Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2
Подождите немного. Документ загружается.
Ó÷èòûâàÿ, ÷òî ïåðåäàòî÷íàÿ ôóíêöèÿ óñòðîéñòâà ïðè ðàçîìêíóòîé îáðàòíîé
ñâÿçè
Kp
kT p
Tp Tp Tp
()
()( )
=
+++
3
123
11
, ãäå T
1
= R
1
C
1
, T
2
= R
2
C
2
, T
3
= R
2
C
1
, çàïèñûâàåì
àìïëèòóäíî-ôàçîâóþ ÷àñòîòíóþ õàðàêòåðèñòèêó K(jw) è èç óñëîâèé Re K(jw) > –1,
Im K(jw) = 0 ÷àñòîòíîãî êðèòåðèÿ óñòîé÷èâîñòè, ðàññìîòðåííîãî â § 13.8, ïî
-
ëó÷àåì ÷àñòîòó êîëåáàíèé
w
0
1212
1
=
RRCC
, à òàêæå
ñîîòíîøåíèå
k
RC RC RC
RC
<-
++
11 2 2 2 1
21
ìåæäó ïàðà
-
ìåòðàìè ýëåìåíòîâ öåïè, ïðè âûïîëíåíèè êîòîðîãî
ñóùåñòâóþò àâòîêîëåáàíèÿ. Òàê êàê â ïîëó÷åííîì ñî
-
îòíîøåíèè k < 0, òî, ñëåäîâàòåëüíî, îïåðàöèîííûé óñèëèòåëü äîëæåí áûòü èí
-
âåðòèðóþùèì, ò. å. èçìåíÿþùèì ôàçó âõîäíîãî íàïðÿæåíèÿ íà 180°.
 ðÿäå ñëó÷àåâ â öåïü ãåíåðàòîðà ââîäÿò äîïîëíèòåëüíûå ýëåìåíòû, ïîçâî
-
ëÿþùèå óëó÷øèòü ôîðìó êîëåáàíèé è ïðèáëèçèòü åå ê ñèíóñîèäàëüíîé.
22.7. Ðåëàêñàöèîííûå êîëåáàíèÿ
Êîëåáàíèÿ â òðàíçèñòîðíîì ãåíåðàòîðå, ðàññìîòðåííûå â ïðåäûäóùåì ïàðàãðà-
ôå, õàðàêòåðèçóþòñÿ ïåðåõîäîì ýíåðãèè èç êîíäåíñàòîðà â êàòóøêó è îáðàòíî
â êîëåáàòåëüíîì êîíòóðå L, Ñ. Äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ òàêèõ
êîëåáàíèé íåîáõîäèìû äâà íàêîïèòåëÿ ýíåðãèè â âèäå
êàòóøêè è êîíäåíñàòîðà. Èñïîëüçóÿ íåëèíåéíûå ýëåìåí-
òû ñ õàðàêòåðèñòèêàìè, èìåþùèìè ïàäàþùèå ó÷àñòêè,
ìîæíî ïîëó÷èòü àâòîêîëåáàíèÿ ïðè îäíîì íàêîïèòåëå
ýíåðãèè, îáû÷íî êîíäåíñàòîðå. Òàêèå êîëåáàíèÿ íîñÿò
íàçâàíèå ðåëàêñàöèîííûõ êîëåáàíèé.
Ðàññìîòðèì èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 22.14 öåïü, â êîòîðîé ìîãóò âîçíèêàòü ðå
-
ëàêñàöèîííûå êîëåáàíèÿ.
Íåîíîâàÿ ëàìïà ñ íåëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêîé u =j(i), èçîáðàæåííîé íà
ðèñ. 22.15, âêëþ÷åíà ïàðàëëåëüíî êîíäåíñàòîðó C. Ìåæäó èñòî÷íèêîì ïîñòîÿí
-
íîãî íàïðÿæåíèÿ U
0
è ëàìïîé âêëþ÷åíî äîñòàòî÷íî áîëüøîå ñîïðîòèâëåíèå r
1
.
Ïðÿìàÿ U
0
– r
1
i
1
èçîáðàæåíà òàêæå íà ðèñ. 22.15. Îíà ïåðåñåêàåò õàðàêòåðèñòèêó
ëàìïû íà ïàäàþùåì ó÷àñòêå. Èç ðàññìîòðåíèÿ â § 22.3 è 22.4 ñëåäóåò, ÷òî òî÷êà
ïåðåñå÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ â öåïè.
Ïðè âêëþ÷åíèè öåïè â ìîìåíò t = 0 ïîä ïîñòîÿííîå íàïðÿæåíèå U
0
êîíäåíñà
-
òîð çàðÿæàåòñÿ ÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå r
1
. Ëàìïà íå ãîðèò, è òîê â íåé i = 0. Íàïðÿ
-
æåíèå íà êîíäåíñàòîðå (ðèñ. 22.16) ðàñòåò ïî çàêîíó (ñì. § 9.6)
uU e rC
t
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=
-
011
1
1
t
t,.ãäå
 ìîìåíò t = t
1
íàïðÿæåíèå u íà êîíäåíñàòîðå è íà ëàìïå äîñòèãàåò çíà÷å
-
íèÿ U
2
, ïðè êîòîðîì ëàìïà âñïûõèâàåò. Òîê â ëàìïå ðåçêî âîçðàñòàåò, è ïðîèñõî
-
äèò ñêà÷êîîáðàçíûé ïåðåõîä ñîñòîÿíèÿ ëàìïû îò òî÷êè B â òî÷êó G õàðàêòåðè
-
Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 453
Ðèñ. 22.13
Ðèñ. 22.14
ñòèêè. Ñ ýòîãî ìîìåíòà òîê â ëàìïå ïîääåðæèâàåòñÿ çà ñ÷åò ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà.
