Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005

Подождите немного. Документ загружается.

Условия задач. 2001 год 51

(две фишки не могут стоять на одной клетке). Могут ли

в результате таких ходов встретиться все возможные ва-

рианты расположения этих двух фишек, причем ровно по

одному разу?

6. В игре «Десант» две армии захватывают страну. Они

ходят по очереди, каждым ходом занимая один из свобод-

ных городов. Первый свой город армия захватывает с воз-

духа, а каждым следующим ходом она может захватить

любой город, соединенный дорогой с каким-нибудь уже

занятым этой армией городом. Если таких городов нет,

армия прекращает боевые действия (при этом, возможно,

другая армия свои действия продолжает).

Найдется ли такая схема городов и дорог, что армия,

ходящая второй, сможет захватить более половины всех

городов, как бы ни действовала первая армия? (Число

городов конечно, каждая дорога соединяет ровно два го-

рода.)

11 к л а с с

1. Существуют ли три квадратных трехчлена такие, что

каждый из них имеет два различных действительных кор-

ня, а сумма любых двух трехчленов не имеет действитель-

ных корней?

2. Дана геометрическая прогрессия. Известно, что ее

первый, десятый и тридцатый члены являются натураль-

ными числами. Верно ли, что ее двадцатый член также

является натуральным числом?

3. В треугольнике ABC точка I — центр вписанной

окружности, I

— центр окружности, касающейся стороны

AB и продолжений сторон CB и CA; L и L

— точки, в

которых сторона AB касается этих окружностей. Докажи-

те, что прямые IL

, I

L и высота CH треугольника ABC

пересекаются в одной точке.

4. Докажите, что не существует многочлена степени не

ниже двух с целыми неотрицательными коэффициентами,

значение которого при любом простом p является простым

числом.

5*. Докажите, что в пространстве существует распо-

ложение 2001 выпуклого многогранника, такое что ни-

какие три из многогранников не имеют общих точек,

52 Условия задач. 2002 год

а любые два касаются друг друга (т. е. имеют хотя бы

одну граничную точку, но не имеют общих внутренних

точек).

6. По кругу расставлено несколько коробочек. В каж-

дой из них может лежать один или несколько шариков

(или она может быть пустой). За один ход разрешается

взять все шарики из любой коробочки и разложить их,

двигаясь по часовой стрелке, начиная со следующей коро-

бочки, кладя в каждую коробочку по одному шарику.

а) Докажите, что если на каждом следующем ходе ша-

рики берут из той коробочки, в которую попал последний

шарик на предыдущем ходе, то в какой-то момент повто-

рится начальное размещение шариков.

б) Докажите, что за несколько ходов из любого началь-

ного размещения шариков по коробочкам можно получить

любое другое.

К о м м е н т а р и й. В пункте «б» можно брать камни из любой

коробочки, не только той, в которую попал последний шарик на пре-

дыдущем ходе.

2002 год (LXV олимпиада)

8 к л а с с

1. На острове 2/3 всех мужчин женаты и 3/5 всех жен-

щин замужем. Какая доля населения острова состоит в

браке?

2. Квадрат суммы цифр числа A равен сумме цифр чис-

ла A

. Найдите все такие двузначные числа A.

3. Дана окружность с диаметром AB. Другая окруж-

ность с центром в A пересекает отрезок AB в точке C,

причем AC <

AB. Общая касательная двух окружностей

касается первой окружности в точке D. Докажите, что

прямая CD перпендикулярна AB.

4*. Двое игроков по очереди выставляют на доску

65 ×65 по одной шашке. При этом ни в одной линии

(горизонтали или вертикали) не должно быть больше

двух шашек. Кто не может сделать ход — проиграл. Кто

выигрывает при правильной игре?

Условия задач. 2002 год 53

5. В треугольнике ABC медианы AD и BE пересекаются

в точке M. Докажите, что если угол AMB a) прямой;

б) острый, то AC + BC > 3AB.

6*. В клетчатом прямоугольнике m ×n каждая клетка

может быть либо живой, либо мертвой. Каждую минуту

одновременно все живые клетки умирают, а те мертвые, у

которых было нечетное число живых соседей (по стороне),

оживают. Укажите все пары (m, n), для которых найдет-

ся такая начальная расстановка живых и мертвых клеток,

что жизнь в прямоугольнике будет существовать вечно

(т. е. в каждый момент времени хотя бы одна клетка

будет живой).

9 к л а с с

1. Шеренга новобранцев стояла лицом к сержанту. По

команде «налево» некоторые повернулись налево, некото-

рые — направо, а остальные — кругом. Всегда ли сержант

сможет встать в строй так, чтобы с обеих сторон от него

оказалось поровну новобранцев, стоящих к нему лицом?

