Гаркушенко В.И. Лекции по ТАУ
Подождите немного. Документ загружается.
41
Пример 8. Найдем передаточные функции для системы стабилизации
скорости по уравнениям (1.6), (1.7), (1.9), из которых с учетом преобразования
Лапласа при нулевых начальных условиях получим алгебраические уравнения
у я я я е
( ) ( ) ( )
U p L p R I p c p
,
я cм
( ) ( ) ( )
Jp p I p Mc
p
.
Исключая промежуточную переменную
я
( )
I p
, получим выражение для
( )
p
:
я я
у c
2 2
м
м мя я е я я е
( ) ( ) ( )
L p R
p U p M p
JL p JR p c JL p JR p c
c
c c
. (20)
Обычно индуктивность
я
L
малая величина и ею можно пренебречь. Тогда вы-
ражение (20) с учетом принятых обозначений
дв е
1/
k c
,
дв я е
м
/( )
f
k R c
c
,
дв дв
f
T Jk
можно записать в виде:
дв у дв c
( ) ( ) ( ) ( ) ( )
f
p W p U p W p M p
, (21)
где передаточные функции
дв
дв
дв
( )
1
k
W p
T p
,
дв
дв
дв
( )
1
f
f
k
W p
T p
записаны в стандартном виде, т.е. когда свободные члены полиномов числи-
теля и знаменателя не нулевой степени имеют значение единица. Удобство та-
кой формы записи заключается в том, что коэффициенты, стоящие при опера-
торах
p
, имеют размерность секунда в степени соответствующего оператора
p
. Действительно, уравнению (21) с учетом обратного преобразования Лапласа
соответствует дифференциальное уравнение
дв дв у дв c
f
T k u k M
,
из которого следует, что коэффициент
дв
T
, называемый постоянной времени,
имеет размерность секунда. При этом коэффициенты
дв
k
,
дв
f
k
согласовывают
размерность входного и выходного сигналов и называются коэффициентами
передачи. Если у этих коэффициентов нет размерности, то они называются ко-
эффициентами усиления.
42
Если в числителе и знаменателе передаточной функции
( )
W p
в изобра-
жениях Лапласа имеются одинаковые множители или, иначе говоря, одинако-
вые нули и полюса, то при определении оригинала
( )
y t
по изображению (19)
допускается сокращение указанных множителей. Однако следует иметь в виду,
что после сокращения общих множителей, понижается порядок передаточной
функции и соответствующее ей дифференциальное уравнение отличается от
исходного уравнения. Поэтому нельзя упрощать выражение передаточной
функции, если эта операция математически не обоснована.
Таким образом, передаточная функция
( )
W s
в символьном виде и в изо-
бражениях Лапласа
( )
W p
совпадают с точностью обозначения
s p
, если не
проводятся сокращения в передаточной функции
( )
W p
.
Вопросы для самопроверки
1. Чем отличаются изображения операций дифференцирования и интегрирова-
ния оригинала?
2. Какой оригинал соответствует произведению изображений?
3. В чем особенность начального значения оригинала, определяемого по из-
вестному его изображению?
4. В каких случаях по известному изображению можно найти конечное значе-
ние оригинала?
5. При каких условиях решения оригиналов являются асимптотически устойчи-
выми?
6. При каких начальных условиях определяется передаточная функция в преоб-
разованиях Лапласа?
7. В чем отличие передаточных функций в символьном виде и в изображениях
Лапласа?
8. В каком случае передаточные функции в символьном виде и в изображениях
Лапласа совпадают?
43
ЛЕКЦИЯ 4
Структура движения системы. Типовые входные сигналы. Временные характери-
стики. Частотные характеристики. Свойства АФЧХ. Логарифмические частотные ха-
рактеристики и их свойства.
1. Структура движения системы.
