Федоров Р.М., Канель-Белов А.Я., Ковальджи А.К., Ященко И.В. Московские математические олимпиады 1993-2005

Подождите немного. Документ загружается.

Условия задач. 2004 год 61

К о м м е н т а р и й. Считайте, для простоты, что гвоздь, вбитый

на границе многоугольника, тоже прибивает его к столу (см. также

комментарий к решению).

Рис. 12

6*. На шахматную доску произ-

вольным образом уложили 32 домино-

шки (прямоугольника 1 ×2), так что

доминошки не перекрываются. Затем

к доске добавили одну клетку, как

показано на рис. 12. Разрешается вы-

нимать любую доминошку, а затем

класть ее на две соседние пустые клет-

ки. Докажите, что можно располо-

жить все доминошки горизонтально.

9 к л а с с

1. Курс акций компании «Рога и копыта» каждый день

в 12

повышается или понижается на 17 процентов (курс

не округляется). Может ли курс акций дважды принять

одно и то же значение?

2. У квадратного уравнения x

+ px + q = 0 коэффициен-

ты p и q увеличили на единицу. Эту операцию повторили

девять раз. Могло ли оказаться, что у каждого из десяти

полученных уравнений корни — целые числа?

3. Бильярдный стол имеет форму многоугольника (не

обязательно выпуклого), у которого соседние стороны пер-

пендикулярны друг другу. Вершины этого многоугольни-

ка — лузы, при попадании в которые шар там и оста-

ется. Из вершины с (внутренним) углом в 90

◦

выпущен

шар, который отражается от бортов (сторон многоуголь-

ника) по закону «угол падения равен углу отражения».

Докажите, что шар в эту вершину никогда не вернется.

4*. Пусть l

, l

и l

— длины биссектрис углов A, B и C

треугольника ABC, а m

, m

и m

— длины соответствую-

щих медиан. Докажите, что

> 1.

5. Назовем натуральное число разрешенным, если оно

имеет не более 20 различных простых делителей. В на-

чальный момент имеется куча из 2004! (т. е. 1 · 2 · ...·2004)

62 Условия задач. 2004 год

камней. Два игрока по очереди забирают из кучи некото-

рое разрешенное количество камней (возможно, каждый

раз новое). Побеждает тот, кто заберет последние камни.

Кто выигрывает при правильной игре?

6. Перед экстрасенсом лежит колода из 36 карт рубаш-

кой вверх (четыре масти, по девять карт каждой масти).

Он называет масть верхней карты, после чего карту от-

крывают и показывают ему. После этого экстрасенс назы-

вает масть следующей карты, и т. д. Задача экстрасенса —

угадать масть как можно большее число раз.

Рубашки карт несимметричны, и экстрасенс видит,

в каком из двух положений лежит верхняя карта. Помощ-

ник экстрасенса знает порядок карт в колоде, не может

менять его, но может расположить рубашку каждой

из карт тем или иным образом.

Мог ли экстрасенс так договориться с помощником, ко-

гда тот еще не знал порядок карт, чтобы обеспечить уга-

дывание масти не менее чем a) 19 карт; б) 23 карты?

Если вы придумали способ угадывания другого количе-

ства карт, большего 19, то тоже напишите.

10 к л а с с

1. Арифметическая прогрессия состоит из целых чисел.

Сумма первых n членов этой прогрессии является степе-

нью двойки. Докажите, что n — также степень двойки.

2. Существует ли тетраэдр, все грани которого — рав-

ные прямоугольные треугольники?

3. Назовем белыми числа вида

a + b

√

2, где a и b —

целые числа, не равные нулю. Аналогично , назовем чер-

ными числа вида

c + d

√

7, где c и d — целые, не рав-

ные нулю числа. Может ли черное число равняться сумме

нескольких белых?

4. См. задачу 5 для 9 класса.

5. Радиус описанной окружности треугольника ABC ра-

вен радиусу окружности, касающейся стороны AB в точ-

ке C

и продолжений двух других сторон в точках A

и B

Докажите, что центр описанной окружности треугольника

ABC совпадает с ортоцентром (точкой пересечения высот)

треугольника A

Условия задач. 2004 год 63

6. См. задачу 6 для 9 класса.

11 к л а с с

1. Докажите, что любой квадратный трехчлен можно

представить в виде суммы двух квадратных трехчленов с

нулевыми дискриминантами.

2. Верно ли, что для любых четырех попарно скрещи-

вающихся прямых можно так выбрать по одной точке

на каждой из них, чтобы эти точки были вершинами

а)* трапеции, б) параллелограмма?

3. Докажите, что для любого натурального числа d су-

ществует делящееся на него натуральное число n, в де-

сятичной записи которого можно вычеркнуть некоторую

ненулевую цифру так, что получившееся число тоже будет

делиться на d.

4. Треугольник ABC с острым углом ∠A = вписан

в окружность. Диаметр этой окружности проходит через

основание высоты треугольника, проведенной из верши-

ны B, и делит треугольник ABC на две части одинаковой

площади. Найдите величину угла B.

5. Для заданных натуральных чисел k

< k

вы-

ясните, какое наименьшее число корней на промежутке

[0; 2 ) может иметь уравнение вида

sin k

x + A

sin k

x + A

sin k

x = 0,

где A

, A

∈R.

6. Вдоль стены круглой башни по часовой стрелке хо-

дят два стражника, причем первый из них — вдвое бы-

стрее второго. В этой стене, имеющей длину 1, проделаны

бойницы. Система бойниц называется надежной, если при

некотором начальном расположении стражников в каж-

дый последующий момент времени хотя бы один из них

находится возле бойницы.

а) Какую наименьшую длину может иметь бойница, ес-

ли система, состоящая только из этой бойницы, надежна?

б) Докажите, что суммарная длина бойниц любой на-

дежной системы больше 1/2.

в)* Докажите, что для любого числа s > 1/2 существу-

ет надежная система бойниц с суммарной длиной, мень-

шей s.

64 Условия задач. 2005 год

2005 год (LXVIII олимпиада)

8 к л а с с

1. Найдите хотя бы одно целочисленное решение урав-

нения

+ a

+ b

+ 1 = 2005.

2. Клетчатый бумажный квадрат 8 ×8 согнули несколь-

ко раз по линиям клеток так, что получился квадра-

тик 1 ×1. Его разрезали по отрезку, соединяющему се-

редины двух противоположных сторон квадратика. На

сколько частей мог при этом распасться квадрат?

3. Высоты AA

и BB

треугольника ABC пересекаются

в точке H. Точки X и Y — середины отрезков AB и CH

соответственно. Докажите, что прямые XY и A

перпен-

дикулярны.

4. По кругу расставлены 2005 натуральных чисел. До-

кажите, что найдутся два соседних числа такие, что после

их выкидывания оставшиеся числа нельзя разбить на две

группы с равной суммой.

5. Разрежьте круг на несколько равных частей так,

чтобы центр круга не лежал на границе хотя бы одной

из них.

6. На плоскости даны 2005 точек (никакие три из ко-

торых не лежат на одной прямой). Каждые две точки

соединены отрезком. Тигр и Осёл играют в следующую

игру. Осёл помечает каждый отрезок одной из цифр, а

затем Тигр помечает каждую точку одной из цифр. Осёл

выигрывает, если найдутся две точки, помеченные той же

цифрой, что и соединяющий их отрезок, и проигрывает

в противном случае. Доказать, что при правильной игре

Осёл выиграет.

9 к л а с с

1. Дискриминанты трех приведенных квадратных трех-

членов равны 1, 4 и 9. Докажите, что можно выбрать

по одному корню каждого из них так, чтобы их сумма

равнялась сумме оставшихся корней.

2. Существует ли 2005 различных натуральных чисел

таких, что сумма любых 2004 из них делится на остав-

шееся число?

Условия задач. 2005 год 65

3. Окружность

проходит через центр окружно-

сти

. Из точки C, лежащей на

, проведены каса-

тельные к

, вторично пересекающие

в точках A

и B. Докажите, что отрезок AB перпендикулярен прямой,

проходящей через центры окружностей.

4. Верно ли, что любой треугольник можно разрезать

на 1000 частей, из которых можно сложить квадрат?

5. На окружности расставлено n цифр, ни одна из

которых не 0. Сеня и Женя переписывают себе в тетрадки

n −1 цифру, читая их по часовой стрелке. Оказалось,

что хотя они начали с разных мест, записанные ими

(n −1)-значные числа совпали. Докажите, что окружность

можно разрезать на несколько дуг так, чтобы записанные

на дугах цифры образовывали одинаковые числа.

6. Дан остроугольный треугольник ABC и точка P, не

совпадающая с точкой пересечения его высот. Докажите,

что окружности, проходящие через середины сторон тре-

угольников PAB, PAC, PBC и ABC, а также окружность,

проходящая через проекции точки P на стороны 4ABC,

пересекаются в одной точке.

10 к л а с с

1. Существует ли плоский четырехугольник, у которого

тангенсы всех внутренних углов равны?

К о м м е н т а р и й. Прямоугольник не годится, так как тангенсы

его углов не определены.

2. На графике многочлена с целыми коэффициентами

отмечены две точки с целыми координатами. Докажите,

что если расстояние между ними — целое число, то соеди-

няющий их отрезок параллелен оси абсцисс.

3. На сторонах треугольника ABC вовне построены

квадраты ABB

, BCC

и CAA

. На отрезках A

и B

также во внешнюю сторону от 4AA

и 4BB

построены квадраты A

и B

. Докажите,

что A

kAB.

4. Конструктор состоит из набора прямоугольных па-

раллелепипедов. Все их можно поместить в одну короб-

ку, также имеющую форму прямоугольного параллелепи-

педа. В бракованном наборе одно из измерений каждого

66 Условия задач. 2005 год

параллелепипеда оказалось меньше стандартного. Всегда

ли у коробки, в которую укладывается набор, тоже можно

уменьшить одно из измерений (параллелепипеды уклады-

ваются в коробку так, что их ребра параллельны ребрам

коробки)?

5. Дана последовательность a

= 1 + 2

+ . . . + 5

. Су-

ществуют ли 5 идущих подряд ее членов, делящихся

на 2005?

6. В пространстве даны 200 точек. Каждые две из них

соединены отрезком, причём отрезки не пересекаются

друг с другом. В распоряжении двух игроков имеются

краски k цветов. Первый игрок красит каждый отрезок в

один из k цветов, затем второй игрок красит в один из тех

же цветов каждую точку. Если найдутся две точки и от-

резок между ними, окрашенные в один цвет, выигрывает

первый игрок, в противном случае второй. Докажите, что

первый может гарантировать себе выигрыш, если а) k = 7,

б) k = 10.

11 к л а с с

Вариант А

1. Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

(

sin x + a = bx,

cos x = b

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет

хотя бы одно решение.

2. Сумма модулей членов конечной арифметической

прогрессии равна 100. Если все ее члены увеличить на

1 или все ее члены увеличить на 2, то в обоих случаях

сумма модулей членов полученной прогрессии будет также

равна 100. Какие значения при этих условиях может

принимать величина n

d, где d — разность прогрессии, а

n — число ее членов?

3. Доска размером 2005 ×2005 разделена на квадратные

клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в

каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, . . . так,

что на расстоянии, меньшем 10, от любой незанумерован-

ной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите,

Условия задач. 2005 год 67

что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 150,

которые занумерованы числами, различающимися более,

чем на 23. Расстояние между клетками — это расстояние

между их центрами.

4. С выпуклым четырехугольником ABCD проделывают

следующую операцию: одну из данных вершин меняют на

точку, симметричную этой вершине относительно середин-

ного перпендикуляра к диагонали (концом которой она не

является), обозначив новую точку прежней буквой. Эту

операцию последовательно применяют к вершинам A, B,

C, D, A, B, . . . — всего n раз. Назовем четырехугольник

допустимым, если его стороны попарно различны и после

применения любого числа операций он остается выпук-

лым. Существует ли:

а) допустимый четырехугольник, который после n < 5

операций становится равным исходному;

б) такое число n

, что любой допустимый четырех-

угольник после n = n

операций становится равным исход-

ному?

5. К некоторому натуральному числу справа последо-

вательно приписали два двузначных числа. Полученное

число оказалось равным кубу суммы трех исходных чи-

сел. Найдите все возможные тройки исходных чисел.

6. На прямоугольном листе бумаги нарисован круг,

внутри которого Миша мысленно выбирает n точек, а

Коля пытается их разгадать. За одну попытку Коля

указывает на листе (внутри или вне круга) одну точку,

а Миша сообщает Коле расстояние от нее до ближайшей

неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то

после этого указанная точка считается разгаданной. Коля

умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния

и производить построения циркулем и линейкой. Может

ли Коля наверняка разгадать все выбранные точки менее,

чем за (n + 1)

попыток?

Вариант Б

1. Числа a и b таковы, что первое уравнение системы

(

cos x = ax + b,

sin x + a = 0

68 Условия задач. 2005 год

имеет ровно два решения. Докажите, что система имеет

хотя бы одно решение.

2. Сумма модулей членов конечной арифметической

прогрессии равна 250. Если все ее члены уменьшить на 1

или все ее члены уменьшить на 2, то в обоих случаях

сумма модулей членов полученной прогрессии будет также

равна 250. Какие значения при этих условиях может

принимать величина n

d, где d — разность прогрессии,

а n — число ее членов?

3. Доска размером 2005 ×2005 разделена на квадратные

клетки со стороной единица. Некоторые клетки доски в

каком-то порядке занумерованы числами 1, 2, . . . так,

что на расстоянии, меньшем 5, от любой незанумерован-

ной клетки найдется занумерованная клетка. Докажите,

что найдутся две клетки на расстоянии, меньшем 100,

которые занумерованы числами, различающимися более,

чем на 34. Расстояние между клетками — это расстояние

между их центрами.

4. См. задачу 4 варианта А.

5. См. задачу 5 варианта А.

6. На прямоугольном листе бумаги нарисован круг,

внутри которого Коля мысленно выбирает n точек, а Ми-

ша пытается их разгадать. За одну попытку Миша ука-

зывает на листе (внутри или вне круга) одну точку,

а Коля сообщает Мише расстояние от нее до ближайшей

неразгаданной точки. Если оно оказывается нулевым, то

после этого указанная точка считается разгаданной. Миша

умеет отмечать на листе точки, откладывать расстояния и

производить построения циркулем и линейкой. Может ли

Миша наверняка разгадать все выбранные точки менее,

чем за (n + 1)

попыток?

ОТВЕТЫ