Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

UriUra G

-= - =

YY().

Óðàâíåíèå öåïè dY/dt + ri = U

ìîæíî íàïèñàòü â âèäå

() ()

,==-

èëè

ãäå Y

— çíà÷åíèå Y ïðè t = t

Åñëè ïîëèíîì G(Y) íå èìååò êðàòíûõ êîðíåé, òî, ðàçëàãàÿ 1/G(Y)íàïðî

ñòûå äðîáè, ïîëó÷èì

() ( )

òò

ãäå Y

— êîðíè óðàâíåíèÿ G(Y) = 0, à ïîñòîÿííûå A

îïðåäåëÿþòñÿ ñëåäóþùèì

îáðàçîì:

()

Çàäàâàÿñü çíà÷åíèÿìè Y, íåòðóäíî íàéòè ñîîòâåòñòâóþùèå èì çíà÷åíèÿ t.

×åì áîëüøå ÷ëåíîâ âîçüìåì â âûðàæåíèè i =

, òåì òî÷íåå óäàåòñÿ ïðåä-

ñòàâèòü àíàëèòè÷åñêè çàäàííóþ íåëèíåéíóþ õàðàêòåðèñòèêó ýëåìåíòà öåïè, íî

òåì áîëåå ãðîìîçäêèì îêàçûâàåòñÿ ðåøåíèå. Ïðè ýòîì îñíîâíàÿ òðóäíîñòü çà-

êëþ÷àåòñÿ â îòûñêàíèè êîðíåé óðàâíåíèÿ G(Y) = 0 ïðè âûñîêîì åãî ïîðÿäêå.

Èçáåæàòü íàëè÷èÿ êðàòíûõ êîðíåé âñåãäà âîçìîæíî, òàê êàê âûðàæåíèå

i =Sa

âûáèðàåì ñàìè. Èçëîæåííîå öåííî òåì, ÷òî äàåò îáùóþ ìåòîäèêó ðå-

øåíèÿ ïîäîáíûõ çàäà÷.

Â êîíêðåòíûõ ñëó÷àÿõ ÷àñòî îêàçûâàåòñÿ áîëåå öåëåñîîáðàçíûì âûðàçèòü

i = F(Y) íå â âèäå ðÿäà, à ñ ïîìîùüþ òîé èëè èíîé ïîäõîäÿùåé ýëåìåíòàðíîé

ôóíêöèè, êîòîðàÿ ïîçâîëÿåò ñðàâíèòåëüíî ïðîñòî âçÿòü èíòåãðàë

()

22.11. Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ äëÿ ðàñ÷åòà

ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíîé öåïè

Äëÿ èëëþñòðàöèè ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ïðîèçâåäåì ðàñ÷åò ýòèì

ìåòîäîì çàäà÷è î âêëþ÷åíèè êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì ïîä äåé

ñòâèå ïîñòîÿííîãî íàïðÿæåíèÿ U

(ñì. ðèñ. 22.21), èññëåäîâàííîé â ïðåäûäóùèõ

ïàðàãðàôàõ äðóãèìè ìåòîäàìè.

Ðàçîáüåì ïðîìåæóòîê âðåìåíè, â òå÷åíèå êîòîðîãî ðàññìàòðèâàåòñÿ ïðîöåññ,

íà äîñòàòî÷íî áîëüøîå ÷èñëî ìàëûõ è ðàâíûõ äðóã äðóãó èíòåðâàëîâ Dt. Äëÿ

îöåíêè âûáîðà âåëè÷èíû Dt ìîæíî ïîäñ÷èòàòü ïî èçâåñòíûì êîíå÷íûì çíà÷å

íèÿì Y

è I

ïîñòîÿííóþ âðåìåíè

/(I

r), êîòîðàÿ õàðàêòåðèçîâàëà

áû ïðîöåññ ïðè L = L

= const. Â äàííîì ñëó÷àå

= 1,1/(0,9×8,5) = 0,144 ñ. Âûáå

ðåì, ñîîòâåòñòâåííî, Dt = h = 0,01 ñ.

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 463

Ïóñòü k — ïîðÿäêîâûé íîìåð èíòåðâàëà. Èíäåêñ áóäåì ïðèïèñûâàòü çíà÷å

íèÿì âñåõ âåëè÷èí â êîíöå k-ãî èíòåðâàëà. Òîãäà èõ çíà÷åíèÿ â íà÷àëå k-ãî èí

òåðâàëà, ðàâíûå èõ çíà÷åíèÿì â êîíöå ïðåäûäóùåãî èíòåðâàëà, áóäóò èìåòü èí

äåêñû k –1.

Äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå öåïè

Urif

Y=-=

()

ïðèáëèæåííî çàïèøåì â âèäå

() ( ) ( ).DY Y Y D Y Y Y

kkk k kk k

Uri t hf=- » - = +

-- --10 1 1 1

èëè

Â íà÷àëå ïåðâîãî èíòåðâàëà k = 1, ò. å. ïðè t = 0 èìååì

== ==

10 10

00;.

Ñëåäîâàòåëüíî, äëÿ ïåðâîãî èíòåðâàëà

() .DY Y D

110 0

== =UtUh

Òîê i

ïîëó÷àåì èç êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâàÿ 1 íà ðèñ. 22.17) ïî íàé-

äåííîìó çíà÷åíèþ Y

Ïðèðàùåíèå ïîòîêîñöåïëåíèÿ âî âòîðîì èíòåðâàëå ðàâíî

() ( ).DY Y Y D

221 01

=-= -Urit

Îòñþäà íàõîäèì çíà÷åíèå Y

+(DY)

è ïî íåìó èç ãðàôèêà — òîê i

èò.ä.

Ðàñ÷åò äëÿ ðàññìàòðèâàåìîãî íàìè êîíêðåòíîãî ïðèìåðà ïðèâåäåí â òàáëèöå.

