Эськов В.Д., Каталевская А.В., Сипайлов А.Г. Теоретические основы электротехники. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

Докажем эту теорему с помощью схем рис. 3.28 и покажем, как

определяются вышеупомянутые параметры.

Ток I (рис. 3.28, а) не изменится, если последовательно в ветвь

нагрузки двухполюсника включить две одинаковых ЭДС противопо-

ложной полярности (рис. 3.28, б). По принципу наложения

,III









причем первая составляющая учитывает все источники активного двух-

полюсника и ЭДС Е (рис. 3.28, в), направленную против тока, а вторая –

лишь оставшуюся ЭДС Е (рис. 3.28, г). Если





то в первой подсхе-

ме реализован режим холостого хода двухполюсника и

ХХ

UE 

Во

второй подсхеме







где



эквивалентное сопротивле-

ние пассивного двухполюсника относительно зажимов нагрузки

(рис. 3.28, д). Пассивный двухполюсник получается из активного заме-

ной источников ЭДС короткозамкнутыми ветвями и отключением вет-

вей с источниками тока.

Таким образом, во второй подсхеме по сравнению с исходной схе-

мой активный двухполюсник заменен простой эквивалентной схемой.

Теорема доказана и найдены параметры эквивалентного генератора

напряжения:

ГХХ

ГЭ

;











(3.10а)

Используя известное преобразование, можно перейти к схеме экви-

валентного генератора тока (рис. 3.28, е), в которой

ГКЗ

ХХ

ГЭ

КЗ

;

















(3.10б)

В последних простых схемах (рис. 3.28, д, е) легко находится ток:

KЗ

ГХХ ГГ Г

KЗ

ГГ Г Г Г

, или , где .

UJR E

II I

RR R R R RR R



  

 

3.6.5. Теорема о линейных соотношениях

В линейной цепи при изменении какого-либо одного из ее парамет-

ров (ЭДС, задающего тока или сопротивления) любые две величины

(токи или напряжения) связаны линейным соотношением вида







Докажем теорему для случая изменения одной из ЭДС, например

По принципу наложения можно записать

.00

;

nmnmn

mkm

IEGIIEGI









Здесь в

собраны составляющие токов

не зави-

сящие от

. Исключая

из этих выражений, получим

baI



Здесь ;.

km km

nm nm

abII



Аналогичным образом доказывается теорема и при изменении за-

дающего тока какого-либо источника. Для доказательства теоремы в

случае изменения одного из сопротивлений следует применить теорему

компенсации.

3.7. Метод наложения

Метод основан на принципе наложения. Его использование дает

заметное упрощение расчета в несложных схемах с небольшим количе-

ством источников. Любой ток (или напряжение) можно определить в

виде суммы составляющих от действия каждого источника в отдельно-

сти (обычно с применением эквивалентных преобразований).

Рассмотрим порядок расчета на примере привычной уже схемы

рис. 3.9 с

теми же данными.

Пример 3.4

Определить ток

методом наложения.

Решение

1. Изобразим столько подсхем, сколько в исходной схеме источ-

ников энергии (рис. 3.29–3.31). В каждой из них действует только один

источник. Остальные источники тока отключаем, а источники ЭДС за-

меняем короткозамкнутыми ветвями (замыкаем накоротко).

2. Каждую из подсхем преобразуем до одного контура, сохраняя

в ней сопротивление

после чего находим ток по закону Ома.

В первой подсхеме (рис. 3.29) для этого достаточно заменить па-

раллельно соединенные сопротивления

одним эквивалентным:

Затем можно найти эквивалентное сопротивление последовательно

включенных элементов

Э 1234

1 1,2 4 6,2 ОмRRR R 

и воспользоваться законом Ома

2, 26 А.

6, 2







Во второй подсхеме (рис. 3.30) производится замена пассивной и ак-

тивной ветвей, соединенных параллельно, одной эквивалентной. При этом

32 Э

23 Э

319 11,4

11,4 Ви 1, 84 А.

23 6,2

RE E

RR R





 



Наконец, в третьей подсхеме (рис. 3.31) переходим от схемы с источ-

ником тока J, подключенного параллельно сопротивлению

, к схеме с

источником ЭДС

44 16 В,EJR 

включенным последовательно

с этим сопротивлением. И, как в первой подсхеме, вводим

, тогда

2,58 .

6, 2





1, 2 Ом.











3. В соответствии с принципом наложения находим искомый ток:

2,26 1,84 2,58 3 А.IIII



    

Результат тот же, что и полученный другими методами.

Возможно также применение метода наложения с использованием

входной и взаимных проводимостей, а также коэффициентов передачи

по току, которые заранее определены в реальной электрической цепи

экспериментально.

