåíèÿ èõ çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî â îáùåì ñëó÷àå îò äåéñòâóþ

ùåãî òîêà â íåëèíåéíîì ýëåìåíòå ìîãóò çàâèñåòü è ìîäóëü, è àðãóìåíò êîì

ïëåêñíîãî ñîïðîòèâëåíèÿ ýëåìåíòà. Íî äàæå åñëè èçìåíÿåòñÿ òîëüêî ìîäóëü

ýòîãî ñîïðîòèâëåíèÿ, ðàñ÷åò îñòàåòñÿ ñëîæíûì, òàê êàê ýòî èçìåíåíèå âåäåò ê

ïåðåðàñïðåäåëåíèþ àìïëèòóä è èçìåíåíèþ ôàç òîêîâ âî âñåõ âåòâÿõ öåïè.

Ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ïðè ñèíóñîèäàëüíîì ïðèëîæåííîì íàïðÿæåíèè ñëå

äóþùèé ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Çàäàåìñÿ íåêîòîðûìè âåðî

ÿòíûìè çíà÷åíèÿìè êîìïëåêñíûõ ñîïðîòèâëåíèé

Zze

íåëèíåéíûõ ýëå

ìåíòîâ è, ñ÷èòàÿ èõ ïîñòîÿííûìè, ïðîèçâîäèì ðàñ÷åò öåïåé. Îïðåäåëèâ äåéñò

âóþùèå òîêè â íåëèíåéíûõ ýëåìåíòàõ, ïðîâåðÿåì ñîîòâåòñòâèå çàäàííûõ ïàðà

ìåòðîâ ýëåìåíòîâ çíà÷åíèÿì ýòèõ ïàðàìåòðîâ, ïîëó÷åííûõ èç äåéñòâèòåëüíûõ

õàðàêòåðèñòèê íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ïðè íàéäåííûõ çíà÷åíèÿõ òîêîâ. Ïðè íå-

ñîâïàäåíèè çíà÷åíèé ïàðàìåòðîâ âíîñèì ïîïðàâêè â íèõ è ïðîèçâîäèì ïîâòîð-

íûé ðàñ÷åò. Ýòîò ðàñ÷åò ñëåäóåò âûïîëíÿòü äî òåõ ïîð, ïîêà ïðèíÿòûå äëÿ ðàñ-

÷åòà çíà÷åíèÿ ïàðàìåòðîâ íå áóäóò äîñòàòî÷íî áëèçêè ê èõ çíà÷åíèÿì, ïîëó÷åí-

íûì èç õàðàêòåðèñòèê.

Èíåðöèîííûìè ýëåìåíòàìè ñ ñîïðîòèâëåíèÿìè, êàê áûëî óêàçàíî â § 19.4,

ÿâëÿþòñÿ, íàïðèìåð, òàêèå, êîòîðûå îáëàäàþò áîëüøîé òåïëîâîé èíåðöèåé (íà-

ïðèìåð, ëàìïû íàêàëèâàíèÿ). Ïðèìåðîì èíåðöèîííîãî èíäóêòèâíîãî ýëåìåíòà

ìîæåò ñëóæèòü ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèé ýëåìåíò, êîòîðûé ðàññìîòðèì â ñëåäóþ-

ùåì ïàðàãðàôå.

Ñèíóñîèäàëüíûå óñòàíîâèâøèåñÿ ðåæèìû â ñëîæíûõ ýëåêòðîýíåðãåòè÷å-

ñêèõ ñèñòåìàõ â íåêîòîðûõ ñëó÷àÿõ òàêæå ìîãóò áûòü îïèñàíû ñèñòåìàìè íå

ëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé. Òàêàÿ âîçìîæíîñòü âîçíèêàåò, êîãäà îêà

çûâàþòñÿ çàäàííûìè íå ÝÄÑ è ïàðàìåòðû ëèíèé è íàãðóçîê, à çíà÷åíèÿ

ïîòðåáëÿåìûõ è ãåíåðèðóåìûõ ìîùíîñòåé. Ïðè óñëîâèè çàäàíèÿ ïîòðåáëÿåìîé

ìîùíîñòè òîê è íàïðÿæåíèå îêàçûâàþòñÿ âçàèìîñâÿçàííûìè ÷åðåç íåëèíåéíîå

ñîïðîòèâëåíèå (èëè ïðîâîäèìîñòü). Äåéñòâèòåëüíî, åñëè

pui S IU== = =const è

const,

òî

fu==()

èëè

().

fU==

Â ñëîæíûõ ýëåêòðîýíåðãåòè÷åñêèõ ñèñòåìàõ ñ òî÷êè çðåíèÿ ýêñïëóàòàöèîí

íûõ õàðàêòåðèñòèê è èç-çà îñîáåííîñòåé ñîåäèíåíèé ãåíåðàòîðîâ è ïîòðåáèòå

ëåé íàèáîëåå öåëåñîîáðàçíî â êà÷åñòâå èñêîìûõ âåëè÷èí âûáèðàòü íàïðÿæåíèÿ

â óçëàõ ñèñòåìû. Ñ ó÷åòîì ýòîãî äëÿ ðàñ÷åòà òàêèõ ñèñòåì íàèáîëåå ðàñïðîñòðà

íåí ìåòîä óçëîâûõ íàïðÿæåíèé. Îòíîñèòåëüíî óçëîâûõ íàïðÿæåíèé ìîæíî çà

ïèñàòü

AYAU A 1U S

()=

-1

Çäåñü Y — ìàòðèöà êîìïëåêñíûõ óçëîâûõ ïðîâîäèìîñòåé; A — ìàòðèöà ñî

åäèíåíèé;

— ìàòðèöà-ñòîëáåö óçëîâûõ êîìïëåêñíûõ íàïðÿæåíèé;

— ìàòðè

Ãëàâà 21. Íåëèíåéíûå ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå öåïè ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññàõ 403

öà-ñòîëáåö çàäàííûõ êîìïëåêñíûõ ìîùíîñòåé èñòî÷íèêîâ è ïðèåìíèêîâ. Ýòî

ìàòðè÷íîå óðàâíåíèå ïî óêàçàííûì âûøå ïðè÷èíàì ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ñèñòå

ìó íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé îòíîñèòåëüíî êîìïëåêñíûõ óçëîâûõ

