Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

ïîëó÷èì

fu rg' ()

212

1=- -

ää

Eu ffu

2142

[()]

ää

ãäå

ä1

ä2

— äèôôåðåíöèàëüíûå ñîïðîòèâëåíèå è ïðîâîäèìîñòü, ñîîòâåòñòâåí

íî, ïåðâîãî è âòîðîãî íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ íà k-ì øàãå èòåðàöèè.

Ïðè ÷èñëåííîì ðàñ÷åòå íåëèíåéíûõ öåïåé ñóùåñòâåííûì ÿâëÿåòñÿ ñïîñîá

ïðåäñòàâëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, îêàçûâàþùèõ âëèÿíèå

íà òî÷íîñòü è ñâîéñòâà ðåøåíèÿ. Ïðèìåíåíèå òàêèõ ìåòîäîâ àïïðîêñèìàöèè

íåëèíåéíûõ õàðàêòåðèñòèê, êàê ìåòîäû Ëàãðàíæà è Íüþòîíà, íå ïðèâîäèò

ê óâåëè÷åíèþ òî÷íîñòè ïðè ðîñòå ÷èñëà òî÷åê, êîãäà íàõîäÿò êîýôôèöèåíòû

ïîëèíîìà, îïèñûâàþùåãî íåëèíåéíóþ õàðàêòåðèñòèêó âî âñåì äèàïàçîíå èç

ìåíåíèÿ àðãóìåíòà. Ëó÷øèå ðåçóëüòàòû ìîæíî ïîëó÷èòü ïðè ðàçáèåíèè íåëè-

íåéíîé õàðàêòåðèñòèêè íà ó÷àñòêè ñ åå ïîñëåäóþùåé àïïðîêñèìàöèåé íà ó÷à-

ñòêàõ.

Ïðè êóñî÷íî-ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè ïðîèçâîäíûå

=yS

(n = 1, 2, ..., N)

íà ãðàíèöàõ ó÷àñòêîâ ðàçðûâíû, ÷òî ïðè ÷èñëåííûõ ðàñ÷åòàõ íåäîïóñòèìî. Ïðè-

ìåíåíèå ïîëèíîìîâ, ïîðÿäîê êîòîðûõ ïðåâûøàåò åäèíèöó, ïîçâîëÿåò îáåñïå-

÷èòü íà ãðàíèöàõ ó÷àñòêîâ íåïðåðûâíîñòü ïðîèçâîäíûõ çàäàííîãî ïîðÿäêà. Òàê,

ïðè èñïîëüçîâàíèè êóáè÷åñêèõ ïîëèíîìîâ y(x) = a

+ a

x + a

+ a

íåïðåðûâ-

íûìè áóäóò íå òîëüêî ôóíêöèÿ y(x), íî è åå ïåðâàÿ è âòîðàÿ ïðîèçâîäíûå.

Çàïèñûâàÿ íåëèíåéíóþ õàðàêòåðèñòèêó íà n-ì ó÷àñòêå â âèäå

fx y Sxx

nnnn

() ( ) (=+ - +

xx n

)

(), ,

21K,,Nh x x

nn n

è èñïîëüçóÿ óñëîâèå íåïðåðûâíîñòè ïåðâîé y¢(x) è âòîðîé y²(x) ïðîèçâîä

íûõ íà îáùèõ ãðàíèöàõ ó÷àñòêîâ, ïðèõîäèì ê ñèñòåìå ëèíåéíûõ óðàâíåíèé

(n = 1, ..., N)

hS h h S hS h

nn n n n nn n

n++++

++ + =

1112

23()

îòíîñèòåëüíî âåëè÷èí S

. Äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ íåîáõîäèìî çàäàòü çíà÷åíèÿ

ïðè n = 1èn = N + 1, êîòîðûå ìîæíî îïðåäåëèòü ïðèáëèæåííî èç èñõîäíîé

íåëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêè y(x).

Ðàññìîòðåííûé ïîäõîä íîñèò íàçâàíèå ìåòîäà àïïðîêñèìàöèè ñ ïîìîùüþ

ñïëàéí-ôóíêöèé. Íàðÿäó ñ êóáè÷åñêèìè íàõîäÿò ïðèìåíåíèå òàêæå ñïëàéí-

ôóíêöèè äðóãèõ ïîðÿäêîâ.

Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå 383

20.8. Ñîñòàâëåíèå ñèñòåìû íåëèíåéíûõ óðàâíåíèé

ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïîñòîÿííîãî òîêà

ïðè óñëîâèè îáåñïå÷åíèÿ åäèíñòâåííîñòè ðåøåíèÿ

Ïðè ðàñ÷åòå ñëîæíîé íåëèíåéíîé öåïè âñåãäà áóäåò ñòîÿòü âîïðîñ, åäèíñòâåííî

ëè ïîëó÷åííîå ÷èñëåííîå ðåøåíèå èëè ñóùåñòâóþò è äðóãèå ðåøåíèÿ, êîòîðûå

äîëæíû áûòü îïðåäåëåíû ïóòåì çàäàíèÿ äðóãèõ íà÷àëüíûõ ïðèáëèæåíèé. Åñëè

çàðàíåå èçâåñòíî, ÷òî â äàííîé öåïè âîçìîæíî åäèíñòâåííîå ðåøåíèå, òî íåîáõî

äèìîñòü òàêîãî ÷èñëåííîãî èññëåäîâàíèÿ îòïàäàåò. Ýòî — î÷åíü âàæíîå îáñòîÿ

òåëüñòâî ñ òî÷êè çðåíèÿ ýêîíîìèè âðåìåíè ðàñ÷åòà, òàê êàê ïîëó÷åíèå ïîëíîãî

íàáîðà ðåøåíèé ñèñòåìû íåëèíåéíûõ àëãåáðàè÷åñêèõ óðàâíåíèé ýëåêòðè÷åñêîé

öåïè ïðè ïîìîùè ÝÂÌ—èâíàñòîÿùåå âðåìÿ òðóäíîðåøàåìàÿ çàäà÷à.

Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé öåïè âîçìîæíà, åñëè íàëîæèòü

îïðåäåëåííûå îãðàíè÷åíèÿ íà ÂÀÕ ýëåìåíòîâ è íà âûáîð äåðåâà ãðàôà ñõåìû.