В задачу анализа динамики САУ входит исследование движения системы,
т.е. изменение состояния системы во времени. Движение системы складывается
из ряда составляющих, порождаемых различными причинами. Для пояснения
сказанного рассмотрим реакцию ФЭ, для которой изображение Лапласа опре-
деляется формулой (3.17). Полагая для простоты
( ) 0
f t
, получим
1 1
1 0
2 2
1 0 1 0
( 0) ( 0) ( 0) ( 0)
( ) ( )
y p y a y bu
b p b
Y p U p
p a p a p a p a
. (1)
Выражение (1) представим в виде
св вын
( ) ( ) ( )
Y p Y p Y p
,
(2)
где изображение
1
св
2
1 0
( 0) ( 0) ( 0)
( )
y p y a y
Y p
p a p a
(3)
соответствует свободному движению
св
( )
y t
, вызванному ненулевыми предна-
чальными условиями выходной координаты
( )
y t
;
1 0
1
вын
2 2
1 0 1 0
( 0)
( ) ( )
b p b bu
Y p U p
p a p a p a p a
. (4)
соответствует вынужденному движению
вын
( )
у t
, вызванному входным воздей-
ствием
( )
u t
с учетом его предначального условия.
Если изображение входного сигнала
( ) ( )/ ( )
U p m p d p
, то выражение (4)
с помощью формулы разложения (2.21) или (2.24) можно представить в виде
1 2 1
вын
2 2
1 0 1 0
( ) ( ) ( 0)
( )
( )
m p m p bu
Y p
d p
p a p a p a p a
. (5)
44
Выражение (5) можно записать следующим образом
вын соб уст
( ) ( ) ( )
Y p Y p Y p
,
(6)
где изображение
1 1
соб
2 2
1 0 1 0
( ) ( 0)
( )
m p bu
Y p
p a p a p a p a
(7)
соответствует собственному движению
соб
( )
y t
, вызванному входным воздейст-
вием, но независящего от его вида;
2
уст
( )
( )
( )
m p
Y p
d p
(8)
соответствует установившемуся движению
уст
( )
y t
, зависящего только от вида
входного воздействия (полюсов уравнения
( ) 0
d p
).
Таким образом, структура полного движения выхода
( )
y t
ФЭ с учетом
обратного преобразования Лапласа можно представить следующим образом
св вын св соб уст пер уст
( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
y t y t y t y t y t y t y t y t
,
(9)
где
пер св соб
( ) ( ) ( )
y t y t y t
– переходное движение зависит от полюсов
i
p
,
1,
i n
(
2
n
) полинома оператора входа
2
1 0 1 2
( ) ( )( )
d p p a p a p p p p
.
Представление (9) справедливо для решения дифференциального уравне-
ния произвольного порядка.
Согласно свойству 3.1 решения
св
( )
y t
,
соб
( )
y t
затухают при
Re 0
i
p
,
1,
i n
, поэтому спустя некоторое время, называемое временем установления
переходного процесса
y
t
(или временем регулирования
р
t
), будет выполняться
условие
уст
( ) ( )
y t y t
при
y
t t
для произвольного входа
( )
u t
.
Если имеются полюса
i
p
, у которых
Re 0
i
p
, то согласно свойству 3.2 с
течением времени решения
св
( )
y t
,
соб
( )
y t
расходятся и определить
уст
( )
y t
по
измерениям выхода
( )
y t
для произвольного входа
( )
u t
не удается. Однако для
45
известного входа
( )
u t
в этом случае можно подобрать начальные условия
(0)
y
,
(0)
y
,
(0)
u
, при которых в числителе изображения (1) появятся нули, равные не-
устойчивым полюсам. Тогда после сокращения общих множителей в решении
(9) будут отсутствовать указанные полюса и с течением времени
уст
( ) ( )
y t y t
при
y
t t
. Однако при этом малые изменения начальных условий, вида входно-
го сигнала, а также параметров системы приводят к проявлению свойства неус-
тойчивости системы. Отсюда следует важный вывод:
Для определения свойств асимптотической устойчивости движения сис-
темы с помощью эксперимента необходимо учитывать произвольные на-
чальные условия, произвольные входные воздействия, а также малые изме-
нения параметров системы.
