Эськов В.Д., Каталевская А.В., Сипайлов А.Г. Теоретические основы электротехники. Часть 1
Подождите немного. Документ загружается.
21
Контур, содержащий только одну хорду, называется главным. Оче-
видно, уравнения, составленные по второму закону Кирхгофа для глав-
ных контуров, будут взаимно независимыми. Следовательно, по второ-
му закону Кирхгофа можно составить столько независимых уравнений,
сколько у графа хорд.
2 ХВУ
1.nn nn
Существуют две основные задачи, требующие расчета цепей.
В первой из них известны схема цепи и ее параметры. Нужно найти
токи в ветвях и напряжения между узлами. Это задача
анализа.
Во второй – известен режим работы цепи, а необходимо построить
подходящую схему и определить ее параметры. Это задача
синтеза. Мы
ограничимся анализом электрических цепей, а с синтезом можно будет
познакомиться при изучении специальных дисциплин.
22
3. МЕТОДЫ РАСЧЕТА ЭЛЕКТРИЧЕСКИХ ЦЕПЕЙ
3.1. Схема замещения цепи с постоянными
токами и напряжениями
Рассмотрим наиболее часто употребляемые методы расчета на
примере цепей с источниками постоянного тока и напряжения, для ко-
торых применяются обозначения прописными буквами:
( ) const , ( ) const , ( ) const , ( ) const .et E jt J it I ut U
В цепях постоянного тока напряжение на зажимах индуктивности
равно нулю
(0),
L
dI
uL
dt
и в схеме (рис. 3.1) ее можно представить
сверхпроводником (закороткой).
Постоянный ток через конденсатор в установившемся режиме не
течет, и ветвь с конденсатором можно отключить (рис. 3.2). При этом
токи и напряжения в остальных частях схемы не изменятся.
Что касается сопротивления
R, то оно имеет линейную вольт-
амперную характеристику (рис. 2.2), соответствующую закону Ома:
.URI
(3.1)
Линейный активный двухполюсник (рис. 3.3,
а) представлен внеш-
ней характеристикой
(сплошная линия на рис. 3.3, б, в), которая прохо-
дит через точки, соответствующие режимам
холостого хода
ХХ
(0, )IUU
и короткого замыкания
КЗ
(0, ).UII
Если двухполюсник соответствует реальному источнику, то его
напряжение в режиме холостого хода, как отмечалось выше, называется
электродвижущей силой (ЭДС) источника.
Внешние характеристики идеальных источников показаны штри-
ховыми линиями:
ХХ КЗ
( ) const (рис. 3.3, ) и ( ) const (рис. 3.3, ),
E
IU б JU I в
а вольт-амперная характеристика
внутреннего сопротивления источника
BH
()UI R I
пунктирной. Очевидно, для источника ЭДС
BH
0( 0),R
а внут-
реннее сопротивление источника тока стремится к бесконечности
(2)
нулю равна его внутренняя проводимость.
23
Уравнение внешней характеристики может быть записано в двух
формах:
XX ВН
() и
U
I
m
UI U tg I E R I
m
KЗ
BH
() ,
I
U
mU
IU I U J
tg m R
которым соответствуют и две схемы замещения с идеальными источни-
ками – напряжения
(или ЭДС) Е (рис. 3.4, а) и тока J (рис. 3.4, б).
Таким образом, в схеме замещения линейной цепи постоянного то-
ка остаются три двухполюсных элемента: источники тока и напряжения
J и E, а также сопротивление R. Их обозначения и характеристики пока-
заны на рис. 3.5–3.6.
В задачах анализа параметры этих двухполюсников и схема их со-
единений должны быть известны, а расчет производится с целью опреде-
ления токов и напряжений на отдельных участках цепи. При этом часто
используются выражения, непосредственно вытекающие из уравнений
второго закона Кирхгофа для схем,
которые показаны на рис. 3.8, а, б.
Закон Ома для неразветвленной цепи (схема рис. 3.8, а):
.
21
RR
E
I
(3.2)
Закон Ома для активной ветви (схема рис. 3.8, б):
.
R
E
ba
I
(3.3)
24
В числитель дроби со знаком «плюс» входит потенциал того узла,
из которого ток вытекает, со знаком «минус» – того, куда ток подтекает.
Перед ЭДС ставят «плюс», если стрелка источника направлена по току,
и «минус», если в противоположную сторону.
Если в результате расчета определены все токи и напряжения на
зажимах источников тока,
то для проверки правильности расчета можно
использовать
баланс мощностей, который является следствием закона
сохранения энергии.
Суммарная мощность источников
И
Р
должна быть равна сум-
марной мощности приемников
П
Р
, т. е.
ИП
.РР
(3.4)
Здесь
И
,
EJ
Р EI UJ
(3.4а)
а
2
П
.PIR
(3.4б)
В формуле (3.4а) суммы алгебраические, причем знаку «плюс» со-
ответствуют такие направления токов и полярности напряжений источ-
ников, как на рис. 3.5, 3.6.