íàïðÿæåíèé. Ðàçäåëèâ âåùåñòâåííûå è ìíèìûå ñîñòàâëÿþùèå, ìîæíî çàïèñàòü

AYAU A1U S UU UU

() (,) (,)==+=

-1

112 21 2

0ÔÔ

èëè

ÔèÔ

112 21 2

(, ) (, ) .UU 0 UU 0==

Ïîñëåäíÿÿ ñèñòåìà óðàâíåíèé, íàïèñàííàÿ äëÿ âåùåñòâåííûõ ìàòðèö U

è U

, ìîæåò áûòü ðåøåíà èçëîæåííûìè âî âòîðîé ãëàâå ìåòîäàìè ïðîñòûõ èòå

ðàöèé èëè Íüþòîíà. Ðàçóìååòñÿ, ìåòîäû ðàñ÷åòà ñëîæíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ ñèñ

òåì íå îãðàíè÷èâàþòñÿ ïðèâåäåííûìè âûøå. Â çàâèñèìîñòè îò ïîñòàâëåííîé

çàäà÷è è õàðàêòåðà çàäàííûõ èñõîäíûõ äàííûõ ìîãóò áûòü ñôîðìèðîâàíû ðàç

ëè÷íûå ñèñòåìû óðàâíåíèé. Îäíàêî äëÿ âñåõ ýòèõ ïîäõîäîâ îñòàåòñÿ îáùèì òî,

÷òî â êîíå÷íîì èòîãå ôîðìèðóåòñÿ ñèñòåìà íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíå

íèé. Ïðèâåäåííûå â êà÷åñòâå ïðèìåðà ìåòîäû ðåøåíèÿ òàêèõ ñèñòåì óðàâíåíèé

(ìåòîä ïðîñòîé èòåðàöèè è ìåòîä Íüþòîíà) ÿâëÿþòñÿ îñíîâîé äëÿ ðàçðàáîòêè

äðóãèõ, áîëåå ýôôåêòèâíûõ ìåòîäîâ ðàñ÷åòà ñëîæíûõ íåëèíåéíûõ öåïåé ïåðå-

ìåííîãî òîêà â óñòàíîâèâøèõñÿ ðåæèìàõ.

21.2. Ïðîöåññû â öåïè ñ èíäóêòèâíûì èíåðöèîííûì

ýëåêòðîìåõàíè÷åñêèì ýëåìåíòîì

Ðàññìîòðèì ýëåêòðîìàãíèò, ïèòàåìûé ñèíóñîèäàëüíûì äåéñòâóþùèì òîêîì I;

ìåæäó åãî ïîëþñàìè ìîæåò âäîëü íàïðàâëÿþùèõ âåðòèêàëüíî ïåðåìåùàòüñÿ ìàñ-

ñèâíûé ôåððîìàãíèòíûé ÿêîðü (ðèñ. 21.1). Ïîëîæåíèå ÿêîðÿ

îïðåäåëèì êîîðäèíàòîé x, îòñ÷èòûâàåìîé îò íåêîòîðîãî íà÷àëü-

íîãî ïîëîæåíèÿ (îò óïîðà ÿêîðÿ). Ê ÿêîðþ ïðèëîæåíû ñèëà òÿ

æåñòè G, íàïðàâëåííàÿ âíèç, è ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà F, âòÿãè

âàþùàÿ ÿêîðü â ïðîñòðàíñòâî ìåæäó ïîëþñàìè ýëåêòðîìàãíèòà

è íàïðàâëåííàÿ ââåðõ.

Ìãíîâåííàÿ ýëåêòðîìàãíèòíàÿ ñèëà f, ñîãëàñíî èçëîæåííî

ìó â § 2.4, ò. I, èìååò âûðàæåíèå

Åñëè îñóùåñòâèòü çàâèñèìîñòü L(x) â âèäå L = ax + L

,òî¶L/¶x = à = const.

Ïðè äîñòàòî÷íî ìàññèâíîì ÿêîðå âñëåäñòâèå èíåðöèè ïîëîæåíèå åãî îñòàåòñÿ

ïðàêòè÷åñêè íåèçìåííûì â òå÷åíèå ïåðèîäà èçìåíåíèÿ òîêà. Ïîýòîìó ñðåäíåå

çà ïåðèîä çíà÷åíèå ýëåêòðîìàãíèòíîé ñèëû F ðàâíî

fdt

idt

== =

òò

Ýòà ñèëà óðàâíîâåøèâàåòñÿ ñèëîé òÿæåñòè G, è, ñëåäîâàòåëüíî,

404 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 21.1

Òàê êàê G = const, òî è I = const = I

, ò. å. òàêîå óñòðîéñòâî îñóùåñòâëÿåò ñòà

áèëèçàöèþ äåéñòâóþùåãî òîêà.

Çàâèñèìîñòü L = ax + L

èìåëà áû ìåñòî, åñëè áû çàçîð d ìåæäó ÿêîðåì è ïî

ëþñàìè îñòàâàëñÿ íåèçìåííûì, âñå ëèíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà ïðîõîäèëè ÷åðåç

çàçîð è ìîæíî áûëî áû ïðåíåáðå÷ü ìàãíèòíûìè ñîïðîòèâëåíèÿìè ÿêîðÿ è ñåð

äå÷íèêà. Ïðè ýòîì

=== ==

22 2

dm()

ãäå ñå÷åíèå, ñêâîçü êîòîðîå ïðîõîäèò ìàãíèòíûé ïîòîê â çàçîðå, s = bl = b(x + l

Òàêèì îáðàçîì,

xl axL=+=+

() .

Ïðè ýòèõ èäåàëüíûõ óñëîâèÿõ èí

äóêòèâíîñòü îñòàåòñÿ ïîñòîÿííîé, ðàâíîé L

, äî òåõ ïîð, ïîêà ÿêîðü ëåæèò íà

óïîðå, ò. å. ïîêà I < I

è F < G. Ïðè ýòîì ñ óâåëè÷åíèåì íàïðÿæåíèÿ U

íà êà

òóøêå òîê ðàñòåò ïðîïîðöèîíàëüíî åìó: U

= IwL

, ÷òî ñîîòâåòñòâóåò íà÷àëüíîé

ïðÿìîëèíåéíîé âåòâè 0c õàðàêòåðèñòèêè êàòóøêè (ðèñ. 21.2). Êàê òîëüêî òîê

äîñòèãíåò çíà÷åíèÿ I

, áóäåò èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî F = G è ÿêîðü îêàæåòñÿ âî