Åñëè öåïü ñîäåðæèò õîòÿ áû îäèí ýëåìåíò ñ íåóïðàâëÿåìîé ÂÀÕ, òî äëÿ òàêîé

öåïè íåâîçìîæíà åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. Ïîýòîìó îòñóòñòâèå ýëåìåíòîâ ñ íå

óïðàâëÿåìûìè ÂÀÕ ÿâëÿåòñÿ îáÿçàòåëüíûì óñëîâèåì ñóùåñòâîâàíèÿ åäèíñò-

âåííîñòè ðåøåíèÿ.

Ìàòðè÷íî-òîïîëîãè÷åñêèé àïïàðàò ïîçâîëÿåò îïðåäåëÿòü òîêè â îáîáùåí-

íûõ âåòâÿõ äåðåâà ÷åðåç òîêè ñâÿçåé è íàïðÿæåíèÿ ñâÿçåé ÷åðåç íàïðÿæåíèÿ

îáîáùåííûõ âåòâåé äåðåâà ïðè ïîìîùè ñîîòíîøåíèé (ñì. § 3.16, ò. I)

ñâ

è =

–F

Çäåñü

—ìàòðèöû-ñòîëáöû, ñîîòâåòñòâåííî, òîêîâ è íàïðÿæå-

íèé îáîáùåííûõ âåòâåé öåïè, âåòâåé äåðåâà è ñâÿçåé ãðàôà. Òàêèì îáðàçîì,

.iFi u Fu

äñ ñ ä

è==-

Åñëè ÂÀÕ ýëåìåíòà óïðàâëÿåìà òîêîì, òî òàêîé ýëåìåíò â òîïîëîãè÷åñêîé

ñõåìå ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí òîëüêî êàê âåòâü äåðåâà, íàïðÿæåíèå êîòîðîé îä

íîçíà÷íî îïðåäåëèòñÿ òîêàìè ñâÿçåé. Åñëè ÂÀÕ ýëåìåíòà óïðàâëÿåìà íàïðÿæå

íèåì, òî òàêîé ýëåìåíò â òîïîëîãè÷åñêîé ñõåìå ìîæåò áûòü ðàññìîòðåí òîëüêî

êàê ñâÿçü, òîê â êîòîðîé îäíîçíà÷íî îïðåäåëèòñÿ íàïðÿæåíèåì âåòâåé äåðåâà.

Ñìûñë ýòèõ îãðàíè÷åíèé äîâîëüíî ïðîñòî ïîíÿòü, åñëè ðàññìîòðåòü äâà îïðåäå

ëåííûõ ñëó÷àÿ.

Åñëè âî âñåõ âåòâÿõ äåðåâà èìåþòñÿ òîëüêî èñòî÷íèêè ÝÄÑ, òî íàïðÿæåíèÿ

ñâÿçåé áóäóò çàäàíû ýòèìè ÝÄÑ. Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü îáåñïå

÷åíà, åñëè ÂÀÕ ýëåìåíòîâ òàêîâû, ÷òî òîêè â ñâÿçÿõ îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ

÷åðåç íàïðÿæåíèÿ, ò. å. êîãäà ÂÀÕ óïðàâëÿåìû íàïðÿæåíèåì. Åñëè æå âî âñåõ

ñâÿçÿõ èìåþòñÿ òîëüêî èñòî÷íèêè òîêà, òî òîêè â âåòâÿõ äåðåâà áóäóò çàäàíû òî

êàìè èñòî÷íèêîâ. Åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ ìîæåò áûòü îáåñïå÷åíà, åñëè ÂÀÕ

ýëåìåíòîâ òàêîâû, ÷òî íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ÷å

ðåç òîêè âåòâåé, ò. å. êîãäà ÂÀÕ óïðàâëÿåìû òîêîì. Òàêèì îáðàçîì, òîêè â ñâÿçÿõ

åäèíñòâåííûì îáðàçîì îïðåäåëÿþòñÿ ÷åðåç íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà, à íàïðÿ

384 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

æåíèÿ âåòâåé äåðåâà — ÷åðåç òîêè ñâÿçåé. Òàêàÿ âçàèìíàÿ îäíîçíà÷íîñòü ïîçâî

ëèò, íàïðèìåð, ìåòîäîì ïîñëåäîâàòåëüíûõ ïðèáëèæåíèé îïðåäåëèòü èñêîìûå

òîêè â ñâÿçÿõ è íàïðÿæåíèÿ âåòâåé äåðåâà. Ñëåäîâàòåëüíî, êîíôèãóðàöèÿ èñ

õîäíîé öåïè è ÂÀÕ ýëåìåíòîâ ýòîé öåïè ñóæàþò ñâîáîäó âûáîðà äåðåâà ãðàôà.

Ýëåìåíòû ñ óïðàâëÿåìûìè òîêîì ÂÀÕ ñ ñàìîãî íà÷àëà ïîñòðîåíèÿ äåðåâà ãðàôà

äîëæíû áûòü îòíåñåíû ê âåòâÿì äåðåâà, à ýëåìåíòû ñ óïðàâëÿåìûìè íàïðÿæå

íèåì ÂÀÕ — ê ñâÿçÿì ãðàôà.

Ýëåìåíòû ñ ìîíîòîííûìè ÂÀÕ, è â ÷àñòíîì ñëó÷àå ñ ëèíåéíûìè ÂÀÕ, ìîãóò

âîéòè è â ñîñòàâ äåðåâà ãðàôà, è â ñâÿçè ãðàôà. Òàêèå ÂÀÕ óïðàâëÿåìû è òîêîì,

è íàïðÿæåíèåì.

Âîçíèêàåò âîïðîñ î ìèíèìàëüíîì ÷èñëå èñêîìûõ âåëè÷èí è î ôîðìå çàïèñè

óðàâíåíèé íåëèíåéíûõ öåïåé. Äëÿ öåïè ñ p âåòâÿìè, êàê ïðàâèëî, äîëæíû áûòü

çàäàíû ð ÂÀÕ ýëåìåíòîâ âåòâåé. Â îáùåì ñëó÷àå íåèçâåñòíû p íàïðÿæåíèé è p

òîêîâ â âåòâÿõ. Ïîýòîìó îáùåå ÷èñëî óðàâíåíèé äîëæíî áûòü ðàâíî p,êàêèâ

ëèíåéíûõ öåïÿõ, ÷òî ñîâìåñòíî ñ p ÂÀÕ äàñò ñèñòåìó èç 2p óðàâíåíèé. Ìàòðè÷

íûå óðàâíåíèÿ

iFi

äñ

uFu

ñä

îïðåäåëÿþò q – 1 ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé äëÿ

òîêîâ â q – 1 ñå÷åíèÿõ è n ñêàëÿðíûõ óðàâíåíèé äëÿ êîíòóðîâ, ò. å. âñåãî p ñêà-

ëÿðíûõ óðàâíåíèé.

