Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

136

защитных или разгружающих элементов для защиты основных

элементов от нагрузок (например, использование коэффициентов

запаса прочности, использование предохранительных устройств).

Структурное резервирование

(с применением резервных элементов)

осуществляется путем введения в структуру объекта дополнительных

элементов, выполняющих функции основных в случае их отказа [21].

Классификация различных способов структурного резервирования

осуществляется по следующим признакам:

•

по схеме включения резерва:

– общее резервирование, при котором резервируется объект

в целом;

– раздельное резервирование, при котором резервируются

отдельные элементы или их группы;

•

по однородности резервирования:

– однородное резервирование, при котором используется один

способ резервирования;

– смешанное резервирование, при котором сочетаются

различные виды резервирования;

•

по способу включения резерва:

– постоянное резервирование, при котором при отказе элемента

перестройки структуры системы не происходит;

– динамическое резервирование, при котором при отказе

элемента происходит перестройка структуры системы;

– резервирование замещением, при котором функции основного

элемента передаются резервному только после отказа основного;

– скользящее резервирование, при котором несколько основных

элементов резервируются одним или несколькими резервными,

каждый из которых может заменить любой основной;

– фиксированное резервирование, при котором каждый резервный элемент

закреплен за одним из основных;

•

по восстановлению работоспособности отказавших элементов

– резервирование с восстановлением (восстанавливаемый

резерв), при котором работоспособность отказавших резервных

элементов восстанавливается без прекращения функционирования

всей системы;

– резервирование без восстановления (невосстанавливаемый резерв), при

котором работоспособность элементов не восстанавливается;

•

по состоянию резерва

– нагруженное («горячее») резервирование (нагруженный

резерв), при котором резервные элементы находятся в режиме

основного элемента;

137

– облегченное («теплое») резервирование (облегченный резерв),

при котором резервные элементы находятся в менее нагруженном

режиме по сравнению с основным;

– ненагруженное («холодное») резервирование (ненагруженный

резерв), при котором резервные элементы до начала выполнения ими

функций основного элемента находятся в ненагруженном режиме.

Основной характеристикой структурного резервирования является

кратность – отношение числа резервных элементов к числу основных,

выраженное несокращенной дробью. Резервирование одного

основного элемента одним резервным (с кратностью 1:1) называется

дублированием.

Любой вид структурного резервирования сводится к замене одного

или группы последовательно соединенных элементов группой с

параллельным соединением. Так как надежность системы с

последовательным соединением не превышает надежности самого

ненадежного элемента и даже из высоконадежных элементов нельзя

создать высоконадежную систему с последовательным соединением,

то, увеличивая число резервных элементов, можно создать систему со

сколь угодно высокой надежностью.

Повышение надежности в результате резервирования или другой

модернизации можно оценить по коэффициенту выигрыша

надежности – отношению значений показателей надежности до и

после преобразования.

Пример 6.10.

Для системы из

последовательно соединенных эле-

ментов после резервирования одного из элементов (

-го) аналогичным

по надежности элементом коэффициент выигрыша надежности по

вероятности безотказной работы



( )

1 2 1 1

..... 1 1 .....

.... ....

k k k n

p p p p p p

- +

й щ

- -

л ы

( )

1 1

- -

= 2 –

. (6.46)

Из формулы (6.46) следует, что эффективность резервирования

тем больше, чем меньше надежность элементов (при

= 0,9

= 1,1,

при

= 0,5

= 1,5). Следовательно, при структурном резервировании

максимального эффекта можно добиться при резервировании в

первую очередь самых ненадежных элементов (или групп элементов).

138

В общем случае при выборе элемента (или группы элементов) для

повышения надежности или резервирования необходимо исходить из

условия обеспечения максимального эффекта. В качестве критерия

эффективности могут использоваться как конструктивные,

технологические, производственные или экономические показатели,

так и показатели надежности.

Пример 6.11.

Для мостиковой системы (рис. 6.4,

) из формулы

(6.28) можно получить выражения для частных производных

вероятности безотказной работы системы по вероятности безотказной

работы каждого из элементов, которые для идентичных по

надежности элементов принимают следующий вид:

+ 4

= 2

. (6.47)

Очевидно, максимальное увеличение надежности системы обеспечит

увеличение надежности или резервирование того элемента, частная производная для

которого при данных условиях принимает максимальное положительное значение.

Сравнение выражений (6.47) показывает, что при любых положи-

тельных значениях

первое выражение больше второго и,

следовательно, в мостиковой системе с идентичными элементами

эффективность повышения надежности или резервирования

«периферийных» элементов 1, 2, 4 и 5 выше, чем «центрального»

элемента 3, если за критерий эффективности принять вероятность

безотказной работы.

В более сложных случаях для оптимизации надежности и

определения необходимого количества резервных элементов

используются как аналитические, так и специальные численные

методы.

6.3. НАДЕЖНОСТЬ СИСТЕМ

С РЕЗЕРВИРОВАНИЕМ

139

Структурное резервирование является одним из основных методов

повышения надежности технических систем, который позволяет

существенно увеличивать вероятность безотказной работы.

Расчет количественных характеристик надежности систем с

резервированием отдельных элементов или групп элементов

определяется видом резервирования. Ниже описаны некоторые

методы расчета систем с резервированием для самых

распространенных случаев. Следует отметить, что все основные

зависимости получены без учета надежности переключающих

устройств, обеспечивающих перераспределение нагрузки между

основными и резервными элементами (т.е. для случаев «идеальных»

переключателей). В реальных условиях при резервировании часто

приходится учитывать введение переключающих устройств в

структурную схему и расчет системы производить с учетом их

надежности.

6.3.1. НАГРУЖЕННОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ

Расчет систем с

нагруженным резервированием

без

восстановления осуществляется по формулам последовательного и

параллельного соединений элементов аналогично расчету

комбинированных систем (см. разд. 6.1.5). При этом считается, что

отказ резервной группы, состоящей из основного и резервных

элементов, произойдет тогда, когда откажет ее последний элемент, и

резервные элементы работают в режиме основных как до, так и после

их отказа, поэтому надежность резервных элементов не зависит от

момента их перехода из резервного в основное состояние [30,31.

Пример 6.12.

Если основные и резервные элементы аналогичны

по надежности

( )

i i

p p



, то для системы с последовательным

соединением

элементов при общем резервировании (дублировании)

(рис. 6.11,

)



= 1 – (1 –

)

= 1 –

ж ц

з ч

и ш

(2 –

), (6.48)

при раздельном резервировании (дублировании) (рис. 6.10,

)

140



( )

1 1

й щ

- -

л ы

( )

i i

p p

( )

P p

. (6.49)

Коэффициенты выигрыша надежности для этих двух случаев

G P



= = -



( )

p i

G p



= = -



, (6.50)

откуда следует, что раздельное резервирование эффективнее общего

(например, для системы из трех одинаковых элементов при

= 0,9

′

= 0,729,

′

= 0,9266,

′

= 0,9703,



= 1,27,



= 1,33).

а б

Рис .6.11. Общее (а) и раздельное (б) нагруженное резервирование

Вероятность безотказной работы и вероятность отказа cистемы

или части системы, состоящей из

элементов (одного основного и

– 1

резервного), без учета надежности переключателей рассчитываются

по формулам для параллельного соединения элементов

...

n i

Q q q q

= =

( )

1 1

1 1 ... 1 1 1

n n

n i i

i i

P Q q q q p

= =

= - = - = - = - -

Х Х

(6.51)

или для одинаковых элементов:

= 1 – (1 –

)

. (6.52)

Формулы (6.52) легко разрешаются относительно каждой

входящей в них величины. Например, если необходимо определить

число резервных элементов, которое обеспечит минимальную

заданную вероятность безотказной работы системы

min

при

141

известной вероятности безотказной работы элементов

, то по

формуле (6.52) можно получить

( )

min

1 1

p P

- - 

(

)

(

)

min

*ln 1 ln 1n p P-  -

(

)

( )

min

ln 1



. (6.53)

Если, наоборот, требуется определить минимальную надежность элементов,

которые при заданном числе элементов Р обеспечат заданную надежность системы,

то

( )

min

1 1

P p P

= - - 

( )

min

1 1

p P

-  -

min

 -

. (6.54)

Для высоконадежных элементов (

<< 1) при экспоненциальном законе

(

)

(

)

1 exp 1 1

i i i i

q t t t

λ λ λ

= - - » - - =

(6.55)

для расчета системы с нагруженным резервированием можно

воспользоваться приближенной формулой

1 2 1 2

... ...

n n

n n i

Q q q q t t

λ λ λ λ

= » =

(6.56)

или для равнонадежных элементов

( )

Q t

. (6.57)

Формулы (6.56) и (6.57) дают верхнюю оценку вероятности отказа с

погрешностью не более 10 %.

Для определения средней наработки можно воспользоваться

формулой для системы с параллельным соединением элементов

1 1

1 1 1

n n

i i

T t

i i

= =

е е

(6.58)

или (при больших

) приближенной формулой [2]:

T t n C

ж ц

» + +

з ч

и ш

, (6.59)

где

= 0,577216 – постоянная Эйлера.

142

6.3.2. НЕНАГРУЖЕННОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ

При ненагруженном, резервировании (резервировании

замещением) резервные элементы включаются в работу при отказе

основного, затем первого резервного и т.д.

(рис. 6.12), поэтому надежность элементов

в каждый момент времени зависит от

момента их перехода из резервного

состояния в основное. При этом считается,

что замена отказавшего элемента

резервным происходит мгновенно, отказ

системы произойдет тогда, когда откажет

последний элемент, в не-рабочем состоянии

элемент не может отказать и его

надежность не изменяется [30].

Ненагруженное резервирование

встречается довольно часто, так как оно аналогично

замене отказавших элементов (деталей, узлов, агрегатов) на запасные.

Если элементы до включения абсолютно надежны, то для системы

из

элементов (основного и

n –

1 резервных) при

< 0,1

Q q

( )

1 1

P p

» - -

, (6.60)

т.е. вероятность отказа при резервировании замещением в

раз

меньше, чем при нагруженном резервировании (см. формулу (6.60)).

Для идентичных по надежности основного и резервных элементов

( )

1 1

P p

» - -

. (6.61)

ЕСЛИ ИНТЕНСИВНОСТИ ОТКАЗОВ

ОСНОВНОГО И РЕЗЕРВНЫХ

ЭЛЕМЕНТОВ ПОСТОЯННЫ (Т.Е.

НАДЕЖНОСТЬ ПОДЧИНЯЕТСЯ

Рис. 6.12. Ненагруженное

резервирование

143

ЭКСПОНЕНЦИАЛЬНОМУ

ЗАКОНУ), ТО

( )

exp

P t

= -

. (6.62)

При ненагруженном резервировании средняя наработка на отказ

T t

(6.63)

или для идентичных по надежности элементов

, т.е. не-

нагруженное резервирование позволяет увеличить среднюю

наработку в

раз по сравнению с одиночным элементом.

Выигрыш надежности по средней наработке по отношению к нагруженному

резерву

нн

Т n n

n C

= = »

+ +

. (6.64)

Следовательно, выигрыш надежности по средней наработке

при ненагруженном резерве тем больше, чем больше кратность

резервирования: например, при

= 2

= 1,3, а при

= 10

– = 3,4.

6.3.3. ОБЛЕГЧЕННОЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ

Облегченное резервирование

используется в технических системах

при большой инерционности процессов перехода элементов из

резервного в основной режим в случаях, когда использовать

нагруженное резервирование нецелесообразно из-за недостаточного

выигрыша в надежности. При этом считается, что замена отказавшего

элемента резервным происходит мгновенно, отказ резервной группы

произойдет тогда, когда откажет ее последний элемент, и в состоянии

резерва (в облегченном режиме) элемент может отказать и его

надежность изменяется. Очевидно, облегченный резерв занимает

промежуточное положение между нагруженным и ненагруженным

[30, 31].

144

Точные формулы для расчета надежности системы при

облегченном резервировании даже с идеальными переключателями

довольно громоздки, однако при экспоненциальном законе

распределения характеристик надежности элементов можно

воспользоваться приближенной формулой

( )( )

( )

0 0 0 0

2 .... 1

! !

P n t i

n n

λ λ λ λ λ λ λ λ λ

= + + + - = +

й щ

л ы

, (6.65)

где

– интенсивность отказов элементов в облегченном режиме.

6.3.4. СКОЛЬЗЯЩЕЕ РЕЗЕРВИРОВАНИЕ

Скользящее резервирование

используется для резервирования

нескольких одинаковых (или взаимозаменяемых) элементов системы

одним или несколькими резервными (рис. 6.13), причем

резервирование может быть как нагруженным, так и ненагруженным.

Отказ системы произойдет, если число отказавших основных

элементов превысит число

резервных.

При

нагруженном скользящем

резервировании

с идеальными

переключателями расчет

надежности системы аналогичен

расчету систем типа «

из

» (см.

разд. 6.1.3). Если интенсивности

отказов основных и резервных

элементов постоянны и одинаковы,

то вероятность безотказной работы

системы, содержащей

основных и

резервных элементов, в режиме

нагруженного резерва можно определить по формуле

( )

k n m k

n m

P C p p

+ -

= -

. (6.66)

Рис. 6.13. Скользящее

резервирование

145

Если вероятность безотказной работы элементов подчиняется

экспоненциальному закону, то можно рассчитать и среднюю

наработку системы:

( ) ( )

1 1 1 1 1

....

n m

k n

n n n m k

λ λ λ λ

= + + + =

+ +

. (6.67)

При

ненагруженном скользящем резервировании

в общем случае

характеристики надежности системы выражаются сложными

формулами. Однако если интенсивности отказов основного и

резервных элементов постоянны и одинаковы, т.е. вероятность

безотказной работы элементов подчиняется экспоненциальному

закону, то вероятность безотказной работы системы, содержащей

основных и

резервных элементов, в режиме ненагруженного

резерва можно определить по формуле Пуассона

( )

exp

n t

P n t

= -

. (6.68)

Так как при

ненагруженном скользящем

резервировании суммарная

интенсивность отказов равна

, и отказ системы произойдет в

момент отказа (

+ 1)-го элемента, то средняя наработка системы

= (

+ 1)/(

λ). (6.69)

6.3.5. Оптимизация структурного

резервирования

Структурное резервирование позволяет повысить надежность технической

системы практически до любого уровня. Однако на практике часто возможности

резервирования ограничиваются имеющимися ресурсами (числом элементов, их

стоимостью, весом, объемом объекта и т.д.). Поэтому чаще всего ставится задача не

максимального увеличения надежности, а обеспечения максимально возможной или

заданной надежности системы при минимальных или предельно допустимых

затратах, т.е. оптимизация надежности [32, 33].

Задачи оптимального резервирования отличаются большим

разнообразием по постановке, числу и виду наложенных ограничений,

однако, как правило, все они сводятся к задачам двух типов:

определению числа резервных элементов, обеспечивающих заданную

надежность при минимальном расходовании ресурсов (прямая