âçâåøåííîì ñîñòîÿíèè. Åñëè óâåëè÷èòü íàïðÿæåíèå âûøå çíà÷åíèÿ

,òîïðè

òîì æå íèæíåì ïîëîæåíèè ÿêîðÿ íà óïîðå óâåëè÷èòñÿ òîê âûøå çíà÷åíèÿ I

ñèëà F áóäåò áîëüøå G è ÿêîðü ïîäíèìåòñÿ. Îí áóäåò ïîäíèìàòüñÿ äî òåõ ïîð,

ïîêà âñëåäñòâèå âîçðàñòàíèÿ èíäóêòèâíîñòè L òîê íå óïàäåò âíîâü äî çíà÷å-

íèÿ I

, ïðè êîòîðîì áóäåò èìåòü ìåñòî ðàâåíñòâî F = G. Êàæäîìó çíà÷åíèþ íà-

ïðÿæåíèÿ U

ñîîòâåòñòâóåò ñâîå çíà÷åíèå èíäóêòèâíîñòè L, ò. å. îïðåäåëåííîå

ïîëîæåíèå ÿêîðÿ. Òàêèì îáðàçîì, õàðàêòåðèñòèêà êàòóøêè U

(I), èñïûòàâ

èçëîì â òî÷êå c, äàëüøå èäåò â âèäå âåðòèêàëüíîé ïðÿìîé, è â ïðåäåëàõ ýòîé

ïðÿìîé äàííîå óñòðîéñòâî ðàáîòàåò êàê ñòàáèëèçàòîð òîêà. Åñëè ýòîò íåëè

íåéíûé ýëåìåíò âêëþ÷èòü ïîñëåäîâàòåëüíî ñ ïðèåìíèêîì, èìåþùèì ñîïðî

òèâëåíèå Z

ïð

(ðèñ. 21.3), òî â èçâåñòíûõ ïðåäåëàõ èçìåíåíèÿ ïðèëîæåííîãî

íàïðÿæåíèÿ U íà çàæèìàõ öåïè òîê â ïðèåìíèêå îêàæåòñÿ íåèçìåííûì. Ðå

àëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íåñêîëüêî îòëè÷àåòñÿ îò èäåàëüíîé è ïðåäñòàâëåíà

íà ðèñ. 21.4.

Â ñîîòâåòñòâèè ñ èçëîæåííûì â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå ðàñ÷åò ðåæèìà â öå

ïè ïðè çàäàííîì íàïðÿæåíèè

âåäåì ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé.

Çàäàåìñÿ íåêîòîðûì çíà÷åíèåì L

èíäóêòèâíîñòè L íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà è âû

÷èñëÿåì òîê, êîòîðûé áûë áû â öåïè ïðè ýòîì çíà÷åíèè L

Ãëàâà 21. Íåëèíåéíûå ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå öåïè ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññàõ 405

Ðèñ. 21.2

Ðèñ. 21.3 Ðèñ. 21.4

jL Z

ïð

Ïðè ýòîì äåéñòâóþùåå íàïðÿæåíèå íà êàòóøêå áûëî áû ðàâíî

UIL

Ýòèì çíà÷åíèÿì

è I

ñîîòâåòñòâóåò òî÷êà 1 íà ðèñ. 21.4. Åñëè ýòà òî÷êà íå ëåã

ëà íà õàðàêòåðèñòèêó êàòóøêè, òî èíäóêòèâíîñòü L

áûëà âûáðàíà íåïðàâèëüíî.

Çàäàâàÿñü ðÿäîì çíà÷åíèé èíäóêòèâíîñòè L, ïîëó÷èì òî÷êè 2, 3, 4. Ïðîâîäÿ ÷å

ðåç ýòè òî÷êè êðèâóþ, ïîëó÷èì íà ïåðåñå÷åíèè åå ñ õàðàêòåðèñòèêîé êàòóøêè

òî÷êó d, îïðåäåëÿþùóþ èñêîìûé ðåæèì.

21.3. Îñîáåííîñòè ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññîâ â öåïÿõ

ñ áåçûíåðöèîííûìè íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè.

Ìåòîä ýêâèâàëåíòíûõ ñèíóñîèä

Åñëè õîòÿ áû îäèí íåëèíåéíûé ýëåìåíò â öåïè ÿâëÿåòñÿ áåçûíåðöèîííûì, òî

ïåðèîäè÷åñêèå òîêè è íàïðÿæåíèÿ â öåïè áóäóò ñîäåðæàòü âûñøèå ãàðìîíèêè,

äàæå åñëè ïðèëîæåííîå ê çàæèìàì öåïè íàïðÿæåíèå ñèíóñîèäàëüíîå. Ïóñòü õà-

ðàêòåðèñòèêà íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà, èçîáðàæåííàÿ íà ðèñ. 21.5, à, âûðàæàåòñÿ

óðàâíåíèåì i = au

. Ïðè ñèíóñîèäàëüíîì èçìåíåíèè íàïðÿæåíèÿ òîê áóäåò

iaU t aU t aU t

mmm

== -

33 3 3

sin sin sin ,www

ò. å. îí ñîäåðæèò òðåòüþ ãàðìîíèêó.

Íà ðèñ. 21.5, á èçîáðàæåíû âî âðåìåíè êðèâûå òîêà è íàïðÿæåíèÿ. Êðèâóþ

òîêà i(t) ìîæíî áûëî áû ïîñòðîèòü ãðàôè÷åñêè ïî òî÷êàì, ïîëüçóÿñü õàðàêòå

ðèñòèêîé u(i). Óæå èç ýòîãî ïðèìåðà âèäíî, ÷òî òîê è íàïðÿæåíèå íà áåçûíåðöè

îííîì ýëåìåíòå íå ìîãóò áûòü îäíîâðåìåííî ñèíóñîèäàëüíûìè. Äëÿ ñëîæíîé

öåïè ðàñ÷åò ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ñëîæíûì, òàê êàê èñïîëüçîâàíèå êîìïëåêñíîé ôîð

ìû çàïèñè è âåêòîðíûõ äèàãðàìì îêàçûâàåòñÿ íåâîçìîæíûì, è ðàñ÷åò íåîáõîäè

ìî âåñòè äëÿ ìãíîâåííûõ âåëè÷èí, ïðè÷åì èç-çà íåëèíåéíîñòè öåïè íåïðèìå

íèì è ìåòîä íàëîæåíèÿ.

Â òåõ ñëó÷àÿõ, êîãäà âîïðîñ î ôîðìå êðèâûõ òîêîâ è íàïðÿæåíèé íàñ íåïî

ñðåäñòâåííî íå èíòåðåñóåò, ìîæíî âîñïîëüçîâàòüñÿ ïðèáëèæåííûì ìåòîäîì,

îñíîâàííûì íà çàìåíå äåéñòâèòåëüíûõ íåñèíóñîèäàëüíûõ êðèâûõ òîêà è íàïðÿ

æåíèÿ ýêâèâàëåíòíûìè èì ñèíóñîèäàìè. Ñîîòâåòñòâåííî, òàêîé ìåòîä ìîæíî íà

çâàòü ìåòîäîì ýêâèâàëåíòíûõ ñèíóñîèä.