Ïóñòü q – 1 âåòâåé, ñîäåðæàùèõ ýëåìåíòû ñ óïðàâëÿåìûìè òîêîì ÂÀÕ, ñî-

ñòàâëÿþò äåðåâî ãðàôà è n âåòâåé, ñîäåðæàùèõ ýëåìåíòû ñ óïðàâëÿåìûìè íà-

ïðÿæåíèåì ÂÀÕ, — ñâÿçè ãðàôà. Îáîçíà÷èì íàïðÿæåíèÿ è òîêè âåòâåé äåðåâà

÷åðåç u

äk

è i

äk

, ïðè÷åì k = 1... (q – 1). Íàïðÿæåíèÿ è òîêè ñâÿçåé îáîçíà÷èì ÷åðåç

ñj

è i

ñj

, ïðè÷åì j = q ¸ p. Òîãäà áóäåì èìåòü q – 1 ÂÀÕ âèäà u

äk

= f

äk

) = R

äk

)

è ï = ð – q + 1 ÂÀÕ âèäà i

ñj

) = G

ñj

). Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûìè âåëè÷è-

íàìè äîëæíû áûòü q – 1 íàïðÿæåíèé âåòâåé äåðåâà è ï òîêîâ ñâÿçåé, êîòîðûå

îäíîçíà÷íî îïðåäåëÿþòñÿ ñîãëàñíî ñëåäóþùèì ìàòðè÷íûì ñîîòíîøåíèÿì:

ufi Ri i u Gu

== = =() () ( ) ( ),

ääc c c

è jj

ãäå

ää1ä2ä1

[

colon

(, ,, );

() (), ,

uu u

fi f

q1 11 1 11

ñc

[( )] ( ), , ( )];

iRiRi

qqq

---

colon

Ki , ); ( ) ( ), , ( )] ( ), ,iuuGu

cñ

[[

pqqppqq

Gu ==colon colonjjKKGu

()].

Â ïîñëåäíèõ âûðàæåíèÿõ ñèìâîëû R(i)èG(u) îáîçíà÷àþò íåëèíåéíûå ìàò

ðè÷íûå ôóíêöèè, è íå ñëåäóåò äåëàòü îøèáêó, ïðèíèìàÿ èõ çà ìàòðèöû ñîïðî

òèâëåíèé è ïðîâîäèìîñòåé.

Èìåÿ â âèäó, ÷òî äëÿ îáîáùåííûõ âåòâåé ãðàôà ñõåìû ñóùåñòâóþò (ñì. § 3.12,

ò. I) ñîîòíîøåíèÿ:

,ii uuE=+ÁÁ=-è

ïîëó÷èì

i F i F u E Fu FE

ää ñ ñññ ää

+ÁÁ= + ÁÁ-=-+

;

èëè

iFiD u FuCE

äñ ñ ä

=-ÁÁ=-+

;;

ufi Ri i u Gu

== = =() () ( ) ( ),

ääc c c

è jj

Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå 385

Çäåñü i è u — ìàòðèöû òîêîâ è íàïðÿæåíèé ýëåìåíòîâ öåïè.

Äëÿ ïðèìåíåíèÿ èòåðàöèîííîãî ìåòîäà èëè ìåòîäà Íüþòîíà ýòè âûðàæåíèÿ

äîëæíû áûòü ïðèâåäåíû ñîîòâåòñòâåííî ê âèäó x = f(x) èëè f(x) = 0, íî òîëüêî

â ìàòðè÷íîé ôîðìå. Õîä ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ ïðîäåìîíñòðèðóåì íà ïðèìåðå

îòûñêàíèÿ èòåðàöèîííîé ôîðìóëû äëÿ i

. Èìååì

i Fi D FGu D FG Fu CE D

äñ

=-ÁÁ= - ÁÁ= - + - ÁÁ=

tt t

[( )] [( )]

[

ñä

(() )] .-+-ÁÁFR i CE D

Ìû âûðàçèëè i

÷åðåç ìàòðè÷íóþ ôóíêöèþ îò i

, ò. å. ïîëó÷èëè âûðàæåíèå,

ïðèãîäíîå äëÿ ïðèìåíåíèÿ ìåòîäà ïðîñòûõ èòåðàöèé. Àíàëîãè÷íî ìîæíî íàéòè

âûðàæåíèÿ

iGFRFi D CEu FFGu

ññ ñ ñ

=- -ÁÁ+ =- -ÁÁ+{[( )] }; {[ () ]} ;

RDCE

uRFGFuCE

ää

=-+-ÁÁ{[( )] }.

Çàìåòèì, ÷òî íåëèíåéíûå ìàòðè÷íûå óðàâíåíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü îòíîñè-

òåëüíî ëþáîé ìàòðè÷íîé âåëè÷èíû, è, òàêèì îáðàçîì, îáùåå ÷èñëî ñêàëÿðíûõ

óðàâíåíèé ìîæåò ñîîòâåòñòâîâàòü ëèáî q – 1, ëèáî n. Çàìåòèì òàêæå, ÷òî ïî-

ñêîëüêó ôóíêöèè G(u)èR(i) óïðàâëÿåìû, ñîîòâåòñòâåííî, íàïðÿæåíèåì è òî-

êîì, òî âî âñåõ ïðèâåäåííûõ âûøå âûðàæåíèÿõ ïðàâûå ÷àñòè îäíîçíà÷íî îïðå-

äåëÿþò ëåâûå. Ïåðåíîñîì âñåõ ÷ëåíîâ óðàâíåíèé â ëåâóþ îò çíàêà ðàâåíñòâà

ñòîðîíó ïîëó÷èì âûðàæåíèå, ïðèãîäíîå äëÿ ìåòîäà Íüþòîíà: Ô(õ) = 0. Ôîð-

ìàëüíî äëÿ ìàòðè÷íûõ âåëè÷èí ìîæåì çàïèñàòü èòåðàöèîííóþ ïðîöåäóðó ñî-

ãëàñíî ìåòîäó Íüþòîíà â ñëåäóþùåé ôîðìå:

xxÔxÔx

kk k k+-

[()] ().