2. Пусть a, b, c — стороны треугольника. Докажите

неравенство a

+ b

+ 3abc > c

3. Биссектрисы углов A и C треугольника ABC пере-

секают описанную около него окружность в точках E и

D соответственно. Отрезок DE пересекает стороны AB и

BC соответственно в точках F и G. Пусть I — точка пе-

ресечения биссектрис треугольника ABC. Докажите, что

четырехугольник BFIG — ромб.

4. Найдите все целые числа x и y, удовлетворяющие

уравнению x

−2y

= 1.

5. В ряд расположили n лампочек и зажгли некото-

рые из них. Каждую минуту после этого все лампочки

одновременно меняют состояние по следующему правилу.

Те лампочки, которые горели на прошлой минуте, гаснут.

Те, которые на прошлой минуте не горели и соседствовали

ровно с одной горящей лампочкой, загораются. При каких

n можно так зажечь некоторые лампочки вначале, чтобы

потом в любой момент нашлась хотя бы одна горящая

лампочка?

6. Остроугольный треугольник разрезали прямолиней-

ным разрезом на две (не обязательно треугольные) части,

54 Условия задач. 2002 год

затем одну из этих частей — опять на две части, и так да-

лее: на каждом шаге выбирали любую из уже имеющихся

частей и разрезали ее (по прямой) на две. Через несколько

шагов оказалось, что исходный треугольник распался на

несколько треугольников. Могут ли все они быть тупо-

угольными?

10 к л а с с

1. Тангенсы углов треугольника — натуральные числа.

Чему они могут быть равны?

2. Про положительные числа a, b, c известно, что

> a + b + c. Докажите, что a + b + c > 3abc.

3. В выпуклом четырехугольнике ABCD точки E и F

являются серединами сторон BC и CD соответственно. От-

резки AE, AF и EF делят четырехугольник на 4 треуголь-

ника, площади которых равны последовательным нату-

ральным числам. Каково наибольшее возможное значение

площади треугольника ABD?

4. Каждый зритель, купивший билет в первый ряд ки-

нотеатра, занял одно из мест в первом ряду. Оказалось,

что все места в первом ряду заняты, но каждый зритель

сидит не на своем месте. Билетер может менять местами

соседей, если оба сидят не на своих местах. Всегда ли он

сможет рассадить всех на свои места?

5. В городе Удоеве выборы мэра проходят следующим

образом. Если в очередном туре голосования никто из кан-

дидатов не набрал больше половины голосов, то прово-

дится следующий тур с участием всех кандидатов, кроме

последнего по числу голосов. (Никогда два кандидата не

набирают голосов поровну; если кандидат набрал боль-

ше половины голосов, то он становится мэром и выборы

заканчиваются.) Каждый избиратель в каждом туре голо-

сует за одного из кандидатов. Если этот кандидат вышел

в следующий тур, то избиратель снова голосует за него.

Если же кандидат выбыл, то все его избиратели голосуют

за одного и того же кандидата из числа оставшихся.

На очередных выборах баллотировалось 2002 кандида-

та. Мэром стал Остап Бендер, занявший в первом туре k-е

место по числу голосов. Определите наибольшее возмож-

Условия задач. 2003 год 55

ное значение k, если Остап был избран а) в 1002-м туре;

б)* в 1001-м туре.

6. Можно ли раскрасить все точки квадрата и круга в

черный и белый цвета так, чтобы множества белых точек

этих фигур были подобны друг другу и множества чер-

ных точек также были подобны друг другу (возможно с

различными коэффициентами подобия).

11 к л а с с

1. См. задачу 1 для 10 класса.

2. Докажите, что на графике функции y = x

мож-

но отметить такую точку A, а на графике функции

y = x

+ |x |+ 1 — такую точку B, что расстояние AB не

превысит

100

3. См. задачу 4 для 10 класса.

4. В возрастающей последовательности натуральных

чисел каждое число, начиная с 2002-го, является дели-

телем суммы всех предыдущих чисел. Докажите, что в

последовательности найдется некоторое число, начиная с

которого каждое число равно сумме всех предыдущих.

5. Пусть AA

, BB

, CC

— высоты остроугольного тре-

угольника ABC; O

, O

— центры вписанных окруж-

ностей треугольников AB

, BC

, CA

соответствен-

но; T

, T

— точки касания вписанной окружно-

сти треугольника ABC со сторонами BC, CA, AB соот-

ветственно. Докажите, что все стороны шестиугольника

равны.

6. См. задачу 5 для 10 класса.

2003 год (LXVI олимпиада)

8 к л а с с

1. В семье 4 человека. Если Маше удвоят стипендию,

то общий доход всей семьи возрастет на 5 %, если вместо

этого маме удвоят зарплату — то на 15 %, если же зар-

плату удвоят папе — то на 25 %. На сколько процентов

возрастет доход всей семьи, если дедушке удвоят пенсию?

56 Условия задач. 2003 год

2. Придумайте десятизначное число, в записи которого

нет нулей, такое, что при прибавлении к нему произведе-

ния его цифр получается число с таким же произведением

цифр.

3. Можно ли покрасить некоторые клетки доски 8 ×8

так, чтобы в любом квадрате 3 ×3 было ровно 5 закрашен-

ных клеток, а в каждом прямоугольнике 2 ×4 (вертикаль-

ном или горизонтальном) — ровно 4 закрашенные клетки?

4. В треугольнике ABC на сторонах AC и BC взяты

точки X и Y такие, что ∠ABX = ∠YAC, ∠AYB = ∠BXC,

XC = YB. Найдите углы треугольника ABC.

5. В стране 15 городов, некоторые из них соединены

авиалиниями, принадлежащими трем авиакомпаниям. Из-

вестно, что даже если любая из авиакомпаний прекратит

полеты, можно будет добраться из любого города в лю-

бой другой (возможно, с пересадками), пользуясь рейсами

оставшихся двух компаний. Какое наименьшее количе-

ство авиалиний может быть в стране?

6. Боря задумал целое число, большее чем 100. Кира

называет целое число, большее чем 1. Если Борино число

делится на это число, Кира выиграла, иначе Боря вычита-

ет из своего числа названное, и Кира называет следующее

число. Ей запрещается повторять числа, названные ранее.

Если Борино число станет отрицательным, Кира проигры-

вает. Есть ли у нее выигрышная стратегия?

9 к л а с с

Рис. 10

1. Хулиганы Джей и Боб

на уроке черчения нарисовали

головастиков (четыре окруж-

ности на рис. 10 одного ради-

уса, треугольник равносторон-

ний, горизонтальная сторона

этого треугольника — диаметр

окружности). Какой из голо-

вастиков имеет б ´ольшую пло-

щадь?

2. Произведение пяти чисел не равно нулю. Каждое из

этих чисел уменьшили на единицу, при этом их произве-

дение не изменилось. Приведите пример таких чисел.

Условия задач. 2003 год 57

3. В магазине три этажа, перемещаться между которы-

ми можно только на лифте. Исследование посещаемости

этажей магазина показало, что с начала рабочего дня и

до закрытия магазина:

1) из покупателей, входящих в лифт на втором этаже,

половина едет на первый этаж, а половина — на третий;

2) среди покупателей, выходящих из лифта, меньше

трети делает это на третьем этаже.

На какой этаж покупатели чаще ездили с первого эта-

жа — на второй или на третий?

К о м м е н т а р и й. До открытия и после закрытия покупателей в

магазине не было. Покупатели перемещаются между этажами только

на лифте.

4. Есть шоколадка в форме равностороннего треуголь-

ника со стороной n, разделенная бороздками на равно-

сторонние треугольники со стороной 1. Играют двое. За

ход можно отломать от шоколадки треугольный кусок

вдоль бороздки, съесть его, а остаток передать противни-

ку. Тот, кто получит последний кусок — треугольник со

стороной 1, — победитель. Тот, кто не может сделать ход,

досрочно проигрывает. Кто выигрывает при правильной

игре?

5. В окружность вписан прямоугольный треугольник

ABC с гипотенузой AB. Пусть K — середина дуги BC,

не содержащей точку A, N — середина отрезка AC, M —

точка пересечения луча KN с окружностью. В точках

A и C проведены касательные к окружности, которые

пересекаются в точке E. Докажите, что ∠EMK = 90

◦

6. В тюрьму поместили 100 узников. Надзиратель ска-

зал им:

«Я дам вам вечер поговорить друг с другом, а потом

рассажу по отдельным камерам, и общаться вы больше не

сможете. Иногда я буду одного из вас отводить в комнату,

в которой есть лампа (вначале она выключена). Уходя из

комнаты, вы можете оставить лампу как включенной, так

и выключенной.

Если в какой-то момент кто-то из вас скажет мне, что

вы все уже побывали в комнате, и будет прав, то я всех

вас выпущу на свободу. А если неправ — скормлю всех

58 Условия задач. 2003 год

крокодилам. И не волнуйтесь, что кого-нибудь забудут, —

если будете молчать, то все побываете в комнате, и ни для

кого никакое посещение комнаты не станет последним.»

Придумайте стратегию, гарантирующую узникам осво-

бождение.

10 к л а с с

1. Существуют ли такие натуральные числа a, b и c,

что у каждого из уравнений

+ bx + c = 0, ax

+ bx −c = 0,

−bx + c = 0, ax

−bx −c = 0

оба корня — целые?

2. По ребрам выпуклого многогранника с 2003 вер-

шинами проведена замкнутая ломаная, проходящая через

каждую вершину ровно один раз. Докажите, что в каждой

из частей, на которые эта ломаная делит поверхность

многогранника, количество граней с нечетным числом

сторон нечетно.

3. Пусть P(x) — многочлен со старшим коэффициен-

том 1, а последовательность целых чисел a

, a

, ...

такова, что P(a

) = 0, P(a

) = a

, P(a

) = a

, и т. д. Числа в

последовательности не повторяются. Какую степень может

иметь P(x)?

4. Пусть M — точка пересечения медиан треугольника

ABC. На перпендикулярах, опущенных из M на стороны

BC, AC и AB, взяты точки A

, B

и C

соответственно,

причем A

⊥MC и A

⊥MB. Докажите, что M явля-

ется точкой пересечения медиан и в треугольнике A

5. В стране несколько городов, соединенных дорогами

с односторонним и двусторонним движением. Известно,

что из каждого города в любой другой можно проехать

ровно одним путем, не проходящим два раза через один и

тот же город. Докажите, что страну можно разделить на

три губернии так, чтобы ни одна дорога не соединяла два

города из одной губернии.

6. Дана бесконечная последовательность многочленов

(x), P

(x), . . . Всегда ли существует конечный набор

функций f

(x), f

(x), . . ., f

(x), композициями кото-

Условия задач. 2003 год 59

рых можно записать любой из них (например, P

(x) =

= f

(x))))?

11 к л а с с

1. Для положительных чисел x, y, z выполнено равен-

ство

Докажите, что хотя бы два из чисел x, y, z равны между

собой.

2. Дан многочлен P(x) степени 2003 с действитель-

ными коэффициентами, причем старший коэффициент

равен 1. Имеется бесконечная последовательность целых

чисел a

, a

, ... такая, что P(a

) = 0, P(a

) = a

P(a

) = a

, и т. д. Докажите, что не все числа в по-

следовательности a

, a

, ... различны.

3. Дан вписанный четырехугольник ABCD. Точки P и

Q симметричны точке C относительно прямых AB и AD

соответственно. Докажите, что прямая PQ проходит че-

рез ортоцентр (точку пересечения высот) H треугольника

ABD.

4. По периметру круглого торта диаметром n/ метров

расположены n вишенок. Если на концах некоторой дуги

находятся вишенки, то количество остальных вишенок на

этой дуге меньше, чем длина дуги в метрах. Докажите,

что торт можно разрезать на n равных секторов так, что

в каждом куске будет по вишенке.

5. У выпуклого многогранника внутренний двугранный

угол при каждом ребре острый. Сколько может быть гра-

ней у многогранника?

6. На берегу круглого острова Гдетотам расположено

20 деревень, в каждой живет по 20 борцов. Был прове-

ден турнир, в котором каждый борец встретился со всеми

борцами из всех других деревень. Деревня А считается

сильнее деревни Б, если хотя бы k поединков между бор-

цами из этих деревень заканчивается победой борца из

деревни А. Выяснилось, что каждая деревня сильнее сле-

дующей за ней по часовой стрелке. Какое наибольшее

значение может иметь k? (У всех борцов разная сила, и в

поединке всегда побеждает сильнейший.)

60 Условия задач. 2004 год

7. Дано равенство

−1) . . . (a

−1) = (a

+ 1) . . . (a

+ 1),

где a, n, l и все показатели степени — натуральные числа,

причем a > 1. Найдите все возможные значения числа a.

2004 год (LXVII олимпиада)

8 к л а с с

1. У квадратного уравнения x

+ px + q = 0 коэффициен-

ты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили

четыре раза. Приведите пример такого исходного уравне-

ния, что у каждого из пяти полученных уравнений корни

были бы целыми числами.

Рис. 11

2. Разрежьте изображенную на рис. 11

трапецию на три части и сложите из них

квадрат.

3. В треугольнике ABC сторона AC наи-

меньшая. На сторонах AB и CB взяты точки

K и L соответственно такие, что KA = AC =

= CL. Пусть M — точка пересечения AL и KC,

а I — центр вписанной в треугольник ABC окружности.

Докажите, что прямая MI перпендикулярна прямой AC.

4. Курс акций компании «Рога и копыта» каждый

день в 12

повышается или понижается на n процен-

тов, где n — фиксированное целое положительное число,

меньшее 100 (курс не округляется). Существует ли n, для

которого курс акций может дважды принять одно и то же

значение?

5. а) Из картона вырезали семь выпуклых многоуголь-

ников и положили на стол так, что любые шесть из них

можно прибить к столу двумя гвоздями, а все семь

нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их

расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)

б)* Из картона вырезали восемь выпуклых многоуголь-

ников и положили на стол так, что любые семь из них

можно прибить к столу двумя гвоздями, а все восемь —

нельзя. Приведите пример таких многоугольников и их

расположения. (Многоугольники могут перекрываться.)