Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
47
С увеличением размерности пространства
V
трудности
вычислений существенно возрастают, тем более если они относятся
к вероятностям, весьма близким к единице, например, когда
Q
= 1 –
P
=
= 10
–4
и менее. Для преодоления этих трудностей были предло-
жены численные методы [44], обычно называемые FORM (First
Order Reliability Method) and SORM (Second Order Reliability
Method). В основе обоих методов лежат две идеи: 1) замена
исходного пространства качества
V
с произвольным
распределением
F
(
r
) вектора качества
v
новым пространством
W
,
в котором вектор качества следует нормальному распределению;
2) аппроксимация предельной поверхности Г в пространстве
W
гиперплоскостью (в методе FОRМ) или поверхностью второго
порядка (в методе SОRМ) в окрестности наиболее вероятной
точки отказа. Эти идеи иллюстрированы на рис. 5.20.
Обычно нет необходимости в том, чтобы при использовании
FОRМ/SОRМ функция отказов
g
(
v
) была «структурной», т.е.
точно отражала одну из схем на рис. 5.20. В этом случае каждый
компонент
g-
функции должен быть достаточно регулярным, как
правило, дифференцируемым, чтобы алгоритм нахождения точек
аппроксимации был эффективным. Вероятностный расчет с
помощью методов FОRМ/SОRМ состоит из трех этапов:
1) преобразование
v
в нормальный вектор
w
;
2) аппроксимация предельной поверхности в пространстве
W
;
3) расчет вероятности отказа по отношению к соответствующей
аппроксимированной поверхности.
Ω
Ω
w
v
2
w
2
w
1
γ
v
1
Г
Г
w
w
″
а
б
Ω
w
γ
w
′
Г
w
W
2
48
Рис. 5.20.
Иллюстрация методов FОRM и SОRМ:
а –
исходное пространство качества;
б
и
в
– преобразованные
пространства
Совокупность
n
основных случайных параметров
v
1
, ...,
v
n
пре-
образуется в совокупность
n
независимых, стандартных (с
нулевым математическим ожиданием и единичной дисперсией)
нормально распределенных параметров
w
1
,…,
w
n
. Такое
преобразование всегда возможно для непрерывных случайных
параметров.
Простое преобразование имеет место в случае, когда
используемые основные параметры
v
1
,…,
v
n
взаимно независимы
и имеют функции распределения
F
k
(
v
k
). Каждая переменная может
быть преобразована отдельно, причем
w
k
= Ф
–1
[
F
k
(
v
k
)],
где Ф
–1
– стандартная функция нормального распределения (5.41).
Для зависимых случайных переменных применяют схему
последовательных приближений, основанную на системе
уравнений:
Ф(
w
1
) =
F
1
(
v
1
),
Ф(
w
2
) =
F
2
|
1
(
v
2
|
v
1
), (5.61)
………………………
Ф
n
(
w
n
) =
F
n
|
n–
1
(
v
n
|
v
n–
1
…
v
1
).
Здесь
F
2
|
1
,…,
F
n
|
1
n
−
,…, – условные функции распределения
исходных параметров.
49
Дальнейшее применение методов FОRМ и SORМ требует
рассмотрения элементов поверхности отказов
g
(
w
) = 0 в
w-
пространстве, имеющих одну наиболее вероятную точку отказа.
При использовании метода FОRМ поверхность аппроксимируется
касательной гиперплоскостью в этой точке, т.е. представляется
первым членом разложения функции
g
(
w
) в ряд Тейлора в точке
w
*
. Расстояние γ от начала координат до касательной
гиперплоскости называют индексом надежности первого порядка.
Таким образом, вероятность наступления отказа
Q
= Ф(–γ) , (5.62)
что соответствует формуле (5.43). Формула для метода SОRМ
имеет вид
Q
≈ Ф(–γ)
1
1/2
1
(1 )
n
j
j
k
−
=
+ γ
∏
, (5.63)
где
k
j
– главные кривизны в точке
w
*
. Соглашение о знаках
следующее: кривизны являются отрицательными, когда
поверхностные кривые выпуклы в сторону начала координат.
Входящие
в уравнения (5.61) условные функции распределения нетрудно
вычислить, если задана совместная плотность
p
(
v
) =
p
(
v
1
, ...,
v
n
).
Действительно, из соотношения
p
(
v
1
,…,
v
n
) =
p
(
v
n
|
v
1
,…,
v
n–
1
)
p
(
v
1
,…,
v
n–
1
)
следует, что
F
(
v
n
|
v
1
,…,
v
1
n
−
) =
1
1 1
( ,..., )
( ,..., )
n
v
n n
n
p v v dv
p v v
−∞
−
∫
.
При
n
= 1 преобразование (5.61) носит элементарный характер.