Ñìûñë âåäåíèÿ ýòîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â âîçìîæíîñòè çàïèñè óðàâíåíèé â

êîìïëåêñíîé ôîðìå, à òàêæå â ïîñòðîåíèè âåêòîðíûõ äèàãðàìì, õîòÿ êîìïëåêñ

406 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 21.5

íûå ñîïðîòèâëåíèÿ îñòàþòñÿ çàâèñÿùèìè îò òîêà, à ñëåäîâàòåëüíî, àëãåáðàè÷å

ñêèå óðàâíåíèÿ, çàïèñàííûå â êîìïëåêñíîé ôîðìå, îñòàþòñÿ íåëèíåéíûìè.

Âûáîð ýêâèâàëåíòíûõ ñèíóñîèä òîêà è íàïðÿæåíèÿ, ò. å. èõ àìïëèòóä è íà

÷àëüíûõ ôàç, ìîæåò áûòü îñóùåñòâëåí òåì èëè èíûì ñïîñîáîì â çàâèñèìîñòè îò

ïîñòàâëåííîé çàäà÷è. Èíòåðåñóÿñü ýíåðãåòè÷åñêîé ñòîðîíîé ïðîöåññà, ýòîò âû

áîð öåëåñîîáðàçíî îñóùåñòâèòü òàê, ÷òîáû àêòèâíàÿ ìîùíîñòü â öåïè èëè â òîé

èëè èíîé ÷àñòè öåïè îñòàâàëàñü áåç èçìåíåíèÿ. Íàïðèìåð, åñëè ìû æåëàåì, ÷òî

áû àêòèâíàÿ ìîùíîñòü íà íåëèíåéíîì ýëåìåíòå, õàðàêòåðèñòèêà êîòîðîãî ïðè

âåäåíà íà ðèñ. 21.5, à, ïðè ñèíóñîèäàëüíîì íàïðÿæåíèè íà ýòîì ýëåìåíòå îñòà

ëàñü íåèçìåííîé ïîñëå çàìåíû íåñèíóñîèäàëüíîé êðèâîé òîêà ýêâèâàëåíòíîé

åé ñèíóñîèäîé, òî â ýòèõ óñëîâèÿõ ýêâèâàëåíòíîé ñèíóñîèäîé äîëæíà áûòü ïåð

âàÿ ãàðìîíèêà òîêà, òàê êàê ïðè ýòîì èìååì (ñì. § 8.4, ò. 1)

PIU IU IU UI UI=+ ++==

11 1 2 2 2 3 3 3 11 1

cos cos cos .jj jK

Äåéñòâèòåëüíî, â äàííîì ñëó÷àå U

= U

= ... = 0, U

= U è cos j

=1.

Èíîãäà ìîæåò îêàçàòüñÿ öåëåñîîáðàçíûì âûáîð ýêâèâàëåíòíîé ñèíóñîèäû

òîêà èëè íàïðÿæåíèÿ òàê, ÷òîáû ñîõðàíÿëîñü èõ äåéñòâóþùåå çíà÷åíèå. Íàïðè-

ìåð, ýòî öåëåñîîáðàçíî, êîãäà ïîñëåäîâàòåëüíî âêëþ÷åíû ëèíåéíûé ðåçèñòîð r

ñ íåëèíåéíîé èíäóêòèâíîé êàòóøêîé áåç ïîòåðü. Â òàêîì ñëó÷àå íåñèíóñîè-

äàëüíûé òîê i(t) â êàòóøêå èìååò ñìûñë çàìåíèòü ñèíóñîèäîé, ýêâèâàëåíòíîé

åìó ïî äåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ, ò. å. âûáðàòü àìïëèòóäó ýêâèâàëåíòíîé ñèíó-

ñîèäû ðàâíîé

itdt

() .

Äåéñòâèòåëüíî, â ýòîì ñëó÷àå àêòèâíàÿ ìîùíîñòü â ëèíåéíîì ðåçèñòîðå r,

ðàâíàÿ I

r , îñòàåòñÿ áåç èçìåíåíèÿ.

Ìåòîä ýêâèâàëåíòíûõ ñèíóñîèä íàõîäèò ïðèìåíåíèå ïðè ðàñ÷åòå ïåðèîäè÷å

ñêèõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíûõ ðàäèîòåõíè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ, íàïðèìåð â ëàì

ïîâûõ ãåíåðàòîðàõ. Ïðè ýòîì â êà÷åñòâå ýêâèâàëåíòíîé ñèíóñîèäû ïðèìåíÿþò

ïåðâûå ãàðìîíèêè òîêà è íàïðÿæåíèÿ, òàê êàê èìåííî íà èõ ÷àñòîòó íàñòðàèâà

þò ðåçîíàíñíûå êîíòóðû, â êîòîðûõ òîêè è íàïðÿæåíèÿ â îñíîâíîì è îïðåäåëÿ

þòñÿ ïåðâûìè ãàðìîíèêàìè.

Øèðîêîå èñïîëüçîâàíèå ìåòîä ýêâèâàëåíòíûõ ñèíóñîèä íàõîäèò ïðè ðàñ÷åòå

óñòðîéñòâ, ñîäåðæàùèõ ôåððîìàãíèòíûå ñåðäå÷íèêè, íàïðèìåð òðàíñôîðìàòî

ðîâ. Â ñâÿçè ñ ýòèì ðàññìîòðèì ýòîò ìåòîä áîëåå ïîäðîáíî â ïðèìåíåíèè ê ðåàê

òèâíûì êàòóøêàì è òðàíñôîðìàòîðàì ñ ôåððîìàãíèòíûìè ñåðäå÷íèêàìè.

Ïîä÷åðêíåì åùå ðàç, ÷òî ïî ñâîåé ñóòè ýòîò ìåòîä ÿâëÿåòñÿ ïðèáëèæåííûì,

íî ïðè íåì ïîëó÷àåì âîçìîæíîñòü ïîëüçîâàòüñÿ êîìïëåêñíîé çàïèñüþ óðàâíå

íèé è âåêòîðíûìè äèàãðàììàìè.