Ïóñòü r
2
åñòü ñðåäíåå çíà÷åíèå ñîïðîòèâëåíèÿ ëàìïû íà ó÷àñòêå GH õàðàêòåðè
-
ñòèêè. Òàê êàê r
2
<< r
1
, òî ïðè ãîðåíèè ëàìïû ìîæíî íå ó÷èòûâàòü òîê i
1
. Ïîëàãàÿ
r
2
= const, ïîëó÷àåì çàêîí èçìåíåíèÿ íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðå âî âðåìÿ ãî
-
ðåíèÿ ëàìïû â âèäå (ñì. § 9.6)
uUe rC
tt
==
-
-
222
1
2
t
t,.ãäå
Ê ìîìåíòó t = t
2
íàïðÿæåíèå óïàäåò äî çíà÷åíèÿ U
1
, ïðè êîòîðîì ëàìïà ãàñ-
íåò. Òîê â íåé ïàäàåò ïðàêòè÷åñêè äî íóëÿ, è ïðîèñõîäèò ñêà÷êîîáðàçíûé ïåðå-
õîä ñîñòîÿíèÿ ëàìïû èç òî÷êè H â òî÷êó A õàðàêòåðèñòèêè. Èíòåðâàë âðåìåíè
t
2
– t
1
îïðåäåëÿåòñÿ èç âûðàæåíèÿ
UUe tt
U
U
tt
12 212
2
1
21
2
=-=
-
-
t
t,ln.îòêóäà
Ïîñëå ïîãàñàíèÿ ëàìïû êîíäåíñàòîð âíîâü íà÷èíàåò çàðÿæàòüñÿ îò èñòî÷íè-
êà íàïðÿæåíèÿ U
0
÷åðåç ñîïðîòèâëåíèå r
1
ïî çàêîíó
uU Ae
t
=+
-
0
1
t
.
Ïðîèçâîëüíóþ ïîñòîÿííóþ A îïðåäåëÿåì èç óñëîâèÿ, ÷òî ïðè t = t
2
èìååì
u = U
1
, îòêóäà
AUUe uU UUe
ttt
=- =--
-
-
() ().
10 0 01
2
1
2
1
tt
è
Ê ìîìåíòó t = t
3
êîíäåíñàòîð çàðÿäèòñÿ äî íàïðÿæåíèÿ U
2
, è ëàìïà âíîâü
âñïûõíåò. Èíòåðâàë âðåìåíè t
3
–t
2
îïðåäåëÿåòñÿ èç óðàâíåíèÿ
UU UUe tt
UU
UU
tt
20 01 321
01
02
32
1
=- - -=
-
-
-
-
(), ln .
t
tîòêóäà
 äàëüíåéøåì ïðîöåññ ïåðèîäè÷åñêè ïîâòîðÿåòñÿ. Ïåðèîä êîëåáàíèé ðàâåí
Tt t
UU
UU
U
U
=-=
-
-
+
31 1
01
02
2
2
1
ttln ln .
Ðåëàêñàöèîííûå êîëåáàíèÿ ñ óñïåõîì ìîãóò áûòü èñïîëüçîâàíû, íàïðèìåð,
äëÿ îñóùåñòâëåíèÿ ëèíåéíîé ðàçâåðòêè ëó÷à êàòîäíîãî îñöèëëîãðàôà. Äåéñòâè
-
454 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðèñ. 22.15
Ðèñ. 22.16
òåëüíî, âîñõîäÿùèå âåòâè êðèâîé u = F (t) (ðèñ. 22.16) ìîæíî ïîëó÷èòü âåñüìà
áëèçêèìè ê ïðÿìîëèíåéíûì, åñëè îíè ïðåäñòàâëÿþò ñîáîé òîëüêî íà÷àëüíóþ
÷àñòü êðèâîé çàðÿäà êîíäåíñàòîðà. Ýòî áóäåò èìåòü ìåñòî, åñëè U
0
âçÿòü äîñòà
-
òî÷íî áîëüøèì, ÷òîáû áûëî
tt UU
UU
32
1
01
02
1
-
=
-
-
<<
t
ln .
Ðåëàêñàöèîííûå êîëåáàíèÿ ìîæíî ïîëó÷èòü òàêæå â óñòðîéñòâàõ ñ äðóãèìè
ñõåìàìè.
22.8. Ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ
â íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ
Òî÷íîå àíàëèòè÷åñêîå ðåøåíèå íåëèíåéíûõ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé
ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé âîçìîæíî äëÿ âåñüìà îãðàíè÷åííîãî êðóãà çàäà÷. Îñíîâ
-
íûìè èíñòðóìåíòàìè ðàñ÷åòà íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé íà ïðàêòèêå ÿâ
-
ëÿþòñÿ ãðàôè÷åñêèå ìåòîäû, òå èëè èíûå ïðèáëèæåííûå àíàëèòè÷åñêèå ìåòî
-
äû, ìåòîäû ÷èñëåííîãî ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé.
