Гургули С.І., Мойсишина В.М. Тестові завдання з вищої математики
Подождите немного. Документ загружается.
371
в замкненій області
D
, обмеженій прямими
xyyx 2;2;0
=
=
= .
а) 8; б) 4; в) 3; г) 0; д) інша відповідь.
4.3.269. Знайти середнє арифметичне найбільшого і
найменшого значень функції
yxxyxz 842
2
+−+=
в замкненій області
D, обмеженій прямими
2;1;0;0 =
=
=
= yxyx .
а) 7; б) 14; в) –3; г) –7; д) інша відповідь.
4.3.270. Знайти середнє арифметичне найбіль-
шого і найменшого значень функції
1232
22
++++−= yxyxyxz у трикутнику,
обмеженому осями координат і прямою
05
=
+
+ yx .
а) 41; б) 38; в) 19; г) –3; д) інша відповідь.
372
5 Диференціальні рівняння
5.1 Теоретичні питання
5.1.1. Диференціальні рівняння першого порядку. Зада-
ча Коші. Теорема існування і єдиності розв’язку
задачі Коші. Загальний і частинний розв’язок, за-
гальний і частинний інтеграл диференціального
рівняння першого порядку.
5.1.2. Рівняння з відокремлюваними змінними, однорі-
дні та звідні до однорідних.
5.1.3. Лінійні рівняння першого порядку, рівняння Бер-
нуллі.
5.1.4. Рівняння у повних диференціалах, інтегруваль-
ний множник.
5.1.5. Диференціальні рівняння вищих порядків. Задача
Коші. Теорема існування і єдиності розв’язку за-
дачі Коші. Загальний і частинний розв’язок, за-
гальний і частинний інтеграл.
5.1.6. Рівняння виду
(
)
(
)
n
y
fx= та рівняння, які допус-
кають пониження порядку.
5.1.7. Лінійні диференціальні рівняння вищих порядків
однорідні і неоднорідні. Структура загального
розв’язку. Метод Лагранжа варіації довільних
сталих.
5.1.8. Лінійні однорідні диференціальні рівняння із
сталими коефіцієнтами.
373
5.1.9. Лінійні неоднорідні диференціальні рівняння
із сталими коефіцієнтами та правою частиною
спеціального виду.
5.1.10. Нормальні системи диференціальних рівнянь.
Задача Коші. Теорема існування і єдиності
розв’язку задачі Коші. Загальний і частинний
розв’язок. Метод виключення.
5.1.11. Нормальні системи лінійних однорідних дифе-
ренціальних рівнянь із сталими коефіцієнтами.
Розв’язування за допомогою характеристичного
рівняння.
5.2 Тестові теоретичні завдання
5.2.1. Порядком диференціального рівняння називаєть-
ся:
а) найвищий степінь невідомої функції;
б) найвищий порядок похідної невідомої функції;
в) найвищий степінь вільної змінної;
г) найнижчий порядок похідної невідомої функції;
д) інша відповідь.
5.2.2. Які з наведених нижче рівнянь є рівняннями з ві-
докремлюваними змінними ?
1)
(
)
(
)
2
ypxyyqx
′
+=; 2)
(
)
(
)
yfxgy
′
=⋅;
3)
(
)()
,,0Pxydx Qxydy
+
= ;
4)
(
)
(
)()
(
)
11 2 2
0M x N y dx M x N y dy
⋅
+⋅ =.
а) 1 і 4; б) 2 і 3; в) 2 і 4;
г) 3 і 4; д) інша відповідь.
374
5.2.3. Які з наведених нижче рівнянь не є рівняння-
ми з відокремлюваними змінними?
1)
(
)
(
)
ypxyqx
′
+=;
2)
()
(
)
(
)
(
)
11 2 2
0M x N y dx M x N y dy
⋅
+⋅ =;
3)
()
(
)
yfxgy
′
=⋅; 4)
(
)
(
)
,,0Pxydx Qxydy
+
= .
а) 1 і 4; б) 2 і 4; в) 1 і 3;
г) 2 і 3; д) інша відповідь.