21.4. Ôîðìû êðèâûõ òîêà, ìàãíèòíîãî ïîòîêà è ÝÄÑ

â êàòóøêå ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì

Òàê êàê êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì íàõîäÿò âåñüìà øèðîêîå ïðè

ìåíåíèå â öåïÿõ ïåðåìåííîãî òîêà, ðàññìîòðèì âîïðîñ î âëèÿíèè íåëèíåéíîé

Ãëàâà 21. Íåëèíåéíûå ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå öåïè ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññàõ 407

çàâèñèìîñòè ìàãíèòíîãî ïîòîêà â òàêèõ êàòóøêàõ îò òîêà â íèõ íà ôîðìó êðè

âûõ òîêà, ïîòîêà è ÝÄÑ.

Ñâÿçü Y=f(i) îïðåäåëÿåòñÿ ïåòëåé ãèñòåðåçèñà (ðèñ. 21.6), åñëè ìîæíî ïðå

íåáðå÷ü âëèÿíèåì âèõðåâûõ òîêîâ, î êîòîðîì áóäåò ñêàçàíî ïîçæå. Ïóñòü ïîòî

êîñöåïëåíèå Y, à ñëåäîâàòåëüíî, è ÝÄÑ â îáìîòêå êàòóøêè e = –dY/dt, à òàêæå

íàïðÿæåíèå u = d Y/dt, åå óðàâíîâåøèâàþùåå, èçìåíÿþòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó

çàêîíó (ðèñ. 21.6). Â òàêîì ñëó÷àå êðèâàÿ òîêà â îáìîòêå êàòóøêè ñîäåðæèò âûñ

øèå ãàðìîíèêè, ïðåèìóùåñòâåííî òðåòüþ, ïÿòóþ è ñåäüìóþ. Êðèâóþ òîêà íå

òðóäíî ïîñòðîèòü ïî òî÷êàì, êàê ýòî ïîêàçàíî íà ðèñ. 21.6. Ìàêñèìóìû òîêà è

ïîòîêà ñîâïàäàþò, íî ÷åðåç íóëü êðèâàÿ òîêà ïðîõîäèò ðàíüøå êðèâîé ìàãíèòíî

ãî ïîòîêà. Êðèâàÿ òîêà èìååò çàîñòðåííóþ ôîðìó. Â äðóãîì ïðåäåëüíîì ñëó÷àå,

êîãäà òîê èçìåíÿåòñÿ ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó, êðèâàÿ ìàãíèòíîãî ïîòîêà îò

ëè÷íà îò ñèíóñîèäû è èìååò óïëîùåííóþ ôîðìó (ðèñ. 21.7). Êðèâûå æå ÝÄÑ e,

ðàâíîé –d Y/dt, è íàïðÿæåíèÿ u, ðàâíîãî d Y/dt, ïðè ýòîì èìåþò âåñüìà çàîñò

ðåííóþ ôîðìó (ðèñ. 21.7). Ïîñòðîåíèå êðèâîé ïîòîêà ïî çàäàííîé êðèâîé òîêà

è ïåòëå ãèñòåðåçèñà íåòðóäíî îñóùåñòâèòü ïî òî÷êàì ãðàôè÷åñêè. Êðèâóþ æå

íàïðÿæåíèÿ ïîëó÷àåì äèôôåðåíöèðîâàíèåì êðèâîé ïîòîêà.

Â îáùåì ñëó÷àå êàê êðèâàÿ òîêà, òàê è êðèâàÿ íàïðÿæåíèÿ ìîãóò îêàçàòüñÿ

íåñèíóñîèäàëüíûìè.

Îáðàòèì âíèìàíèå íà òî, ÷òî âñëåäñòâèå ñèììåòðè÷íîé ôîðìû ïåòëè ãèñ

òåðåçèñà â ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ (ðèñ. 21.6 è 21.7) íåñèíóñîèäàëüíûå êðèâûå

òîêà, ïîòîêà è íàïðÿæåíèÿ ñèììåòðè÷íû îòíîñèòåëüíî îñè àáñöèññ è, ñëåäîâà

òåëüíî, íå ñîäåðæàò ÷åòíûõ ãàðìîíèê.

408 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 21.6

Ðèñ. 21.7

21.5. Ïîòåðè â ñåðäå÷íèêàõ èç ôåððîìàãíèòíîãî ìàòåðèàëà

Äëÿ ïðàâèëüíîãî âûáîðà ýêâèâàëåíòíûõ ñèíóñîèä, çàìåíÿþùèõ äåéñòâèòåëü

íûå íåñèíóñîèäàëüíûå êðèâûå òîêà è íàïðÿæåíèÿ â êàòóøêàõ ñ ôåððîìàãíèò

íûìè ñåðäå÷íèêàìè, íåîáõîäèìî ðàññìîòðåòü ïîòåðè ýíåðãèè â ñåðäå÷íèêàõ ïðè

ïåðèîäè÷åñêîì èçìåíåíèè ìàãíèòíîãî ïîòîêà. Ýòè ïîòåðè ñêëàäûâàþòñÿ èç ïî

òåðü íà âèõðåâûå òîêè è íà ãèñòåðåçèñ.

Ñåðäå÷íèêè áîëüøåé ÷àñòüþ íàáèðàþò èç òîíêèõ ëèñòîâ ôåððîìàãíèòíîãî

ìàòåðèàëà, èçîëèðîâàííûõ äðóã îò äðóãà òîíêèì ñëîåì èçîëÿöèè ñ öåëüþ óìåíü

øåíèÿ ïîòåðü íà âèõðåâûå òîêè.

Âèõðåâûå òîêè, ñîãëàñíî ïðèíöèïó Ëåíöà, íàïðàâëåíû òàêèì îáðàçîì, ÷òî

ñîçäàííîå èìè ìàãíèòíîå ïîëå îñëàáëÿåò ðåçóëüòèðóþùåå ïîëå. Ýòî îñëàáëåíèå

íàèáîëåå ðåçêî âûðàæåíî â ñåðåäèíå ëèñòà. Ïîýòîìó ðåçóëüòèðóþùåå ìàãíèòíîå

ïîëå ðàñïðåäåëÿåòñÿ íåðàâíîìåðíî ïî ñå÷åíèþ ëèñòà. Òîëùèíó ëèñòà äëÿ óìåíü

øåíèÿ ïîòåðü âûáèðàþò ìàëîé; ïðè ýòîì ìîæíî ïðåíåáðå÷ü

íåðàâíîìåðíîñòüþ ïîëÿ âíóòðè ëèñòà, ò. å. ðàçìàãíè÷èâàþ

ùèì äåéñòâèåì âèõðåâûõ òîêîâ. Ïîäðîáíî ýòîò âîïðîñ áóäåò

ðàññìîòðåí â ÷åòâåðòîé ÷àñòè êóðñà ïðè èññëåäîâàíèè ïåðå-

ìåííîãî ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ â ïðîâîäÿùåé ñðåäå. Ïðè-

íÿâ òàêîå äîïóùåíèå, ëåãêî ìîæåì ïîëó÷èòü çàâèñèìîñòü ïî-

òåðü íà âèõðåâûå òîêè îò àìïëèòóäû ìàãíèòíîé èíäóêöèè,

÷àñòîòû è óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòè ìàòåðèàëà ëèñòà.