Ñðåäè ïðèáëèæåííûõ àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäîâ ñëåäóåò âûäåëèòü ìåòîä ìåäëåí-
íî ìåíÿþùèõñÿ àìïëèòóä, ìåòîä ïðèáëèæåííîãî àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ õà-
ðàêòåðèñòèê íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ, ìåòîä êóñî÷íî-ëèíåéíîãî âûðàæåíèÿ õàðàê-
òåðèñòèê íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ìåòîäà ïðèáëèæåííîãî
àíàëèòè÷åñêîãî ïðåäñòàâëåíèÿ õàðàêòåðèñòèê óñïåõ â çíà÷èòåëüíîé ìåðå çàâèñèò
îò óäà÷íîãî âûáîðà ôîðìóëû äëÿ ïðèáëèæåííîãî îïèñàíèÿ íåëèíåéíîé õàðàê-
òåðèñòèêè. Ýòî îáñòîÿòåëüñòâî âåñüìà îãðàíè÷èâàåò âîçìîæíîñòè ìåòîäà. Íàè-
áîëåå ïðîñòûì ñïîñîáîì ïðèáëèæåííîãî ïðåäñòàâëåíèÿ íåëèíåéíîé õàðàêòå-
ðèñòèêè ýëåìåíòà ÿâëÿåòñÿ åå èçîáðàæåíèå ñîâîêóïíîñòüþ ïðÿìîëèíåéíûõ
îòðåçêîâ, ò. å. êóñî÷íî-ëèíåéíîå âûðàæåíèå õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëå
-
ìåíòà. Ïðè èñïîëüçîâàíèè ýòîãî ìåòîäà, âî-ïåðâûõ, óïðîùàåòñÿ àíàëèòè÷åñêàÿ
çàïèñü íåëèíåéíîé õàðàêòåðèñòèêè, âî-âòîðûõ, â ïðåäåëàõ êàæäîãî ëèíåéíîãî
ó÷àñòêà õàðàêòåðèñòèêè èçìåíåíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé îïèñûâàþòñÿ ëèíåéíû
-
ìè äèôôåðåíöèàëüíûìè óðàâíåíèÿìè, ÷òî äàåò âîçìîæíîñòü èñïîëüçîâàòü âåñü
àïïàðàò ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â ëèíåéíûõ öåïÿõ. Îäíàêî ïðè ýòîì âîç
-
íèêàåò çàäà÷à îïðåäåëåíèÿ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ. Ýòè ïîñòîÿííûå ñëåäó
-
åò îïðåäåëÿòü, ïðèðàâíèâàÿ çíà÷åíèÿ òîêîâ è íàïðÿæåíèé â êîíöå íåêîòîðîãî
ó÷àñòêà ê èõ çíà÷åíèÿì â íà÷àëå ïîñëåäóþùåãî ó÷àñòêà. Òàêîé ïîäõîä ïðèâîäèò
ê ðåøåíèþ ñèñòåìû òðàíñöåíäåíòíûõ óðàâíåíèé.
Ñ ðàçâèòèåì âû÷èñëèòåëüíîé òåõíèêè íàøëè øèðîêîå ïðèìåíåíèå ÷èñëåí
-
íûå ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíûõ öåïÿõ. Ñóòü âñåõ ÷èñ
-
ëåííûõ ìåòîäîâ çàêëþ÷àåòñÿ â îïðåäåëåíèè çíà÷åíèé èñêîìûõ òîêîâ è íàïðÿ
-
æåíèé â îòäåëüíûå ìîìåíòû âðåìåíè, ðàçäåëåííûå íåêîòîðûì èíòåðâàëîì.
Åñëè, íàïðèìåð, èìååì óðàâíåíèå
di
dt
fitu= (, , ),
0
òî äëÿ ìîìåíòà âðåìåíè t
k+1
, êîãäà çíà÷åíèå òîêà ðàâíî i
k+1
, èìååì
Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 455
ii fitudtiiitudt
kk kk
h
kkk
h
+
=+ =+
òò
10
0
0
0
(, , ) (, , ) ,'
ãäå h = t
k+1
– t
k
.
 çàâèñèìîñòè îò ñïîñîáà èíòåãðèðîâàíèÿ âòîðîãî ÷ëåíà ðàçëè÷àþò è ìåòîäû
ðåøåíèÿ äèôôåðåíöèàëüíûõ óðàâíåíèé. Íàèáîëåå ïðîñòîå âûðàæåíèå ïîëó÷à
-
þò, ïîëàãàÿ, ÷òî â èíòåðâàëå h ïðîèçâîäíàÿ èñêîìîé ôóíêöèè íåèçìåííà. Òîãäà
èìåþò ôîðìóëó
iihfitu
di
dt
i
t
ii
h
fi t
kk kk
kk
kk+
+
=+ » =
-
=
10
1
(, , ) (, ,èëè
D
D
u
0
),
êîòîðîé îïðåäåëÿåòñÿ ìåòîä Ýéëåðà, èëè ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ.
Ñîãëàñíî ýòîìó ìåòîäó, âåñü èíòåðâàë âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ðàññìàò
-
ðèâàåòñÿ ïðîöåññ, ðàçáèâàåòñÿ íà äîñòàòî÷íî ìàëûå èíòåðâàëû âðåìåíè Dt = h.
