Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005
Подождите немного. Документ загружается.
1993 год
8 к л а с с. 1. а) Решений нет; б) 1963. 3. Нельзя. 4. Хо-
рошего и плохого времени в сутках поровну. 5. Сущест-
вует.
A
B
Рис. 13
9 к л а с с. 1. См. рис. 13. Условию зада-
чи удовлетворяют точки, находящиеся в за-
штрихованных областях, и точки на сплош-
ных линиях, но не точки на пунктирных
линиях. 2. x
1000
=
1000 · 1003
2
= 501500. 3. Нет,
не может. 4. У Пети 14 друзей. 5. 58.
10 к л а с с. 1. 12 или 4. 2. Могут. 3. а) Не
всегда; б) всегда. 4. При k = 4 верно, при
k = 5 неверно. 6. Максимум OM + ON дости-
гается при ∠ACB = 135
◦
и равен
1 +
√
2
2
(a + b).
11 к л а с с. 2. Может. 3. n прямых при n > 2, 1 прямая
при n = 2. 4. а) Можно; б) нет, не всегда. 5. б) Нет, нельзя.
6. Длина кратчайшего пути равна
4
√
10
a.
1994 год
8 к л а с с. 1. Хватит на 15 банок. 2. 143 и 143. 5. Боль-
ше хорошего. 6. Выиграет первый.
9 к л а с с. 1. Существует. 2. Если k > l, то выигрывает
Коля, если k 6l, то выигрывает Лёва. 5. Число 180625, ко-
торое после вычеркивания цифры 8 уменьшается в 17 раз.
10 к л а с с. 1. 3333334 и 1666667. 5. а) Такой хорды
A C
B
Рис. 14
может не существовать. 6. Существует.
11 к л а с с. 3. r =
3
3
√
2
4
.
1995 год
8 к л а с с. 1. Денежки на квас хватит.
4. а), б), в) Да, достаточно. 6. 240
◦
.
9 к л а с с. 2. Высота треугольника ABC,
выходящая из вершины B, а также дуга
окружности с концами A и C и величиной 120
◦
, лежащая
внутри треугольника ABC (рис. 14). 3. При n 6 998 и при
n > 3989. 4. Не может.
72 Ответы
10 к л а с с. 1. а) 4 значения; б) 3 значения. 2. См.
ответ задачи 2 для 9 класса. 4. См. ответ задачи 5 для 9
класса.
11 к л а с с. 2. а) Можно; б) нельзя. 5. 1994. 7. Суще-
ствует.
Рис. 15
A B
O
Рис. 16
1996 год
8 к л а с с. 1. Да, верно. 3. См.
рис. 15. 5. При четных n.
9 к л а с с. 4. a) Может; б) не может;
в) может. 5. Пусть O — центр окружно-
сти. Рассмотрим круги, построенные на
отрезках AO и BO как на диаметрах.
Искомое ГМТ представляет собой вну-
тренность этих кругов, за исключением
их общей части (рис. 16). 6. 72 монеты.
10 к л а с с. 2. 18. 4. При m = n = 1
выигрывает второй. Во всех остальных
случаях выигрывает первый. 5. Да, мо-
жет.
11 к л а с с. 2. Например, x
5
−5x
3
+
+ 5x −4. 3. Могут.
1997 год
8 к л а с с. 2. Сможет. Например, Ваня может выйти в
начале 38-го часа. 4. Да, существует. 5. 110
◦
. 6. 2n
2
+ 1
монет.
9 к л а с с. 2. Да, всегда. 4. Если n делится на 3, то лес
отсутствует; если n при делении на 3 дает остаток 1, то
лес составляет 2/3 дороги; если n при делении на 3 дает
остаток 2, то лес составляет 1/3 дороги.
10 к л а с с. 1. Да, существует.
11 к л а с с. 2. /2. 3. 1/x = f
1
(x) −(f
2
(x) −f
3
(x) + 1)/2.
4. Можно.
1998 год
8 к л а с с. 1. Да, найдутся. Например, x = 1, y = 4, z = 7.
2. Да, можно. 6. Не всегда.
Ответы 73
9 к л а с с. 1. Нет, не является. 3. 1/2. 5. 80
◦
или 100
◦
.
10 к л а с с. 3. 1998. 4. Не существует. 5. В отношении
5 : 7, считая от вершины A.
11 к л а с с. 2. Нет, не следует. 3. ∠B = 120
◦
, ∠C =
= arccos
5
2
√
7
, ∠A = arccos
2
√
7
. 4. Единственное решение:
x = y = z = 2. 5. Можно.
1999 год
1999
19971998
5
3
12
4
6
Рис. 17
8 к л а с с. 1. x < z < y. 3. Например,
a = 1, b = 6, c = 2, d = 3. 4. 498 долларов.
9 к л а с с. 1. 2. 2. Может. 4. k = 2.
10 к л а с с. 3. x = 1, y = 1. 6. Искомая
расстановка изображена на рис. 17 (или
получается из нее поворотом или симмет-
рией).
11 к л а с с. 4. Сможет. 6. Единственное
решение уравнения: n = 2, k = 1, l = 2, m = 3.
2000 год
Рис. 18
8 к л а с с. 1. x + y = 2000. 2. 50 мест.
6. 16 коней.
9 к л а с с. 1. x = 0. 3. Обозначим через O
центр окружности в условии задачи. Тогда
искомое ГМТ есть окружность с центром в
точке O и радиусом
√
2R
2
−OA
2
. 6. б) Таки-
ми (минимальными) надежными системами
укреплений являются трилистник, изобра-
женный в условии пункта «а», и все системы, состоящие
ровно из одного цикла блиндажей (рис. 18).
10 к л а с с. 2. x = −6 ±
32
√
6. 5. а), в) Можно; б) нельзя.
6. а), б) Могут.
11 к л а с с. 1. 2000
2
−1. 2. 0. 4. Может. 5. а) Не могут;
б) могут. 6. Можно.
2001 год
8 к л а с с. 1. Клетка, расположенная в 51-й строке и
50-м столбце. 2. Да, можно. 3. 25.
74 Ответы
9 к л а с с. 1. Да, можно. 2. Да, может. 4. Нет, нельзя.
5. Такое число существует для любого k. 6. а), б) Нет, не
могут.
10 к л а с с. 1. Да, существуют. 2. Да, можно. 3. Напри-
мер, P(x) =
x −
1
2
2001
+
1
2
. 5. Не могут. 6. Да, найдется.
11 к л а с с. 1. Да, существуют. 2. Да, верно.
2002 год
8 к л а с с. 1.
12
19
населения острова. 2. 10, 11, 12, 13,
20, 21, 22, 30, 31. 4. Выигрывает второй. 6. Все пары
чисел (m, n), кроме пар (1, 1), (1, 3) и (3, 1).
9 к л а с с. 1. Всегда. 4. x = 1, y = 0 или x = −1, y = 0.
5. При всех n, кроме 1 и 3. 6. Не могут.
10 к л а с с. 1. Тангенсы углов треугольника равны 1,
2 и 3. 3. 6. 4. Всегда. 5. а) k = 2001; б) k = 1. 6. Можно.
11 к л а с с. 1. См. ответ задачи 1 для 10 класса. 3. См.
ответ задачи 4 для 10 класса. 6. См. ответ задачи 5 для
10 класса.
2003 год
8 к л а с с. 1. На 55 %. 2. Например, 1111111613.
3. Нельзя. 4. Треугольник равносторонний, все углы
по 60
◦
. 5. 21 авиалиния. 6. Есть.
9 к л а с с. 1. Площади головастиков равны. 2. Напри-
мер, 2, 2, 2, 2, −1/15 или 5, 6, 7, 8, −1. 3. С первого
на третий этаж за этот день приехало меньше покупате-
лей, чем с первого на второй. 4. Если число n является
простым, то выигрывает второй игрок, иначе выигрывает
первый игрок.
10 к л а с с. 1. Да, например, a = 1, b = 5, c = 6. 3. Сте-
пень многочлена может равняться только 1. 6. Всегда су-
ществует.
11 к л а с с. 5. Многогранник является тетраэдром и у
него 4 грани. 6. 290. 7. 2 и 3.
Ответы 75
2004 год
8 к л а с с. 1. Например, x
2
+ 3x + 2 = 0. 2. Пример необ-
ходимого разрезания изображен на рис. 19. 4. Не суще-
ствует.
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
1
2
3
Рис. 19
9 к л а с с. 1. Нет, не может. 2. Да,
могло. 5. При правильной игре выигры-
вает второй игрок. 6. а), б) Да, мог.
10 к л а с с. 2. Нет, не существует.
3. Да, может. 4. См. ответ в задаче 5
для 9 класса. 6. См. ответ в задаче 6 для
9 класса.
11 к л а с с. 2. а) Да, верно; б) нет, не
верно. 4. −2 или
2
− . 5. 2k
0
. 6. a)
2
3
.
2005 год
8 к л а с с. 1. Например, a = 2, b = 20.
2. На 9 частей.
9 к л а с с. 2. Да, существуют. Напри-
мер 1, 2, 3, 6, 12, 24, . . . , 3 · 2
2003
. 4. Нет,
не верно.
10 к л а с с. 1. Да, существует. 4. Нет, не всегда. 5. Нет,
не существуют.
11 к л а с с. 2. Вариант А: ±400; вариант Б: ±1000.
4. а) Да, существует; б) Да, существует. Например, n
0
= 6.
5. 9, 11, 25. 6. Может.
УКАЗАНИЯ
1993 год
8 к л а с с
1. а) Используйте признак делимости на 3. б) Оцените
x снизу и найдите остаток от деления x на 9.
2. Преобразуйте выражение (a
2
+ b
2
+ c
2
)
2
.
3. Рассмотрите все пары фишек из которых левая —
красная, а правая — синяя.
4. Если стрелки показывают хорошее время, то их зер-
кальное отражение показывает плохое, и наоборот.
5. Проведите индукцию по количеству букв в алфавите.
6. Докажите, что ∠ADB = ∠ACB.
9 к л а с с
2. Выпишите x
n
−x
n−1
для небольших n.
3. Подумайте, из каких треугольников мог получиться
треугольник с углами 20
◦
, 20
◦
, 140
◦
.
4. Рассмотрите того из Петиных одноклассников, у кого
больше всего друзей, и того, у кого меньше всего друзей.
6. Рассмотрите точку, симметричную точке B относи-
тельно прямой AM.
10 к л а с с
1. Докажите, что один из периодов дроби A + B (воз-
можно не минимальный) равен 12.
4. Изобразите числа {an + b} точками на окружности
единичной длины.
5. Оцените суммарное число различий между всеми па-
рами растений по всем признакам.
11 к л а с с
4. Пусть в ящиках лежит 1, 2, . . . , n камней. Выразите
максимальное число камней в кучке после хода через n и
k. Выясните, при каком k это число будет минимальным.
5. График такой функции должен переходить в себя
при повороте на 90
◦
вокруг начала координат.
6. Пусть P и Q — середины сторон KL и MN простран-
ственного четырехугольника KLMN. Тогда
PQ 6
1
2
(KN + LM).
80 Указания
1994 год
8 к л а с с
1. Выразите объем банки через объем бидона.
2. Если x и y — искомые трехзначные числа, то 7x · y =
= 1000x + y.
3. Продлите перпендикуляры до пересечения с прямой
AC.
4. Кузнечики прыгают по узлам квадратной сетки.
5. Через целое число часов положение минутной и се-
кундной стрелок будет таким же.
6. Используйте осевую симметрию прямоугольника.
9 к л а с с
2. Лёве нужно попытаться сложить равнобедренные
треугольники.
3. Сделайте подстановку z = −x.
4. Достаточно доказать, что равны треугольники AQN
и AMP. Докажите, что они подобны и что дуги AQ и MA
равны.
6. б) Чтобы доказать, что можно поставить очередной
корабль 1 ×3 расположите 8 вспомогательных кораблей
1 ×3 так, чтобы корабль 1×4 или 1 ×3 мог задеть не более
двух из них.
10 к л а с с
1. Пусть x, y — искомые семизначные числа, тогда
3x · y = 10
7
x + y.
2. а) Посмотрите, что происходит со знаменателями
членов последовательности.
б) Попробуйте понять, как выражается x
n+k
через x
n
,
если раскрыть все модули.
3. Докажите, что найдется депутат, получивший не бо-
лее одной пощечины.
4. AK =
AB + AC −BC
2
.
5. б) Попробуйте провести некоторую хорду и двигать
ее параллельно самой себе.
6. Достаточно, чтобы условие выполнялось при n = 2 и
n = 3. Если у P(x) есть нулевой коэффициент, а у P
2
(x) и