Íà ðèñ. 21.8 ïîêàçàíà òðóáêà âèõðåâîãî òîêà, èìåþùàÿ

ñå÷åíèå ldx è äëèíó, ïðèáëèçèòåëüíî ðàâíóþ 2h. Àêòèâíàÿ

ïðîâîäèìîñòü âäîëü ýòîé òðóáêè îáðàòíà åå àêòèâíîìó ñîïðî-

òèâëåíèþ, ïîñêîëüêó ìû ïðåíåáðåãàåì ìàãíèòíûì ïîëåì âèõ-

ðåâûõ òîêîâ è, ñëåäîâàòåëüíî, ñîîòâåòñòâóþùèì èíäóêòèâ-

íûì ñîïðîòèâëåíèåì. Èìååì

ldx

. Äåéñòâóþùàÿ ÝÄÑ,

èíäóöèðóåìàÿ âäîëü òðóáêè, ðàâíà

Ekf kfxhÂ

xmx m

==442

ôô

F ,

ãäå k

— êîýôôèöèåíò ôîðìû êðèâîé ÝÄÑ. Ñëåäîâàòåëüíî, ïîòåðè âíóòðè òðóá

êè òîêà ðàâíû

dP E dg hl k f B x dx

xx mâ

2222

32 g

. Èíòåãðèðóÿ îò 0 äî d/2, ïîëó÷à

åì ïîòåðè íà âèõðåâûå òîêè âî âñåì ëèñòå:

PkdfBV

mâô

222

g ,

ãäå V = hld — îáúåì ëèñòà. Òàêèì îáðàçîì, ïîòåðè íà âèõðåâûå òîêè ïðè ïðèíÿ

òîì äîïóùåíèè ïðîïîðöèîíàëüíû êâàäðàòó ÷àñòîòû, êâàäðàòó àìïëèòóäû èí

äóêöèè, êâàäðàòó òîëùèíû ëèñòà è ïåðâîé ñòåïåíè óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòè.

Äëÿ ñåðäå÷íèêà èç ïðîâîëîê êðóãëîãî ñå÷åíèÿ ñ äèàìåòðîì d, îñè êîòîðûõ

íàïðàâëåíû âäîëü ëèíèè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, ïðè òîì æå äîïóùåíèè ïîëó÷èì

âìåñòî êîýôôèöèåíòà

êîýôôèöèåíò

. Îáîáùàÿ ïîëó÷åííûé ðåçóëüòàò, ìî

æåì íàïèñàòü

PfBV

mâ

Ãëàâà 21. Íåëèíåéíûå ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå öåïè ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññàõ 409

Ðèñ. 21.8

ãäå êîýôôèöèåíò x çàâèñèò îò ôîðìû ñå÷åíèÿ ýëåìåíòîâ, íà êîòîðûå ðàçäåëåí

ñåðäå÷íèê, ãåîìåòðè÷åñêèõ ðàçìåðîâ ýòîãî ñå÷åíèÿ, óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòè ìà

òåðèàëà è êîýôôèöèåíòà ôîðìû k

Ïîòåðè íà ãèñòåðåçèñ â åäèíèöå îáúåìà âåùåñòâà çà îäèí öèêë ïåðåìàãíè

÷èâàíèÿ, êàê áûëî óêàçàíî â § 19.12, ìîãóò áûòü âûðàæåíû â âèäå

=WB

, ãäå

êîýôôèöèåíò h çàâèñèò îò ñâîéñòâ ôåððîìàãíèòíîãî âåùåñòâà. Ñëåäîâàòåëüíî,

ìîùíîñòü ïîòåðü íà ãèñòåðåçèñ â îáúåìå V, ðàâíàÿ ïîòåðÿì ýíåðãèè â åäèíèöó

âðåìåíè, ò. å. çà f öèêëîâ, ìîæåò áûòü âûðàæåíà â âèäå

PfBV

=h .

Â äèàïàçîíå àìïëèòóä èíäóêöèè, ñ êîòîðûì îáû÷íî èìååì äåëî â ýëåêòðîòåõ

íè÷åñêèõ óñòðîéñòâàõ, ìîæíî ïðèíÿòü n = 2.

Òàêèì îáðàçîì, ñóììàðíàÿ ìîùíîñòü ïîòåðü â ñåðäå÷íèêå ìîæåò áûòü ïðåä

ñòàâëåíà ôîðìóëîé

PPPfBVfBV

mmôåð ã â

=+= +hx

222

Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ìîùíîñòü P

ïðîïîðöèîíàëüíà ïåðâîé ñòåïåíè ÷àñòî-

òû, à ìîùíîñòü P

— êâàäðàòó ÷àñòîòû, ïîçâîëÿåò ýêñïåðèìåíòàëüíî ðàçäåëèòü

ñóììàðíûå ïîòåðè P

ôåð

íà P

èP

, ïðîèçâåäÿ äâà èçìåðåíèÿ ïðè äâóõ ÷àñòîòàõ,

íî ïðè íåèçìåííîé àìïëèòóäå ìàãíèòíîé èíäóêöèè. Ñ ýòîé öåëüþ íåîáõîäèìî

â ýòèõ äâóõ îïûòàõ èìåòü îäèíàêîâîå îòíîøåíèå ÝÄÑ ê ÷àñòîòå.

21.6. Ýêâèâàëåíòíûå ñèíóñîèäû è çàâèñèìîñòü

ìåæäó ïîòîêîñöåïëåíèåì è òîêîì

Çàìåíèì íåñèíóñîèäàëüíûé òîê â êàòóøêå ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì è

íàïðÿæåíèå íà åå çàæèìàõ ýêâèâàëåíòíûìè ñèíóñîèäàìè. Íàäëåæèò âûáðàòü

àìïëèòóäû U

è I

ýêâèâàëåíòíûõ ñèíóñîèä è óãîë ñäâèãà ôàç j ìåæäó íèìè.

