Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005
Подождите немного. Документ загружается.
Указания 81
P
3
(x) все коэффициенты положительны (и никакие про-
межуточные коэффициенты не равны нулю), то можно
чуть-чуть «пошевелить» многочлен P(x), чтобы он давал
решение задачи.
11 к л а с с
1. Попробуйте составить шестигранник.
3. Постройте окружность с центром на оси y, которая
касается оси x, и выясните при каком наименьшем ради-
усе r она имеет с кривой y = x
4
общую точку, отличную
от начала координат.
4. Сделайте гомотетию с центром в точке A и коэф-
фициентом 2, затем докажите, что все 8 многогранников
лежат внутри растянутого.
5. Используйте факт 25.
6. Достаточно найти такое m, что 2
m
«чуть-чуть» мень-
ше, чем некоторая степень десятки. Для этого достаточно
найти такое n, что 2
n
+ 1 делится на достаточно большую
степень пятерки.
1995 год
8 к л а с с
2. Рассмотрите разность соседних чисел.
3. Рассмотрите поворот на 120
◦
вокруг точки O.
5. Есть два пути решения: 1) сравнить стоимость пере-
возок, маршруты которых почти совпадают, и 2) написать
явную формулу для стоимости перевозки.
6. Поверните все интересующие нас углы так, чтобы их
вершины совпали с точкой A.
9 к л а с с
1. См. указание к задаче 2 для 8 класса.
2. Для фиксированной точки A
0
найдутся ровно две
таких точки C
0
, что AA
0
= CC
0
.
3. Решите сначала аналогичную задачу для прямоуголь-
ника 5 ×n.
5. Порядок, в котором разрезали треугольники, не
важен.
6. а) Пусть завхоз положит 27 самых легких банок на
левую чашу. б) Используйте факт 1.
82 Указания
10 к л а с с
1. б) Используйте формулу синуса тройного угла.
2. См. указание к задаче 2 для 9 класса.
3. Квадрат касательной равен произведению отрезка се-
кущей на ее внешнюю часть.
4. См. указание к задаче 5 для 9 класса.
5. Пусть p — простой делитель числа a. Приведите каж-
дую из дробей к общему знаменателю. Рассмотрите макси-
мальную степень p, делящую числитель и максимальную
степень p, делящую знаменатель.
6. Докажите, что все лампочки, кроме любой одной,
можно погасить (индукция по числу лампочек).
11 к л а с с
1. Модуль суммы не превосходит суммы модулей.
3. Достройте треугольник BAC до параллелограмма и
используйте обобщенную теорему Фалеса.
4. Если f(x) — многочлен степени n, то f (x) −f(x −d) —
многочлен степени n −1 (при фиксированном d 6= 0).
6. Попробуйте искать n в виде 3
b
−2
b
.
1996 год
8 к л а с с
1. Равенство можно делить на ненулевой множитель.
2. Пусть m
i
— масса i-й гирьки, тогда (m
1
−m
2
) +
+ (m
2
−m
3
) + . . . + (m
9
−m
10
) + (m
10
−m
1
) = 0.
3. Рассмотрите некоторый цветок и выясните, какие
садовники за ним ухаживают.
6. а) Рассмотрите два случая: 1) найдется школьник,
решивший 6 задач, и 2) каждый школьник решил не
более 5 задач.
9 к л а с с
1. Используйте формулу для суммы углов выпуклого
многоугольника.
3. Используйте факт 15.
4. в) Сведите задачу к аналогичной для меньшего n.
6. Сначала докажите, что разбойник может действо-
вать так, чтобы не было кучек, содержащих менее 4 мо-
Указания 83
нет. Затем покажите, что Али-Баба может добиться, чтобы
в 7 кучках лежало не более, чем по 4 монеты.
10 к л а с с
2. Рассмотрите квадратики, расположенные по перимет-
ру большого квадрата.
3. Выразите требуемые углы через углы при вершинах
A и M.
5. Рассмотрите страну, в которой живет 10 человек,
причем их дома расположены на одной прямой.
6. Если k делит x −y, то k делит P(x) −P(y).
11 к л а с с
2. Вычислите
5
p
2 +
√
3 ·
5
p
2 −
√
3.