Ñîîòâåòñòâåííî, äèôôåðåíöèàëû âñåõ âåëè÷èí â óðàâíåíèÿõ çàìåíÿþòñÿ êîíå÷
-
íûìè ïðèðàùåíèÿìè ýòèõ âåëè÷èí çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè Dt = h. Ïîëó÷èâ â
êîíöå íåêîòîðîãî èíòåðâàëà âðåìåíè çíà÷åíèå îäíîé èç äâóõ âåëè÷èí, ñâÿçàí-
íûõ ìåæäó ñîáîé íåëèíåéíîé çàâèñèìîñòüþ, íàõîäÿò âòîðóþ èç ýòèõ âåëè÷èí,
ïîëüçóÿñü çàäàííîé â òàáëè÷íîé ôîðìîé èëè ãðàôè÷åñêè íåëèíåéíîé õàðàêòå-
ðèñòèêîé. Ýòè âåëè÷èíû ïðèíèìàþòñÿ êàê íà÷àëüíûå â ñëåäóþùåì èíòåðâàëå
âðåìåíè. Ïîäîáíûå ìíîãîêðàòíî ïîâòîðÿþùèåñÿ îïåðàöèè ïðîñòî îñóùåñòâèòü
ïðè ïîìîùè ñèñòåìû êîìàíä íà ÝÂÌ.
Äëÿ ÷èñëåííûõ ìåòîäîâ èñêëþ÷èòåëüíî áîëüøîå çíà÷åíèå èìååò âûáîð ïîä-
õîäÿùåãî èíòåðâàëà. Çíà÷åíèå h ñèëüíî âëèÿåò íà òî÷íîñòü ïîëó÷åííûõ ðåçóëü-
òàòîâ è íà ýôôåêòèâíîñòü ðàñ÷åòà â öåëîì. Äëÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öå-
ïåé ýòà âåëè÷èíà íàïåðåä íåèçâåñòíà, è ïîýòîìó èíæåíåðó-ðàñ÷åò÷èêó ñëåäóåò,
èñõîäÿ èç ôèçè÷åñêèõ ñîîáðàæåíèé, îïûòà èëè çíàíèÿ íåêîòîðûõ îñîáåííîñòåé
ðàññìàòðèâàåìîãî ïðîöåññà, çàäàâàòü íàèáîëåå ïðèåìëåìûå çíà÷åíèÿ h.
 ñëåäóþùèõ ïàðàãðàôàõ ïîêàçàíû ïðîñòåéøèå ïðèìåðû ïðèìåíåíèÿ íå
-
êîòîðûõ èç ïåðå÷èñëåííûõ ðàíåå ìåòîäîâ ðàñ÷åòà íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ
öåïåé.
22.9. Ìåòîä ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ
äëÿ ðàñ÷åòà ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà â íåëèíåéíîé öåïè
Ìåòîä ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ öåíåí òåì, ÷òî ïðè íåì èñïîëüçóåòñÿ äåé
-
ñòâèòåëüíàÿ õàðàêòåðèñòèêà íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà áåç çàìåíû åå êàêîé-ëèáî
äðóãîé áëèçêîé ê íåé õàðàêòåðèñòèêîé.  ýòîì îòíîøåíèè ìåòîä ãðàôè÷åñêîãî
èíòåãðèðîâàíèÿ ÿâëÿåòñÿ íàèáîëåå òî÷íûì. Îäíàêî â ïðîòèâîïîëîæíîñòü àíà
-
ëèòè÷åñêîìó ìåòîäó, îñíîâàííîìó íà àíàëèòè÷åñêîì âûðàæåíèè õàðàêòåðèñòè
-
êè, îí íå äàåò îáùèõ ñâÿçåé, ïîçâîëÿþùèõ ñóäèòü î òîì, êàê èçìåíÿåòñÿ ïðîöåññ
ïðè èçìåíåíèè òîãî èëè èíîãî ïàðàìåòðà. Ñ íåêîòîðîé íåòî÷íîñòüþ, ïðèñóùåé
âñÿêèì ãðàôè÷åñêèì ïîñòðîåíèÿì, â äàííîì ñëó÷àå ïðèõîäèòñÿ ìèðèòüñÿ, òàê
êàê è ïðè àíàëèòè÷åñêèõ ìåòîäàõ ðåøåíèÿ íåëèíåéíûõ çàäà÷ ïîëó÷àþòñÿ òîëü
-
êî ïðèáëèæåííûå ðåçóëüòàòû âñëåäñòâèå íåîáõîäèìîñòè ïðèíèìàòü òå èëè
èíûå äîïóùåíèÿ.
456 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðàññìîòðèì ìåòîä ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ íà ïðèìåðàõ çàìûêàíèÿ íà
-
êîðîòêî êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì è âêëþ÷åíèÿ òàêîé êàòóøêè
ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ.
Èññëåäóÿ ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â êàòóøêå ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì
ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè, â äàííîì ñëó÷àå ãðàôè÷åñêèì, íå áóäåì ó÷èòûâàòü âèõ
-
ðåâûå òîêè â ñåðäå÷íèêå.