5.2.4. Для рівняння першого порядку
(
)
,yfxy
′
=
почат-
кова умова має вид:
а)
()
00
yx y
′′
= ; б)
(
)
(
)
00 00
,yx y y x y
′′
=
= ; в)
(
)
(
)
000
yx y x y
′
⋅
= ;
г)
()
00
yx y
=
; д) інша відповідь.
5.2.5. Рівняння
(
)
,yfxy
′
= є однорідним, якщо функція
()
,
f
xy задовольняє умові:
а)
()
(
)
,,
f
xy fxy
λλ λ
= ; б)
()
(
)
,,
f
xy fxy
λλ
= ;
в)
()()
1
,,
f
xy fxy
λλ
λ
=
;
г)
()
(
)
2
,,
f
xy fxy
λλ λ
= ; д) інша відповідь.
5.2.6. Однорідне рівняння
()
,yfxy
′
=
інтегрується за
допомогою заміни:
а)
x
yu= ; б)
2
x
u
y
=
; в)
y
u
x
=
; г)
2
y
u
x
=
;
д) інша відповідь.
375
5.2.7. Рівняння
111
222
ax by c
yf
ax by c
⎛⎞
++
′
=
⎜⎟
++
⎝⎠
у випадку, коли
11
22
0
ab
ab
=
інтегрується за допомогою заміни:
а)
12
zaxby=+; б)
11
zaxby
=
+ ; в)
21
zaxby
=
+ ;
г)
1
y
za
x
= ; д) інша відповідь.
5.2.8. Яке з поданих нижче рівнянь зводиться до одно-
рідного?
а)
111
222
ax by c
yf
ax by c
⎛⎞
++
′
=
⎜⎟
++
⎝⎠
; б)
22
111
222
ax by c
yf
ax by c
⎛⎞
++
′
=
⎜⎟
++
⎝⎠
;
в)
111
22
222
ax by c
yf
ax by c
⎛⎞
++
′
=
⎜⎟
++
⎝⎠
; в)
22
111
22
222
ax by c
yf
ax by c
⎛⎞
++
′
=
⎜⎟
++
⎝⎠
;
д) інша відповідь.
5.2.9. Вставити пропущений термін. Рівняння виду
(
)
(
)
ypxyqx
′
+= називається рівнянням ________.
а) Бернуллі; б) однорідним; в) лінійним;
г) в повних диференціалах; д) інша відповідь.
5.2.10. Яка із замін використовується при розв’язуванні
лінійного диференціального рівняння першого
порядку
(
)
(
)
ypxyqx
′
+=?
а)
yuv=+; б)
y
uv
=
⋅ ; в)
(
)
yupx=⋅ ; г)
y
u
x
=
;
д) інша відповідь.
5.2.11. Рівняння
(
)()
n
ypxyqxy
′
+
=⋅
є рівнянням Берну-
ллі тільки у випадку, коли:
а)
0n
≠
; б)
1n
≠
; в)
1n
≠
−
;
376
г)
0n
≠
і 1n
≠
; д) інша відповідь.
5.2.12. Рівняння Бернуллі
(
)
(
)
n
ypxyqxy
′
+
=⋅
зводиться
до лінійного заміною:
а)
1n
zy
−
+
= ; б)
1n
zy
−
= ; в)
1n
y
z
−
+
= ;
г)
1n
y
z
−
= ; д) інша відповідь.
5.2.13. Рівняння
(
)
(
)
,,0Pxydx Qxydx
+
=
є рівнянням в
повних диференціалах, якщо:
а)
PQ
y
x
∂∂
=−
∂∂
; б)
PQ
y
x
∂
∂
≠
∂
∂
; в)
PQ
y
x
∂
∂
=
∂
∂
; г)
PQ
x
y
∂
∂
=
∂
∂
;
д) інша відповідь.