Например, если случайная величина
v
следует распределению
Вейбулла
0
0
( ) 1 exp ,
v
c
v v
F v v v
v
α
−
= − − ≥
,
то результат преобразования
50
w
= Ф
–1
0
1 exp
c
v v
v
α
−
− −
будет распределен нормально с нулевым математическим
ожиданием и единичной дисперсией. При
n
> 1 относительно
просто образуются величины, распределенные логарифмически
нормально.
5.2.3. МОДЕЛИ КУМУЛЯТИВНОГО ТИПА
Исчерпание ресурса машин и конструкций связано с
постепенным накоплением повреждений, пластических
деформаций, усталостных повреждений, износа и т.п. Мате-
матическим описанием этого факта служат кумулятивные модели
отказов, они описывают квазимонотонное ухудшение параметров
качества объекта, происходящее в процессе его эксплуатации и
взаимодействия с окружающей средой.
Пусть значение вектора качества
v
в момент времени
t
есть
функционал
H
[•] от процесса нагружения
s
(
t
) на предшествующем
отрезке [
t
0
,
t
]:
v
(
t
) =
H
0
t
t
τ=
τ=
[
s
(τ)]. (5.64)
Примером реализации функционала может служить решение
векторного дифференциального уравнения
( , )
dv
f v s
dt
=
(5.65)
с заданным начальным условием
v
(
t
0
) =
v
0.
В правой части стоит
вектор-функция от процесса
v
и процесса нагружения
s
(
t
)
(зависимость вектора качества от вектора прочности пока не
рассматриваем).
Чтобы уравнения (5.64) и (5.65) описывали накопление
повреждений, их правые части должны удовлетворять
определенным условиям. Пусть по определению значения
процесса
v
(
t
) заданы в первом ортанте пространства
V
, так что
допустимая область Ω является частью этого ортанта. Пусть внеш-
няя нормаль
n
к предельной поверхности Г положительна, точнее,
51
ее проекции на все координатные оси неотрицательны. Если
компоненты процесса
v
(
t
) удовлетворяют условию
v
k
(
t
2
) ≥
v
k
(
t
1
) (
t
2
>
t
1
;
k
= 1,…,
n
) , (5.66)
то для вероятности безотказной работы на отрезке [
t
0
,
t
] вместо
(5.66) имеем простую формулу
P
(
t
) = {
v
(
t
)}
∈
Ω. (5.67)
Отметим существенную разницу между формулами (5.29) и (5.67).
В отличие от общего случая, когда вычисление функции
надежности
Р
(
t
) по (5.29) требует рассмотрения выбросов
случайных процессов, в соответствии с (5.67) достаточно
вычислить вероятность нахождения вектора в заданной области в
рассматриваемый момент времени. Однако при этом процесс
v
(
t
) и
область Ω должны удовлетворять определенным условиям, при
выполнении которых вектор
v
, однажды покинув область Ω, далее
в эту область возвратиться не может. Именно это является
отличительным признаком кумулятивных моделей.
Назовем рассмотренную кумулятивность процесса
v
(
t
)
покомпонентной. Чтобы условие (5.66) для процесса
v
(
t
),
описываемого уравнением (5.65), было выполнено, необходима
неотрицательность всех компонент вектора
f
(
v
,
s
) в правой части
уравнения. Другой подход к построению кумулятивных моделей
основан на введении нормы ||
v
|| вектора
v
в пространстве
V
. Для
n
-
мерного пространства естественно взять евклидову норму
||
v
|| =
2 2 1/2
1
( ... )
n
v v+ +
.
Возможно применение других норм, например
||
v
|| = mах{|
v
1
|,..., |
v
n
|}.
Потребуем, чтобы граница Г области Ω не зависела от времени, а
область Ω была выпуклой. Последнее условие означает, что
прямая, соединяющая любые две точки в области Ω, должна
целиком лежать в этой области Ω. Проведем из рассматриваемой
точки
v
пространства
V
луч, пересекающий границу Г в точке
v
Γ
.
Отношение ||
v
|| = |
v
|/|
v
Γ
| обладает всеми свойствами нормы. На
границе Г эта норма равна единице. Таким образом,
Ω = {
v
: ||
v
||< 1}, (5.68)
52
т.е. о принадлежности вектора
v
допустимой области можно
судить по величине его нормы. Для выпуклых областей простой
конфигурации удобнее использовать норму, согласованную с
уравнением границы Г. Пусть сформулированные ограничения на
допустимую область Ω выполнены. Процесс
v
(
t
) будет
кумулятивным по норме ||
v
|| на рассматриваемом отрезке времени,
если всюду на этом отрезке выполнено условие
||
v
(
t
2
)|| ≥ ||
v
(
t
1
)|| (
t
2
>
t
1
) . (5.69)
Очевидно, отсюда вытекают ограничения на уравнения (5.64) и
(5.65). Поскольку по условию необратимости (5.69) норма ||
v
|| –
неубывающая функция
t
, то вектор
v
, достигнув границы Г, уже не
возвратится в допустимую область. Следовательно, вероятность
безотказной работы на отрезке [
t
0
,
t
] есть вероятность события
||
v
|| < 1:
Р
=
P
{||
v
|| < 1}. (5.70)
При этом принято, что
v
(
t
0
)
∈
Ω, т.е. по условию в начальный
момент
t
0
вектор
v
находится в допустимой области.
