Эськов В.Д., Каталевская А.В., Сипайлов А.Г. Теоретические основы электротехники. Часть 1

Подождите немного. Документ загружается.

110

[1 1 1]; .

101







  









Матрицы сопротивлений и ЭДС:

ЭЭ

00 500 30

00020; 19.

00 003 0 0

































Уравнения по законам Кирхгофа для нахождения токов имеют вид



AI 0



BRI=BE

или в числах

[1 1 1] ,



I0

500 30

110 110

020 19.

101 101

003 0

 



 

 

 

 

 

 

 

После перемножения матриц система уравнений принимает окон-

чательный вид:

111 0

520 11.

503 30













Решение этой системы совпадает с результатом примера 3.1:

2 А.











4. ЦЕПИ С ИСТОЧНИКАМИ

СИНУСОИДАЛЬНОГО НАПРЯЖЕНИЯ И ТОКА

4.1. Основные понятия и определения

Переменным называется ток, изменяющийся во времени. Значение

переменного тока в каждый данный момент времени называется мгно-

венным и обозначается

().it

Ток определен, если известно его мгновен-

ное значение и указано принятое положительное направление.

Если мгновенные значения повторяются в одной и той же последо-

вательности через равные промежутки времени, то такой ток называется

периодическим, а наименьший промежуток времени, через который эти

повторения наблюдаются, – периодом Т.

На рис. 4.1 дан пример периодической зависимости

),()( kT

i 

где k – целое число.

Синусоидальным (или гармоническим) называется ток, мгновенное

значение которого изменяется по синусоидальному закону:

() sin( ).

it I t









Здесь

I 

амплитудное, или максимальное, значение тока,

()







фаза тока,





начальная фаза.

График зависимости синусоидального тока от времени или от без-

размерной (измеряемой в радианах) величины



называется волновой

диаграммой. На рис. 4.2 показаны волновые диаграммы этого тока и

напряжения с мгновенным значением

() sin( ),

ut U t









амплиту-

дой

, начальной фазой



Здесь







 период колебаний,



их циклическая частота (в России частота промышленного тока

50 Гц),







угловая частота (при 50 Гц в сети

314 рад с),











угол сдвига фаз напряжения и тока.

Среднеквадратичное значение тока определяется из соотношения





dtiI

и измеряется приборами электромагнитной и электродинамической си-

стем. Оно также называется действующим значением, поскольку ему

может быть приписан следующий физический смысл: это такое значе-

ние постоянного тока, который за время, равное периоду переменного

тока, выделяет в проводнике то же самое количество тепла, что и этот

переменный ток.

Действительно, из формулы





RTIRdtiQ

следует вышепри-

веденное выражение. Для синусоиды

0,707

I

Все определения, введенные выше для токов, применимы также

для напряжений, ЭДС, магнитных потоков, зарядов и других величин,

изменяющихся во времени. В частности, действующие значения напря-

жения и ЭДС равны:

UE

Поясним принцип получения синусоидальной ЭДС. Для этого

между полюсами постоянного магнита поместим прямоугольную рамку

с числом витков w и приведем ее во вращение с угловой скоростью



(рис. 4.3).

Тогда магнитный поток, пронизывающий рамку, будет изменяться

во времени по косинусоидальному закону:

cos cos ,

tBS t





 

где

S 

амплитуда магнитного потока, S – площадь рамки.



Этот поток индуцирует в витках рамки синусоидальную ЭДС

sin ,

ewEt

dt dt







  

где ;.

wEwBS



  

Таким образом, чем больше число витков рамки и чем больше ее

скорость вращения, тем больше амплитуда ЭДС. Угловая частота наве-

денной ЭДС равна угловой скорости вращения рамки.

В реальных электромашинных генераторах обмотка, в которой наво-

дится ЭДС, располагается на неподвижной части машины – статоре. А на

роторе, подвижной части, находится обмотка

возбуждения, которая через

кольца и щетки питается от постороннего источника постоянного тока.

Обмотка возбуждения создает в машине первичное магнитное поле. При

вращении ротора с частотой

(об / мин)n

поток возбуждения будет пере-

секать проводники обмотки статора и в их фазах будет наводиться ЭДС

самоиндукции

eBlv с частотой

/60



и угловой частотой

2/60,







где р – число пар полюсов, l –длина проводника, v – линей-

ная скорость перемещения проводника. Поэтому угловая частота ЭДС ин-

дукции оказывается в р раз больше угловой скорости вращения ротора.