5.2.14. Загальний інтеграл рівняння в повних диферен-
ціалах
(
)
(
)
,,0Pxydx Qxydx
+
=
можна записати у
виді:
а)
() ()
00
00
,,
y
x
xy
Pxy dx Qx ydy C
+
=
∫∫
;
б)
() ( )
00
0
,,
y
x
xy
Pxydx Qx ydy C
+
=
∫∫
;
в)
() ()
00
00
,,
y
x
xy
Pxy dx Qx ydy C
−
=
∫∫
г)
() ( )
00
0
,,
y
x
xy
Pxydx Qx ydy C
−
=
∫∫
; д) інша відповідь.
5.2.15. Якщо рівняння
(
)()
,,0Pxydx Qxydx
+
=
допускає
інтегрувальний множник
μ
, який залежить тіль-
ки від
y
, то його знаходять із рівняння:
377
а)
QP
d
x
y
dy P
μ
∂
∂
−
∂
∂
=
; б)
ln
QP
d
x
y
dy Q
μ
∂
∂
−
∂
∂
= ;
в)
QP
d
x
y
dy P
μ
∂
∂
+
∂
∂
=
; г)
ln
QP
d
x
y
dy P
μ
∂
∂
−
∂
∂
= ;
д) інша відповідь.
5.2.16. Якщо рівняння
(
)
(
)
,,0Pxydx Qxydx
+
=
допускає
інтегрувальний множник
μ
, який залежить тіль-
ки від
x
, то його знаходять із рівняння:
а)
ln
QP
d
x
y
dx P
μ
∂
∂
−
∂
∂
=
; б)
PQ
d
yx
dx Q
μ
∂
∂
−
∂
∂
=
;
в)
ln
PQ
d
yx
dx Q
μ
∂
∂
−
∂
∂
=
; г)
QP
d
x
y
dx Q
μ
∂
∂
+
∂
∂
=
;
д) інша відповідь.
5.2.17. Встановити відповідність між диференціальни-
ми рівняннями і їх типами:
1)
(
)
(
)
yfxgy
′
=⋅; 1) Бернуллі;
2)
()
(
)
ypxyqx
′
+=
; 2) з відокремлюваними змінними;
3)
(
)
(
)
2
ypxyqxy
′
+= ; 3) лінійне.
а) 1-2, 2-1, 3-3; б) 1-2, 2-3, 3-1; в) 1-1, 2-3, 3-2;
г) 1-3, 2-1, 3-2; д) інша відповідь.
5.2.18. Встановити відповідність між диференціальни-
ми рівняннями і їх типами:
1)
()
(
)
(
)()
11 2 2
0M x N y dx M x N y dy
⋅
+⋅ =; 1) лінійне;
378
2)
11
22
ax by
yf
ax by
⎛⎞
+
′
=
⎜⎟
+
⎝⎠
; 2) однорідне;
3)
() ()
ypxyqx
′
+=; 3) з відокремлюваними змінними.
а) 1-3, 2-2, 3-1; б) 1-2, 2-3, 3-1; в) 1-3, 2-1, 3-2;
г) 1-2, 2-1, 3-3; д) інша відповідь.
5.2.19. Встановити відповідність між диференціальни-
ми рівняннями і їх типами:
1)
111
222
ax by c
yf
ax by c
⎛⎞
++
′
=
⎜⎟
++
⎝⎠
; 1) лінійне;
2)
()
(
)
ypxyqx
′
+=
; 2) зводиться до однорідного;
3)
()
(
)
3
ypxyqxy
′
+=
; 3) Бернуллі.
а) 1-2, 2-3, 3-1; б)1-2, 2-1, 3-3; в) 1-1, 2-2, 3-3;
г) 1-3, 2-1, 3-2; д) інша відповідь.
5.2.20. Для рівняння
(
)
,,yfxyy
′
′′
=
початкові умови ма-
ють вид:
а)
()
(
)
00 00
,yx y y x y
′
′′′
==
; б)
(
)
(
)
000
yx y x y
′
⋅
= ;
в)
(
)
(
)
00 00
,yx y yx y
′
′′′ ′′
=
=
;
г)
()
(
)
00 00
,yx y y x y
′
′
==
; д) інша відповідь.