На рис. 5.21 показана общая схема возникновения
параметрического отказа, при котором в результате каких-либо
процессов (повреждения, износа, старения, разрегулирования и
т.д.) происходит постепенное изменение определяющего
параметра
X
. Отказ возникнет при достижении через некоторый (в
общем случае
случайный) промежуток времени предельно допустимого
максимального или минимального значения
Х
пр
(для
определенности будем считать, что параметр
X
ограничен сверху
(
X
≤
Х
пр
=
Х
maх
), хотя ограничение может быть и снизу (
Х
≥
Х
min
, и с
двух сторон (
Х
min
≤
Х
≤
X
max
)).
53
T
f(X, t)
f(
γ
)
f(t)
f(t
0
)
X
0
t
0
f(X
0
)
X
пр
X
1 – Р(t)
t
Рис. 5.21. Общая схема формирования параметрического
отказа
На схеме показаны основные этапы формирования закона
распределения времени безотказной работы элемента
f
(
t
). В
начале эксплуатации имеет место рассеивание начального
значения определяющего параметра
f
(
Х
0
) относительно своего
математического ожидания
Х
0
, которое может быть связано с
нестабильностью свойств материалов и технологии изготовления
элемента,
c другими внутренними и внешними причинами. Затем в процессе
эксплуатации элемента определяющий параметр под действием
происходящих в нем процессов начинает ухудшаться. В общем
случае изменение параметра может начаться через некоторый
промежуток времени от начала эксплуатации
t
0
, который также
является случайной величиной с распределением
f
(
t
0
)
относительно своего математического ожидания, связанный,
например, с про-цессами накопления повреждений. Скорость
изменения опреде-ляющего параметра γ =
dХ
/
dt
после периода
t
0
зависит от природы процессов износа, старения или
разрегулирования и многих других параметров и в общем
случае также является случайной величиной. В результате всех
этих процессов и явлений происходит формирование закона
распределения
f
(
Х
,
t
), определяющего вероятность выхода
параметра
X
за границу поля допуска
Х
пр
, т.е. вероятность отказа
Q
(
t
) = 1 –
Р
(
t
).
54
Рассмотренная схема описывает процесс возникновения
параметрических отказов в общем виде. В конкретных случаях
модель должна отражать конструктивные особенности и условия
эксплуатации конкретных элементов технических систем.
Например, для типичного постепенного параметрического отказа
характерно начало изменения определяющего параметра
X
сразу с
момента начала эксплуатации (
t
0
= 0). Если при достижении значе-
ния
Х
пр
наблюдается резкое изменение определяющего параметра
Х
(
t
), то такой отказ близок к отказу функционирования. Если же
для возникновения отказа основную роль играет зарождение
процесса (т.е. функция распределения
f
(
t
0
)), а затем процесс
протекает с большой интенсивностью, то такая модель близка к
модели внезапного отказа. Разброс начального значения
определяющего параметра
f
(
Х
0
) следует учитывать при расчетах
надежности некоторой совокупности элементов (например,
партии деталей). Для одного же конкретного элемента значение
Х
0
является конкретной неслучайной величиной. Если же
рассматривается поведение элемента в случайных различных
режимах работы под воздействием случайных внешних факторов,
то и в случае одного элемента параметр
Х
0
следует рассматривать
как случайную величину [5].
Пример 5.2.
При проектировании технологического
оборудования, работающего в коррозионной среде, к расчетным
значениям геометрических размеров элементов
s
p
, полученных из
технологических и прочностных расчетов, добавляется прибавка
с
для компенсации коррозии за расчетный срок эксплуатации τ,
которая рассчитывается исходя из заданной средней скорости
коррозии γ:
s
=
s
p
+
с
,
с
= γτ . Таким образом, считается, что за
время эксплуатации размеры элемента в результате коррозии
уменьшатся до расчетных и прибавка
с
обеспечит безотказную
работу оборудования. Однако на самом деле, очевидно, что
геометрические размеры конструкционных элементов при
изготовлении обеспечиваются с определенными отклонениями
(допусками). Кроме того, скорость коррозии γ (как и скорость
других термоактивационных физико-химических процессов) –
случайная величина. Если пред-положить, что определяющий
параметр элемента (геометричес-кий размер)
X
и скорость
коррозии γ распределены по нормаль-ному закону с
математическими ожиданиями
М
(
Х
0
) =
0
X
=
s
и
M
(γ) = – γ и средними квадратическими отклонениями σ
0
= σ
s
55
и σ
γ
, то при
Х
пр
=
s
p
по формуле (5.58) получим вероятность
безотказной работы элемента (вероятность неразрушения) в виде
P
(
t
) =
2 2 2 2
1 1
Ф Ф .