Óðàâíåíèå, îïèñûâàþùåå ïðîöåññ êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ êàòóøêè, èìååò âèä
d
dt
ri
Y
+=0,
ãäå Y=F(i) — ïîòîêîñöåïëåíèå ñ îáìîòêîé êàòóøêè, íåëèíåéíî çàâèñÿùåå îò
òîêà i; r — ñîïðîòèâëåíèå îáìîòêè. Èìååì
dt
d
ri
=-
Y
,
îòêóäà
t
d
ri
d
ri
=- =
òò
YY
Y
Y
Y
Y
0
0
,
ïðè÷åì Y
0
— çíà÷åíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ â ìîìåíò çàìûêàíèÿ êàòóøêè t = 0.
Íà ðèñ. 22.17 èçîáðàæåíû êðèâûå íàìàãíè÷èâàíèÿ êîíêðåòíîé êàòóøêè
(ðèñ. 22.18) ñ çàìêíóòûì ñåðäå÷íèêîì èç ëèñòîâîé òðàíñôîðìàòîðíîé ñòàëè.
Êðèâàÿ 1 ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé ïåðâîíà÷àëüíóþ êðèâóþ íàìàãíè÷èâàíèÿ, êðèâàÿ
2 — íèñõîäÿùóþ âåòâü ïðè óáûâàíèè ïîòîêîñöåïëåíèÿ îò Y
0
äî îñòàòî÷íîãî
çíà÷åíèÿ Y
r
= 0,2 Âá. Ïóñòü Y
0
= 1,1 Âá, ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò òîê I
0
= 0,9 À. Ñîïðî-
òèâëåíèå îáìîòêè ðàññìàòðèâàåìîé êàòóøêè r = 8,5 Îì.
Ïîëüçóÿñü êðèâîé 2 íà ðèñ. 22.17, ñòðîèì èçîáðàæåííóþ íà ðèñ. 22.19 êðèâóþ
1/(ri) =j(Y), ðàñïîëàãàÿ êîòîðîé, ëåãêî ìîæíî íàéòè çàâèñèìîñòü Y îò t. Äåéñò
-
âèòåëüíî, ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó âûðàæåíèþ, âðåìÿ t îò ìîìåíòà çàìûêàíèÿ, â òå
-
Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 457
Ðèñ. 22.17
Ðèñ. 22.18
÷åíèå êîòîðîãî ïîòîêîñöåïëåíèå èçìåíÿåòñÿ îò Y
0
äî Y, îïðåäåëÿåòñÿ çàøòðè
-
õîâàííîé íà ðèñ. 22.19 ïëîùàäüþ.
Íà ðèñ. 22.20 ïîñòðîåíà ïîëó÷åííàÿ òàêèì îáðàçîì êðèâàÿ Y(t) äëÿ ðàññìàò
-
ðèâàåìîé êàòóøêè, à òàêæå êðèâàÿ i(t). Äëÿ ïîñòðîåíèÿ ïîñëåäíåé çíà÷åíèÿ i
íàõîäÿòñÿ ïî êðèâîé 2 ðèñ. 22.17 ñîîòâåòñòâåííî êàæäîìó çíà÷åíèþ Y. Çäåñü
æå äëÿ ñðàâíåíèÿ øòðèõîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû êðèâûå Y(t)èi(t), êîòîðûå
èìåëè áû ìåñòî ïðè ïîñòîÿííîé èíäóêòèâíîñòè
L
I
r
0
0
0
11 0 2
09
1=
-
=
-
=
YY
,,
,
Ãí
,
ò. å. åñëè áû ïîòîêîñöåïëåíèå óáûâàëî îò Y
0
äî Y
r
â çàâèñèìîñòè îò òîêà i ïî ëè
-
íåéíîìó çàêîíó Y – Y
r
= L
0
i, ÷åìó ñîîòâåòñòâóåò øòðèõîâàÿ ïðÿìàÿ íà ðèñ. 22.17.
Óðàâíåíèÿ øòðèõîâûõ êðèâûõ íà ðèñ. 22.20 èìåþò âèä
i = I
0
e
t
-
t
0
; Y=(Y
0
– Y
r
)
e
t
-
t
0
+ Y
r
, ãäå t
0
= L
0
/r = 1/8,5 = 0,118 ñ.
Íà ðèñ. 22.20 îáîçíà÷åíî Y
0
– Y
r
=y.