Метод наложения нельзя использовать для определения мощностей

приемников в виде суммы составляющих в каждой из подсхем, по-

скольку мощность является квадратичной функцией тока:

.PI R

3.8. Метод эквивалентного генератора

Метод основан на теореме об эквивалентном генераторе и предна-

значен для определения тока в одной из ветвей, по отношению к зажи-

мам которой остальная часть схемы рассматривается как активный

двухполюсник. Используется в трех вариантах, алгоритмы расчета ко-

торых рассмотрены ниже.

3.8.1. Метод холостого хода

1. Сопротивление

, в котором нужно найти ток, отключается

от схемы рис. 3.32, а. Затем определяется напряжение между образо-

вавшимися зажимами. Это напряжение холостого хода генератора

ГXX

EU 

(рис. 3.32, б).

2. Источники ЭДС замыкаются накоротко, источники тока от-

ключаются, двухполюсник становится пассивным (рис. 3.32, в), после

чего определяется эквивалентное сопротивление относительно тех же

зажимов. Это внутреннее сопротивление генератора

ГЭ



3. Определяется искомый ток по выведенной выше формуле:

ГН





(3.10в)

которую иногда называют формулой Тевенена–Гельмгольца.

3.8.2. Метод короткого замыкания

1. Сопротивление

в котором нужно найти ток (рис. 3.33, а),

замыкается накоротко, и в этой короткозамкнутой ветви (рис. 3.33, б)

любым методом определяется ток. Это ток короткого замыкания гене-

ратора

ГКЗ

II 

2. Как в предыдущем методе, определяется

ГЭ



(рис. 3.33, в).

3. Определяется искомый ток по формуле

КЗ





(3.10г)

которую иногда называют формулой Нортона–Поливанова.

3.8.3. Метод холостого хода и короткого замыкания

1. Определяется напряжение холостого хода, как в способе 3.8.1.

2. Определяется ток короткого замыкания, как в способе 3.8.2.

3. Определяется сопротивление эквивалентного генератора по

формуле

КЗ



4. Искомый ток определяется по любой из формул: 3.10в

или 3.10г.

Чаще используется первый вариант метода эквивалентного генера-

тора (3.8.1). Второй (3.8.2) целесообразно применять в тех случаях, ко-

гда есть несколько ветвей, параллельных той, в которой определяется

ток. Третий (3.8.3) используется, если сопротивление генератора нельзя

найти с помощью известных преобразований. Он применим и в

тех слу-

чаях, когда активный двухполюсник представляет собой «черный

ящик». В этом случае напряжение холостого хода и ток короткого за-

мыкания определяются экспериментально.

Применим первые два способа к схеме 3.9, которая повторена на

рис. 3.34 с теми же исходными данными.

Пример 3.5

Определить ток

используя метод холостого хода и метод ко-

роткого замыкания.

Метод холостого хода

После отключения сопротивления

схема рис. 3.34 принимает

вид, показанный на рис. 3.35, а.

По второму закону Кирхгофа

X32XX

IREUU





Неизвестный ток определим методом контурных токов. Для конту-

ра cabda уравнение с контурными токами имеет вид

.)(

14X413

EJRIRRR







314

44 14

Отсюда 3, 75 A.

314

RJ E

RRR





 

Г XX

Тогда 19 3 3,75 7,75 В.EU



 

Если в этой схеме заменить ЭДС закороткой и отключить источник

тока, то получится схема, изображенная на рис. 3.35, б. Тогда

31 4

314

()

3(1 4)

1,875 Ом.

314

RR R

RRR







  

 

Искомый ток равен:

Г 2

7,75

2 А.

1,875 2

 



Метод короткого замыкания

После замыкания сопротивления

накоротко схема рис. 3.34

приобретает вид, показанный на рис. 3.36.

По первому закону Кирхгофа

КЗ 3К 1К

.III





Для определения токов

3К

1К

воспользуемся методом узловых

потенциалов, принимая





Тогда

19 В;14В



 

и уравнение с узловыми по-

тенциалами для узла b имеет вид

14 1 4

11 1 1

ba d

RR R R

 









Отсюда

14 4 1

414 194 141

21,2 B.

JR R R R



    



  





1К 3К

21,2 19 19

2, 2 A; 6,33 A;

ba a







  

КЗ

6,33 2, 2 4,13 A.I 

Искомый ток с учетом найденного выше

1, 875 ОмR



равен:

2 КЗ

14,131 2А.

1, 875





   





Естественно, он имеет то же значение, что и полученное другим

способом.