Познакомимся подробно с методами расчета:
1)
уравнений Кирхгофа;
2)
контурных токов;
3)
узловых потенциалов;
4)
наложения;
5)
преобразований;
6)
эквивалентного генератора.
25
3.2. Метод уравнений Кирхгофа
Сущность метода. Составляется система независимых уравнений
по законам Кирхгофа с неизвестными токами. С учетом особенностей
цепи с постоянными токами и напряжениями эти уравнения в общем
виде выглядят следующим образом.
Первый закон: в узле
.0
I
(3.5)
Второй закон:
в контуре
.
J
IR E U
(3.6)
Поскольку число уравнений равно числу неизвестных, то получен-
ная система линейных алгебраических уравнений может быть решена
любым известным методом.
Проиллюстрируем порядок расчета примером 3.1 (рис. 3.9).
Пример 3.1
Дано:
1
14E
B,
2
19E
B,
J = 4 A,
k
R
k
Oм,
где
k = 1, 2, 3, 4.
Найти токи в ветвях.
Решение
1. Произвольно выбираем положительные направления токов в
ветвях и обозначаем их на схеме (в ветвях с ЭДС предпочтительно вы-
брать направление, совпадающее со стрелкой ЭДС). В дальнейшем этот
пункт будем всегда считать разумеющимся и упоминать не будем.
2. Составляем уравнения по первому закону Кирхгофа для всех
узлов, кроме одного
1 У
(13),nn
например:
а:
123
0;II I
b:
14
0;II J
d:
45
0.IIJ
Из двух последних уравнений следует:
.
15
II
3. Выбираем независимые контуры
2 ВУ
(12),nnn
мысленно
отключив источник тока. Пусть это будут, например, левый и средний не-
зависимые контуры. Составляем для них уравнения по второму закону
Кирхгофа. Выбрав направление обхода контуров по часовой стрелке, имеем
cаc:
22 33 2
;
R
IRIE
cаbdc:
33 11 44 1
.
R
IRIRI E
26
4. Запишем полученную систему уравнений в матричной форме
и решим ее, например, методом Гаусса.
1
2
3
4
1110 0
1001 4
0230 19
10 34 14
I
I
I
I
В результате получим
15 2 3 4
3A; 2A; 5A; 1A.II I I I
5. Для проверки правильности расчета составляем баланс мощ-
ностей (3.4). Предварительно найдем напряжение на зажимах источника
тока по второму закону Кирхгофа для правой ячейки схемы:
44
41 4B.
J
URI
Тогда
22 2 2 2222
П 11 22 33 44
312 2531496Вт.PIRIRIRIR
ИП
PP
баланс мощностей выполняется. Задача решена верно.
3.3. Метод контурных токов
Сущность метода. В расчет (по идее Максвелла) вводятся так назы-
ваемые
контурные токи, каждый из которых замыкается в своем контуре
и, втекая в какой-либо узел, тут же из него вытекает. Поэтому автоматиче-
ски удовлетворяется первый закон Кирхгофа и остается составить уравне-
ния по второму закону с контурными токами. Токи в ветвях представляют
собой алгебраические суммы контурных, протекающих в тех же ветвях.
Покажем
принцип составления уравнения с контурными токами на
примере схемы рис. 3.10. Для единственного полного контура этой схемы
(остальные показаны лишь частично) уравнение второго закона имеет вид:
.
21223311
EEIRIRIR
Нетрудно заметить, что
.,,
413122131
JJIJJIJJI
После подстановки получаем
.)(
214331221321
EEJRJRJRJRRR
И 15 22
143 192 44 96 Вт.
EJ J
PPPEIEIUJ
27
Проанализировав принцип составления этого уравнения, можно
применить его для любого
k-го контура произвольной схемы:
.
kkmkmkkk
EJRJR
(3.7)
Здесь
kk
R
собственное сопротивление k-го контура, равное сум-
ме сопротивлений всех ветвей этого контура;
km
R
общее сопротивление k-го и m-го контуров, равное сумме
сопротивлений ветвей, входящих как в
k-й, так и в m-й контуры; оно
учитывается со знаком «плюс», если в общей ветви оба контурных тока
направлены в одну сторону, со знаком «минус», если в противополож-
ные, равно нулю при отсутствии общих ветвей;
kk
E
контурная ЭДС, равная алгебраической сумме ЭДС в ветвях
k-го контура; причем со знаком «плюс» учитываются ЭДС, стрелки ко-
торых совпадают с направлением
,
k
J
а направленные в противополож-
ную сторону – со знаком «минус».
Ток в какой-либо ветви равен алгебраической сумме контурных то-
ков в той же ветви. При этом со знаком «плюс» учитываются контурные
токи того же направления, что и ток ветви, со знаком «минус» – проти-
воположного.
Рассмотрим порядок расчета на примере схемы
рис. 3.9, которая
для удобства повторена на рис. 3.11 (данные те же).