Èíòåðåñíî îáðàòèòü âíèìàíèå íà òî, ÷òî âñëåäñòâèå íåëèíåéíîñòè ñâÿçè
Y=F(i), èçîáðàæåííîé íà ðèñ. 22.17 (êðèâàÿ 2), òîê âíà÷àëå óìåíüøàåòñÿ áûñò
-
ðåå, à ïîòîê — ìåäëåííåå, ÷åì ïðè ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè ìåæäó íèìè. Ýòî ìîæ
-
íî ïîÿñíèòü ñëåäóþùèì îáðàçîì. Îñíîâíîå óðàâíåíèå ìîæíî çàïèñàòü â âèäå
L
di
dt
ri
ä
+=0,
ãäå L
ä
= dY/di =j(i) — äèíàìè÷åñêàÿ èíäóêòèâíîñòü. Òàê êàê â íà÷àëüíûé ìî
-
ìåíò L
ä
< L
0
(ñì. ðèñ. 22.17), òî òîê ñîãëàñíî ïîñëåäíåìó óðàâíåíèþ âíà÷àëå
ïàäàåò áûñòðåå, ÷åì ïðè L = L
0
= const. Òàê êàê â òå æå ìîìåíòû âðåìåíè t òîê i
îêàçûâàåòñÿ ìåíüøèì, òî ìåíüøåé ïîëó÷àåòñÿ è ÝÄÑ — dY/dt = ri, ò. å. ïîòîêî
-
ñöåïëåíèå óáûâàåò ìåäëåííåå, ÷åì ïðè L = L
0
= const. Èç îñíîâíîãî óðàâíåíèÿ
èìååì
dridtrdq rqYDYD=- =- =-;,
458 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðèñ. 22.19
Ðèñ. 22.20
ãäå DY — óìåíüøåíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ; Dq — ýëåêòðè÷åñêèé çàðÿä, ïåðåíåñåí
-
íûé ñêâîçü ïîïåðå÷íîå ñå÷åíèå öåïè çà ïðîìåæóòîê âðåìåíè îò 0 äî t. Âåëè÷èíà
Dq îïðåäåëÿåòñÿ ïëîùàäüþ, çàøòðèõîâàííîé íà ðèñ. 22.20; îíà ìåíüøå, ÷åì ïðè
L = L
0
= const. Ñîîòâåòñòâåííî, ìåíüøå ïîëó÷àåòñÿ è DY.
Òàê êàê âåëè÷èíà q =
idt
0
¥
ò
=
YY
0
-
r
r
â îáîèõ ñëó÷àÿõ äîëæíà áûòü îäíîé è òîé
æå, òî êðèâàÿ i(t) ïåðåñåêàåòñÿ â íåêîòîðûé ìîìåíò âðåìåíè ñ ýêñïîíåíòîé I
0
e
t
-
t
0
.
Çàìåäëåíèå ñïàäàíèÿ òîêà ïðè áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ t ñâÿçàíî ñ áîëüøîé äèíàìè
-
÷åñêîé èíäóêòèâíîñòüþ íà êðóòîé ÷àñòè êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ.
Èññëåäóåì òåïåðü ìåòîäîì ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ ïðîöåññ âêëþ÷åíèÿ
êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæå
-
íèÿ U
0
(ðèñ. 22.21). Ìåòîä ïðîèëëþñòðèðóåì íà ïðèìåðå
òîé æå êîíêðåòíîé êàòóøêè, äëÿ êîòîðîé ðàññìîòðåí
ïðîöåññ êîðîòêîãî çàìûêàíèÿ. Ïðåäïîëîæèì, ÷òî ïåðåä
âêëþ÷åíèåì ñåðäå÷íèê áûë ðàçìàãíè÷åí.  òàêîì ñëó÷àå
ñâÿçü Y=F(i) áóäåò õàðàêòåðèçîâàòüñÿ ïåðâîíà÷àëüíîé
êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâàÿ 1 íà ðèñ. 22.17). Äèôôå-
ðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå òåïåðü ïðèìåò âèä
d
dt
ri U
Y
+=
0
,
îòêóäà
d
Uri
dt t
t
Y
Y
0
00
-
==
òò
.
Ïîëüçóÿñü èçâåñòíîé çàâèñèìîñòüþ Y=F(i) (êðèâàÿ 1 íà ðèñ. 22.17), ñòðîèì
êðèâóþ
Y=
-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
j
1
0
Uri
. Çàøòðèõîâàííàÿ íà ðèñ. 22.22 ïëîùàäü äàåò â ñîîòâåòñò
-
âóþùåì ìàñøòàáå âðåìÿ t, â òå÷åíèå êîòîðîãî ïîòîêîñöåïëåíèå óâåëè÷èâàåòñÿ
îò0äîY, ò. å. ïîçâîëÿåò íàéòè çàâèñèìîñòü Y(t).
Íàïðÿæåíèå U
0
âûáåðåì òàê, ÷òîáû óñòàíîâèâ
-
øèéñÿ òîê I
0
, êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, áûë
ðàâåí 0,9 À, ò. å. ïðèìåì U
0
= I
0
r = 0,9×8,5 = 7,65 Â.
Íà ðèñ. 22.23 èçîáðàæåíà ðàññ÷èòàííàÿ òàêèì
ïóòåì êðèâàÿ Y(t), à òàêæå êðèâàÿ i(t). Äëÿ ïî
-
ñòðîåíèÿ ïîñëåäíåé çíà÷åíèÿ i äëÿ êàæäîãî ìîìåí
-
òà âðåìåíè áåðóòñÿ èç êðèâîé Y(i) íà ðèñ. 22.17
ñîîòâåòñòâåííî íàéäåííûì çíà÷åíèÿì Y äëÿ
ýòèõ ìîìåíòîâ âðåìåíè. Çäåñü æå íà ðèñ. 22.23
øòðèõîâûìè ëèíèÿìè èçîáðàæåíû êðèâûå
YY=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
¢
0
1 e
t
t
0
è
iI e
t
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
¢
0
1
t
0
, êîòîðûå èìåëè
Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 459
Ðèñ. 22.21
Ðèñ. 22.22
áû ìåñòî ïðè ëèíåéíîé ñâÿçè ïîòîêîñöåïëåíèÿ è òîêà
Y=
¢
Li
0
, ãäå
¢
L
0
=Y
0
/I
0
=
= 1,1/0,9 = 1,22 Ãí, ïðè÷åì
¢
=
¢
=t
0
Lr
0
1,22/8,5 = 0,144 ñ.