3. Напишите уравнения параллельных плоскостей, про-
ходящих через вершины единичного куба, так чтобы рас-
стояния между соседними плоскостями были равны.
5. Используйте теорему синусов и факт 17.
1997 год
8 к л а с с
2. Достаточно, чтобы к началу движения по дороге пе-
рестал извергаться первый кратер, а спустя 4 часа, к на-
чалу движения по тропинке, перестал извергаться второй
кратер.
3. Рассмотрите точки, симметричные точке M относи-
тельно прямых OX и OY.
5. Продолжите прямые DE и AB до пересечения.
6. Пусть банкир разрешает класть на весы монеты не
более одного раза. Из какого наибольшего числа монет
можно выделить более легкую за k взвешиваний?
9 к л а с с
1. Против меньшей стороны треугольника расположен
его меньший угол.
2. Достаточно разрезать самый большой кусочек.
4. Если расстояние между точками кратно расстоянию
между поездами, то либо в обеих точках лес, либо в обеих
точках нет леса.
84 Указания
5. Разделите участников турнира на тех, кто набрал во
втором турнире больше очков, чем в первом, и тех, кто
набрал в первом турнире больше очков, чем во втором.
6. Пусть коэффициент многочлена F(x) при x равен
единице. Рассмотрим такое наименьшее m, что коэффици-
ент F(x) при x
m
равен нулю. Тогда можно взять k = m −1.
10 к л а с с
2. Перенесите четырехугольник ABCD на вектор AC.
3. Пусть при указанной процедуре многоугольник A
1
...
...A
n
перешел в многоугольник B
1
...B
n
. Докажите, что
многоугольник A
1
...A
n
однозначно восстанавливается по
многоугольнику B
1
...B
n
.
4. Используйте обратную теорему Виета.
5. Предположите, что это неверно, и рассмотрите участ-
ников, выигравших наибольшее количество партий, и
участников, выигравших наименьшее количество партий.
6. Покажите, что для любого k существует степень
двойки, десятичная запись которой имеет вид
100...0
| {z }
k нулей
y.
11 к л а с с
2. Представьте интеграл в виде суммы двух интегралов
и сделайте замену y =
2
−x в одном из слагаемых.
3. Из многочленов можно получить только многочлен,
поэтому нельзя обойтись без f
1
. Для доказательства необ-
ходимости f
2
рассмотрите производные функций в точ-
ке 1. Для доказательства необходимости f
3
нужно вос-
пользоваться комплексными числами.
5. Пусть a = x
3
, b = y
3
, c = z
3
.
1998 год
8 к л а с с
1. В году 365 дней.
2. Используйте разложение числа на простые множи-
тели.
Указания 85
3. Соедините середины сторон AB и CD параллело-
грамма.
5. Если у человека есть знакомые, сидящие рядом друг
с другом, то этот человек знаком со всеми.
9 к л а с с
1. (a + b)
2
= a
2
+ 2ab + b
2
.
3. Представьте себе, что все правдивые жители стали
лжецами, а все лжецы «исправились».
4. При закрытии всех дорог стратегического набора
множество баз распадется ровно на две не соединенные
друг с другом части, причем ни одна из дорог внутри
каждой из этих частей не закрыта.
5. Докажите, что таких точек O ровно две.
6. Эта задача требует некоторого знания линейной алге-
бры (точнее, алгоритма Гаусса). Об этом можно прочитать
в [72], см. также факт 25.
10 к л а с с
1. Попробуйте доказать это от противного.
2. Чему равна сумма площадей всех прямоугольников?
3. Если отрезки, освещенные двумя фонарями, пересе-
каются, то эти фонари — соседние.
4. Придумайте признак делимости на 999.
5. Пусть на границе треугольника вбит гвоздь. Выясни-
те, вокруг каких точек треугол ьник можно повернуть по
часовой стрелке, а вокруг каких — против.
6. Если расстановка хорошая, то числа в ряду можно
раскрасить в девять цветов так, чтобы числа каждого цве-
та шли в порядке возрастания.
11 к л а с с
1. Разложите разность правой и левой частей на мно-
жители.
2. Задайте функцию одной формулой при x > 1, и дру-
гой — при x 6 1.
4. Исследуйте переменные на четность.
6. См. указание к задаче 6 для 10 класса.
86 Указания
1999 год
8 к л а с с
1. Рассмотрите числа 1 −x, 1 −y и 1 −z.
3. Если ab = cd, то a
2
+ 2cd + b
2
и c
2
+ 2ab + d
2
являются
полными квадратами.
4. И 300, и 198 делятся на 6.
5. Рассмотрите точку, симметричную точке N относи-
тельно точки O.
6. Если утверждение задачи неверно, то найдется участ-
ник, выигравший все партии белыми, и участник, не вы-
игравший ни одной партии белыми.
9 к л а с с
1. Произведение чисел на доске не меняется.
2. Попробуйте делать палиндром «с середины» — сна-
чала так, чтобы 1000 и 1001 буквы образовывали палин-
дром, затем 999, 1000, 1001 и 1002 и т. д.
3. Воспользуйтесь теоремой об угле между касательной
и хордой.
4. Точный квадрат оканчивается на четное число нулей;
ближайший к числу n
2
точный квадрат — это n
2
−2n + 1.
5. Докажите, что ST = BS.
10 к л а с с
1. Если f(x) = ax
2
+ bx + c, то a + b + c = f(1), c = f(0).
3. x(x
2
+ y
2
) −(x
3
+ y) = y(xy −1).
4. Рассмотрите два равных числа, расстояние между
которыми наименьшее.
5. Оба отображения «сжимают» отрезок [0; 1] в
√
3 раз.
11 к л а с с
1. Примените неравенство треугольника.
2. Рассмотрите середину дуги BC.
3. Плоскости, которым принадлежат грани каждого
цвета, образуют равные правильные тетраэдры.
4. Разделите квадрат на 4
n
маленьких квадратиков и
докажите по индукции, что кузнечик может попасть в
любой из них.
Указания 87
5. Если вершины цвета 2, которые не соседствуют с
вершинами цвета 1, перекрасить в цвет 1, то опять полу-
чится правильная раскраска.
6. Используйте бином Ньютона.
7. Рассмотрите на окружности длины 1 полуинтервалы
[0; lg 2), ..., [lg 9; 0). Тогда первая цифра числа 2
k
опре-
деляется тем, в какой из этих полуинтервалов попадает
дробная часть числа lg(2
k
) = k · lg 2.
2000 год
8 к л а с с
1. Перенесите 2000x в правую часть, а y
2
— в левую.
3. Продолжите стороны трапеции до пересечения.
4. Рассмотрите треугольник KBE, где K — точка, сим-
метричная M относительно точки A.
5. Используйте полуинвариант (см. факт 2).
6. Число коней, стоящих на белых клетках, равно чис-
лу коней, стоящих на черных клетках.
9 к л а с с
1. Используйте формулу для a
n
−b
n
.
2. Пусть имеется семь чисел: четыре числа, делящихся
на два, и три числа, делящихся на пять, тогда их произ-
ведение делится на 2000.
3. Примените теорему Пифагора несколько раз.
4. Для любых клеток одного цвета Лёша может опре-
делить разность чисел, записанных в этих клетках.
5. Пусть O
1
и O
2
— центры окружностей, описанных
около треугольников AMC и BMD. Спроецируйте O
1
, O
2
и середину отрезка O
1
O
2
на прямую, упоминающуюся в
условии задачи.
6. Рассмотрите блиндажи, в которых может оказаться
пехотинец после четного числа выстрелов пушки.
10 к л а с с
1. Площади треугольников OAH
A
и OBH
B
равны 1/2.
2. Выделите полный квадрат.
4. См. указание к задаче 5 для 9 класса.
88 Указания
5. б) Все последовательности, которые можно получить
из {n +
√
2}, имеют вид
n
P(n +
√
2)
Q(n +
√
2)
o
, где P и Q — многочле-
ны с целыми коэффициентами.
в) Рассмотрите преобразование, которое последователь-
ность {a
n
} переводит в {a
n+1
−a
n
}. Примените это преобра-
зование к исходной последовательности многократно.
6. а) Подумайте сначала, как Гриша может сообщить
Лёше свои карты, чтобы Коля при этом ничего не узнал.
б) Пусть Гриша и Лёша занумеруют карты числами от
1 до 7.
11 к л а с с
1. НОД(dm, dn) = d для любого d.
3. Либо точки O, M, K, N лежат на одной прямой, либо
четырехугольник OMKN — параллелограмм.
4. Подберите длины палочек так, чтобы после каждой
операции отношение длин палочек не менялось.
5. а) Пусть в турнире учавствовали 2M игроков. Иг-
роков, занявших первые M мест, назовем сильными, а
остальных — слабыми. Рассмотрите три типа партий: силь-
ные с сильными, сильные со слабыми и слабые со слабы-
ми.
б) Постройте таблицу такого турнира, что у всех игро-
ков равное количество очков, и число единиц над главной
диагональю приблизительно равно четверти всех партий.
2001 год
8 к л а с с
2. Расставляйте точки на окружности.
3. Число замен будет наименьшим, если в каждой ко-
лонке сохранить наиболее частую букву.
4. Используйте факт 14.
5, 6. Расположите двузначные числа в клетках прямо-
угольника высоты 9 и ширины 10.
9 к л а с с
1. Расставьте футболистов на одной прямой.
Указания 89
3. Используйте факт 14.
4. Пусть количество камней в каждой кучке делится
на нечетное число a.
6. Обозначим сумму очков, набранных участником A,
через S
A
, а его коэффициент силы — через F
A
. Рассмот-
рите
P
A
S
A
F
A
.
10 к л а с с
1. Рассмотрите трехчлены с нулевыми дискриминан-
тами.
3. Сделайте замену переменных.
4. Рассмотрите точку, симметричную ортоцентру тре-
угольника AH
B
H
C
относительно середины стороны H
B
H
C
.
5. Разбейте все возможные расположения фишек на два
типа.
11 к л а с с
1. Решите сначала задачу 1 для 10 класса.
2. Докажите, сначала, что знаменатель прогрессии ра-
ционален. Затем используйте факт 9.
3. Рассмотрите гомотетию, переводящую вписанную
окружность во вневписанную.
4. Пусть такой многочлен существует. Чему может
быть равен его свободный член?
6. Рассмотрите ориентированный граф вершинами кото-
рого являются состояния системы, а ребрами — возможные
ходы.
2002 год
8 к л а с с
1. Обозначьте число супружеских пар через N и выра-
зите через N население острова.
2. Сумма цифр числа A меньше шести.
3. Пусть E — точка касания второй окружности с общей
касательной. Докажите, что треугольники DEA и DCA
равны.
4. Без ограничения общности можно считать, что пер-
вая шашка поставлена в среднюю вертикаль, но не в
центр доски.
90 Указания
5. Пусть F — середина BM. Тогда AF = AE в пункте «а»
и AF 6 AE в пункте «б».
6. Рассмотрите сначала случай прямоугольника 1 ×n.
9 к л а с с
2. Используйте формулу суммы кубов и неравенство
треугольника.
3. Отразите симметрично треугольник ABC относитель-
но прямой DE.
4. Запишите уравнение в виде x
4
−1 = 2y
2
и используйте
такое утверждение: если произведение взаимно простых
чисел есть точный квадрат, то каждое из чисел есть точ-
ный квадрат.
6. Проследите за количеством острых углов у различ-
ных частей.
10 к л а с с
1. Рассмотрите наименьший угол треугольника.
2. Используйте неравенство a
2
+ b
2
+ c
2
> ab + bc + ac.
4. Занумеруйте зрителей и используйте математиче-
скую индукцию.
5. б) Кандидат, занявший первое место в первом туре,
не мог выбыть в первой тысяче туров.
6. Впишите круг в квадрат, затем меньший квадрат в
круг и т. д.
11 к л а с с
1. См. указание к задаче 1 для 10 класса.
1. См. указание к задаче 4 для 10 класса.
4. Обозначим n-й член последовательности через a
n
, а
сумму первых n членов через S
n
. Рассмотрите частное от
деления S
n−1
на a
n
.
5. Докажите, что T
B
O
A
⊥AB.
6. См. указание к задаче 5 для 10 класса.
2003 год
8 к л а с с
1. Если Маше удвоят стипендию, то семейный доход
возрастет в точности на размер этой стипендии.