Пример 3.2
28
1. Выбираем независимые контуры и обозначаем в них контур-
ные токи круговыми стрелками. Если в схеме есть источники тока, то
добавляем контурные токи, каждый из которых замыкается по одному
из источников. Тогда он равен задающему току этого источника (в
нашей схеме
3
).
J
J
2. Составляем уравнения с контурными токами для независимых
контуров по сформулированному выше правилу:
11 1 12 2 13 3 11
12 1 22 2 23 3 22
,
.
RJ RJ RJ E
R
JRJ RJ E
11 1 3 4 12 21 3
Здесь 8 Ом;3Ом;RRRR RR R
23 32 13 31 4 22 2 3
0; 4 Ом;5Ом;RR RRR RRR
3. Решаем полученную таким образом систему линейных алгеб-
раических уравнений любым методом. С учетом данных имеем:
12
12
83 30,
3 5 19.
JJ
JJ
С помощью определителей по правилу Крамера находим контур-
ные токи:
1
85 (3)(3) 31; 305 (3)19 93;
2
8 19 ( 30) ( 3) 62;
12
12
93 62
3A; 2A.
31 31
JJ
4. Находим токи в ветвях как алгебраическую сумму соответ-
ствующих контурных.
5. Для проверки правильности расчета составляем баланс мощ-
ностей, предварительно определив напряжение на источнике тока.
Уравнение с контурными токами для третьего контура имеет вид
13132233333 334 33
, где 4 Ом;.
J
R
JRJ RJ E R R E U
Отсюда
44 43 4 B.
J
U
Результаты расчета совпали с ре-
зультатами предыдущего метода (где баланс сошелся).
11 1 22 2 3 13 3 23
14 В;19В;16В;0.E E E E JR JR
15 1 2 2
321 413
3A; 2A;
5A; 1A.
II J I J
IJJ IJJ
29
3.4. Метод узловых потенциалов
Сущность метода. Токи в ветвях выражаются с помощью закона
Ома через потенциалы узлов, к которым эти ветви присоединены, при
этом автоматически выполняется второй закон Кирхгофа. Потенциал
одного из узлов, принятого за
опорный или базисный, полагается рав-
ным нулю. Остается составить по первому закону уравнения с узловыми
потенциалами и решить их.
Покажем принцип составления уравнения с узловыми потенциала-
ми для узла 6, в котором сходятся ветви части схемы (рис. 3.12).
По первому закону Кирхгофа для этого узла имеем
12 43
0.II JI I
По закону Ома
611 26 2
12
12
;;
E
E
II
RR
63
3446
33 4 4
11
;( ) .II
RR R R
3
R
3
R
4
R
4
R
Обозначив
12 3 4
'"
1233
44
11 1 11
;; ; ,GG G G
RRRR
R
R
получим
Если проанализировать принцип составления этого уравнения, то
можно применить его для любого k-го узла произвольной схемы:
.
kk k km m kk
GGJ
(3.8)
Здесь
kk
G
собственная узловая проводимость k-го узла, равная
сумме проводимостей ветвей, сходящихся в этом узле;
km
G
общая проводимость узлов k и m, равная сумме проводимо-
стей ветвей, каждая из которых подключена одним концом к узлу
k,
другим – к узлу
m;
1234611223344 1122
() .GG GG G G G G JEGEG
30
kk
J
узловой задающий ток, равный алгебраической сумме токов
короткого замыкания
( или )
E
GJ
активных ветвей, подключенных
к узлу
k, причем со знаком «плюс» учитываются токи тех источников,
чьи стрелки направлены к узлу
k, со знаком «минус» – от узла.
Пример 3.3
Рассмотрим порядок расчета на примере схемы рис. 3.9 с теми же
данными.
1. Выбираем опорный узел и принимаем его потенциал равным
нулю. Если в схеме есть ветвь с сопротивлением равным нулю, то сле-
дует выбрать в качестве опорного один из узлов, к которым она присо-
единена, тогда потенциал второго узла будет известен.
Пусть
0,
c
тогда
1
14 B.
d
E
2. Составляем для остальных узлов уравнения с узловыми по-
тенциалами по сформулированному выше правилу:
.
,
aa a ab b ad d aa
ba a bb b bd d bb
GGG J
GGG J
123
11111111
Здесь См;
123 6
aa
G
RR R
3. Решаем полученную систему линейных алгебраических урав-
нений, в результате чего находим неизвестные потенциалы. После под-
становки чисел уравнения принимают вид
11 19
,
62
51
4,
44
ab
abd
отсюда 15 В;18В.
ab
4. По закону Ома находим токи в ветвях:
2
12
12
18 15 15 19
3 А;2А;
12
ba с a
E
II
RR
34
34
15 18 14
5 А;1А.
34
a с bd
II
RR
114
111115
1 См; См;
14 4
ab ba bb
GG G
RRR
2
42
11 19
0; См;A;4A.
42
ad bd aa bb
E
GG J JJ
RR