2. Типовые входные сигналы.
Одним из способов анализа движения системы на практике является по-
строение ее реакции выхода на типовые входные воздействия
( )
u t
, при нуле-
вых начальных условиях (значениях входа, выхода и их производных). В каче-
стве типовых входных воздействий используются сигналы, соответствующие
изучаемому свойству системы.
Различают следующие типовые сигналы.
1) Единичный скачок
1( )
t
, который с физической точки зрения можно
рассматривать, как предел
0
lim ( , ) 1( )
t t
функции
( , )
t
, указанной на рис. 1.
Единичный скачок
1( )
t
используется для имитации скачкообразного из-
менения команды или возмущения.
46
2) Импульсная функция
( )
t
, являющаяся пределом прямоугольного им-
пульса
( , ) ( , )/
t d t dt
с единичной площадью (рис. 2) при
0
, которая
определяется по формулам
при 0,
( )
0 при 0,
t
t
t
( ) 1
t dt
.
(10)
На графиках
- функция обозначается стрелкой со знаком бесконечности ее
значения амплитуды и единицей – значения площади импульса. Данная функ-
ция используется для имитации короткого ударного воздействия.
Установим связь единичного скачка
1( )
t
и импульсной функции
( )
t
. Для
этого найдем производную от функции
1( )
t
:
0
0 при 0;
1( )
lim ( , ) при 0.
t
d
t
t t
dt
.
Поскольку интеграл
1( ) 1( ) 1( ) 1( ) 1 0 1
d
t dt d t
dt
,
то справедливо выражение
1( ) ( )
d
t t
dt
.
(11)
С помощью выражений (10) найдем изображение Лапласа для функции
( )
t
:
0
0 0
( ) ( ) (0) ( ) 1
pt p
L t t e dt e dt t dt
.
Данный результат также можно получить с помощью выражения (11):
1
{ ( )} 1( ) 1( 0) 1 0 1
d
L t L t p
dt p
.
Функцию
( )
t
удобно использовать для задания начальных условий сис-
темы с помощью входного воздействия. Например, для двух способов пред-
47
ставления системы:
y ay
,
0
( 0)
y y
;
0
( )
y ay y t
,
( 0) 0
y
,
получим одно и тоже изображение Лапласа
0
( )
y
Y p
p a
,
которому соответствует начальное значение оригинала
0
( 0) lim ( )
p
y pY p y
.
Такой способ задания начальных условий позволяет рассматривать сис-
темы при нулевых предначальных условиях и при необходимости задавать на-
чальные условия с помощью
( )
t
функций через входные воздействия.
3) Гармонический сигнал, определяемый по формуле
( ) sin
m
u t u t
или
( ) cos
m
u t u t
, используется для имитации периодических воздействий, а так-
же может выступать в качестве эквивалентного сигнала, если для сигнала
( )
u t
известны его максимальные по модулю значение
max
u
, скорость
max
u
и ускоре-
ние
max
u
. Тогда с учетом выражений
э max э
( ) sin
u t u t
,
э max э э
( ) cos
u t u t
,
2
э max э э
( ) sin
u t u t
получим условие
э max max max max
/ /
u u u u
. (12)
Для определения реакции системы
( )
y t
при нулевых начальных условиях
на типовое входное воздействие
( )
u t
можно воспользоваться выражением
( ) ( ) ( )
Y p W p U p
, (13)
где передаточная функция
( )
W p
системы в общем случае имеет вид (11).