2 2
( ) ( )
p
s t s t
s s t
t c
γ γ
− +γ
γ −
+ = +
σ + σ σ + σ
Тогда при
t
= τ и соответственно γ
t
= γτ =
с
получим
Р
(τ) =
= 0,5 + Ф(0) = 0,5, т.е. вероятность безотказной работы элемента за
расчетный срок эксплуатации составит 0,5, т.е. за это время 50 %
элементов из-за коррозии окажутся неработоспособными.
Пример 5.3.
Если изменение определяющего параметра
Х
(
t
)
описывается линейной зависимостью (5.58) с начальным
неслучайным значением
Х
0
и нормально распределенной
скоростью изменения γ с математическим ожиданием (средним
значением)
γ
и средним квадратическим отклонением
γ
σ
, то в
любой момент времени параметр
Х
(
t
) также будет распределен по
нормальному закону со средним квадратическим отклонением σ
х
= σ
γ
t
. Если при этом скорость изменения параметра может
принимать как положительные, так и отрицательные значения, а
поле допуска имеет двусторонние границы [
Х
min
,
Х
mаx
], то
вероятность того, что в момент
t
параметр находится в поле
допуска
P
(
t
)
= P
(
Х
min
≤ X
(
t
)
≤ Х
mа
x
)
=
=
Ф
( ) ( )
max 0 0 min
/ /
Ф .
X X
X X t X X t
− −γ − − γ
−
σ σ
После дифференцирования по
t
плотность распределения времени
безотказной работы
2 2
1 2
1 2
2 2 2
( ) 1
( ) exp exp ,
2 2 2
dp t t t
f t
dt
t t t
α +β α +β
= − = α − +α −
π
где
α
1
= (
Х
0
–
Х
min
)/σ
х
;
α
2
= (
Х
0
–
Х
mаx
)/σ
х
; β =
γ
/
γ
σ
.
56
5.2.4. МОДЕЛИ МАРКОВСКОГО ТИПА
Пусть эволюция вектора качества v(t) представляет собой
диффузионный марковский процесс в пространстве V. Тогда пере-
ходная плотность вероятности p(v, t |v
0
,
t
0
)
значений этого процесса
удовлетворяет уравнению Колмогорова
2
1 1 1
1
( , ) ( , )
2
n n n
j jk
j j k
j j k
dp
p p
dt v v v
= = =
∂ ∂
= − χ + χ
∂ ∂ ∂
∑ ∑ ∑
(5.71)
с начальным условием р = δ(v – v
0
) при t = t
0
. Здесь
χ
j
и
χ
jk
–
интенсивности процесса (
χ
j
– коэффициенты сноса,
χ
j
k
–
коэффициенты диффузии). Найдя решение уравнения (5.71), вы-
числим показатели надежности системы, в частности, вероятность
безотказной работы на заданном отрезке времени и математическое
ожидание времени достижения поверхности при заданном
распределении начальных значений вектора качества.
Допустим, что вектор качества удовлетворяет дифференциальному
уравнению (5.65). Установим условия, при которых решение этого
уравнения является диффузионным марковским процессом. Очевидно,
что для этого нужно наложить ограничения на правую часть
уравнения (5.65), в частности, принять, что вектор нагружения s(t)
представляет собой дельта-коррелированный во времени процесс.
Запишем уравнение (5.65) в виде
( , ) ( , ) ( )
dv
f v t G v t t
dt
= + ξ
, (5.72)
где
f
(
v
,
t
)
–
вектор-функция от вектора
v
и явного времени;
G
(
v
,
t
) –
матрица-функция; ξ(
t
) – векторный процесс, компоненты которого –
независимые белые шумы единичной интенсивности.
Если размерность вектора
v
равна
п
,
то такую же размерность
имеет вектор
f
(
v
,
t
),
при
m
-мерном векторе ξ(
t
)
матрица
G
(
v
,
t
)
имеет
размерность
п
×
т.
Предположим, что
f
(
v
,
t
) и
G
(
v
,
t
)
–
непрерывные
функции всех аргументов, а элементы матрицы
G
(
v
,
t
) –дифферен-
цируемые функции компонент вектора
v
.
Уравнение (5.72) представляет собой формальную запись
векторного дифференциального уравнения Ито, которое эквивалентно
некоторому стохастическому интегральному уравнению. Интегралы в
уравнении берем в симметризированной форме Стратоновича. Тогда для
интенсивностей процесса получаем выражения