5.2.21. Для рівняння
(
)
,, ,yfxyyy
′
′′ ′ ′′
=
початкові умови
мають вид:
а)
()
(
)
00 00
,yx y y x y
′
′
==
; б)
()
(
)
00 00
,yx y yx y
′ ′ ′′ ′′
=
=
;
в)
()
(
)
(
)
00 00 00
,,yx y y x y y x y
′
′′′ ′′
=
==
;
г)
()
(
)
(
)
(
)
00 00 00 00
,, ,yxyyxyyxyyxy
′
′ ′′ ′′ ′′′ ′′′
=== =
;
д) інша відповідь.
379
5.2.22. Загальний розв’язок рівняння
(
)
,,yfxyy
′
′′
=
-
це функція виду:
а)
()
,yxC
ϕ
= ; б)
(
)
12
,,yxCC
ϕ
= ; в)
(
)
123
,,,yxCCC
ϕ
= ;
г)
(
)
1234
,,,,yxCCCC
ϕ
= ; д) інша відповідь.
5.2.23. Загальний розв’язок рівняння
(
)
,, ,yfxyyy
′
′′ ′ ′′
=
-
це функція виду:
а)
()
123
,,,yxCCC
ϕ
=
; б)
()
12
,,yxCC
ϕ
=
; в)
(
)
,yxC
ϕ
=
;
г)
(
)
1234
,,,,yxCCCC
ϕ
=
; д) інша відповідь.
5.2.24. Загальний розв’язок рівняння
(
)
yfx
′′′
= має вид:
а)
()
(
)
(
)
123
y
f x dx dx dx C C C
=
+++
∫∫∫
;
б)
()
(
)
(
)
123
y
f x dx dx dx C x C C
=
+++
∫∫∫
;
в)
()
(
)
(
)
2
12
3
2! 1!
CC
y f xdxdxdx x x C
=
+++
∫∫∫
;
г)
()
()
12
y
f x dx dx C x C=++
∫∫
; д) інша відповідь.
5.2.25. Порядок рівняння
(
)
,
y
fxy
′′ ′
=
понижується за
допомогою заміни:
а)
(
)
y
py
′
= ; б)
()
y
px
′′
= ; в)
()
y
p
x
x
=
;
г)
(
)
y
px
′
= ; д) інша відповідь.
5.2.26. Рівняння
(
)
,yfxy
′
′′ ′′
=
зводиться до рівняння
першого порядку заміною:
а)
(
)
ypy
′′
=
; б)
()
ypx
′′
=
; в)
(
)
ypx
′
=
;
г)
(
)
ypx
′′′
=
; д) інша відповідь.
380
5.2.27. Порядок рівняння
(
)
,yfyy
′
′′
=
понижується
за допомогою заміни:
а)
()
ypy
′
=
; б)
(
)
ypx
′
=
; в)
(
)
ypy
′′
=
;
г)
()
y
p
x
x
= ; д) інша відповідь.
5.2.28. Якщо система функцій
(
)
(
)
(
)
12
, ,...,
m
y
xyx yx
лі-
нійно залежна на інтервалі
()
;ab, то вронськіан
()
12
, ,...,
m
Wyy y
а) дорівнює нулю в одній точці
(
)
;ab;
б) відмінний від нуля в одній точці
(
)
;ab;
в) тотожно дорівнює нулю на
(
)
;ab;
г) не дорівнює нулю ні в одній точці
(
)
;ab
;
д) інша відповідь.
5.2.29. Якщо
1
y
- частинний розв’язок рівняння
()
(
)
12
0ypxypxy
′′ ′
++=, то загальний розв’язок
цього рівняння запишеться у виді:
а)
11 2
yCyC=+; б)
()
1
11 21
2
1
pxdx
e
y
Cy Cy dx
y
−
∫
=+
∫
;
в)
()
1
11 2
2
1
pxdx
e
y
Cy C dx
y
−
∫
=+
∫
; г)
()
1
11 21
1
pxdx
e
y
Cy Cy dx
y
−
∫
=+
∫
;
д) інша відповідь.
5.2.30. Нехай дано лінійне однорідне диференціальне
рівняння із сталими коефіцієнтами
0ypyq
′
′′
+
+=.
Встановити відповідність між величиною дис-