Çäåñü x

— ñòîëáöîâàÿ ìàòðèöà, âåðõíèé èíäåêñ ó êîòîðîé ïîêàçûâàåò øàã èòå

ðàöèè; Ô¢(õ) — ìàòðè÷íàÿ ïðîèçâîäíàÿ ìàòðèöû-ñòîëáöà Ô(õ).

Ôîðìàëüíî ìîæíî çàïèñàòü

=Ôx

() .

Ïóñòü Ô(õ) = colon (j

, j

, ..., j

). Òîãäà

=Ôx()

... ... ... ...

¶j

xx x

¶j

nn n

xx x

Êâàäðàòíóþ ìàòðèöó, ñîñòîÿùóþ èç n ñòðîê è n ñòîëáöîâ, ýëåìåíòû êîòîðîé

ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé ÷àñòíûå ïðîèçâîäíûå j

ïî ñîñòàâëÿþùèì x

, íàçûâàþò ìàò

ðèöåé ßêîáè. Âåëè÷èíà [Ô¢(x)]

–1

åñòü îáðàòíàÿ ìàòðèöà ßêîáè, êîòîðàÿ ñóùåñò

âóåò ïðè óñëîâèè íåðàâåíñòâà íóëþ îïðåäåëèòåëÿ ìàòðèöû ßêîáè.

386 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ïðèìåíèòåëüíî ê ýëåêòðè÷åñêèì öåïÿì äëÿ ñëó÷àÿ, êîãäà õ = i

, ò. å. äëÿ òîêîâ

â ñâÿçÿõ, èìååì

Ôx G FRFi D CE i() { [ ( )] } ;=- -ÁÁ+ - =

ññ

==colon( , , , ).ii i

qq+ p1

Ïî ïðàâèëàì ôîðìàëüíîãî äèôôåðåíöèðîâàíèÿ èìååì

== - -Ôx

F()

()

() .

Âûðàæåíèÿ

()

îïðåäåëÿþò íåêîòîðûå êâàäðàòíûå ìàòðèöû,

èìåþùèå ðàçìåðíîñòè ïðîâîäèìîñòè è ñîïðîòèâëåíèÿ. Åñëè

()

MMòî

¶u

000

....

..........

...

0 g

= g

ãäå g

, ..., g

— äèôôåðåíöèàëüíûå ïðîâîäèìîñòè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ñâÿçåé

q ... p. Ýòà ïîñëåäíÿÿ ìàòðèöà äèàãîíàëüíà, òàê êàê òîê êàæäîé ñâÿçè îïðåäåëÿåò-

ñÿ íàïðÿæåíèåì èìåííî ýòîé ñâÿçè, è ïîýòîìó äi

/äu

= 0, åñëè s ¹ j. Ñëåäîâàòåëü-

íî, â ìåòîäå Íüþòîíà áóäåì èìåòü

iigFrF GFRFiD CEi

ññä ñ

kkkkt tk

=+ + - -ÁÁ+ -

[]{([()])1

åñëè àíàëîãè÷íî îïðåäåëèòü äu

/äi

= r

— äèàãîíàëüíóþ ìàòðèöó äèôôåðåíöè-

àëüíûõ ñîïðîòèâëåíèé âåòâåé äåðåâà. Èíäåêñû ó ìàòðèö

îçíà÷àþò, ÷òî

ýëåìåíòû ýòèõ ìàòðèö îïðåäåëåíû äëÿ çíà÷åíèé òîêîâ è íàïðÿæåíèé íà k-ì

øàãå èòåðàöèé. Èìåííî íåîáõîäèìîñòü òàêîãî ïåðåñ÷åòà íà êàæäîì øàãå èòåðà

öèé è ïîñëåäóþùåå îáðàùåíèå ìàòðèö ïîðÿäêà (ï ´ n) èëè [(q –1)´ (q – 1)] è

ÿâëÿþòñÿ ñóùåñòâåííûìè íåäîñòàòêàìè ìåòîäà Íüþòîíà.

Âûðàæåíèå g

+ 1 ìîæíî ïðåîáðàçîâàòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Ïðåäñòà

âèì 1 = g

-1

. Òîãäà

gFrF gCrC

ñä ñ ñ

().

+=r

Çäåñü C — ìàòðèöà êîíòóðîâ ãðàôà öåïè; r — äèàãîíàëüíàÿ ìàòðèöà äèôôåðåí

öèàëüíûõ ñîïðîòèâëåíèé öåïè. Ñ ó÷åòîì ýòîãî òîæäåñòâà äëÿ ìåòîäà Íüþòîíà

ìîæíî ïîëó÷èòü âûðàæåíèå

i i Cr C r G F R F i D CE i

ñc ñ ñ

kk ktk tk k

=+ - -ÁÁ+ -

[]{([( )])}

Â çàêëþ÷åíèå çàìåòèì, ÷òî èòåðàöèîííûé ìåòîä Íüþòîíà ìîæåò áûòü íå

ïîñðåäñòâåííî èñïîëüçîâàí äëÿ ïîëó÷åíèÿ ðåøåíèÿ ëèíåéíîé çàäà÷è. Ïðè÷åì

ïåðâûé æå øàã îïðåäåëèò èñòèííîå çíà÷åíèå ïîïðàâêè. Ïîñêîëüêó ÂÀÕ ëèíåé

íû, òî çíà÷åíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ ïàðàìåòðîâ ñîâïàäàþò ñî çíà÷åíèÿìè ñòà

òè÷åñêèõ ïàðàìåòðîâ. Êðîìå òîãî, äëÿ ïðîñòîòû ìîæíî ñ÷èòàòü

= 0. Òîãäà

i CrC r G FR D CE CrC CE FR D

ñññä ä

tt t

= [] ( )[]( ).

ÁÁ+ = + ÁÁ

Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå 387

Ìàòðèöà

DÁÁ

ïåðåíîñèò âñå èñòî÷íèêè òîêà â âåòâè äåðåâà. Óìíîæåíèå

ÁÁ

ýêâèâàëåíòíî ïðåîáðàçîâàíèþ âñåõ èñòî÷íèêîâ òîêîâ â âåòâÿõ äåðåâà

â èñòî÷íèêè ÝÄÑ. Óìíîæåíèå íà F îïðåäåëÿåò âêëàä ýòèõ ýêâèâàëåíòíûõ ÝÄÑ

â êîíòóðíûå óðàâíåíèÿ.