Ìîìåíò âðåìåíè t

ê êîíöó èíòåðâàëà, î÷åâèäíî, ðàâåí kDt.

–ri

k–1

(DY)

0,01

0,02

0,03

0,04

0,05

0,06

0,07

0,08

0,09

0,10

0,11

0,12

0,13

0,14

0,15

7,65

7,48

7,34

7,23

7,08

6,97

6,80

6,67

6,55

6,38

6,21

5,95

5,70

5,36

4,90

0,0765

0,0748

0,0734

0,0723

0,0708

0,0697

0,0680

0,0667

0,0655

0,0638

0,0621

0,0595

0,0570

0,0536

0,0490

0,076

0,151

0,224

0,296

0,367

0,437

0,505

0,572

0,637

0,701

0,763

0,822

0,879

0,933

0,982

0,020

0,036

0,050

0,067

0,080

0,100

0,115

0,130

0,150

0,170

0,200

0,230

0,270

0,325

0,415

464 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

–ri

k–1

(DY)

16 0,16 4,13 0,0413 1,023 0,500

17 0,17 3,40 0,0340 1,057 0,605

18 0,18 2,50 0,0250 1,082 0,780

19 0,19 1,03 0,0103 1,092 0,850

20 0,20 0,45 0,0045 1,096 ~0,9

Íà ðèñ. 22.23 ïîêàçàíû êðóæêàìè òî÷êè èç òàáëèöû. Ýòè òî÷êè õîðîøî ëî

æàòñÿ íà êðèâûå, ïîëó÷åííûå ìåòîäîì ãðàôè÷åñêîãî èíòåãðèðîâàíèÿ.

Ìåòîä ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ, â ïðèíöèïå, äîëæåí îáåñïå÷èâàòü òåì

áîëüøóþ òî÷íîñòü, ÷åì ìåíüøèìè âûáðàíû èíòåðâàëû Dt. Îäíàêî ïðè ýòîì óâå

ëè÷èâàåòñÿ êîëè÷åñòâî âû÷èñëåíèé, êîòîðûå ïðîèçâîäÿòñÿ ñ îïðåäåëåííûìè

ïîãðåøíîñòÿìè. Ìîæåò îêàçàòüñÿ, ÷òî ïîãðåøíîñòè áóäóò íàðàñòàòü, òàê êàê ïî

ãðåøíîñòü, äîïóùåííàÿ ïðè âû÷èñëåíèè íåêîòîðîé âåëè÷èíû â êàêîì-òî èíòåð

âàëå, îòðàæàåòñÿ íà çíà÷åíèÿõ ýòîé âåëè÷èíû âî âñåõ ïîñëåäóþùèõ èíòåðâàëàõ.

Äåéñòâèòåëüíî, èç ôîðìóëû Y

k–1

+ h(dY/dt)

k–1

+ hf(Y

k–1

) ñëåäóåò,

÷òî åñëè ôóíêöèÿ f(Y) — ìîíîòîííî âîçðàñòàþùàÿ (óáûâàþùàÿ) ôóíêöèÿ

âðåìåíè, òî ýòà ôîðìóëà äàåò çàíèæåííîå (çàâûøåííîå) çíà÷åíèå Y

, òàê êàê

â èíòåðâàëå (k –1)h < t < kh çíà÷åíèå f(Y) ïðèíèìàåòñÿ íåèçìåííûì è ðàâ-

íûì f(Y

k–1

), â òî âðåìÿ êàê â äåéñòâèòåëüíîñòè f(Y

)>f(Y

k–1

)[f(Y

)<f(Y

k–1

)].

Ðåçóëüòèðóþùàÿ ïîãðåøíîñòü áóäåò òåì áîëüøåé, ÷åì áîëüøå ÷èñëî èíòåðâàëîâ.

Äëÿ ïîâûøåíèÿ òî÷íîñòè ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ ñëåäóåò ïî-

âûñèòü òî÷íîñòü âû÷èñëåíèÿ ïðîèçâîäíîé, íàïðèìåð, êîððåêòèðóÿ åå çíà÷åíèå

â òî÷êå k – 1. Îïðåäåëèì íîâîå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé êàê ñðåäíåå àðèôìåòè÷å-

ñêîå åå çíà÷åíèé â òî÷êàõ k –1èk:

fff

kkk

YYY

== +

()[()()].

Òîãäà ðàñ÷åòíàÿ ôîðìóëà ìåòîäà ïðèìåò âèä

YY Y Y

kk k k

êîð

=+ +

--11

[( ) ( )].

Â íîâóþ ôîðìóëó âõîäèò íåèçâåñòíîå åùå çíà÷åíèå f(Y

), êîòîðîå ìîæíî

ïðîãíîçèðîâàòü, èñõîäÿ èç ïðèáëèæåííîãî çíà÷åíèÿ

, âû÷èñëåííîãî ïî îáû÷

íîé (áåç óòî÷íåíèÿ) ôîðìóëå

k–1

+ hf(Y

k–1

Òîãäà f(Y

) » f(

). Ýòà ôîðìóëà äàåò íåòî÷íîå,

ïðîãíîçèðóåìîå çíà÷åíèå ïðîèçâîäíîé â òî÷êå k.

Îäíàêî äàæå ïðè ýòîì îïèñàííûé ïðèåì êîððåê

öèè ïðîèçâîäíîé (dY/dt)

k–1

ïîçâîëÿåò ïîâûñèòü

òî÷íîñòü ìåòîäà ïîñëåäîâàòåëüíûõ èíòåðâàëîâ.

Ãðàôè÷åñêè ñóòü êîððåêöèè ïðîèëëþñòðèðîâàíà

íà ðèñ. 22.25, ãäå êðåñòèêîì îáîçíà÷åíî çíà÷åíèå

1 êîð

ïîñëå êîððåêöèè.

