Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
7
В расчетах на надежность нередко используют гамма-распределе-ние
с плотностью распределения наработки до отказа
1
( ) exp
( )
c
c
t t
f t
t
t
α−
α
= −
Γ α
, (5.6)
где (t/t
c
)
α
= λt
α
.
Вероятность безотказной работы P(t) связана с функцией рас-
пределения F(t) и плотностью распределения f(t) наработкой до от-
каза [3]:
F(t) = 1 – P(t), f(t) =
( ) ( )
dF t dP t
dt dt
= − (5.7)
и равна f(t)
P(t) =
( )
1
0
exp
( )
t
t t dt
α
α−
λ
−λ
Γ α
∫
. (5.8)
Гамма-распределение используют для определения момента отказа с
номером α при испытаниях с заменой элементов, а также для
определения общего срока службы группы объектов при испытаниях
без замены.
5.1.4. НОРМАЛЬНОЕ РАСПРЕДЕЛЕНИЕ
Фундаментальное значение нормального распределения связано с
центральной предельной теоремой вероятностей, согласно которой
распределение суммы случайных величин в пределе стремится к
нормальному.
2
2
1 ( )
( ) 1 ( ) 1 exp .
2
2
t
t
P t F t dt
−∞
−µ
= − = − −
σ π
σ
∫
(5.9)
Нормальное распределение используется для описания постепенных
износовых отказов, оно образуется, когда на случайную величину
действует большое количество равноправных факторов [3, 4]. Его
недостатком в некоторых случаях может оказаться наличие области
отрицательных значений аргумента, что для описания наработка на
8
отказ не имеет смысла. Для устранения этого недостатка можно
воспользоваться усеченным нормальным распределением.
2
2
0
( )
( ) 1 ( ) 1 exp
2
2
−µ
= − = − −
σ π
σ
∫
t
С t
P t F t dt
(5.10)
или нормальным логарифмическим распределением
2
2
0
1 1 (ln )
( ) 1 ( ) exp .
2
2
t
t
P t F t dt
t
−µ
= − = −
σ π
σ
∫
(5.11)
Оно может также использоваться для описания долговечности
материалов, износовых отказов материалов, старения аппаратуры,
процессов восстановления некоторых объектов и т.д.
5.1.5. ПУАССОНОВСКИЙ ПОТОК
Надежность восстанавливаемых элементов (объектов) обычно
описывают, используя модели случайных процессов. Рассмотрим,
например, модель однородного пуассоновского потока с параметром
µ, равным среднему числу отказов в единицу времени. Вероятность
наступления на отрезке (0, t), равная k отказам, следует закону Пуас-
сона [3]:
( )
( ) exp( )
!
k
t
Q t t
k
µ
= µ
, ( k = 0,1,…). (5.12)
Модель (5.12) отвечает, в частности, следующей схеме: объект
эксплуатируют или испытывают до наступления отказа
определенного элемента, затем заменяют отказавший элемент новым
из той же генеральной совокупности, доводят элемент до отказа,
заменяют третьим и т.д. Пусть продолжительность времени на замену
отказавшего элемента другим пренебрежимо мала по сравнению с
продолжительностью работы между соседними отказами. Тогда
процесс описывается при помощи последовательности t
1
, t
2
, …
моментов наступления отказов. Наработка между отказами –
случайная величина, так что последовательность отказов представляет
собой поток случайных событий. При вероятности безотказной
работы элемента, заданной в виде (5.1), приходят к модели
однородного пуассоновского потока (5.12).
9
Модели случайных потоков находят широкое применение в теории
надежности. Наряду с потоками отказов вводят потоки восста-новлений,
операций технического обслуживания и т.д. Поскольку
в структурных моделях теории надежности число возможных состояний
конечно, модели случайных процессов с конечным множеством значений
служат удобным аппаратом для описания объектов в условиях технического
обслуживания и восстановления.
5.1.6. СТРУКТУРНАЯ МОДЕЛЬ НАДЕЖНОСТИ
СИСТЕМ БЛОК-СХЕМА
Для наглядного представления взаимодействия между элементами,
образующими систему, используют блок-схемы. Примеры простейших блок-
схем представлены на рис. 5.2 [5].
Во всех дальнейших примерах принято, что отказы элементов
происходят независимо. Если элементы взаимодействуют так, что
отказ любого из них приводит к отказу системы, то соединение
элементов называется последовательным (рис. 5.2, а). Безотказная
работа сис-темы есть случайное событие, равное пересечению
независимых событий – безотказной работы каждого из элементов.
Вероятность безотказной работы системы
1
( ) ( )
m
k
k
P t P t
=
=
∑
. (5.13)
Здесь Р
1
(t), P
2
(t),…, P
m
(t) – вероятности безотказной работы элементов.
Если Р
1
(t) = P
2
(t) =….= P
m
(t) = P
0
(t), то вместо (5.13) имеем
P(t) = P
0
m
(t) . (5.14)
В случае экспоненциального распределения (5.1)
P(t) = exp(–mλt), Т = (тλ)
–1
. (5.15)
Эти формулы иллюстрируют известный факт: если элементы
взаимодействуют по схеме последовательного соединения, показатели
безотказности системы ниже соответствующих показателей любого из
ее элементов. С увеличением числа элементов показатели быстро
падают. Если число m-элементов велико, то практически невозможно
образовать систему с высокой безотказностью. Например, при m = 10
3
,
P
0
= 0.99 будем иметь Р < 10
–4
, т.е. средняя наработка до отказа такой
системы будет в 10
3
раз меньше средней наработки до отказа элемента.
10
Пусть вероятность безотказной работы элементов задана в виде
экспоненциальной модели (5.2) с параметрами
ck
t
и
k
α
.Тогда по
формуле (5.13)
1
( ) exp
k
m
ck
k
t
P t
t
α
=
= −
∑
. (5.16)
m
а
n
б
n
m
в
11
г
Рис. 5.2. Блок-схемы систем:
а – последовательной; б – параллельной; в – последовательно-параллельной;
г – параллельно-последовательной
Для систем из одинаковых элементов
( ) exp
c
t
P t m
t
α
= −
, (5.17)
а средняя наработка до отказа
1
1
c
T t
= Γ +
α
, (5.18)
1/
1
1
c
t
Т
m
α
= Γ +
α
. (5.19)
Из сопоставления формул (5.18) и (5.19) видно, что снижение средней
наработки системы до отказа тем меньше, чем больше показатель α в
формуле (5.2), т.е. чем компактнее распределение безотказной
наработки элементов. Один из способов повышения надежности –
введение в систему дополнительных элементов или подсистем сверх
количества, минимально необходимого для выполнения заданных
функций. Этот способ называют резервированием.
Блок-схема простейшего способа резервирования представлена на
рис. 5.2, б. Вместо одного элемента, достаточного для выполнения
заданных функций, в систему введено n элементов. Отказ системы
происходит лишь в том случае, если откажут все n элементов. Такое
12
соединение называют параллельным. Вероятность отказа системы Q(t)
равна произведению вероятностей Q
1
(t), Q
2
(t),…, Q
n
(t) отказов ее
элементов. Вероятность безотказной работы системы
[ ]
1
( ) 1 1 ( )
n
k
k
P t P t
=
= − −
∏
. (5.20)
При одинаковых показателях надежности всех элементов
[ ]
0
( ) 1 1 ( )
n
P t P t
= − − . (5.21)
При экспоненциальном законе надежности (5.1) средняя наработка
до отказа системы составляет
1
1 1
m
k
T
k
=
=
λ
∑
. (5.22)
Безотказность системы с параллельным соединением элементов
возрастает с увеличением кратности резервирования. Так, уже при
однократном резервировании (дублировании) в случае, когда
показатель надежности элемента Р
0
= 0.99 для системы получаем Р =
0.9999. Средняя наработка до отказа возрастает в полтора раза.
На рис. 5.2, в представлена блок-схема, в которой каждая
подсистема резервирована n – 1 раз. Вероятность безотказной работы
такой системы
1
( ) 1 1 ( )
n
m
k
k
P t P t
=
= − −
∏
. (5.23)
Блок-схема, изображенная на рис. 5.2, г, иллюстрирует способ раздель-
ного резервирования. На этой схеме каждый элемент резервируется
n – 1 раз, после чего подсистемы соединяют последовательно. Тогда
[ ]
{
}
1
( ) 1 1 ( )
m
n
k
k
P t P t
=
= − −
∏
. (5.24)
В качестве примера рассмотрим [1] систему шасси тяжелого самолета.
Система насчитывает 18 колес, из которых два образуют переднюю
тележку N, 8 колес образуют две тележки W
1
и W
2
, расположенные под
13
центральной частью фюзеляжа, и еще 8 – две тележки R
1
и R
2
расположенные ближе к хвосту. Для простоты ограничимся отказами
в связи с утратой работоспособности колес. Отказ системы наступает
в случае отказа одной из подсистем – передней тележки, хотя бы
одной из центральных тележек, или обеих хвостовых тележек. Блок-
схема системы представлена на рис. 5.3.
Носовая тележка N, две центральные тележки W
1
и W
2
и пара
хвостовых тележек R
1
и R
2
образуют последовательное соединение.
Колеса каждой тележки образуют параллельные соединения. Задние
тележки также составляют параллельное соединение, поскольку
предполагается, что в случае отказа колес одной из тележек нагрузка
может быть воспринята колесами другой тележки.
N
W
1
W
2
R
2
Рис. 5.3. Блок-схема для оценки безотказности системы шасси
Формулы (5.20) – (5.24) соответствуют нагруженному
резервированию, когда все резервные элементы находятся в рабочем
состоянии. Наряду с этим используют:
• схемы, в которых резервный элемент входит в работу только в
случае отказа очередного элемента;
• схемы, в которых резервные элементы работают в облегченном режиме;
• схемы с конечным временем переключения и возможностью
отказов переключателей.
14
5.1.7. ДЕРЕВЬЯ ОТКАЗОВ
Понятие «дерево отказов» возникло в связи с анализом надежности
сложных систем. Целью построения такого дерева отказов является
символическое представление последовательности возникновения условий,
приводящих систему к отказу, критическому для объекта в целом. Для
применения методов деревьев отказов и деревьев событий необходимо
представить функциональные взаимосвязи элементов системы в виде
логической схемы, взаимную зависимость отказов элементов и групп
элементов. Методологическое обеспечение данных подходов состоит в
совместном применении методов теории графов, математической логики и
теории вероятностей [1, 3].
Разработана специальная символика для представления деревьев
отказов. Вершиной дерева отказа является конечное событие –
полный отказ системы. Промежуточные вершины (узлы графа)
представляют собой логические операции типа И и ИЛИ,
соответствующие теорико-множественному описанию языка
бинарной логики. Промежуточные вершины, а также исходные
события, отказы элементов, образуют иерархическую структуру с
понижением уровней в направлении исходных отказов элементов.
В табл. 5.1 представлена традиционная символика, используемая
при построении деревьев отказов.
Т а б л и ц а 5.1
Основные обозначения, используемые
при построении деревьев отказов
Вид элемента Наименование Описание
*
Схема И
(совмещение)
Выходной сигнал В появляется
только тогда, когда поступают
все входные сигналы
(А
1
∩А
2
∩….∩А
n
) = >В
15
+
Схема ИЛИ
(объединение)
Выходной сигнал В появляется
при поступлении любого одного
или большего числа сигналов А
i
(А
1
UA
2
U….UA
n
) = >B
Результирующее
событие
Результат конкретной
комбинации отказов на входе
логичес-
кой схемы
Первичный отказ
О к о н ч а н и е т а б л. 5.1
Вид элемента Наименование Описание
Неполное
событие
Отказ (неисправность), причи-
ны которого выявлены не пол-
ностью, например из-за отсут-
ствия информации
Ожидаемое
событие
Отказ, появление которого
ожидается
Методика построения дерева отказа заключается в следующих
этапах.
1. Определяется аварийное (предельно опасное) событие, которое
образует вершину дерева. Данное событие четко формулируют, дают
признаки его точного распознавания. Для объектов химической
технологии, например, к таким событиям относится разрыв аппарата,
пожар, выход реакции из под контроля и др. Если конечное событие
сразу определить не удается, то производят прямой анализ работы
объекта с учетом изменения состояния работоспособности, нарушения
16
операторов и т.п. Перечисляют возможные отказы, рассматривают их
комбинации, определяют последствия этих событий.
2. Используя стандартные символы событий и логические символы
(табл. 5.1), дерево строят в соответствии со следующими правилами:
а) конечное (аварийное) событие помещают вверху;
Б) ДЕРЕВО СОСТОИТ ИЗ ПОСЛЕДОВАТЕЛЬНОСТИ
СОБЫТИЙ, КОТОРЫЕ ВЕДУТ К КОНЕЧНОМУ СОБЫТИЮ;
в) последовательности событий образуются с помощью логических
знаков И, ИЛИ и других;
г) событие под логическим знаком помещают в прямоугольнике,
а само событие описывают в этом прямоугольнике;
д) первичные события (исходные данные) располагают внизу.
Простейшее дерево характеризующее возникновение пожара в
аппарате, показано на рисунке 5.4, а.
Более сложное дерево аварий, описывающее разрыв реактора,
представлено на рис. 5.4, б.
Утечка
горючей
жидкости
Очаг
воспламе-
нения вблизи
жидкости
Наличие искры
Курящий
рабочий
Возникновение
пожара
а