3.9. Топологические матрицы и их применение к расчету цепей

Чтобы формализовать процесс составления уравнений, описываю-

щих состояние цепи с учетом ее геометрической структуры (топологии),

используются топологические матрицы.

Эти матрицы удобно составлять по графу схемы без особенностей,

т. е. схемы, в которой нет источников тока и ветвей с сопротивлением

равным нулю. Если таковые все же имеются, то их следует исключить,

используя

перенос источника тока в ветви контура и перенос источника

ЭДС через узел с последующим объединением узлов с одинаковыми

потенциалами.

Узловая (структурная) матрица A имеет столько столбцов, сколь-

ко граф ветвей, и столько строк, сколько граф независимых узлов (учи-

тываются все узлы, кроме опорного). В клетку матрицы, лежащую на

пересечении k-й строки и m-го столбца, вписывается 1, если ветвь m

направлена от узла k; –1, если она направлена к этому узлу; и 0, если

ветвь m

не подключена к данному узлу.

Если расширить матрицу за счет опорного узла, добавив соответ-

ствующую строку, то у такой матрицы сумма компонентов в каждом

столбце должна равняться нулю.

Контурная матрица B имеет столько столбцов, сколько граф вет-

вей, и столько строк, сколько граф независимых (главных) контуров.

В клетку матрицы, лежащую на пересечении k-й строки и m-го столбца

вписывается 1, если направление m-й ветви совпадает с направлением

обхода k-го контура; –1, если она направлена в противоположную сто-

рону; 0, если данная ветвь не входит в этот контур. Если граф планар-

ный (на чертеже его ветви не пересекаются), то обычно в качестве неза-

висимых контуров выбираются ячейки графа, а направление обхода –

против часовой стрелки.

Если расширить контурную матрицу за счет

внешнего контура,

в котором выбрать направление обхода по часовой стрелке, то сумма

компонентов в каждом столбце такой расширенной матрицы окажется

равной нулю.

Матрицу

В, составленную для главных контуров, называют мат-

рицей главных контуров. Направление обхода каждого из главных кон-

туров совпадает с направлением соответствующей хорды.

Связь между контурной и узловой матрицами определяется формулами

ФФ

и .БВ =0 ВБ =0

Здесь



– транспонированные матрицы (меняются местами

столбцы и строки).

Уравнения Кирхгофа с помощью топологических матриц записы-

ваются следующим образом

по первому закону



Б I=0

(3.11)

по второму закону



BRI=BЕ (3.12)

Здесь

I и E – матрицы-столбцы токов и ЭДС ветвей, причем ЭДС

записывается со знаком «плюс», если ее стрелка совпадает с направле-

нием ветви;

R – диагональная (остальные компоненты равны 0) матрица

сопротивлений ветвей.

Уравнения с узловыми потенциалами в матричной форме:

уу



G=J



(3.13)

где

G

квадратная матрица узловых проводимостей;  – матрица-

столбец узловых потенциалов;



матрица-столбец узловых задаю-

щих токов.

В свою очередь, матрицы узловых проводимостей и задающих то-

ков можно построить таким образом:

УУ

;, GAGAJ AGE

где

1

GR диагональная матрица проводимостей ветвей;



транспонированная узловая матрица.

Если обе части уравнения (3.13) умножить слева на



то будут

найдены узловые потенциалы

уу





=G J

Напряжения между узлами можно найти по формуле



UA



а токи по закону Ома для активных ветвей в матричной форме:

().



IGUE

(3.14)

Уравнения с контурными токами в матричной форме:



RJE

(3.15)

где

R

квадратная матрица контурных сопротивлений; J – матрица-

столбец контурных токов;



матрица-столбец контурных ЭДС.

Матрицы контурных сопротивлений и контурных ЭДС могут быть

построены следующим образом:





R=BRB E BE

где

B

транспонированная контурная матрица.

Контурные токи равны:





JR E

а токи ветвей находятся по формуле



I=B J

Пример 3.6

Составить уравнения по законам Кирхгофа для схемы рис. 3.9,

используя узловую и контурную матрицы.

Решение

На рис. 3.37, а показана схема, полученная после исключения ис-

точника тока в исходной схеме путем его переноса в правом контуре.

На рис. 3.37, б – направленный граф преобразованной схемы, у которого

жирными линиями выделено дерево. Здесь

Э 14 Э 14

14 4 4 30 B; 1 4 5 Ом.ЕЕRJ R R R  

Узлы b и d устранены преобразованием. Поэтому матрица

A имеет

только одну строку и три столбца, а матрица

В – две строки и три

столбца. Ниже приводятся матрицы

A и В для этой схемы.