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 465

Ðèñ. 22.25

Â çàêëþ÷åíèå íåîáõîäèìî îòìåòèòü, ÷òî óìåíüøåíèåì øàãà Dt íå òîëüêî äî

ñòèãàåòñÿ áîëåå òî÷íûé ðåçóëüòàò, íî è óñòðàíÿåòñÿ íåóñòîé÷èâîñòü ïðîöåññà

ðåøåíèÿ.

22.12. Ìåòîä ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíîé öåïè,

îñíîâàííûé íà óñëîâíîé ëèíåàðèçàöèè óðàâíåíèÿ öåïè

Ïóñòü â íåëèíåéíîì äèôôåðåíöèàëüíîì óðàâíåíèè, îïèñûâàþùåì ïåðåõîäíûé

ïðîöåññ â öåïè, ÷ëåí, ñîäåðæàùèé êîýôôèöèåíò, çàâèñÿùèé îò èíòåíñèâíîñòè

ïðîöåññà, èìååò âòîðîñòåïåííîå çíà÷åíèå ïî ñðàâíåíèþ ñ äðóãèìè ÷ëåíàìè

óðàâíåíèÿ, ñîäåðæàùèìè ïîñòîÿííûå êîýôôèöèåíòû. Ýòî çíà÷èò, ÷òî ìàêñè

ìàëüíîå çíà÷åíèå ýòîãî ÷ëåíà â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå çíà÷èòåëüíî ìåíüøå ìàê

ñèìàëüíûõ çíà÷åíèé, äîñòèãàåìûõ äðóãèìè ÷ëåíàìè. Â òàêîì ñëó÷àå êîýôôèöè

åíò ïðè ýòîì íåëèíåéíîì ÷ëåíå ïðèáëèæåííî ìîæåò áûòü ïðèíÿò ïîñòîÿííûì,

ðàâíûì íåêîòîðîìó ñðåäíåìó ñâîåìó çíà÷åíèþ. Óðàâíåíèå ïðè ýòîì ñòàíîâèòñÿ

ëèíåéíûì è ìîæåò áûòü ïðîñòî ðåøåíî îòíîñèòåëüíî èñêîìîé âåëè÷èíû. Òàêèì

îáðàçîì, ýòîò ìåòîä îñíîâàí íà óñëîâíîé ëèíåàðèçàöèè óðàâíåíèÿ öåïè.

Ïðèìåíèì ýòîò ìåòîä ê èññëåäîâàíèþ âàæíîãî äëÿ ïðàêòèêè ñëó÷àÿ âêëþ÷å-

íèÿ êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì ïîä ñèíóñîèäàëüíîå íàïðÿæåíèå.

Óðàâíåíèå öåïè èìååò âèä

ri U t

+= +sin( ).wy

Ïóñòü ÷ëåí ri èìååò âòîðîñòåïåííîå çíà÷åíèå â óêàçàííîì âûøå ñìûñëå ïî

ñðàâíåíèþ ñ ÷ëåíîì dY/dt. Òàêîå óñëîâèå ñîáëþäàåòñÿ, íàïðèìåð, ïðè âêëþ÷åíèè

ìîùíûõ íåíàãðóæåííûõ âî âòîðè÷íîé öåïè òðàíñôîðìàòîðîâ, òàê êàê ñîïðîòèâ-

ëåíèå r èõ îáìîòîê îáû÷íî íåçíà÷èòåëüíî. Çàâèñèìîñòü Y=Li ÿâëÿåòñÿ íåëèíåé-

íîé, òàê êàê L åñòü ôóíêöèÿ i. Åñëè â óðàâíåíèå ïîäñòàâèòü âìåñòî Y åãî âûðà

æåíèå ÷åðåç i, òî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî òîêà áóäåò ñîäåðæàòü íåëèíåéíîñòü

â ãëàâíîì ÷ëåíå. Åñëè æå âûðàçèòü òîê i ÷åðåç Y, òî ïîëó÷èì óðàâíåíèå â âèäå

Y+= +sin( ),wy

ãäå íåëèíåéíûé ÷ëåí

Y ÿâëÿåòñÿ âòîðîñòåïåííûì è â íåì ìîæíî ïðèáëèæåííî

ïðèíÿòü L = const. Óðàâíåíèå ñòàíîâèòñÿ ëèíåéíûì è èìååò ðåøåíèå

YY() sin( ) .ttAe

=+-+

wyj

Åñëè Y(0) = 0, òî A = –Y

sin (y – j). Ïåðåõîäíûé ïðîöåññ ïðîÿâëÿåòñÿ

íàèáîëåå èíòåíñèâíî ïðè âêëþ÷åíèè öåïè â òàêîé ìîìåíò, êîãäà íà÷àëüíàÿ

ôàçà íàïðÿæåíèÿ y ðàâíà j ± p/2. Ïóñòü y=j– p/2. Ïðè ýòîì A =Y

Y(t) = –Y

cos wt + Y

Íà ðèñ. 22.26, à ïðèâåäåíû êðèâûå ïîòîêîñöåïëåíèÿ Y(t) è åãî ñîñòàâëÿþ

ùèõ Y¢ = –Y

cos wt è Y²=Y

. Ìû âèäèì, ÷òî ïðè áîëüøîé ïîñòîÿííîé âðå

ìåíè L/r ïî ñðàâíåíèþ ñ ïåðèîäîì Ò = 2p/w ïîòîêîñöåïëåíèå ìîæåò äîñòè÷ü ÷å

466 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

ðåç ïîëïåðèîäà ïî÷òè óäâîåííîãî çíà÷åíèÿ ñâîåé àìïëèòóäû Y

. Íà ðèñ. 22.26, á

ïðèâåäåíà íåëèíåéíàÿ õàðàêòåðèñòèêà Y=j(i). Ïðè óñòàíîâèâøåìñÿ ïðîöåññå

àìïëèòóäà òîêà I

, ñîîòâåòñòâóþùàÿ àìïëèòóäå ïîòîêîñöåïëåíèÿ Y

, èìååò íå

çíà÷èòåëüíóþ âåëè÷èíó. Îäíàêî ïðè óâåëè÷åíèè ïîòîêîñöåïëåíèÿ äî 2Y

òîê

ïîëó÷àåò âåñüìà áîëüøîå çíà÷åíèå âñëåäñòâèå íåëèíåéíîñòè õàðàêòåðèñòèêè

ñåðäå÷íèêà. Íà ðèñ. 22.27 ïîêàçàíî èçìåíåíèå òîêà i âî âðåìåíè â ïåðåõîäíîì

ïðîöåññå, êîòîðîå ìîæåò áûòü íàéäåíî, åñëè âîñïîëüçîâàòüñÿ ïîëó÷åííûì âûøå

âûðàæåíèåì äëÿ Y(t) è çàâèñèìîñòüþ òîêà îò ïîòîêîñöåïëåíèÿ (ðèñ. 22.26, á).

Òàêîé âñïëåñê òîêà ìîæåò âûçâàòü ìåõàíè÷åñêèå ðàçðóøåíèÿ îáìîòêè, òàê

êàê ýëåêòðîäèíàìè÷åñêèå óñèëèÿ ïðîïîðöèîíàëüíû êâàäðàòó òîêà. Ïîýòîìó

ìîùíûå íåíàãðóæåííûå òðàíñôîðìàòîðû âêëþ÷àþò ÷åðåç äîïîëíèòåëüíûå ñî-

ïðîòèâëåíèÿ, êîòîðûå çàòåì çàìûêàþò íàêîðîòêî.

Êàê áûëî ñêàçàíî âûøå, ÷ëåí ri ìîæíî ñ÷èòàòü âòîðîñòåïåííûì äëÿ äîñòàòî÷-

íî áîëüøèõ êàòóøåê ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì. Îäíàêî åñëè áû ìû ñòàëè

ðàññìàòðèâàòü î÷åíü ìàëåíüêóþ êàòóøêó ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì, äëÿ

êîòîðîé r/L âåëèêî ïî ñðàâíåíèþ ñ 1/T, èëè ðàññìîòðåëè áû ñëó÷àé, êîãäà ïî-

ñëåäîâàòåëüíî ñ êàòóøêîé â öåïü âêëþ÷åíî áîëüøîå àêòèâíîå ñîïðîòèâëåíèå, òî

ñäåëàííîå äîïóùåíèå ìîãëî áû îêàçàòüñÿ íåñïðàâåäëèâûì. Ìîãëî áû äàæå ñëó-

÷èòüñÿ, ÷òî âòîðîñòåïåííûì ÷ëåíîì â âûøåóêàçàííîì ñìûñëå îêàçàëîñü ñëàãàå

ìîå dY/dt. Â òàêîì ñëó÷àå ïðàâèëüíåå áûëî áû ïðèíÿòü L = const â ýòîì ÷ëåíå,

ò. å. íàïèñàòü

ri U t

+= +sin( )wy

è, ïðèíÿâ ïðèáëèæåííî L = const, íàéòè i(t) ïóòåì ðåøåíèÿ ýòîãî ëèíåéíîãî

óðàâíåíèÿ. Êðèâóþ æå Y(t) ïðè ýòîì ñëåäîâàëî áû íàéòè, ïîëüçóÿñü âû÷èñëåí

íîé çàâèñèìîñòüþ i(t) è êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ Y=F (i). Ïðè ýòîì îêàçàëîñü

áû, ÷òî òîê ñîäåðæèò ýêñïîíåíòó ñ íàëîæåííîé íà íåå ñèíóñîèäîé, à ïîëóâîëíû

êðèâîé ïîòîêîñöåïëåíèÿ, ïðè êîòîðûõ ñåðäå÷íèê íàñûùàåòñÿ, èìåëè áû óïëî

ùåííûé âèä.

Õàðàêòåð èçìåíåíèÿ âåëè÷èíû r/L íè â òîì, íè â äðóãîì ñëó÷àå íåëüçÿ ñ÷è

òàòü íåñóùåñòâåííûì, åñëè èíòåðåñîâàòüñÿ äåéñòâèòåëüíîé ñêîðîñòüþ ïåðåõîäà

ïðîöåññà îò íà÷àëüíîãî, èìåþùåãî ìåñòî ñðàçó ïîñëå âêëþ÷åíèÿ, ê óñòàíîâèâ

øåìóñÿ. Â ýòîì îòíîøåíèè âûïîëíåííîå âûøå ðåøåíèå ÿâëÿåòñÿ âåñüìà ïðè

áëèæåííûì, òàê êàê îñòàåòñÿ íåÿñíûì, êàêîå çíà÷åíèå L ñëåäóåò ïîäñòàâèòü

â âûðàæåíèå A

. Ìîæíî ðåêîìåíäîâàòü ïîäñòàâèòü îäèí ðàç íàèáîëüøåå

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 467

Ðèñ. 22.26 Ðèñ. 22.27

è äðóãîé ðàç íàèìåíüøåå âîçìîæíûå çíà÷åíèÿ, îïðåäåëÿåìûå ïî êðèâîé Y=F(i).

Ýòèì ïóòåì îïðåäåëÿòñÿ êðàéíèå ïðåäåëû âîçìîæíûõ ïðîöåññîâ. Äåéñòâèòåëü

íûé ïðîöåññ áóäåò áëèæå ê òîìó, êîòîðûé ìîæåò áûòü ðàññ÷èòàí ïðè íåêîòîðîì

ñðåäíåì çíà÷åíèè L.