Õîä êðèâîé i(t) ìîæíî, êàê è â ïðåäûäóùåì ïðèìåðå, ïîÿñíèòü, íàïèñàâ óðàâ
-
íåíèå â âèäå
L
di
dt
ri U
ä
+=
0
.
Âíà÷àëå L
ä
> L
0
è òîê íàðàñòàåò ìåäëåííåå, ÷åì
ïðè L =
¢
L
0
= const. Ïðè áîëüøèõ òîêàõ L
ä
<
¢
L
0
è òîê ðàñòåò áûñòðåå, ÷åì ïðè L =
¢
L
0
= const. Êðè
-
âûå i(t)è
iI e
t
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
¢
0
1
t
0
äîëæíû â íåêîòîðûé ìî
-
ìåíò âðåìåíè ïåðåñå÷üñÿ. Äåéñòâèòåëüíî, íåçàâè
-
ñèìî îò çàêîíà èçìåíåíèÿ òîêà âî âðåìåíè èìååì
dUridtY= -(),
0
è òàê êàê U
0
= I
0
r,òî
() ,Iidt
r
d
r
0
00
0
1
0
-= =
¥
òò
Y
Y
Y
ò. å. ïëîùàäü íà ðèñ. 22.23, îãðàíè÷åííàÿ êðèâîé i(t) èëè
iI e
t
=-
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
-
¢
0
1
t
0
, îñüþ
îðäèíàò è ãîðèçîíòàëüíîé ëèíèåé I
0
, íå çàâèñèò îò çàêîíà èçìåíåíèÿ òîêà âî
âðåìåíè.
Ïîòîêîñöåïëåíèå âîçðàñòàåò çíà÷èòåëüíî áûñòðåå, ÷åì ïðè L =
¢
L
0
= const,
è ïðàêòè÷åñêè ê ìîìåíòó âðåìåíè t » 0,25 ñ ïðèíèìàåò ñâîå óñòàíîâèâøååñÿ çíà
-
÷åíèå Y
0
.
22.10. Àíàëèòè÷åñêèé ìåòîä ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ,
îñíîâàííûé íà ïðèáëèæåííîì àíàëèòè÷åñêîì âûðàæåíèè
õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà
Èññëåäóåì àíàëèòè÷åñêèì ìåòîäîì çàäà÷ó î çàìûêàíèè íàêîðîòêî êàòóøêè
ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì (ðèñ. 22.24), ðàññìîòðåííóþ â íà÷àëå ïðåäûäó
-
ùåãî ïàðàãðàôà ìåòîäîì ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâà
-
íèÿ. Âûðàçèì ïðèáëèæåííî êðèâóþ íàìàãíè÷èâàíèÿ
(êðèâóþ 2 íà ðèñ. 22.17) àíàëèòè÷åñêè â âèäå
ia b
rr
n
=
¢
-+
¢
-
+
()().YY YY
1
(*)
Äëÿ êðàòêîñòè çàïèñè îáîçíà÷èì
YY Y Y
YY
YY
-= -=
-
-
==
rr
r
r
xyy
y
y
;; .
00
00
460 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé
Ðèñ. 22.23
Ðèñ. 22.24
Ïðè ýòîì óðàâíåíèå êðèâîé, çàìåùàþùåé êðèâóþ íàìàãíè÷èâàíèÿ, çàïèøåò
-
ñÿ â âèäå
iaxbx
n
=+
+1
,
(**)
ãäå
aa=
¢
y
0
è
bb
n
=
¢
+
y
0
1
èçìåðÿþòñÿ â àìïåðàõ. Ñäåëàâ ïîäñòàíîâêó
xaby
n
=
,
ïðèâåäåì óðàâíåíèå ê âèäó
ia
a
b
ya
a
b
yAyy Aa
a
b
nn
nn
n
=+ =+ =
+1
1(), .ãäå
Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå
d
dt
ri
Y
+=0,
îïèñûâàþùåå ïðîöåññ â öåïè, ñîîòâåòñòâåííî ïðèíèìàåò âèä
d
dt
rAy y
n
Y
++=(),10
èëè, òàê êàê
yyy y== =x
a
b
y
A
a
y
n
00 0
,òî
dy
dt
ar
yy
n
++=
y
0
10(),
îòêóäà
-
+
=
dy
yy
ar
dt
n
()
.
1
0
y
(***)
Ýòî óðàâíåíèå ëåãêî èíòåãðèðóåòñÿ, òàê êàê
-
+
=++
ò
-
dy
yy
n
yC
n
n
()
ln( ) ,
1
1
1
÷òî ëåãêî ïðîâåðèòü äèôôåðåíöèðîâàíèåì.
Ïðè èçìåíåíèè âðåìåíè îò 0 äî t ïîòîêîñöåïëåíèå èçìåíÿåòñÿ îò Y
0
äî Y.
Ñîîòâåòñòâåííî x èçìåíÿåòñÿ îò 1 äî
x
r
r
==
-
-
y
y
00
YY
YY
,ày èçìåíÿåòñÿ îò
ba
n
äî
ba
n
x.