Òàêèì îáðàçîì, ïðèìåíåíèå ìàòðè÷íî-òîïîëîãè÷åñêèõ ìåòîäîâ äëÿ ðåøåíèÿ

çàäà÷ ðàñ÷åòà íåëèíåéíûõ öåïåé ïîñòîÿííîãî òîêà ïîçâîëÿåò ôîðìàëèçîâàòü ñî

ñòàâëåíèå óðàâíåíèé öåïè, ñîêðàùàòü ÷èñëî ðåøàåìûõ óðàâíåíèé è â íåêîòî

ðûõ ñëó÷àÿõ îáåñïå÷èâàåò ôîðìèðîâàíèå òàêîé ñèñòåìû óðàâíåíèé, êîòîðàÿ ãà

ðàíòèðîâàëà áû åäèíñòâåííîñòü ðåøåíèÿ. Â ñî÷åòàíèè ñ âîçìîæíîñòÿìè ÝÂÌ

ýòîò ìåòîä ïîçâîëÿåò ðåøàòü øèðîêèé êëàññ çàäà÷ íåëèíåéíûõ öåïåé.

20.9. Àíàëèòè÷åñêîå èññëåäîâàíèå îñîáûõ ñâîéñòâ

íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé ïîñòîÿííîãî òîêà

ïðè ìàëûõ îòêëîíåíèÿõ îò çàäàííîãî ðåæèìà

Íåëèíåéíàÿ çàâèñèìîñòü ìåæäó òîêàìè è íàïðÿæåíèÿìè â íåëèíåéíûõ ýëåê

òðè÷åñêèõ öåïÿõ ïðèäàåò ýòèì öåïÿì ðÿä îñîáûõ çàìå÷àòåëüíûõ ñâîéñòâ, êîòî-

ðûå ñ óñïåõîì èñïîëüçóþòñÿ â ðàçëè÷íûõ óñòðîéñòâàõ, îñîáåííî â ýëåêòðîèçìå-

ðèòåëüíûõ è àâòîìàòè÷åñêèõ. Ýòè îñîáûå ñâîéñòâà ïðîÿâëÿþòñÿ â ñâîåîáðàçíîì

ïîâåäåíèè íåëèíåéíûõ öåïåé ïðè îòêëîíåíèè òîêîâ è íàïðÿæåíèé îò èõ çíà÷å-

íèé ïðè çàäàííîì ðåæèìå. Íåêîòîðûå èç ýòèõ ñâîéñòâ áûëè îòìå÷åíû â § 20.2

ïðè ðàññìîòðåíèè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.

Òàê, íàïðèìåð, ìîæíî îñóùåñòâèòü óñòðîéñòâà, â êîòîðûõ ïðè îòêëîíåíèè

â èçâåñòíûõ ïðåäåëàõ íàïðÿæåíèÿ u

íà âõîäíûõ çàæèìàõ îò íîìèíàëüíîãî åãî

çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèå u

íà âûõîäíûõ çàæèìàõ îñòàåòñÿ íåèçìåííûì èëè ïðàêòè-

÷åñêè íåèçìåííûì. Òàêîå óñòðîéñòâî ñëóæèò ñòàáèëèçàòîðîì íàïðÿæåíèÿ. Ïðè-

ìåðîì ÿâëÿåòñÿ ñòàáèëîâîëüò, îïèñàííûé â § 20.2. Àíàëîãè÷íî ìîæíî ñ ïîìîùüþ

íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, íàïðèìåð áàðåòòåðà, äîáèòüñÿ ñòàáèëèçàöèè òîêà.

Ñ ïîìîùüþ ìîñòîâîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ñ íåëèíåéíûìè ýëåìåíòàìè ìîæíî

óñòàíîâèòü, ÷òî íàïðÿæåíèå u

íà âûõîäíûõ çàæèìàõ â äèàãîíàëè ìîñòà áóäåò

ðàâíî íóëþ òîëüêî ïðè îäíîì îïðåäåëåííîì çàäàííîì çíà÷åíèè íàïðÿæåíèÿ u

íà

âõîäíûõ çàæèìàõ â äðóãîé äèàãîíàëè ìîñòà. Ïðè îòêëîíåíèè âåëè÷èíû u

îò ýòî

ãî çíà÷åíèÿ ïîÿâëÿåòñÿ íàïðÿæåíèå u

, îòëè÷íîå îò íóëÿ. Ïðè ýòîì óâåëè÷åíèþ

ñîîòâåòñòâóåò íàïðÿæåíèå u

îäíîãî çíàêà, óìåíüøåíèþ u

— íàïðÿæåíèå u

äðóãîãî çíàêà. Òàêîå óñòðîéñòâî ìîæåò ñëóæèòü óêàçàòåëåì (èíäèêàòîðîì) îòêëî

íåíèÿ íàïðÿæåíèÿ u

îò çàäàííîãî åãî çíà÷åíèÿ è ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî äëÿ

àâòîìàòè÷åñêîãî ïîääåðæàíèÿ ýòîãî íàïðÿæåíèÿ âáëèçè çàäàííîãî çíà÷åíèÿ.

Äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ ïîâåäåíèÿ íåëèíåéíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè

ïðè íåáîëüøèõ îòêëîíåíèÿõ îò çàäàííîãî ðåæèìà íåò íåîáõîäèìîñòè ðàñïîëàãàòü

àíàëèòè÷åñêèì âûðàæåíèåì âñåé õàðàêòåðèñòèêè êàæäîãî íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà,

âõîäÿùåãî â ñîñòàâ öåïè. Äîñòàòî÷íî âûðàçèòü óðàâíåíèåì íåáîëüøóþ ÷àñòü õà

ðàêòåðèñòèêè âáëèçè òî÷êè A, ñîîòâåòñòâóþùåé çàäàííîìó ðåæèìó. Îáû÷íî áûâà

åò äîñòàòî÷íî çàìåíèòü ýòîò ó÷àñòîê õàðàêòåðèñòèêè îòðåçêîì ïðÿìîé, êàñàòåëüíîé

ê õàðàêòåðèñòèêå â òî÷êå A (ðèñ. 20.38). Óðàâíåíèå ýòîé ïðÿìîé èìååò âèä

uu ri=+

0 ä

388 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

ãäå u

îïðåäåëÿåòñÿ òî÷êîé ïåðåñå÷åíèÿ ïðÿìîé ñ îñüþ îðäèíàò (ðèñ. 20.38),

à r

= k tg b åñòü äèíàìè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà â òî÷êå À

õàðàêòåðèñòèêè, ïðè÷åì k — îòíîøåíèå ìàñøòàáà íà

ïðÿæåíèÿ ê ìàñøòàáó òîêà. Âåëè÷èíà u

ìîæåò áûòü

êàê ïîëîæèòåëüíîé (ðèñ. 20.38), òàê è îòðèöàòåëüíîé

(ðèñ. 20.39). Âåëè÷èíà r

òàêæå ìîæåò áûòü ïîëîæè

òåëüíîé, åñëè u ðàñòåò ïðè óâåëè÷åíèè i, è îòðèöà

òåëüíîé ïðè ïàäàþùåé õàðàêòåðèñòèêå.

Ìåòîä çàìåíû õàðàêòåðèñòèêè íà íåêîòîðîì åå

ó÷àñòêå îòðåçêîì ïðÿìîé íàçûâàþò ëèíåàðèçà

öèåé çàäà÷è â ñîîòâåòñòâóþùèõ ïðåäåëàõ. Âîñ

ïîëüçóåìñÿ ýòèì ìåòîäîì äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî èññëå

äîâàíèÿ ðàáîòû ñòàáèëîâîëüòà âáëèçè íåêîòîðîãî

çàäàííîãî ðåæèìà.

Ñõåìà ñòàáèëîâîëüòà ïîêàçàíà íà ðèñ. 19.15. Îáîçíà÷èì ñîïðîòèâëåíèå ïðè

åìíèêà N ÷åðåç r

. Èìååì ñèñòåìó óðàâíåíèé

uriuu riuuriiii

1 122 22 0 1 2

=+ = =+ =+;; ; .

2ä

Ïîäñòàâèâ â òðåòüå óðàâíåíèå i = i

– i

èç ÷åòâåðòîãî è

çàìåíèâ i

÷åðåç u

èç âòîðîãî, âûðàçèì i

÷åðåç u

. Ïîä-

ñòàâèâ ýòî âûðàæåíèå äëÿ i

â ïåðâîå óðàâíåíèå, ïîëó÷àåì

ñâÿçü ìåæäó u

è u

â âèäå

rr rr rr

210

2ä

ä2 2ä

Êà÷åñòâî ðàáîòû ñòàáèëèçàòîðà íàïðÿæåíèÿ õàðàêòåðèçóþò òàê íàçûâàåìûì

êîýôôèöèåíòîì ñòàáèëèçàöèè k, ðàâíûì îòíîøåíèþ îòíîñèòåëüíîãî èçìåíåíèÿ

ïåðâè÷íîãî íàïðÿæåíèÿ ê îòíîñèòåëüíîìó èçìåíåíèþ Du

âòîðè÷íîãî

íàïðÿæåíèÿ, ò. å. ðàâíûì

DDD

Èç óðàâíåíèÿ ñâÿçè ìåæäó u

è u

èìååì

rr rr rr

2ä

ä2 2ä

;

rr rr rr

2ä

ä2 2ä

Ñëåäîâàòåëüíî, èñêîìûé êîýôôèöèåíò ñòàáèëèçàöèè èìååò âûðàæåíèå

=+1

1ä

Æåëàòåëüíî èìåòü k âîçìîæíî áîëüøèì, òàê êàê ïðè ýòîì áîëüøîìó îòíî

ñèòåëüíîìó èçìåíåíèþ ïåðâè÷íîãî íàïðÿæåíèÿ áóäåò ñîîòâåòñòâîâàòü ìàëîå

îòíîñèòåëüíîå èçìåíåíèå âòîðè÷íîãî íàïðÿæåíèÿ. Èç ïîñëåäíåãî âûðàæåíèÿ

Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå 389

Ðèñ. 20.38

Ðèñ. 20.39

âèäíî, ÷òî k =¥ïðè r

= 0, ò. å. åñëè òî÷êà À ëåæèò íà ãîðèçîíòàëüíîì ó÷àñòêå õà

ðàêòåðèñòèêè. Â ýòîì ñëó÷àå âòîðè÷íîå íàïðÿæåíèå u

îñòàåòñÿ ïîñòîÿííûì ïðè

èçìåíåíèè ïåðâè÷íîãî u

Ïîëó÷åííîå âûðàæåíèå ïîçâîëÿåò âû÷èñëèòü êîýôôèöèåíò ñòàáèëèçàöèè

äëÿ ëþáîé òî÷êè õàðàêòåðèñòèêè è ëþáîãî çíà÷åíèÿ u

Â äåéñòâèòåëüíîñòè õàðàêòåðèñòèêà íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ñòàáèëîâîëüòà â

èñïîëüçóåìîé ðàáî÷åé åå ÷àñòè èìååò íåêîòîðûé íàêëîí ê îñè àáñöèññ, ðàçëè÷

íûé â ðàçíûõ òî÷êàõ. Ïîëüçóÿñü ãðàôè÷åñêèì ìåòîäîì, èçëîæåííûì â § 20.2,

ìîæíî íàéòè äëÿ ðàçëè÷íûõ çíà÷åíèé ïåðâè÷íîãî íàïðÿæåíèÿ u

è ñîïðîòèâëå

íèÿ r

íàãðóçêè ïîëîæåíèå òî÷êè À íà õàðàêòåðèñòèêå è ñîîòâåòñòâóþùèå åé

çíà÷åíèÿ r

è u

. Ðàñïîëàãàÿ ýòèìè çíà÷åíèÿìè, íåòðóäíî ïî ïîñëåäíåé ôîðìóëå

ïîëó÷èòü âåëè÷èíó k. Òàêèì ïóòåì ìîæíî íàéòè çàâèñèìîñòè k = F(u

) ïðè ðàç

ëè÷íûõ r

Ïîä÷åðêíåì, ÷òî ñòàáèëèçàöèÿ íàïðÿæåíèÿ äîñòèãàåòñÿ òîëüêî áëàãîäàðÿ íå

ëèíåéíûì ñâîéñòâàì öåïè. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè çàìåíèòü íåëèíåéíûé ýëåìåíò

ëèíåéíûì ñ ïîñòîÿííûì ñîïðîòèâëåíèåì, òî ìû èìåëè

áû u

= 0èk = 1, ò. å. îòíîñèòåëüíûå èçìåíåíèÿ ïåðâè÷-

íîãî è âòîðè÷íîãî íàïðÿæåíèé áûëè áû ðàâíû äðóã äðó-

ãó è íèêàêîé ñòàáèëèçàöèè íå áûëî áû.

Â êà÷åñòâå äðóãîãî ïðèìåðà èññëåäóåì ñèììåòðè÷-

íûé ìîñò ñ äâóìÿ îäèíàêîâûìè íåëèíåéíûìè ýëåìåíòà-

ìè â äâóõ ïðîòèâîïîëîæíûõ ïëå÷àõ (ðèñ. 20.40) è äâóìÿ

îäèíàêîâûìè ïîñòîÿííûìè (ëèíåéíûìè) ñîïðîòèâëå-

íèÿìè r â äðóãèõ ïëå÷àõ. Èìååì óðàâíåíèÿ

u u ri u u ri

¢¢ ¢

¢¢

;;

¢¢

=i ii uu riu ri

20 222

;;.

Ïîäñòàâèì i¢ èç òðåòüåãî óðàâíåíèÿ â ÷åòâåðòîå. Íàéäåííîå âûðàæåíèå äëÿ u¢

ïîäñòàâèì â ïåðâîå è âòîðîå óðàâíåíèÿ è âûðàçèì i

÷åðåç u

ñîãëàñíî ïÿòîìó

óðàâíåíèþ. Ïîëó÷èì äâà óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèõ u

, u

è i², èñêëþ÷àÿ èç êîòî

ðûõ i², íàéäåì ñâÿçü ìåæäó u

è u

â âèäå

210

Ïðè r

= r íàïðÿæåíèå u

íà âûõîäå íå çàâèñèò îò u

íà âõîäå, ò. å. ìîñò ðàáîòà

åò êàê ñòàáèëèçàòîð íàïðÿæåíèÿ. Êîýôôèöèåíò ñòàáèëèçàöèè ðàâåí

==+

Ïðè r

= r èìååì k =¥, ò. å. ïîëíóþ ñòàáèëèçàöèþ âòîðè÷íîãî íàïðÿæåíèÿ, êî

òîðîå ïðè ýòîì ðàâíî

390 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 20.40

Òîò æå ìîñò ìîæíî èñïîëüçîâàòü è êàê óêàçàòåëü îòêëîíåíèÿ Du

ïåðâè÷íîãî

íàïðÿæåíèÿ îò íåêîòîðîãî çàäàííîãî åãî çíà÷åíèÿ u

. Ñ ýòîé öåëüþ óðàâíîâåñèì

ìîñò ïðè ýòîì çíà÷åíèè íàïðÿæåíèÿ u

íà åãî âõîäå. Î÷åâèäíî, ðàâíîâåñèå, ò. å.

= 0, áóäåò äîñòèãíóòî, êîãäà ñòàòè÷åñêîå ñîïðîòèâëåíèå íåëèíåéíûõ ýëåìåí

òîâ â ïëå÷àõ ìîñòà áóäåò ðàâíî ñîïðîòèâëåíèþ r â äðóãèõ ëèíåéíûõ ïëå÷àõ, ò. å.

ïðè r

ñò

= r.

Âîñïîëüçîâàâøèñü óðàâíåíèåì, ñâÿçûâàþùèì u

è u

, è âçÿâ ïðèðàùåíèÿ Du

è Du

, íàéäåì

Âåëè÷èíó m íàçûâàþò êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ ìîñòà.

Ìîùíîñòü, ïåðåäàâàåìàÿ âî âòîðè÷íóþ öåïü, ðàâíà

rr r

()

Ìîæíî ïîäîáðàòü ñîïðîòèâëåíèå r

âòîðè÷íîé öåïè òàêèì, ÷òîáû ìîùíîñòü

áûëà íàèáîëüøåé ïðè çàäàííûõ Du

, r

è r. Âçÿâ ïðîèçâîäíóþ îò p

ïî r

è ïðè-

ðàâíÿâ åå ê íóëþ, ïîëó÷èì

ñò ä

èëè ,

òàê êàê r = r

ñò

Êîýôôèöèåíò óñèëåíèÿ â ýòîì ñëó÷àå

äñò

ñò ä

äñò

1()

Ïðè ëþáûõ r

> 0 àáñîëþòíîå çíà÷åíèå m íå ïðåâûøàåò 0,5. Òåì íå ìåíåå,

òàêîå óñòðîéñòâî äàåò âîçìîæíîñòü íàáëþäàòü âåñüìà ìàëûå îòíîñèòåëüíûå

îòêëîíåíèÿ Du

ïåðâè÷íîãî íàïðÿæåíèÿ îò çàäàííîãî åãî çíà÷åíèÿ u

, òàê

êàê ïðè çàäàííîì çíà÷åíèè u

íàïðÿæåíèå u

âî âòîðè÷íîé öåïè ðàâíî íóëþ,

è, ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ îòñ÷åòà âåëè÷èíû Du

ìîæåò áûòü âçÿò ïðèáîð ñ âåñüìà

áîëüøîé ÷óâñòâèòåëüíîñòüþ. Îòêëîíåíèÿ ïðèáîðà âî âòîðè÷íîé öåïè ìîæíî

èñïîëüçîâàòü ïóòåì âîçäåéñòâèÿ íà ñîîòâåòñòâóþùèå ðåãóëèðóþùèå óñòðîéñò

âà äëÿ àâòîìàòè÷åñêîãî ïîääåðæàíèÿ çàäàííîãî çíà÷åíèÿ u

ñ î÷åíü áîëüøîé

òî÷íîñòüþ.

Èç ðàññìîòðåííûõ ïðèìåðîâ âèäèì, ÷òî ìåòîä ëèíåàðèçàöèè õàðàêòåðèñòèêè

íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà âáëèçè åå ðàáî÷åé òî÷êè A ìîæåò áûòü ñ óñïåõîì èñïîëü

çîâàí äëÿ àíàëèòè÷åñêîãî èññëåäîâàíèÿ ðÿäà âàæíûõ ñâîéñòâ íåëèíåéíûõ ýëåê

òðè÷åñêèõ öåïåé.

Ãëàâà 20. Ðàñ÷åò íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé ïðè ïîñòîÿííîì òîêå 391

Îòìåòèì, ÷òî, êðîìå ðàññìîòðåííûõ îñîáûõ ñâîéñòâ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷å

ñêèõ öåïåé, ìîæíî ïîëó÷èòü â ýòèõ öåïÿõ è äðóãèå âåñüìà öåííûå ñâîéñòâà. Òàê,

ïðè íàëè÷èè â öåïè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ñ ïàäàþùåé õàðàêòåðèñòèêîé âîç

ìîæíû, êàê óáåäèìñÿ â ïîñëåäóþùåì, íåóñòîé÷èâûå ðåæèìû. Ïðè ýòîì îêàçû

âàåòñÿ âîçìîæíûì îñóùåñòâèòü óñòðîéñòâà, â êîòîðûõ ïðè ïëàâíîì èçìåíåíèè

íàïðÿæåíèÿ u

íà âõîäíûõ çàæèìàõ â ìîìåíò äîñòèæåíèÿ èì íåêîòîðîãî çàäàí

íîãî çíà÷åíèÿ íàïðÿæåíèå u

íà âûõîäíûõ çàæèìàõ èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì. Ýòî

ñâîéñòâî ìîæåò áûòü èñïîëüçîâàíî â ðåëåéíûõ óñòðîéñòâàõ.

20.10. Çàêîíû è ïàðàìåòðû ìàãíèòíûõ öåïåé

Â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ íàì óäàåòñÿ ñîçäàâàòü âåñüìà ïðîòÿæåííûå íàïðàâëåí

íûå ïóòè äëÿ ýëåêòðè÷åñêîãî òîêà, ÷òî ÿâëÿåòñÿ ðåçóëüòàòîì î÷åíü áîëüøîãî

ðàçëè÷èÿ óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòè g

ïð

ïðîâîäíèêîâ è óäåëüíîé ïðîâîäèìîñòè g

èç

îêðóæàþùåé èõ èçîëèðóþùåé ñðåäû. Òàê, äëÿ ìåäè g

ïð

= 5,8×10

1/Îì×ì, à äëÿ

ïðîïèòàííîé êàáåëüíîé áóìàãè g

èç

= 10

–13

1/Îì×ì, ò. å. ïðè ýòîì g

ïð

èç

= 5,8×10

Äëÿ ìàãíèòíûõ öåïåé íå èìååì ñòîëü áîëüøîãî ðàçëè÷èÿ ìåæäó àáñîëþòíîé

ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòüþ m

ôåð

ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ ó÷àñòêîâ ìàãíèò-

íîé öåïè, êîòîðûå äîëæíû îáðàçîâûâàòü ïóòü äëÿ

ìàãíèòíûõ ëèíèé, è àáñîëþòíîé ìàãíèòíîé ïðî-

íèöàåìîñòüþ m

îêðóæàþùåé ñðåäû, îáû÷íî âîç-

äóõà. Èõ îòíîøåíèå èìååò ïîðÿäîê m

ôåð

» 10

... 10

à ïðè íàñûùåíèè ôåððîìàãíèòíûõ ìàòåðèàëîâ ñòà-

íîâèòñÿ åùå ìåíüøå. Ïîýòîìó çíà÷èòåëüíàÿ ÷àñòü

ïîòîêà îòâåòâëÿåòñÿ îò îñíîâíîé ìàãíèòíîé öåïè

è ïðîõîäèò ÷åðåç âîçäóõ â âèäå òàê íàçûâàåìîãî ïî-

òîêà ðàññåÿíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, äàæå ïðè êîðîòêèõ

ìàãíèòíûõ öåïÿõ èìååì ìàãíèòíûå öåïè ñ ðàñïðå

äåëåííûìè ïàðàìåòðàìè. Êðîìå òîãî, âäîëü îñíîâíîé ìàãíèòíîé öåïè ÷àñòî

ðàñïîëàãàþò âîçäóøíûå ïðîìåæóòêè. Òàêîâûì, íàïðèìåð, ÿâëÿåòñÿ âîçäóøíûé

ïðîìåæóòîê ìåæäó ïîëþñàìè ýëåêòðîìàãíèòà (ðèñ. 20.41). Ìàãíèòíàÿ ïðîíè

öàåìîñòü ýòèõ ïðîìåæóòêîâ ðàâíà ìàãíèòíîé ïðîíèöàåìîñòè îêðóæàþùåé ìàã

íèòíóþ öåïü ñðåäû, âñëåäñòâèå ÷åãî çäåñü òðóäíî ãîâîðèòü îá îïðåäåëåííîì ïóòè

äëÿ ìàãíèòíûõ ëèíèé.

Çàâèñèìîñòü ìàãíèòíîé èíäóêöèè îò íàïðÿæåííîñòè ìàãíèòíîãî ïîëÿ íåëè

íåéíà è âñëåäñòâèå ÿâëåíèÿ ãèñòåðåçèñà íåîäíîçíà÷íà. Ïîýòîìó ìàãíèòíûå öå

ïè, êàê ïðàâèëî, ÿâëÿþòñÿ íåëèíåéíûìè.

Âñå ñêàçàííîå âåñüìà óñëîæíÿåò ðàñ÷åòû ìàãíèòíûõ öåïåé äàæå ïðè ïîñòîÿí

íîì ìàãíèòíîì ïîòîêå, ò. å. ïðè ïîñòîÿííîì òîêå â íàìàãíè÷èâàþùèõ êàòóøêàõ.

Ñòðîãèé ðàñ÷åò çäåñü ìîæåò áûòü âûïîëíåí òîëüêî ñ ïðèâëå÷åíèåì ìåòîäîâ òåî

ðèè ýëåêòðîìàãíèòíîãî ïîëÿ. Îäíàêî ïðèáëèæåííîå ðåøåíèå ìîæíî è çäåñü ïî

ëó÷èòü, ââîäÿ ïîíÿòèå î ìàãíèòíîé öåïè è, ñîîòâåòñòâåííî, èñïîëüçóÿ òåîðèþ,

îñíîâàííóþ íà ýòîì ïîíÿòèè, ò. å. òåîðèþ ìàãíèòíûõ öåïåé.

Ïðåíåáðåãàÿ ïîòîêàìè ðàññåÿíèÿ, ïîëó÷àåì ìàãíèòíóþ öåïü ñ ñîñðåäîòî÷åí

íûìè ïàðàìåòðàìè. Åñëè ìàãíèòíàÿ öåïü íå èìååò ðàçâåòâëåíèé (ðèñ. 20.41), òî

392 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 20.41