4.2. Изображение синусоидальных токов и напряжений

с помощью вращающихся векторов

Начертим в некотором масштабе из начала декартовой системы ко-

ординат вектор длиной

под углом



к оси абсцисс и приведем его

во вращение относительно начала координат с угловой частотой  про-

тив часовой стрелки, как это показано на рис. 4.4. Очевидно, проекция

этого вектора на ось абсцисс будет изменяться по закону

() sin( ),

it I t









что соответствует мгновенному значению тока.

sin( )









Если в тех же осях изобразить еще несколько векторов, соответ-

ствующих другим токам той же частоты, то все эти векторы будут

вращаться с одинаковой угловой частотой, так что их взаимное распо-

ложение с течением времени меняться не будет. Поэтому принято

изображать векторы в момент времени t = 0 и полученную совокуп-

ность

векторов называть векторной диаграммой. Сложение и вычита-

ние векторов на диаграмме соответствует тем же действиям над сину-

соидальными токами или напряжениями.

Векторные диаграммы бывают двух видов: лучевая и топографиче-

ская. На лучевой все векторы проводятся из начала координат и их сло-

жение осуществляется по правилу параллелограмма. Обычно рисуют

лучевую диаграмму

для токов. Например, диаграмма для схемы

рис. 4.5, а показана на рис. 4.5, б.

На топографической диаграмме начало каждого последующего

вектора совпадает с концом предыдущего и расположение векторов со-

ответствует расположению элементов в схеме (отсюда название). Сло-

жение векторов производится по правилу многоугольника. Обычно

строят топографическую диаграмму напряжений. Например, диаграмма,

приведенная на рис

. 4.5, г, соответствует схеме рис. 4.5, в.

Общие правила построения векторных диаграмм:

1) в одних осях можно строить только те векторы, которые соот-

ветствуют синусоидальным токам и напряжениям одной частоты;

2) длины векторов в масштабе равны амплитудам синусоид (или

в другом масштабе – их действующим значениям);

векторы располагаются по отношению к оси абсцисс под уг-

лами, равными начальным фазам соответствующих синусоид.

При выполнении этих правил векторы на диаграммах будут одно-

значно соответствовать изображаемым синусоидальным функциям вре-

мени – токам и напряжениям.

4.3. Изображение синусоидальных токов и напряжений

с помощью комплексных чисел

Комплексным числом

называют пару вещественных чисел а

, упорядоченных с помощью мнимой единицы j (латинская буква, чи-

тается «йот»).

j1

. Алгебраическая форма записи комплексного

числа выглядит следующим образом:





здесь

ReaA

вещественная часть этого числа,

ImaA





мнимая часть.

На комплексной плоскости по оси абсцисс, положительное направ-

ление которой помечается +1, откладываются вещественные числа, а по

оси ординат (ее положительное направление обозначается +j) – мнимые.

Так что каждому комплексному числу на плоскости соответствуют

единственная точка и единственный вектор, проведенный в эту точку из

начала координат (рис. 4.6).

Из рисунка видно, что

cos , sinaa a a .



 

Поэтому можно записать комплексное число в тригонометриче-

ской форме, а от нее с помощью формулы Эйлера перейти к показа-

тельной форме:

cos j sin .

aaae





 

Здесь

aaa А

модуль комплексного числа,

arctg arg











его аргумент.

Арифметические действия с комплексными числами





jBb b be



 



j( ) j( )

11 2 2

j( ); ( ) , .

AB a b a b AB abe e









     





Комплексное число

€

jAa a ae





 

называется сопряженным

числу А. На комплексной плоскости (рис. 4.6) оно оказывается зеркаль-

ным отражением точки А относительно оси вещественных чисел, отли-

чаясь знаками мнимой части и аргумента. Очевидно,

€

Aa

Если на комплексную плоскость поместить вращающийся вектор

(рис. 4.6), то его положение будет описываться комплексным выражением

j( )

cos( ) j sin( ),

mmimi

Ie Ie I t I t











  



которое иногда называют комплексным мгновенным значением, а ком-

плексное число

IIe







– комплексной амплитудой тока. Модуль

этого числа







амплитуда тока, а аргумент arg







его

начальная фаза. Мнимая часть комплексного мгновенного значения

j( )

Im[ ] sin( ) ( )

mmi

eItit











представляет собой мгновенное значение тока.