Èíòåãðèðóÿ â ýòèõ ïðåäåëàõ óðàâíåíèå (***), ïîëó÷àåì
1
1
1
1
0
0
0
n
y
ar
t
a
b
n
ba
ba
n
n
n
ln ( ) ln+=
+
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
+
-
-
y
y
y
y
y
èëè
a
b
n
ar
t
ì
í
ï
ï
î
ï
ï
ü
ý
ï
ï
þ
ï
ï
=
y
0
.
Ñëåäîâàòåëüíî,
a
b
a
b
e
n
nar
t
y
y
y
0
11
0
æ
è
ç
ç
ö
ø
÷
÷
=+
æ
è
ç
ö
ø
÷
-
-
Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 461
è îêîí÷àòåëüíî
y
y
y
=
+
æ
è
ç
ö
ø
÷
-
-
0
1
1
0
b
a
e
b
a
nar
t
n
.
(****)
Çàâèñèìîñòü Y=F(i) äëÿ ðàññìàòðèâàåìîé êàòóøêè (êðèâàÿ 2 íà ðèñ. 22.17)
õîðîøî óäîâëåòâîðÿåòñÿ, åñëè ïðèíÿòü â óðàâíåíèè (*) ï = 6, a¢ = 0,21 À/Âá
è b¢ = 1,45 À/Âá
7
, ò. å. åñëè âûðàçèòü êðèâóþ 2 íà ðèñ. 22.17 óðàâíåíèåì
i =+021 145
7
,,.yy
Êðèâàÿ çàìåùåíèÿ, ñîîòâåòñòâóþùàÿ ýòîìó óðàâíåíèþ, èçîáðàæåíà íà
ðèñ. 22.17 øòðèõîâîé ëèíèåé. Ïðè ýòèõ ÷èñëîâûõ çíà÷åíèÿõ êîýôôèöèåíòîâ
èìååì
yy
00 0
6
09
145
021
09 367=Y Y-= =
¢
¢
==
r
n
b
a
b
a
,;
,
,
,,;Âá
nar
na r
y
0
6 0 21 8 5 10 7 1=
¢
=× × =,, ,/c.
Èñêîìîå ðåøåíèå èìååò âèä
y=
-
09
367
,
,4,67
Âá.
10,7
e
t
Íà ðèñ. 22.20 íàíåñåíû íà êðèâîé Y(t) êðóæêàìè òî÷êè, âû÷èñëåííûå ïî ýòî-
ìó óðàâíåíèþ. Òî÷êè îòëè÷íî ëîæàòñÿ íà êðèâóþ Y(t), ïîñòðîåííóþ ãðàôè-
÷åñêè, ÷òî îáúÿñíÿåòñÿ õîðîøèì ñîâïàäåíèåì êðèâîé, âûðàæàåìîé óðàâíåíèåì
i = 0,21y + 1,45y
7
, ñ äåéñòâèòåëüíîé íèñõîäÿùåé êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ Y=F(i),
ò. å. óäà÷íûì ïîäáîðîì àíàëèòè÷åñêîãî âûðàæåíèÿ ïîñëåäíåé.
Äîñòîèíñòâî àíàëèòè÷åñêîãî ìåòîäà çàêëþ÷àåòñÿ â òîì, ÷òî íàéäåííîå îáùåå
âûðàæåíèå (****) äëÿ ïîòîêîñöåïëåíèÿ y=Y– Y
r
äàåò âîçìîæíîñòü ðàññìîò
-
ðåòü âëèÿíèå íà õîä êðèâîé Y(t) ðàçëè÷íûõ ïàðàìåòðîâ: b, a, n, r, Y
0
, Y
r
.
Ìîæíî áûëî áû ïîëó÷èòü àíàëèòè÷åñêèì ïóòåì ðåçóëüòàò äëÿ ñëó÷àÿ âêëþ
-
÷åíèÿ òîé æå êàòóøêè ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ (ñì. ðèñ. 22.21),
ïîäîáðàâ àíàëèòè÷åñêîå âûðàæåíèå äëÿ êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâàÿ 1 íà
ðèñ. 22.17). Íîâûì è îñëîæíÿþùèì ðåøåíèå ôàêòîðîì ÿâëÿåòñÿ òåïåðü íàëè÷èå
â óðàâíåíèè ïîñòîÿííîãî ÷ëåíà (U
0
¹ 0). Îãðàíè÷èìñÿ òîëüêî óêàçàíèåì âîç
-
ìîæíîãî îáùåãî ïóòè òàêîãî ðåøåíèÿ, òàê êàê îí îòíîñèòñÿ ê ëþáûì íåëèíåé
-
íûì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïîðÿäêà, îïèñûâàþùèì ïðîöåññ â òîé èëè èíîé ýëåê
-
òðè÷åñêîé öåïè ïðè ïîñòîÿííîì íàïðÿæåíèè íà åå çàæèìàõ.
Âûðàçèì i = F(Y) â âèäå ðÿäà
ia a a a a
k
k
k
k
k
n
=+ + ++ +=
=
å
01 2
2
0
YY Y YKK .
 ÷àñòíîì ñëó÷àå (êðèâàÿ 1 íà ðèñ. 22.17) a
0
= 0, íî âîîáùå ýòî íå îáÿçàòåëü
-
íî. Äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî ïðèìåðà èìååì
462 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé