Демирчян К.С., Нейман Л.Р., Коровкин Н.В., Чечурин В.Л. Теоретические основы электротехники. Том 2

Подождите немного. Документ загружается.

íåóñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ (ñì. ðèñ. Â22.2) â òî÷êó Â óñòîé÷èâîãî ðàâíîâåñèÿ

ïðè à) óâåëè÷åíèè èíäóêòèâíîñòè L êàòóøêè (r = const), á) óâåëè÷åíèè ñîïðî

òèâëåíèÿ r ðåçèñòîðà (L = const)?

5. Â êàêîì âèäå ìîæíî èçîáðàçèòü õàðàêòåðèñòèêó u = F (i)

íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà âáëèçè òî÷åê À, Â ðàâíîâåñèÿ (ñì.

ðèñ. Â22.2) ïðè ðàçëîæåíèè ôóíêöèè u = F (i

+ h) â ðÿä

è óäåðæàíèè ñëàãàåìûõ íå âûøå ïåðâîé ñòåïåíè îòêëîíå

íèÿ h òîêà?

6. Â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè (ñì. ðèñ. Â22.1) ñ íåëèíåéíûì

ñîïðîòèâëåíèåì, èìåþùèì ïàäàþùóþ õàðàêòåðèñòèêó

u = F (i) (ñì. ðèñ. Â22.2), óñòîé÷èâûì ÿâëÿåòñÿ ñîñòîÿíèå

ðàâíîâåñèÿ â òî÷êå Â, à íåóñòîé÷èâûì — â òî÷êå À. Ñîõðà

íèòñÿ ëè â òî÷êàõ À, Â òîò æå õàðàêòåð ðàâíîâåñèÿ, åñëè íå

ëèíåéíîå ñîïðîòèâëåíèå èìååò ïîêàçàííóþ íà ðèñ. Â22.3

ïàäàþùóþ õàðàêòåðèñòèêó u

íý

= f(i

íý

7. Èçîáðàçèòå ñõåìû ýëåêòðè÷åñêèõ öåïåé, êîòîðûå ñîîòâåòñòâóþò ëèíåéíûì

äèôôåðåíöèàëüíûì óðàâíåíèÿì ïåðâîãî ïîðÿäêà äëÿ ìàëûõ ïðèðàùåíèé h=Di

íý

è h=Du

íý

â öåïÿõ, ïîêàçàííûõ íà ðèñ. Â22.1, Â22.4.

8. (Ð) Íàéäèòå ñîîòíîøåíèÿ, êîòîðûì äîëæíû óäîâëåòâîðÿòü ïàðàìåòðû ýëå

ìåíòîâ èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Â22.5 öåïåé è ïðè âûïîëíåíèè êîòîðûõ ñîñòîÿ

íèå ðàâíîâåñèÿ óñòîé÷èâî äëÿ ìàëûõ îòêëîíåíèé îò íåãî òîêîâ è íàïðÿæåíèé.

Ñîïðîòèâëåíèå íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ïðè ëèíåàðèçàöèè åãî õàðàêòåðèñòèêè

â òî÷êå ðàâíîâåñèÿ ïðèìèòå ðàâíûì r

22.2. Àâòîêîëåáàíèÿ â íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. (Î) Âîçìîæíî ëè âîçíèêíîâåíèå àâòîêîëåáàíèé â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â êî

òîðîé âûïîëíåíà íå ïîëîæèòåëüíàÿ, à îòðèöàòåëüíàÿ îáðàòíàÿ ñâÿçü?

2. (Î) Âîçìîæíî ëè âîçíèêíîâåíèå íåçàòóõàþùèõ êîëåáàíèé â ïàññèâíîé öåïè,

ñîäåðæàùåé íåèäåàëüíûå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðû?

3. Ïî÷åìó ôîðìà àâòîêîëåáàíèé îáû÷íî îòëè÷àåòñÿ îò ñèíóñîèäàëüíîé?

4. Êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ, ïîëó÷àåìîãî ïðè ëèíåàðèçàöèè çàâè

ñèìîñòè u

íý

(i), âåùåñòâåííûå. Ìîãóò ëè â öåïè âîçíèêàòü àâòîêîëåáàíèÿ?

Âîïðîñû, çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 19–22 493

Ðèñ. Â22.4

Ðèñ. Â22.3

Ðèñ. Â22.5

5. Â ãåíåðàòîðå, ñîäåðæàùåì èíäóêòèâíî ñâÿçàííûå êàòóøêè, ñóùåñòâóþò àâòî

êîëåáàíèÿ. Áóäóò ëè îíè ñóùåñòâîâàòü ïðè èçìåíåíèè çíàêà (ñì. ðèñ. Â22.9)

âçàèìíîé èíäóêöèè, ò. å. ïðè ïåðåêëþ÷åíèè çàæèìîâ îäíîé èç êàòóøåê?

6. (Î) Â öåïè ñ îäíèì íåëèíåéíûì ýëåìåíòîì, õàðàêòåðè

ñòèêà êîòîðîãî ïîêàçàíà íà ðèñ. Â22.6, ñóùåñòâóþò àâòî

êîëåáàíèÿ. Êàêîé ìîæåò áûòü íàèáîëüøàÿ àìïëèòóäà êîëå

áàíèé òîêà ýòîãî ýëåìåíòà? Ïî÷åìó ìîãóò ñóùåñòâîâàòü

àâòîêîëåáàíèÿ ñ ìåíüøåé àìïëèòóäîé?

7. ßâëÿåòñÿ ëè íåîáõîäèìûì äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ àâòîêîëå

áàíèé íàëè÷èå â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà

ñ ïàäàþùåé õàðàêòåðèñòèêîé?

8. (Î) Â ëèíåéíîé öåïè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé K(p), îõâà÷åííîé óñòðîéñò

âîì îáðàòíîé ñâÿçè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé K

îñ

(p), ñóùåñòâóþò íåçàòóõàþùèå

êîëåáàíèÿ. Çàïèøèòå óðàâíåíèÿ, ïîçâîëÿþùèå ðàññ÷èòàòü ÷àñòîòó è àìïëèòóäó

êîëåáàíèé íà âûõîäå öåïè. Êàêîé âèä ïðèìóò ýòè óðàâíåíèÿ, åñëè öåïüþ îáðàò

íîé ñâÿçè ñ ïåðåäàòî÷íîé ôóíêöèåé K

îñ

(p) îõâà÷åí áåçûíåðöè-

îííûé óñèëèòåëü ñ êîýôôèöèåíòîì óñèëåíèÿ K

9. (Î) Ïî÷åìó ðåëàêñàöèîííûå êîëåáàíèÿ â öåïè, èçîáðàæåí-

íîé íà ðèñ. Â22.7, íåâîçìîæíû, åñëè ïðÿìàÿ u = U

– r

i ïåðåñå-

êàåò õàðàêòåðèñòèêó u =j(i) (ðèñ. Â22.8, à) íåëèíåéíîãî ýëå-

ìåíòà íà îäíîì èç åå âîñõîäÿùèõ ó÷àñòêîâ?

10. Êàê èçìåíÿåòñÿ ïåðèîä ðåëàêñàöèîííûõ êîëåáàíèé (ðèñ. Â22.8, á) â öåïè

(ðèñ. Â22.7) ïðè èçìåíåíèè: à) åìêîñòè Ñ êîíäåíñàòîðà; á) íàïðÿæåíèÿ U

;

â) ñîïðîòèâëåíèÿ r

ðåçèñòîðà?

22.3. Ðàñ÷åò ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíûõ öåïÿõ

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Â ÷åì çàêëþ÷àþòñÿ äîñòîèíñòâà àíàëèòè÷åñêîãî ðåøåíèÿ çàäà÷è ðàñ÷åòà ïå

ðåõîäíîãî ïðîöåññà â íåëèíåéíûõ ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ?

2. Èç êàêèõ ñîîáðàæåíèé ñëåäóåò âûáèðàòü âûðàæåíèå äëÿ àïïðîêñèìàöèè õà

ðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà ïðè ïîèñêå àíàëèòè÷åñêîé çàâèñèìîñòè òî

êà ëèáî íàïðÿæåíèÿ â ïåðåõîäíîì ïðîöåññå?

3. Â ÷åì ñîñòîÿò òðóäíîñòè ïîëó÷åíèÿ àíàëèòè÷åñêèõ ðåøåíèé äèôôåðåíöèàëü

íûõ óðàâíåíèé ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ â íåëèíåéíûõ öåïÿõ?

494 Âîïðîñû, çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 19–22

Ðèñ. Â22.6

Ðèñ. Â22.7

Ðèñ. Â22.8

4. (Î) Õàðàêòåðèñòèêó íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà àïïðîêñèìèðóþò îòðåçêàìè ïðÿ

ìûõ. Êàêèå óñëîâèÿ äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ ñëåäóåò ïðè

íèìàòü íà ãðàíèöàõ îòðåçêîâ, åñëè äèôôåðåíöèàëüíîå óðàâíåíèå íà êàæäîì èç

ó÷àñòêîâ èìååò ïîðÿäîê: à) ïåðâûé; á) âòîðîé; â) k-é?

5. Ïðè êóñî÷íî-ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà

íà ãðàíèöàõ ó÷àñòêîâ àïïðîêñèìàöèè ñîîòâåòñòâóþùàÿ âåëè÷èíà (ñîïðîòèâëå

íèå, èíäóêòèâíîñòü ëèáî åìêîñòü) èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì. Ñëåäóåò ëè ïðèíèìàòü

âî âíèìàíèå ìãíîâåííîå èçìåíåíèå ïàðàìåòðà ïðè ðàñ÷åòå ïåðåõîäíîãî ïðîöåñ

ñà íà êàæäîì èç îòðåçêîâ?

6. Äëÿ íàõîæäåíèÿ êàêîé èç óêàçàííûõ äàëåå âåëè÷èí ìåòîä óñëîâíîé ëèíåàðè

çàöèè áîëåå òî÷åí: à) äëÿ îïðåäåëåíèÿ ìàêñèìàëüíûõ çíà÷åíèé Y

max

, i

max

â ïåðå

õîäíîì ïðîöåññå; á) äëÿ îïðåäåëåíèÿ âðåìåíè ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà?

7. (Ð) Ðàññ÷èòàéòå òîêè âåòâåé è íàïðÿæåíèå íà íåëèíåéíîì ýëåìåíòå â ñõåìàõ,

èçîáðàæåííûõ íà ðèñ. Â22.9, ìåòîäîì êóñî÷íî-ëèíåéíîé àïïðîêñèìàöèè õàðàê

òåðèñòèêè íåëèíåéíîãî ýëåìåíòà. Õàðàêòåðèñòèêè íåëèíåéíûõ ýëåìåíòîâ ïðè

âåäåíû â òàáëèöå. Íàïðÿæåíèÿ íà âõîäå öåïè óêàçàíû â âîëüòàõ, ñîïðîòèâëåíèÿ

ðåçèñòîðîâ — â îìàõ, åìêîñòè êîíäåíñàòîðîâ — â ìèêðîôàðàäàõ.

Âåáåð-àìïåðíàÿ

õàðàêòåðèñòèêà

êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè

Âîëüò-êóëîíîâñêàÿ

õàðàêòåðèñòèêà

êîíäåíñàòîðà

Âîëüò-àìïåðíàÿ

õàðàêòåðèñòèêà

ðåçèñòîðà

Y,Âá

,À

q, ìêÊë

,Â u

,Â i

,À

000000

0,01 0,5 10 4 20 0,04

0,03 1 20 11 40 0,08

0,055 1,5 24 16 50 0,1

0,09 3 28 22 70 0,2

0,109 4,5 32 33 80 0,3

0,113 5 36 47 93 0,5

0,119 6 40 63 106 0,9

0,124 7 44 84 115 1,4

0,132 9 48 113 120 1,8

0,137 11 49 129 126 2,8

0,141 15 50 155 127 3,2

Âîïðîñû, çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 19–22 495

Ðèñ. Â22.9

22.4. Ìåòîä ôàçîâîé ïëîñêîñòè

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Ìîæíî ëè ïî ôàçîâîé òðàåêòîðèè öåïè îïðåäåëèòü íàïðàâëåíèå äâèæåíèÿ

èçîáðàæàþùåé òî÷êè?

2. Ìîæåò ëè ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ íåëèíåéíîé öåïè: à) áûòü ðàçðûâíîé; á) ðàñïî

ëàãàòüñÿ òîëüêî â îäíîì êâàäðàíòå ïëîñêîñòè x0y; â) èìåòü âíóòðè ïðåäåëüíîãî

öèêëà íåóñòîé÷èâûé óçåë?

3. Êàêèå òî÷êè ôàçîâîé ïëîñêîñòè ñîîòâåòñòâóþò ïîëîæåíèþ ðàâíîâåñèÿ íåëè

íåéíîé öåïè?

4. ßâëÿþòñÿ ëè èçîêëèíàìè ëèíèè x = 0, y = 0?

5. Â êàêèõ ñëó÷àÿõ öåëåñîîáðàçíî ïðåäâàðèòåëüíî èçî

áðàæàòü ñåìåéñòâî èçîêëèí è ëèøü çàòåì ñòðîèòü ôà

çîâóþ òðàåêòîðèþ?

6. (Ð) Ïîëó÷èòå âûðàæåíèå äëÿ ðàñ÷åòà ïðîìåæóòêà

âðåìåíè T ïåðåõîäíîãî ïðîöåññà, ôàçîâàÿ òðàåêòîðèÿ

êîòîðîãî (ðèñ. Â22.10) âûðàæåíà óðàâíåíèåì

= 1, ïðè èçìåíåíèè õ îò 0

äî à, ãäå a, b — äëèíû ïîëóîñåé ýëëèïñà.

7. (Ð) Ó÷àñòîê n... n + 1 ôàçîâîé òðàåêòîðèè (ðèñ. Â22.10) ÿâëÿåòñÿ îòðåçêîì ýë-

ëèïñà ñ óðàâíåíèåì

1+=

. Ðàññ÷èòàéòå ïðîìåæóòîê Dt âðåìåíè äâèæåíèÿ

èçîáðàæàþùåé òî÷êè ïî ýòîìó ó÷àñòêó.

496 Âîïðîñû, çàäà÷è è óïðàæíåíèÿ ê ãëàâàì 19–22

Ðèñ. Â22.10

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

9.1. Îáùèé ïóòü ðàñ÷åòà ïåðåõîäíûõ ïðîöåññîâ.

Ìåòîä ïåðåìåííûõ ñîñòîÿíèÿ

ÂÎÏÐÎÑÛ

3. Ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, îïèñûâàþùåãî ïåðåõîäíûé ïðîöåññ

â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè, â îáùåì ñëó÷àå íå ðàâåí ïîëíîìó ÷èñëó êàòóøåê èí

äóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðîâ â öåïè. Ïîñëåäîâàòåëüíî (èëè ïàðàëëåëüíî)

âêëþ÷åííûå êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè ìîæíî îáúåäèíèòü â îäíó, òàêæå êàê è

ñîîòâåòñòâóþùèì îáðàçîì âêëþ÷åííûå êîíäåíñàòîðû. Îäíàêî è ïîñëå òàêîãî

îáúåäèíåíèÿ ÷èñëî êàòóøåê è êîíäåíñàòîðîâ ìîæåò ïðåâûøàòü ïîðÿäîê äèôôå

ðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ. Äåéñòâèòåëüíî, åñëè ê íåêîòîðîìó óçëó ïîäõîäÿò âåò

âè, êàæäàÿ èç êîòîðûõ âêëþ÷àåò â ñåáÿ êàòóøêó èíäóêòèâíîñòè (â ýòîì ñëó÷àå,

êàê ãîâîðÿò, èìååòñÿ LÁ-ñå÷åíèå), òî òîê îäíîé èç êàòóøåê ìîæíî âûðàçèòü ÷å

ðåç òîêè äðóãèõ êàòóøåê èç óðàâíåíèÿ ïåðâîãî çàêîíà Êèðõãîôà, ñîñòàâëåííîãî

äëÿ ýòîãî óçëà. Àíàëîãè÷íî èç óðàâíåíèÿ âòîðîãî çàêîíà Êèðõãîôà, çàïèñàííîãî

äëÿ êîíòóðà, ñîäåðæàùåãî êîíäåíñàòîðû (åñëè òàêèå êîíòóðû, íàçûâàåìûå CE-êîí-

òóðàìè, èìåþòñÿ), ìîæíî èñêëþ÷èòü íàïðÿæåíèå îäíîãî èç êîíäåíñàòîðîâ,

âûðàçèâ åãî ÷åðåç íàïðÿæåíèÿ äðóãèõ êîíäåíñàòîðîâ. Åñëè ÷èñëî LÁ-ñå÷åíèé

â öåïè ðàâíî k, à ÷èñëî CE-êîíòóðîâ — m, òî ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâ-

íåíèÿ óìåíüøèòñÿ íà ÷èñëî k + m.

Åñëè â öåïè íåò ïîñëåäîâàòåëüíî (èëè ïàðàëëåëüíî) ñîåäèíåííûõ ýëåìåíòîâ

îäíîãî âèäà, à òàêæå íåò LÁ-ñå÷åíèé è CE-êîíòóðîâ, òî ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëü-

íîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí ÷èñëó êàòóøåê è êîíäåíñàòîðîâ â öåïè.

4. Ïðè f

(t) = A = const òîê

()

óñòàíîâèâøåãîñÿ ðåæèìà áóäåò ïîñòîÿííûì è

âñå åãî ïðîèçâîäíûå, âõîäÿùèå â ëåâóþ ÷àñòü äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ,

îáðàòÿòñÿ â íóëü. Èñêîìûé òîê i

= A/a

íàõîäèì èç ïîëó÷àåìîãî ïðè ýòîì óðàâ

íåíèÿ a

= A.

Äëÿ ðàñ÷åòà òîêà â ñëó÷àå á ñëåäóåò, çàïèñàâ â êîìïëåêñíîé ôîðìå ôóíêöèþ

à òàêæå òîê è åãî ïðîèçâîäíûå, ðåøèòü ïîëó÷àåìîå àëãåáðàè÷åñêîå óðàâíåíèå

îòíîñèòåëüíî òîêà

, ïîñëå ÷åãî íàéòè åãî ìãíîâåííîå çíà÷åíèå.

5. Âûáèðàåìûé ìåòîä ñîñòàâëåíèÿ ñèñòåìû óðàâíåíèé îïðåäåëÿåò òîëüêî èõ

÷èñëî, íî íå ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ, êîòîðûé (ñì. îòâåò íà âî

ïðîñ 3) çàâèñèò îò ñõåìû ýëåêòðè÷åñêîé öåïè è êîëè÷åñòâà âõîäÿùèõ â íåå êàòó

øåê èíäóêòèâíîñòè è êîíäåíñàòîðîâ.

9. Íàëè÷èå îòðèöàòåëüíûõ âåùåñòâåííûõ êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíå

íèÿ îçíà÷àåò, ÷òî â ýëåêòðè÷åñêîé öåïè èìåþòñÿ ðåçèñòîðû. Ýòî èñêëþ÷àåò ñó

ùåñòâîâàíèå ìíèìûõ êîðíåé, ïîÿâëåíèå êîòîðûõ âîçìîæíî òîëüêî ïðè îòñóòñò

âèè ïîòåðü â öåïè, êîãäà â íåé âîçíèêàþò íåçàòóõàþùèå êîëåáàíèÿ òîêà.

Îäíàêî â ýëåêòðè÷åñêèõ öåïÿõ, ñîñòîÿùèõ èç íåñêîëüêèõ ïîäöåïåé, ïåðåõîä

íûå ïðîöåññû â êîòîðûõ íå îêàçûâàþò âçàèìíîãî âëèÿíèÿ, âîçìîæíî ñóùåñòâî

âàíèå óêàçàííîé êîìáèíàöèè êîðíåé õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ. Ïðèìåð

òàêîé öåïè ïîêàçàí íà ðèñ. Ð9.1, à. Åå ìîæíî ïðåäñòàâèòü â âèäå äâóõ ïîäöåïåé,

ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â êîòîðûõ íåçà

âèñèìû (ðèñ. Ð9.1, á). Êàê âèäíî, âå

ùåñòâåííûé êîðåíü ñîîòâåòñòâóåò îä

íîé ïîäöåïè, à äâà ìíèìûõ — äðóãîé.

Ïîýòîìó ýòè êîðíè íå ñëåäóåò ðàñ

ñìàòðèâàòü êàê ñîâîêóïíîñòü êîðíåé

îäíîé ýëåêòðè÷åñêîé öåïè.

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Ó÷èòûâàÿ, ÷òî â öåïÿõ äåéñòâóþò èñòî÷íèêè ïîñòîÿííûõ íàïðÿæåíèé è òîêîâ,

ïðè ðàñ÷åòå òîêîâ è íàïðÿæåíèé â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå êàòóøêè èíäóêòèâ

íîñòè çàìûêàåì íàêîðîòêî, à âåòâè ñ êîíäåíñàòîðàìè ðàçðûâàåì. Ïîëó÷àåì:

à) u

(¥) = E; á) u

(¥) = 0; â) u

(¥) = 0,5E; ã) u

(¥) = 0,5E; ä) i

(¥) = E/r ;

å) i

(¥) = 0,5Á; æ) i

(¥) = E/r ; ç) i

(¥) = 0,5Á.

2. à) W(0) = 0, W(¥) = 0,5CE

; á)

WCU

() , ()005 0

,W(¥) = 0; â) W(0) = 0,5CE

W(¥) = CE

/8; ã) W(0) = 2CE

/9, W(¥) = CE

/8; ä) W(0) = 0, W(¥) = LE

/2r

;

å) W(0) = 0,5LÁ

, W(¥) = LÁ

/8; æ) W(0) = LE

/8r

, W(¥) = LE

/2r

;

ç) W(0) = 0,5LÁ

, W(¥) = LÁ

/8.

3. Íàïðÿæåíèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ è òîêè êàòóøåê â óñòàíîâèâøåìñÿ ðåæèìå

ðàâíû:

à) E

[1+(rwC)

]

–0,5

sin [wt + arctg (wrC)

–1

– 0,5p]; á)0;

â, ã)

22 2

sin arctg

; ä, æ)

222

sin arctg

;

å)

222

sin arctg

4. à)

12 1

Lr r

() ()

;

á, â)

dt r r

12 1

dt C r r

=- +

11 1 1

12 1

;

ã)

rLC

LLL

++=,

dt L

dt C

==--+

111

;

ä)

dt LC

++=,

dt L

=- +

dt C

;

å)

dt LC

0++=,

dt L

=- +

dt C

=- +

5. Ïðè ðàñ÷åòå òîêîâ â âåòâÿõ öåïè òîêè i

â êàòóøêàõ è íàïðÿæåíèÿ u

íà êîí

äåíñàòîðàõ ðàññìàòðèâàåì êàê çàäàííûå. Ïîýòîìó, èçîáðàæàÿ ñõåìó öåïè (âà

ðèàíò ä), ìîæåì çàìåíèòü êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè èñòî÷íèêàìè òîêà Á=i

è êîíäåíñàòîðû — èñòî÷íèêàìè ÝÄÑ e = –u

(ðèñ. P9.2). Ïîëó÷àåìûå òàêèì

498 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

Ðèñ. Ð9.1

ñïîñîáîì ýëåêòðè÷åñêèå öåïè, ñîäåðæàùèå èñòî÷íèêè òîêà Á è èñòî÷íèêè

ÝÄÑ e, ìîæíî èñïîëüçîâàòü äëÿ ñîñòàâëåíèÿ óðàâíåíèé ñîñòîÿíèÿ, âûðàæàÿ âå

ëè÷èíû

÷åðåç ïàðàìåòðû öåïè è âñå äåéñòâóþùèå â íåé èñ

òî÷íèêè.

6. Ïîðÿäîê äèôôåðåíöèàëüíîãî óðàâíåíèÿ ðàâåí m + p – k – n (ñì. îòâåò íà âî

ïðîñ 3). ×èñëî ïîñòîÿííûõ èíòåãðèðîâàíèÿ ñîâïàäàåò ñ ïîðÿäêîì óðàâíåíèÿ.

Äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñòîÿííûõ ïîðÿäîê íàèáîëüøåé ïðîèçâîäíîé èñêîìîé ïåðå

ìåííîé ïðè

t = 0

áóäåò íà åäèíèöó ìåíüøå ïîðÿäêà óðàâíåíèÿ.

10. Â öåïÿõ (ðèñ. Ð9.3) ïåðåõîäíûé ïðîöåññ îòñóòñòâóåò, òàê êàê u

(0) = u

(¥).

11. Äëÿ íàõîæäåíèÿ âåëè÷èíû i

(+0) = i

(–0) îïðåäåëÿåì âíà÷àëå òîê i

(–0)

â êàòóøêå äî êîììóòàöèè, ïðèíèìàÿ âî âíèìàíèå îáñòîÿòåëüñòâî, ÷òî âñå êà-

òóøêè èíäóêòèâíîñòè ìîæíî çàìêíóòü íàêîðîòêî. Âåëè÷èíó

(+0) íàõîäèì,

çàïèñûâàÿ óðàâíåíèÿ çàêîíîâ Êèðõãîôà â öåïè, ïîëó÷àåìîé ïîñëå êîììóòàöèè,

è ïîäñòàâëÿÿ â íèõ íàéäåííûé òîê i

(+0). Èìååì (ïðè çàìûêàíèè êëþ÷à):

à) i

(–0) = 0,

(+0) =

; á) i

(–0) =

(+0) = 0;

â) i

(–0) =

(+0) =

; ã) i

(–0) =

(+0) =

;

ä) i

(–0) =

(+0) =

Ár

; å) i

(–0) =

(+0) =

12. Ïîëó÷àåì ïðè çàìûêàíèè êëþ÷à:

à) u

(+0) = u

(–0),

(+0) =

; á) u

(+0) = U,

(+0) =

;

â) u

(+0) =

rC2

; ã) u

(+0) = r Á,

(+0) =

;

ä) u

(+0) =

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 499

Ðèñ. Ð9.2

Ðèñ. Ð9.3

13. Ïðè çàìûêàíèè êëþ÷à èìååì à)

(+0) =

, u

(+0) = 0. Èç óðàâíåíèé

ir U L

uUi iC

CLL12 1

++= +==+,,

íàõîäèì:

(+0) =

(+0) = –

(+0) = 0,

(+0 ) = 0,

(+0) =

CL L

;

ái

)

(+0) =

, u

(+0) =

(+0) = 0,

(+0) =

(+0) = 0,

(+0) = –

;

â)

(+0) =

(+0) = 0, u

(+0) = U,

(+0) =

(+0)

(+0) = 0,

(+0) =

(+0) = –

;

ã) i

(+0) =

(+0) = 0,

(+0) =

=- +

111 1

(+0) =

rLC

14. Â äîïîëíåíèè ê óêàçàííûì óðàâíåíèå äîëæíî èìåòü òàêæå ñâîèìè êîðíÿìè:

à)–j20, á)–2–j5, â) j20, ã) ëþáîå îòðèöàòåëüíîå âåùåñòâåííîå ÷èñëî.

9.2. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïÿõ r, L è r, C

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

5. Â öåïè ñ ïðîèçâîëüíûì ÷èñëîì ðåçèñòîðîâ è îäíîé êàòóøêîé èíäóêòèâíîñòè

(îäíèì êîíäåíñàòîðîì) ñâîáîäíàÿ ñîñòàâëÿþùàÿ x²(t) îïðåäåëÿåòñÿ âûðàæåíè

åì x²(t) = x

exp (–t/t), ãäå õ

— åå íà÷àëüíîå çíà÷åíèå (i

(0) ëèáî u

(0)). Òàê êàê

ïðè íàõîæäåíèè ñâîáîäíîé ñîñòàâëÿþùåé âñå èñòî÷íèêè ÝÄÑ äîëæíû áûòü

çàìêíóòû íàêîðîòêî, à âåòâè ñ èñòî÷íèêàìè òîêà — ðàçîìêíóòû, òî öåïü ìîæíî

ïðåäñòàâèòü â âèäå ïîñëåäîâàòåëüíî ñîåäèíåííûõ ðåçèñòîðà è êàòóøêè èíäóê

òèâíîñòè (êîíäåíñàòîðà). Ïîñòîÿííàÿ âðåìåíè òàêîé öåïè t=L/r

(ëèáî t=r

C).

Òàêèì îáðàçîì, äëÿ íàõîæäåíèÿ ïîñòîÿííîé âðåìåíè ñëåäóåò, çàìêíóâ íàêî

500 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷

ðîòêî èñòî÷íèêè ÝÄÑ è ðàçîìêíóâ âåòâè ñ èñòî÷íèêàìè òîêà, íàéòè ñîïðîòèâ

ëåíèå r

, ïîäêëþ÷åííîå ê çàæèìàì êàòóøêè èíäóêòèâíîñòè (êîíäåíñàòîðà), ïî

ñëå ÷åãî ðàññ÷èòàòü t ñ ïîìîùüþ âûðàæåíèÿ t=L/r

(t=r

C).

6. à) Ðàññìàòðèâàÿ ðåçèñòèâíóþ öåïü ìåæäó çàæèìàìè êîí

äåíñàòîðà, ïîëó÷àåìóþ ïîñëå çàìûêàíèÿ íàêîðîòêî èñòî÷íèêà

ÝÄÑ (ðèñ. Ð9.4), âèäèì, ÷òî ðåçèñòîðû â íåé íå ñîåäèíåíû ïî

ñëåäîâàòåëüíî-ïàðàëëåëüíî. Ïîñëå ïðåîáðàçîâàíèÿ ýëåìåíòîâ

r,2r, r, ñîåäèíåííûõ òðåóãîëüíèêîì, â òðåõëó÷åâóþ çâåçäó,

íàõîäèì ñîïðîòèâëåíèÿ â ëó÷àõ çâåçäû: r

= 0,75r, r

= 0,5r,

= 0,75r. Èñêîìîå ñîïðîòèâëåíèå r

= 2,25r, òàê ÷òî ïîñòîÿí

íàÿ âðåìåíè ðàâíà t=2,25rC. á) Ðàçìûêàÿ âåòâü, ñîäåðæàùóþ

èñòî÷íèê òîêà, íàõîäèì ñîïðîòèâëåíèå öåïè ìåæäó çàæèìàìè êîíäåíñàòîðà

= 1,2r è ïîñòîÿííóþ âðåìåíè t=1,2rC; â) r

= 2r/3, t=2rC/3; ã) r

= 1,2r, t=L/1,2r ;

ä) r

= 7r/6, t=6L/7r ; å) r

= 2r, t=L/2r.

7. Èñïîëüçóÿ ñîîòíîøåíèå L

= E, ïîëó÷àåì:

à) i(t) =

Edt i

()

= Et/L; á)

Etdt

() ()=

+ i

(0) =

Etdt

()

8. Âñÿ çàïàñåííàÿ â ýëåêòðè÷åñêîì ïîëå êîíäåíñàòîðà ýíåðãèÿ W = 0,5CE

= 2×10

–4

Äæ ïðåîáðàçóåòñÿ â òåïëîâóþ ýíåðãèþ, âûäåëÿåìóþ â ðåçèñòîðå:

WridtrEr trCdt CE== - = =×

¥¥

òò

205210()exp( ) ,

Äæ.

9.3. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïè r, L, C

ÂÎÏÐÎÑÛ È ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

3. Ïåðèîä êîëåáàíèé áóäåò ìèíèìàëüíûì è ðàâíûì Ò = 2p/w

ïðè r = 0. Îí âîç

ðàñòàåò è ñòðåìèòñÿ ê áåñêîíå÷íîñòè ïî ìåðå ïðèáëèæåíèÿ ïðîöåññà ê àïåðèî

äè÷åñêîìó, êîãäà êîðíè õàðàêòåðèñòè÷åñêîãî óðàâíåíèÿ ñòàíîâÿòñÿ âåùåñòâåí

íûìè è ðàâíûìè, ÷òî ïðîèñõîäèò ïðè r ® 2(L/C)

0,5

5. Â ïðåäåëüíîì ñëó÷àå àïåðèîäè÷åñêîãî çàðÿäà êîíäåíñàòîðà íàïðÿæåíèå íà

íåì u

(t) = U

(1 + dt)[exp (– dt)]. Óðàâíåíèå

= –U

t exp (–dt) = 0 èìååò ñâî

èì ðåøåíèåì çíà÷åíèå t = 0. Ïîýòîìó ïðè àïåðèîäè÷åñêîì çàðÿäå êîíäåíñàòîðà

íàïðÿæåíèå íà íåì ìåíÿåòñÿ ìîíîòîííî îò U

äî 0.

6. Íàïðÿæåíèå íà êîíäåíñàòîðå èìååò ýêñòðåìóìû ïðè t = k p/w¢ (k = 1, 2, . . .):

max

–U

/w¢)[exp (–dkp/w¢)] sin (kp – q). Ïåðâûé ìèíèìóì íàïðÿæåíèÿ

(ïðè t =p/w¢) ïðè d > 0 îêàçûâàåòñÿ ïî ìîäóëþ ìåíüøå íàïðÿæåíèÿ U

è ìîæåò

ñòàòü ðàâíûì U

ïðè d=0. Ïîñëåäóþùèå (ïðè t > p/w¢) ýêñòðåìàëüíûå çíà÷åíèÿ

íàïðÿæåíèÿ u

òàêæå íå ïðåâûøàþò íàïðÿæåíèå U

ïðè ëþáûõ d.

Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷ 501

Ðèñ. Ð9.4

9.4. Ïåðåõîäíûå ïðîöåññû â öåïÿõ ïðè ìãíîâåííîì èçìåíåíèè

ïàðàìåòðîâ ó÷àñòêîâ öåïè

ÂÎÏÐÎÑÛ

1. Áåñêîíå÷íûå èìïóëüñû íàïðÿæåíèÿ íà êàòóøêàõ èíäóêòèâíîñòè ïîÿâëÿþòñÿ,

åñëè òîê â íèõ ïðè êîììóòàöèè èçìåíÿåòñÿ ñêà÷êîì ïîäîáíî ðàññìîòðåííîìó

â § 9.10. Àíàëîãè÷íî ýòîìó ìîæåì óòâåðæäàòü, ÷òî èìïóëüñû òîêà áåñêîíå÷íîé àì

ïëèòóäû ïðîòåêàþò â êîíäåíñàòîðàõ, åñëè ïðè êîììóòàöèè íàïðÿæåíèå íà íèõ èçìå

íÿåòñÿ ñêà÷êîì. Â ïðîòèâíîì ñëó÷àå ìãíîâåííûå èçìåíåíèÿ èíäóêòèâíîñòè (åìêî

ñòè) íå ïðèâîäÿò ê ïîÿâëåíèþ áåñêîíå÷íûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ èëè òîêà.

3. Òîê â êàòóøêå èíäóêòèâíîñòè ìîæåò èçìåíèòüñÿ ñêà÷êîì, åñëè òîëüêî ïðè

êîììóòàöèè îáðàçóåòñÿ ñå÷åíèå, ñîäåðæàùåå âåòâè ñ êàòóøêàìè. Ïîýòîìó óñëî

âèå ïîÿâëåíèÿ òàêîãî ñå÷åíèÿ ÿâëÿåòñÿ íåîáõîäèìûì äëÿ âîçíèêíîâåíèÿ áåñêî

íå÷íûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ. Åñëè òîêè êàòóøåê â âåòâÿõ, îáðàçóþùèõ òàêèå

ñå÷åíèÿ, â ìîìåíò êîììóòàöèè ñîõðàíÿþò ñâîè çíà÷åíèÿ, òî òàêèå èìïóëüñû íå

âîçíèêàþò. Ïîýòîìó óêàçàííîå óñëîâèå íå ÿâëÿåòñÿ äîñòàòî÷íûì äëÿ ïîÿâëåíèÿ

áåñêîíå÷íûõ èìïóëüñîâ íàïðÿæåíèÿ.

4. Âàðèàíò à: ïîÿâëåíèå áåñêîíå÷íîãî èìïóëüñà òîêà âîçìîæíî, òàê êàê ïðè

óñëîâèè ïîñòîÿíñòâà íàïðÿæåíèÿ íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà ÝÄÑ íàïðÿæåíèå íà

êîíäåíñàòîðàõ äîëæíî èçìåíèòüñÿ ñêà÷êîì. Âàðèàíò á: â ñèëó òîãî, ÷òî íàïðÿ-

æåíèå íà ðåçèñòîðå ìîæåò èçìåíÿòüñÿ ìãíîâåííî ïðè êîíå÷íîì òîêå, íàïðÿæå-

íèÿ íà êîíäåíñàòîðàõ ñîõðàíÿþò ïðè êîììóòàöèè ñâîè çíà÷åíèÿ è áåñêîíå÷íûõ

èìïóëüñîâ íå âîçíèêàåò. Âàðèàíò â: íàïðÿæåíèå íà çàæèìàõ èñòî÷íèêà òîêà ìî-

æåò èçìåíÿòüñÿ ìãíîâåííî, â ñâÿçè ñ ÷åì îòâåò íà âîïðîñ áóäåò òàêèì æå, êàê

è äëÿ âàðèàíòà á.

10.1. Îïåðàòîðíûå èçîáðàæåíèÿ ôóíêöèé,

èõ ïðîèçâîäíûõ è èíòåãðàëîâ

ÂÎÏÐÎÑÛ

3. Íå ñóùåñòâóåò, òàê êàê ôóíêöèÿ

íå óäîâëåòâîðÿåò óñëîâèþ

||eAe

ïðè

áîëüøèõ çíà÷åíèÿõ t. Îíà âîçðàñòàåò áûñòðåå, ÷åì ôóíêöèÿ Àå

, è ïîýòîìó èí

òåãðàë Ëàïëàñà íå èìååò êîíå÷íîãî çíà÷åíèÿ. Íàïðÿæåíèÿ è òîêè, âîçðàñòàþ

ùèå áûñòðåå ôóíêöèè e

, íà ïðàêòèêå íå âñòðå÷àþòñÿ.

5. Â ñîîòâåòñòâèè ñ îïðåäåëåíèåì ïðåîáðàçîâàíèÿ Ëàïëàñà çà íèæíèé ïðåäåë

èíòåãðàëà Ëàïëàñà ïðèíèìàþò çíà÷åíèå t = +0, â ñâÿçè ñ ÷åì ñëåäóåò ïðèíÿòü

f(0) = f(+0).

ÓÏÐÀÆÍÅÍÈß

1. Ñîîòâåòñòâóþùèå èçîáðàæåíèÿ èìåþò âèä:

à) I(p) = 2e

10p +

; á) I(p)

500

1100

p()()p

;

â) I(p) =

()p +

; ã) I(p) =

10pp()+

502 Îòâåòû íà âîïðîñû, ðåøåíèÿ óïðàæíåíèé è çàäà÷