Çäåñü ìû ðàññìàòðèâàåì íàïðÿæåíèå, óðàâíîâåøèâàþùåå ÝÄÑ, èíäóöèðóåìóþ

â îáìîòêå êàòóøêè ïåðåìåííûì ìàãíèòíûì ïîòîêîì â ñåðäå÷íèêå, íå ó÷èòûâàÿ

ïàäåíèÿ íàïðÿæåíèÿ â àêòèâíîì ñîïðîòèâëåíèè îáìîòêè è èíäóêòèâíîãî ïàäå

íèÿ íàïðÿæåíèÿ, îïðåäåëÿåìîãî ïîòîêàìè ðàññåÿíèÿ.

Ñâÿçü ìåæäó j, U

U è I

I äëÿ ýêâèâàëåíòíûõ ñèíóñîèä îïðåäåëÿåò

ñÿ èç óñëîâèÿ ñîõðàíåíèÿ ïîòåðü â ñåðäå÷íèêå, ò. å. èç óñëîâèÿ

UI P P Pcos .j= = +

ôåð ã â

Íåîáõîäèìû åùå äâà óñëîâèÿ äëÿ îïðåäåëåíèÿ âñåõ òðåõ âåëè÷èí j, U

è I

I. Ýòèìè óñëîâèÿìè ìîãóò áûòü, êàê áûëî ñêàçàíî â § 21.3, âûáîð U

è I

ðàâíûìè àìïëèòóäàì ïåðâûõ ãàðìîíèê íàïðÿæåíèÿ è òîêà èëè âûáîð U è I ðàâ

íûìè äåéñòâóþùèì íåñèíóñîèäàëüíûì íàïðÿæåíèÿì è òîêó.

Çàìåíà äåéñòâèòåëüíûõ êðèâûõ òîêà ýêâèâàëåíòíûìè ñèíóñîèäàìè ïðèâî

äèò ê òîìó, ÷òî ñâÿçü Y è i âûðàæàåòñÿ óðàâíåíèåì ýëëèïñà, ïëîùàäü êîòîðîãî â

ñîîòâåòñòâóþùèõ ìàñøòàáàõ ðàâíà ïîòåðÿì â ñåðäå÷íèêå çà îäèí ïåðèîä. Â çà

âèñèìîñòè îò âûáîðà àìïëèòóä U

è I

ýêâèâàëåíòíûõ ñèíóñîèä ïîëó÷èì òîò

èëè èíîé ýëëèïñ, íî âñå ýòè ýëëèïñû äîëæíû èìåòü îäíó è òó æå ïëîùàäü.

Ïðè ñèíóñîèäàëüíîì íàïðÿæåíèè, ñîîòâåòñòâåííî, ïðè ñèíóñîèäàëüíîì ïî

òîêå â êà÷åñòâå àìïëèòóä U

è Y

åñòåñòâåííî âçÿòü äåéñòâèòåëüíûå àìïëèòóäû

410 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

ýòèõ âåëè÷èí. Àìïëèòóäó æå I

ñëåäóåò âûáðàòü ëèáî ðàâíîé àìïëèòóäå ïåðâîé

ãàðìîíèêè òîêà i, ëèáî ðàâíîé åãî äåéñòâóþùåìó çíà÷åíèþ, óìíîæåííîìó íà

Ñîîòâåòñòâåííî òîìó èëè äðóãîìó âûáîðó àìïëèòóäû ýêâèâàëåíòíîé ñèíóñîè

äû òîêà ïîëó÷èì òî èëè èíîå çíà÷åíèå j è òîò èëè èíîé âèä ýëëèïñà.

Ïðè ñèíóñîèäàëüíîì òîêå åñòåñòâåííî âûáðàòü âåëè÷èíó I

ðàâíîé äåéñòâè

òåëüíîé àìïëèòóäå òîêà i. Àìïëèòóäó æå U

ñëåäóåò âûáðàòü ëèáî ðàâíîé àì

ïëèòóäå ïåðâîé ãàðìîíèêè íàïðÿæåíèÿ u, ëèáî ðàâíîé åãî äåéñòâóþùåìó çíà÷å

íèþ, óìíîæåííîìó íà

. Àìïëèòóäà Y

îïðåäåëèòñÿ èç ðàâåíñòâà U

=wY

Ñîîòâåòñòâåííî, ïîëó÷èì òî èëè èíîå çíà÷åíèå j è òîò èëè èíîé âèä ýëëèïñà.

Íà ðèñ. 21.9 è 21.10 ñêàçàííîå èëëþñòðèðó

åòñÿ â ïðåäïîëîæåíèè, ÷òî ó÷èòûâàþòñÿ òîëü

êî ïîòåðè íà ãèñòåðåçèñ. Ðèñ. 21.9 îòíîñèòñÿ

ê ñèíóñîèäàëüíûì íàïðÿæåíèþ u è ïîòîêó Y,

à ðèñ. 21.10 — ê ñèíóñîèäàëüíîìó òîêó i. Â ýòèõ

ñëó÷àÿõ ïëîùàäü ýëëèïñà ðàâíà ïëîùàäè ïåòëè

ãèñòåðåçèñà. Íàëè÷èå âèõðåâûõ òîêîâ íåñêîëü-

êî ïðèáëèæàåò ê ýëëèïñó äåéñòâèòåëüíóþ êðè-

âóþ Y(i). Ïëîùàäü ýêâèâàëåíòíîãî ýëëèïñà

ïðè ýòîì äîëæíà áûòü âçÿòà ðàâíîé ïëîùàäè

ýòîé äåéñòâèòåëüíîé êðèâîé, ðàâíîé â ñîîòâåò-

ñòâóþùåì ìàñøòàáå ñóììàðíûì ïîòåðÿì â ñåð-

äå÷íèêå.

21.7. Óðàâíåíèå, âåêòîðíàÿ äèàãðàììà è ýêâèâàëåíòíàÿ ñõåìà

êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì

Ðàññìîòðèì ïðîöåññû â êàòóøêå ñ çàìêíóòûì ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì,

îáìîòêà êîòîðîé èìååò w âèòêîâ.

Óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ïðîöåññ â êàòóøêå, èìååò âèä

uri

ãäå r — ñîïðîòèâëåíèå îáìîòêè.