22.13. Èçîáðàæåíèå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè

Ïóñòü èññëåäóåìûé ïðîöåññ â öåïè îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûì èëè íåëèíåéíûì óðàâ

íåíèåì ïåðâîãî èëè âòîðîãî ïîðÿäêà, ïðè÷åì êîýôôèöèåíòû óðàâíåíèÿ íå ÿâ

ëÿþòñÿ ÿâíûìè ôóíêöèÿìè âðåìåíè. Ðàññìîòðèì ñëó÷àé çàìûêàíèÿ òàêèõ öå

ïåé íàêîðîòêî èëè âêëþ÷åíèÿ èõ ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîé ÝÄÑ, ò. å. ñëó÷àé, êî

ãäà ñâîáîäíûé ÷ëåí óðàâíåíèÿ íå çàâèñèò îò âðåìåíè. Äëÿ óÿñíåíèÿ õàðàêòåðà

ïðîöåññà ïðè ýòîì îêàçûâàåòñÿ âåñüìà ïîëåçíûì èçîáðàçèòü åãî íà òàê íàçûâàå

ìîé ôàçîâîé ïëîñêîñòè. Â ýòîé ïëîñêîñòè îäíîé èç äåêàðòîâûõ êîîðäè

íàò ÿâëÿåòñÿ èçìåíÿþùàÿñÿ âî âðåìåíè âåëè÷èíà x(t), õàðàêòåðèçóþùàÿ èññëå

äóåìûé ïðîöåññ, íàïðèìåð òîê â öåïè i(t), íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå u

(t),

ïîòîêîñöåïëåíèå êàòóøêè Y(t) è ò. ï. Äðóãîé êîîðäèíàòîé ÿâëÿåòñÿ ïðîèçâîä-

íàÿ îò ýòîé âåëè÷èíû ïî âðåìåíè y = dx/dt, íàïðèìåð ñîîòâåòñòâåííî di/dt, du

/dt,

d Y/dt èò.ä.

Òî÷êà (x, y) íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè íàçûâàåòñÿ èçîáðàæàþùåé òî÷êîé.

Ëèíèÿ, êîòîðóþ âû÷åð÷èâàåò íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ïðè

ïðîòåêàíèè ïðîöåññà âî âðåìåíè, íàçûâàåòñÿ ôàçîâîé òðàåêòîðèåé.

Çíà÷åíèÿ x è y = dx/dt, ò. å. ïîëîæåíèå èçîáðàæàþùåé òî÷êè íà ïëîñêîñòè,

âïîëíå îïðåäåëÿþò ñîñòîÿíèå ïðîöåññà â äàííûé ìîìåíò âðåìåíè.

Çàìåòèì, ÷òî â âåðõíåé ïîëóïëîñêîñòè ó = dx/dt >0,ò.å.x óâåëè÷èâàåòñÿ è,

ñëåäîâàòåëüíî, èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ñëåâà íàïðàâî. Â íèæíåé ïîëó-

ïëîñêîñòè ó <0,õ óáûâàåò è èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà äâèæåòñÿ ñïðàâà íàëåâî.

Åñëè èìååì óðàâíåíèå ïåðâîãî ïîðÿäêà (ax¢ + bx + c = 0 èëè, ñîîòâåòñòâåííî,

ay + bx + ñ = 0), òî êàæäîìó çíà÷åíèþ x ñîîòâåòñòâóåò îïðåäåëåííîå çíà÷åíèå ó,

îïðåäåëÿåìîå èç ýòîãî óðàâíåíèÿ. Ñëåäîâàòåëüíî, íà ôàçîâîé ïëîñêîñòè ïðî

öåññ èçîáðàæàåòñÿ îäíîé îïðåäåëåííîé ôàçîâîé òðà

åêòîðèåé (ïðÿìîé, åñëè óðàâíåíèå ëèíåéíîå, ò. å. a, b

è c íå çàâèñÿò îò x, è êðèâîé, åñëè óðàâíåíèå íåëèíåé

íîå, ïðè÷åì a, b, c ñóòü îäíîçíà÷íûå ôóíêöèè îò x

èëè y). Â âèäå ïðèìåðà íà ðèñ. 22.28 ñïëîøíîé êðèâîé

èçîáðàæåíà ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ äëÿ ñëó÷àÿ âêëþ÷åíèÿ

êàòóøêè ñ ôåððîìàãíèòíûì ñåðäå÷íèêîì, ðàññìîòðåí

íîãî â § 22.9 è 22.10, ïîä äåéñòâèå ïîñòîÿííîãî íà

ïðÿæåíèÿ U

= 7,65 Â, ò. å. äëÿ ñëó÷àÿ, èññëåäîâàííîãî

ðàçëè÷íûìè ìåòîäàìè, ïðè÷åì â êà÷åñòâå ïåðåìåí

íîé x ïðèíÿò òîê i â êàòóøêå. Èç óðàâíåíèÿ öåïè

ri U

èëè, ñîîòâåòñòâåííî, L

y + rx = U

, ãäå äèíàìè÷åñêàÿ èíäóêòèâ

íîñòü L

= dY/di =j(i) =j(x) íàõîäèòñÿ ïî êðèâîé íàìàãíè÷èâàíèÿ êàòóøêè

468 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 22.28

(êðèâàÿ 1 íà ðèñ. 22.17), îïðåäåëÿåì äëÿ êàæäîãî çíà÷åíèÿ õ ñîîòâåòñòâóþùåå

åìó çíà÷åíèå y è ñòðîèì ïî òî÷êàì ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ. Òî÷êà B ÿâëÿåòñÿ òî÷êîé

óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà (i = I

= U

/r), ê êîòîðîé ñòðåìèòñÿ èçîáðàæàþùàÿ òî÷

êà, ïåðåìåùàÿñü ïî ôàçîâîé òðàåêòîðèè. Ïîëîæåíèå òî÷êè B íà îñè x çàâèñèò îò

çíà÷åíèÿ è çíàêà U

. Ñêîðîñòü äâèæåíèÿ èçîáðàæàþùåé òî÷êè ïî ìåðå ïðèáëèæå

íèÿ åå ê òî÷êå B çàìåäëÿåòñÿ, è òåîðåòè÷åñêè òî÷êà B äîñòèãàåòñÿ òîëüêî ïðè t =¥.

Øòðèõîâàÿ êðèâàÿ íà ðèñ. 22.28 èçîáðàæàåò ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ äëÿ êàòóø

êè ñ òåì æå ñîïðîòèâëåíèåì r = 8,5 Îì, íî ïðè ïîñòîÿííîé èíäóêòèâíîñòè

= 1,22 Ãí, ò. å. êîãäà ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ ëèíåéíûì óðàâíåíèåì.

Òî÷êè À è À¢ ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè íà÷àëà ïðîöåññà ïðè t = 0. Â äàííîì ïðèìåðå

íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà i = õ = 0. Åñëè áû íà÷àëüíîå çíà÷åíèå òîêà áûëî èíîå, òî

ïðîöåññ íà÷èíàëñÿ áû â äðóãèõ òî÷êàõ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, íî âî âñåõ ñëó÷àÿõ

èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà ñòðåìèòñÿ ïî òîé æå òðàåêòîðèè ê òî÷êå Â óñòàíîâèâøåãî

ñÿ ðåæèìà. Èçìåíåíèÿ òîêà âî âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûì íà ðèñ. 22.28,

ïðåäñòàâëåíû êðèâûìè i(t) (ñïëîøíîé è øòðèõîâîé) íà ðèñ. 22.23.

Åñëè â êà÷åñòâå ïåðåìåííîé õ äëÿ òîé æå çàäà÷è ïðèíÿòü ïîòîêîñöåïëåíèå Y,

òî óðàâíåíèå áóäåò èìåòü âèä

Y+=

ñò

èëè, ñîîòâåòñòâåííî,

xU+=

ñò

ãäå ñòàòè÷åñêàÿ èíäóêòèâíîñòü L

ñò

=Y/i = F(Y) íàõîäèòñÿ òàêæå ïî êðèâîé íà-

ìàãíè÷èâàíèÿ (êðèâàÿ 1 íà ðèñ. 22.17). Íà ðèñ. 22.29 èçîáðàæåíû ôàçîâûå òðà-

åêòîðèè, äàþùèå ñâÿçü ìåæäó ïîòîêîñöåïëåíèåì Y è ñêîðîñòüþ åãî èçìåíåíèÿ

dY/dt äëÿ òîé æå êàòóøêè. Ñïëîøíàÿ êðèâàÿ ñîîòâåòñòâóåò íåëèíåéíîé çàâèñè-

ìîñòè Y îò i, à øòðèõîâàÿ — ëèíåéíîé çàâèñèìîñòè Y îò i, ò. å. ïðåäïîëîæåíèþ,

÷òî

= const

. Ñîîòâåòñòâóþùèå êðèâûå çàâèñèìîñòè Y îò âðåìåíè ïðèâå-

äåíû íà ðèñ. 22.23.

Åñëè ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ïî

ðÿäêà, òî â çàâèñèìîñòè îò íà÷àëüíûõ óñëîâèé x(0) = x

è y(0) = y

èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà áóäåò îïèñûâàòü òó

èëè èíóþ ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ, ïðîõîäÿùóþ ÷åðåç ýòó

íà÷àëüíóþ òî÷êó. Ïðè ýòîì íè îäíà ôàçîâàÿ òðàåêòî

ðèÿ íå ïåðåñåêàåòñÿ ñ äðóãîé, òàê êàê âî âñåõ ñëó÷àÿõ â

ðåàëüíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè ïðîöåññ îò ëþáîãî åãî

ñîñòîÿíèÿ ïðîòåêàåò îïðåäåëåííûì îáðàçîì. Ôàçîâûå

òðàåêòîðèè ìîãóò òîëüêî ñõîäèòüñÿ èëè ðàñõîäèòüñÿ â

íåêîòîðûõ òî÷êàõ, ÷òî áóäåò âèäíî èç äàëüíåéøåãî.

Äëÿ ëó÷øåãî óÿñíåíèÿ âîïðîñà ðàññìîòðèì ñíà÷àëà âèä ôàçîâûõ òðàåêòîðèé

äëÿ óæå èçó÷åííûõ ñëó÷àåâ ðàçðÿäà êîíäåíñàòîðà íà öåïü r, L äëÿ ëèíåéíîé öåïè

(ñì. § 9.8, ÷. II). Ïîëàãàÿ â óðàâíåíèè äëÿ òîêà â öåïè

dt C

0++=

, i = x

y==

, áóäåì èìåòü

x++ = =- +

èëè .

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 469

Ðèñ. 22.29

Ðàçäåëèâ ýòî óðàâíåíèå íà dx/dt = y, ïîëó÷àåì

÷òî è ÿâëÿåòñÿ óðàâíåíèåì ôàçîâîé òðàåêòîðèè.

Â ñëó÷àå êîãäà r = 0, èìååì

dx LC

ò. å.

222

+=,

ïðè÷åì A

îïðåäåëÿåòñÿ íà÷àëüíûìè çíà÷åíèÿìè x(0) = x

è y(0) = y

. Òàêèì îá

ðàçîì, ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ÿâëÿåòñÿ ýëëèïñîì ñ ïîëóîñÿìè

ALC

è A. Òàê êàê ïðè

õ = x

max

= I

èìååì y = 0, òî A = I

= y

max

ãäå I

— àìïëèòóäà òîêà, èçìåíÿþùåãîñÿ

ïðè r = 0 ïî ñèíóñîèäàëüíîìó çàêîíó (ñì.