Чаще всего в расчетах используется комплексное действующее

значение тока







(кратко – комплекс тока). Комплекс тока,

равно как и вектор тока, однозначно соответствует его мгновенному

значению

).(tiI 

Зная одно, можно безошибочно записать другое.

Например:

j45

2 2 sin( 45 ) A 2 A.it Ie









Принято комплексные числа, изображающие синусоидальные

функции времени, обозначать заглавными буквами с точками над ними,

а все остальные комплексные числа – подчеркивать снизу.

4.4. Мощность в цепи синусоидального тока

Пусть на входе пассивного двухполюсника

( ) sin( ); ( ) sin( ),

mi mu

it I t ut U t





  

тогда мгновенная мощность [Вт]

() () () sin( ) sin( )

mumi

pt ut it U t I t





  

cos cos(2 )

UI UI t



 

 

содержит постоянную составляющую и синусоиду двойной частоты

(рис. 4.7). Если мгновенные значения тока и напряжения имеют одина-

ковые знаки, то мгновенная мощность положительна; в противном слу-

чае – отрицательна.

В расчетах цепей синусоидального тока широко используются по-

нятия активной, реактивной и полной мощностей.

Активная мощность [Вт] – средняя за период, т. е. она равна по-

стоянной составляющей мгновенной мощности:

cos .

PpdtUI







Полная мощность [В·А] равна амплитуде переменной составля-

ющей:

SUI

Реактивная мощность [вар] вводится по аналогии с активной и

физического смысла не имеет:

sin .QUI





Нетрудно видеть, что эти мощности образуют прямоугольный тре-

угольник мощностей со сторонами

cos , sin , .PS QS S P Q





Если поместить треугольник мощностей на комплексную плос-

кость (рис. 4.8), то можно ввести понятие комплексной мощности:

j.SP QSe



 



4.5. Активные и реактивные элементы

в цепях синусоидального тока

Вычислим падения напряжения на двухполюсниках, по каждому из

которых протекает синусоидальный ток

() 2sin( ) .

it I t I Ie









Сопротивление R (волновые диаграммы напряжения, тока и мощ-

ности показаны на рис. 4.9, а)

По закону Ома

Тогда

URI

т. е. выполняется закон Ома для действующих

значений напряжения и тока,





так что угол сдвига фаз напряже-

ния и тока







Поэтому говорят, ток в сопротивлении сов-

падает по фазе с напряжением, что особенно наглядно демонстрирует

векторная диаграмма (рис. 4.9, б).

Легко заметить, что закон Ома справедлив не только для действу-

ющих значений, но также для амплитуд и для комплексов тока и напря-

жения:

Rm m R R

URIUUe RIeRI







Как видно из рис. 4.9, а, сопротивление в любой момент времени

потребляет энергию. Мгновенная мощность положительна, активная

равна полной, реактивная равна нулю:

0; ; 0,pPSUIQ 

по-

этому сопротивление R называется активным.

() () 2sin( ) 2sin( ).

iR u

ut Rit RI t U t

 

    

Индуктивность L (волновые диаграммы напряжения, тока и мощ-

ности показаны на рис. 4.10, а)

По закону электромагнитной индукции

2cos( ) 2sin( )

LiLi

uL LI t XI t



 

  

2sin( ),





где

UXI

(и это тоже закон Ома). Коэффициент пропорционально-

сти

XL

называют индуктивным сопротивлением. Угол сдвига фаз

напряжения и тока



 



поэтому говорят, что ток в индук-

тивности отстает от напряжения на угол



(на 90 градусов). Напомним,

что векторы на диаграмме (рис. 4.10, б) вращаются против часовой

стрелки.

И здесь закон Ома справедлив как для амплитуд, так и для ком-

плексов тока и напряжения

j( )

;j.

mmL L L L

UIXUIXe XI











В течение четверти периода индуктивность потребляет энергию

(0),



а во время следующей четверти периода возвращает ее в цепь

(0),



поэтому

0, .PQSUI





Емкость С (волновые диаграммы напряжения, тока и мощности

показаны на рис. 4.11, а).