Ïîëíîå ïîòîêîñöåïëåíèå ïðåäñòàâèì â âèäå ñóììû Y=Y

+ Y

. Âåëè÷èíà Y

åñòü ïîòîêîñöåïëåíèå, îïðåäåëÿåìîå ëèíèÿìè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, çàìûêàþ

ùèìèñÿ öåëèêîì âäîëü ñåðäå÷íèêà. Ñëåäîâàòåëüíî, Y

= wF

, ãäå F

— ïîòîê

ñêâîçü ñå÷åíèå ñåðäå÷íèêà, îïðåäåëÿåìûé ýòèìè ëèíèÿìè. Y

åñòü ïîòîêîñöåï

ëåíèå, îïðåäåëÿåìîå ëèíèÿìè ìàãíèòíîé èíäóêöèè, çàìûêàþùèìèñÿ ÷àñòè÷íî

èëè ïîëíîñòüþ â âîçäóõå.

Ðàçäåëåíèå âåëè÷èíû Y íà Y

è Y

èìååò òîò ñìûñë, ÷òî ïîòîêîñöåïëåíèå Y

ïðîïîðöèîíàëüíî òîêó: Y

= L

i, òàê êàê ìàãíèòíîå ñîïðîòèâëåíèå ïóòè, ïî êîòî

ðîìó çàìûêàþòñÿ ëèíèè ïîòîêà, ïðàêòè÷åñêè íå çàâèñèò îò òîêà è, ñëåäîâàòåëü

íî, èíäóêòèâíîñòü L

ïîñòîÿííà. Ïîòîêîñöåïëåíèå Y

íåëèíåéíî ñâÿçàíî ñ òîêîì

i, òàê êàê ìàãíèòíàÿ ïðîíèöàåìîñòü è, ñëåäîâàòåëüíî, ìàãíèòíîå ñîïðîòèâëåíèå

ñåðäå÷íèêà çàâèñÿò îò íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ. Óðàâíåíèå êàòóøêè

òåïåðü ìîæíî ïåðåïèñàòü â âèäå

Ãëàâà 21. Íåëèíåéíûå ýëåêòðè÷åñêèå è ìàãíèòíûå öåïè ïðè ïåðèîäè÷åñêèõ ïðîöåññàõ 411

Ðèñ. 21.9

Ðèñ. 21.10

uriL

ri L

u=+ + =+ +

Ýòî óðàâíåíèå íåëèíåéíîå. Ïîýòîìó, äàæå åñëè ïðèëîæåííîå íàïðÿæåíèå u

ñèíóñîèäàëüíî, òîê i áóäåò íåñèíóñîèäàëüíûì. Çàìåíÿÿ íåñèíóñîèäàëüíûå êðè

âûå òîêà è ïîòîêà ýêâèâàëåíòíûìè ñèíóñîèäàìè, ìîæåì çàïèñàòü ýòî óðàâíåíèå

â êîìïëåêñíîé ôîðìå äëÿ êîìïëåêñíûõ àìïëèòóä:

&& & & & &&

.U rI jLI jw rI jLI U

mm m mm m m

=+ + =+ +ww w

Ñîãëàñíî èçëîæåííîìó â ïðåäûäóùåì ïàðàãðàôå, ýêâèâàëåíòíàÿ ñèíóñîè

äà òîêà i îòñòàåò îò ýêâèâàëåíòíîé ñèíóñîèäû íàïðÿæåíèÿ u

= dY

/dt íà óãîë

< p/2 âñëåäñòâèå íàëè÷èÿ ïîòåðü â ñåðäå÷íèêå P

ôåð

= P

+ P

= U

I cos j

> 0. Òàêèì îáðàçîì, ýêâèâàëåíòíàÿ ñèíóñîèäà ïî

òîêà Y

îòñòàåò îò ýêâèâàëåíòíîé ñèíóñîèäû òîêà i íà óãîë

a=p/2 – j

, òàê êàê ýêâèâàëåíòíàÿ ñèíóñîèäà ïîòîêà Y

îòñòàåò

îò ýêâèâàëåíòíîé ñèíóñîèäû íàïðÿæåíèÿ u

íà óãîë p/2.

Íà ðèñ. 21.11 èçîáðàæåíà âåêòîðíàÿ äèàãðàììà êàòóøêè, ñî-

îòâåòñòâóþùàÿ óðàâíåíèþ êàòóøêè, çàïèñàííîìó â êîìïëåêñ-

íîé ôîðìå. Íà äèàãðàììå îòëîæåí âåêòîð ÝÄÑ, èíäóöèðóåìîé

â îáìîòêå ïîòîêîì F

, ðàâíîé e

= –w

Òîê I ìîæíî ðàçëîæèòü íà äâå ñîñòàâëÿþùèå: I

, íàõîäÿùóþ-

ñÿ â ôàçå ñ ïîòîêîì, è I

, íàõîäÿùóþñÿ â êâàäðàòóðå ñ ïîòîêîì.

Âåëè÷èíà I

ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ðåàêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ òî-

êà, à âåëè÷èíà I

— àêòèâíóþ ñîñòàâëÿþùóþ. Ñîîòâåòñòâåí-

íî, ìîæåì èçîáðàçèòü êàòóøêó ñ ïîìîùüþ ýêâèâàëåíòíîé

ñõåìû, ïðèâåäåííîé íà ðèñ. 21.12, ïðè÷åì

====

àà

ôåð

è.

21.8. Êîìïëåêñíîå ìàãíèòíîå ñîïðîòèâëåíèå ìàãíèòíîé öåïè

Òî îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî ïîòîê F

â ôåððîìàãíèòíîì ñåðäå÷íèêå êàòóøêè îòñòàåò

ïî ôàçå íà óãîë a îò íàìàãíè÷èâàþùåãî òîêà i â îáìîòêå êàòóøêè è, ñëåäîâà

òåëüíî, îò ÌÄÑ iw, ìîæíî ó÷åñòü, ââåäÿ â çàêîí ìàãíèòíîé öåïè

êîìïëåêñíîå ìàãíèòíîå ñîïðîòèâëåíèå ñåðäå÷íèêà

ZZeRjX

ìì ì ì

==+

Âûðàçèì êîìïëåêñíîå ìàãíèòíîå ñîïðîòèâëåíèå ÷åðåç äëèíó l ñåðäå÷íèêà,

ñå÷åíèå s ñåðäå÷íèêà è ìàãíèòíóþ ïðîíèöàåìîñòü âåùåñòâà ñåðäå÷íèêà. Ñå÷å

íèå s áóäåì ñ÷èòàòü îäèíàêîâûì ïî âñåé äëèíå ñåðäå÷íèêà. Ïîëó÷àåì

412 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 21.12

Ðèñ. 21.11