§ 9.8). Íà ðèñ. 22.30 ïðèâåäåíû êðèâàÿ òîêà

i(t) ïðè i(0) = 0 è ñîîòâåòñòâóþùàÿ åé ôàçî-

âàÿ òðàåêòîðèÿ ñ íà÷àëüíîé òî÷êîé A. Ïðè

äðóãèõ íà÷àëüíûõ çíà÷åíèÿõ òîêà è åãî

ïðîèçâîäíîé èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà áóäåò

òàêæå îïèñûâàòü ýëëèïñ, íî â îáùåì ñëó-

÷àå — ñ äðóãèìè âåëè÷èíàìè ïîëóîñåé. Âñå

ýòè ýëëèïñû îõâàòûâàþò òî÷êó M (â äàííîì

ñëó÷àå íà÷àëî êîîðäèíàò). Òî÷êà M, êîãäà îõâàòûâàþùèå åå ôàçîâûå òðàåêòîðèè

ÿâëÿþòñÿ ðàñïîëîæåííûìè îäíà â äðóãîé çàìêíóòûìè êðèâûìè, íàçûâàåòñÿ

öåíòðîì.Âýòîì ñëó÷àå èìååì óñòîé÷èâûå íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ.

Åñëè r ¹ 0, òî ðàçðÿä êîíäåíñàòîðà áóäåò ëèáî çàòóõàþùèì êîëåáàòåëüíûì

ïðè

rLC< 2

, ëèáî àïåðèîäè÷åñêèì ïðè

rLC> 2

. Êðèâûå i(t) äëÿ ñëó÷àÿ i(0) = 0

è ñîîòâåòñòâóþùèå èì ôàçîâûå òðàåêòîðèè èçîáðàæåíû íà ðèñ. 22.31 è 22.32.

Â ñëó÷àå êîëåáàòåëüíîãî ðàçðÿäà (

rLC< 2

) ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ ïðåäñòàâ

ëÿåò ñîáîé ñâèâàþùóþñÿ ê òî÷êå M ñïèðàëü (ñì. ðèñ. 22.31), ïðè÷åì êàæäîìó

470 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 22.30

Ðèñ. 22.31

Ðèñ. 22.32

âèòêó ñïèðàëè ñîîòâåòñòâóåò îäèí ïåðèîä êîëåáàíèé. Òåîðåòè÷åñêè îêîëî òî÷êè

M ðàñïîëàãàåòñÿ áåñêîíå÷íî áîëüøîå ÷èñëî âèòêîâ ñïèðàëè, ñîîòâåòñòâóþùåå

áåñêîíå÷íîìó ÷èñëó êîëåáàíèé ñ óáûâàþùèìè â îäíîì è òîì æå îòíîøåíèè àì

ïëèòóäàìè. Ïðàêòè÷åñêè æå ïðîöåññ çàòóõàåò â òå÷åíèå êîíå÷íîãî ïðîìåæóòêà

âðåìåíè. Òî÷êà M, ê êîòîðîé ñõîäÿòñÿ ñïèðàëè ôàçîâûõ òðàåêòîðèé, íîñèò íà

çâàíèå óñòîé÷èâîãî ôîêóñà.

Â ñëó÷àå

rLC> 2

ïðîöåññ áóäåò àïåðèîäè÷åñêèì, òîê íå ìåíÿåò ñâîåãî çíàêà

è íà ôàçîâîé òðàåêòîðèè èçîáðàæàþùàÿ òî÷êà íå ñîâåðøàåò áîëåå îäíîãî ïîëó

îáîðîòà. Òî÷êà M òàêîãî òèïà íîñèò íàèìåíîâàíèå óñòîé÷èâîãî óçëà.

Âî âñåõ ñëó÷àÿõ, èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. 22.30–22.32, íà÷àëüíàÿ òî÷êà A èìååò

êîîðäèíàòû x

= 0èy

= (di/dt)

t = 0

= –U

/L, ãäå U

— íà÷àëüíîå íàïðÿæåíèå íà

êîíäåíñàòîðå, ÷òî âûòåêàåò èç äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ öåïè ïðè óñëîâèè

i(0) = 0.

Â ðàññìîòðåííûõ ñëó÷àÿõ òî÷êè M ÿâëÿþòñÿ òî÷êàìè óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ.

Â íåëèíåéíûõ öåïÿõ, ñîäåðæàùèõ íåëèíåéíûå ýëåìåíòû ñ ïàäàþùèìè ó÷àñò

êàìè õàðàêòåðèñòèê, êàê áûëî ïîêàçàíî â § 22.5, ìîãóò èìåòü ìåñòî ñîñòîÿíèÿ êàê

óñòîé÷èâîãî, òàê è íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ. Íåóñòîé÷èâîå ðàâíîâåñèå âîçìîæíî

òàêæå ïðè íàëè÷èè äîñòàòî÷íîé ïîëîæèòåëüíîé îáðàòíîé ñâÿ-

çè (ñì. § 22.6). Â ñëó÷àå íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ ðàç âîç-

íèêøåå íåáîëüøîå îòêëîíåíèå îò ïîëîæåíèÿ ðàâíîâåñèÿ â

äàëüíåéøåì âîçðàñòàåò. Ïðè ýòîì âîçìîæåí ñëó÷àé àïåðèî-

äè÷åñêîãî ïåðåõîäà â äðóãèå óñòîé÷èâûå ñîñòîÿíèÿ ðàâíîâå-

ñèÿ èëè ñëó÷àé íàðàñòàíèÿ àâòîêîëåáàíèé â öåïè äî íåêîòî-

ðîãî óñòîé÷èâîãî çíà÷åíèÿ àìïëèòóäû êîëåáàíèé, ïðèìåðîì

÷åãî ÿâëÿåòñÿ òpàíçèñòîðíûé ãåíåðàòîð (ñì. § 22.6). Â îáîèõ

ñëó÷àÿõ íîâîå óñòîé÷èâîå ñîñòîÿíèå èëè, ñîîòâåòñòâåííî,

óñòîé÷èâûé ïåðèîäè÷åñêèé àâòîêîëåáàòåëüíûé ïðîöåññ îïðå

äåëÿþòñÿ íåëèíåéíîñòüþ õàðàêòåðèñòèê ýëåìåíòîâ öåïè.

Ïðè àïåðèîäè÷åñêîì ïðîöåññå òî÷êå íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ ñîîòâåòñòâóåò íà

ôàçîâîé ïëîñêîñòè òî÷êà M, íàçûâàåìàÿ íåóñòîé÷èâûì óçëîì (ðèñ. 22.33).

Â ýòîì ñëó÷àå ðàñõîäÿùèåñÿ îò òî÷êè M ôàçîâûå òðàåêòî

ðèè ïðèõîäÿò â óñòîé÷èâûå óçëû, íå ïîêàçàííûå íà ðèñóí

êå. Ïðè êîëåáàòåëüíîì ïðîöåññå ýòî áóäåò íåóñòîé÷è

âûé ôîêóñ (ðèñ. 22.34). Â ýòîì ñëó÷àå ðàñõîäÿùèåñÿ îò

òî÷êè M ñïèðàëè ôàçîâûõ òðàåêòîðèé âñå ñâèâàþòñÿ ê

çàìêíóòîé êðèâîé, íàçûâàåìîé ïðåäåëüíûì öèêëîì

(ðèñ. 22.34), êîòîðûé è ñîîòâåòñòâóåò óñòàíîâèâøèìñÿ àâ

òîêîëåáàíèÿì. Åñëè, ñîãëàñíî íà÷àëüíûì óñëîâèÿì, íà

÷àëüíàÿ òî÷êà îêàæåòñÿ âíå ïðåäåëüíîãî öèêëà, òî ôàçîâàÿ

òðàåêòîðèÿ, ñâèâàÿñü, ïðèõîäèò òàêæå ê ýòîìó ïðåäåëüíî

ìó öèêëó.

Çàìåòèì, ÷òî õîòÿ íà ôàçîâîé òðàåêòîðèè ìîìåíòû âðåìåíè, ñîîòâåòñòâóþ

ùèå òî÷êàì ôàçîâîé òðàåêòîðèè, ÿâíî íå ôèêñèðîâàíû, îäíàêî îíè ìîãóò áûòü

íàéäåíû ìåòîäîì, èçëîæåííûì â ñëåäóþùåì ïàðàãðàôå.

Ãëàâà 22. Ýëåìåíòû òåîðèè êîëåáàíèé è ìåòîäû ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ 471

Ðèñ. 22.33

Ðèñ. 22.34

22.14. Ìåòîä èçîêëèí äëÿ ïîñòðîåíèÿ ôàçîâûõ òðàåêòîðèé

è ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ

Ïóñòü ïðîöåññ îïèñûâàåòñÿ óðàâíåíèåì âòîðîãî ïîðÿäêà F(x², x¢, x) = 0. Îáîçíà

÷àÿ dx/dt = y, èìååì F(y¢, y, x) = 0. Ðåøàÿ ýòî óðàâíåíèå îòíîñèòåëüíî y¢, ïîëó

÷àåì

yx=j(, ).

Ðàçäåëèâ ýòî ïîñëåäíåå óðàâíåíèå íà dx/dt = y, íàõîäèì

j(, )

÷òî ïðåäñòàâëÿåò ñîáîé óðàâíåíèå ôàçîâîé òðàåêòîðèè. Âåëè÷èíà dy/dx åñòü òàí

ãåíñ óãëà íàêëîíà êàñàòåëüíîé ê ôàçîâîé òðàåêòîðèè â ñîîòâåòñòâóþùåé òî÷êå.

Åñëè ïðèíÿòü dy/dx = k = const, òî óðàâíåíèå k = j(y, x)/y îïðåäåëèò ñîáîé êðè

âóþ, ïåðåñåêàþùóþ ôàçîâûå òðàåêòîðèè â òî÷êàõ, â êîòîðûõ êàñàòåëüíûå ê íèì

èìåþò îäèíàêîâûå óãëû íàêëîíà. Òàêàÿ êðèâàÿ íîñèò íàèìåíîâàíèå èçîêëèíû.

Âûáèðàÿ ðàçíûå çíà÷åíèÿ k, ïîëó÷àåì ñåìåéñòâî èçîêëèí (ðèñ. 22.35). Åñëè òå-

ïåðü íà êàæäîé èçîêëèíå íàíåñòè äîñòàòî÷íîå ÷èñëî ÷åðòî÷åê, òàíãåíñ óãëà íà-

êëîíà êîòîðûõ ê îñè àáñöèññ ðàâåí ñîîòâåòñòâóþùåìó äàííîé èçîêëèíå ÷èñëó k,

òî ïðè äîñòàòî÷íîì ÷èñëå èçîêëèí íà ïëîñêîñòè ÷åðòåæà ëåãêî ïðîâåñòè èç äàí-

íîé íà÷àëüíîé òî÷êè ôàçîâóþ òðàåêòîðèþ. Äëÿ ýòîãî òîëüêî ñëåäóåò ñòðåìèòü-

ñÿ, ÷òîáû îíà ïåðåñåêàëà èçîêëèíû ïîä óãëàìè, óêàçàííûìè ÷åðòî÷êàìè, íàíå-

ñåííûìè íà èçîêëèíû.

472 ×àñòü 3. Òåîðèÿ íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ è ìàãíèòíûõ öåïåé

Ðèñ. 22.35