Тогда при известном изображении
( )
U p
реакцию
( )
y t
можно найти с
помощью обратного преобразования Лапласа
1 1
( ) ( ) ( ) ( )
y t L Y p L W p U p
. (14)
Для облегчения определения оригинала
( )
y t
изображение
( )
Y p
с помо-
щью формул (3.11), (3.14) можно представить в виде суммы элементарных изо-
бражений, для которых по таблицам изображений (Приложение 1) определяют-
48
ся соответствующие оригиналы и затем складываются.
3. Временные характеристики.
Реакция выхода
( )
y t
при нулевых предначальных условиях, построенная
для входного сигнала
1( )
t
или
( )
t
с помощью выражения (14), называется
временной функцией, а ее график – временной характеристикой.
Напомним, что начальные условия для временной функции определяются
в момент времени
0
t
по формуле (3.9).
В зависимости от вида входного воздействия временные характеристики
делятся на переходную характеристику и весовую характеристику. Рассмот-
рим их свойства.
3.1. Переходная функция
Определение 1. Реакция выхода системы
( )
y t
на единичный скачок
1( )
t
при нулевых предначальных условиях называется переходной функцией,
которая обозначается символом
( )
h t
.
Учитывая, что для единичного скачка
( ) 1/
U p p
, переходная функция
согласно (14) определяется по формуле
1 1
( )
( ) ( )
W p
h t L H p L
p
.
(15)
По известному изображению
( )
H p
можно найти конечное значение ори-
гинала
( ) lim ( )
t
h h t
, если он существует, по формуле (3.10):
0
( ) ( )
lim
p
h pH p
.
(16)
3.2. Весовая функция
Определение 2. Реакция выхода системы
( )
y t
на импульсную функцию
( )
t
при нулевых предначальных условиях называется весовой функцией,
которая обозначается символом
( )
w t
.
49
Учитывая, что для
( ) ( )
u t t
изображение
( ) 1
U p
, весовая функция со-
гласно (14) определяется по формуле
1
( ) ( )
w t L W p
. (17)
Установим связь переходной и весовой функций. Согласно (15) имеем
( )
( )
W p
H p
p
.
Данное выражение перепишем в виде
( ) ( )
pH p W p
.
Тогда согласно свойству изображения для производной получим
( ) ( )
d
h t w t
dt
.
(18)
Уравнение (18) лежит в основе экспериментального метода определения
весовой характеристики по измеренной переходной характеристике
( )
h t
. Затем
по известной весовой характеристике
( )
w t
можно найти реакцию систему на
произвольное входное воздействие
( )
u t
при нулевых предначальных условиях
с помощью формулы (3.6):
1
0 0
( ) (( ) ( ) ( )
) ( ) ( )
t t
y t wL W p t u dp u tU
w d
. (19)
Вычисление интеграла (19) можно проводить методами численного ин-
тегрирования.
По экспериментально найденной весовой характеристике можно постро-
ить приближенную передаточную функцию [14].
Пример 1. Рассмотрим систему с передаточной функцией
( )
1
k
W p
T p
,
для которой найдем переходную и весовую функцию.
Из формулы (1) получим
50
1
1 1 1
1
1( )
( 1) 1
( )
( )
t
T
W p
h t L L kL
k T
t e
p T p p T p
k
p
.
C помощью формулы (3) найдем
1
1 1
( ) ( )
1
t
T
k
e
T p
w t L W p L k
.
Решение аналогичной задачи для передаточных функций
( )
W p
общего
вида можно проводить с помощью вычислительного пакета MATLAB [13]. При
этом для построения характеристики
( )
h t
используется команда step, а для
построения весовой характеристики команда impulse. С помощью фрагмента
программы для принятых значений параметров
10
k
,
0,5
T
:
k=10;T=0.5;W=tf(k,[T 1]);step(W);hold on; impulse(W);grid
на рис. 3 приведены характеристики полученных функций.
Рис. 3
4. Частотные характеристики.
Частотные характеристики строятся по установившейся реакции системы
на входной гармонический сигнал.
Пусть линейная система имеет один вход и один выход и записывается
дифференциальным уравнением