Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
27
• одни лишь затрудняют эксплуатацию объекта или вызывают ее
временное прекращение;
• другие требуют замены отказавших элементов;
• третьи соответствуют достижению предельных состояний, при
которых объект подлежит капитальному ремонту или списанию;
• отказы четвертого типа связаны с угрозой для людей и
окружающей среды, с серьезным материальным и моральным
ущербами.
Эти обстоятельства нетрудно учесть в рамках излагаемой
концепции. Пространство качества объекта можно представить как
прямое произведение аналогичных пространств для каждого типа
отказа в отдельности. Например, если объект допускает разбиение на
подсистемы, взаимодействующие по логическим схемам, достаточно
ввести пространство качества для каждой подсистемы, а показатели
надежности вычислить, используя методы системной теории
надежности.
Устранение неисправностей и ремонт также допускают в рамках
данной теории. Эти операции можно интерпретировать как
принудительное возвращение вектора качества в допустимую область
Ω, которую задают в виде [1]
Ω = {v: g(v) > 0} (5.31)
с некоторой функцией g(v
1
, v
2
, …, v
n
) от параметров качества. На
границе Г имеет место равенство:
g(v) = 0 . (5.32)
Пусть граница Г состоит из нескольких предельных поверхностей с
уравнениями g
k
(v) = 0, k = 1, 2,…, m. Если отказ системы является
результатом отказа хотя бы одного элемента (т.е. соединение
элементов в смысле системной теории надежности –
последовательное), то область Ω задается условиями g
k
(v) > 0, k = 1,
2,…, m (рис. 5.9, а). При параллельном соединении область
недопустимых состояний R
n
/Ω оп-ределяется из условий g
k
(v) ≤ 0, k =
1,2,…, m (рис. 5.9, б). В обоих случаях результирующее уравнение
предельной поверхности может быть представлено в виде (5.32),
допустимая область – в виде (5.31), а вероятность безотказной работы
введена по формуле (5.30).
28
V
2
k = 1
V
2
k = 1
k = 2
k = 3
V
1
V
1
k = 3
k = 2
Рис. 5.9. Область допустимых состояний:
а – при последовательном соединении элементов;
б – при параллельном соединении элементов
Вычисление функции надежности – вероятности безотказной
работы объекта на заданном отрезке времени – составляет основную
задачу теории надежности. Большинство других показателей связано с
функцией надежности простыми соотношениями типа:
F(t)=1 – P(t), f(t)=
( )
dF t
dt
= –
( )
dP t
dt
(5.33)
и
Q(t) = 1 – P(t) =F(t) . (5.34)
Если заданы нормативные значения этих показателей, например,
значение вероятности безотказной работы, интенсивности отказов, то
далее можно проверить надежность с точки зрения соответствия
объекта назначенным показателям. Если допустимая область Ω (5.30)
и (5.31) в формулах такова, что ее граница отвечает предельным
состояниям, то эти формулы позволяют найти функцию
распределения ресурса, а по ней – математическое ожидание ресурса,
значение гамма-процент-ного ресурса и другие показатели
долговечности.
Решение основной задачи дает зависимость надежности и ресурса
от конструктивных, технологических и эксплуатационных факторов и
открывает путь для решения других задач, в частности, для выбора
оптимальных параметров объекта, оптимальных режимов
эксплуатации и технического обслуживания и т.п.
29
5.2.1. МОДЕЛЬ НАГРУЗКА–СОПРОТИВЛЕНИЕ
Условия безотказной работы механических систем обычно
представляют в виде соотношения между нагрузками (воздействиями)
и сопротивлениями. При этом под нагрузками понимают не только
силы, моменты, давление, но и более широкий класс параметров,
которые не являются нагрузками и сопротивлениями в обычном
смысле. Например, если условие безотказности для сосуда давления
поставлено в терминах размера несквозной трещины, то за параметр
нагрузки может быть принято как давление в сосуде, так и текущий
размер трещины. В первом случае роль сопротивления выполняет
некоторое предельное (или критическое) значение давления, во
втором – предельное (или критическое) значение размера трещины.
Модель нагрузка–сопротивление или ее еще называют нагрузка–
прочность может быть обобщена и на более широкий класс отказов, в
том числе и на отказы не механического, например, электрического
происхождения. Обозначим параметры нагрузок S
1
, S
2
,…, S
n
, а
параметры сопротивления – r
1
, r
2
,…, r
m
. В тех случаях, когда каждому
параметру S
k
соответствует параметр r
k
, причем n = m, соотношение
(5.31) принимает вид:
Ω = {r, S : r
k
> S
k
; k = 1, 2,…, n} . (5.35)
Вводя параметры качества как V
k
= r
k
– S
k
, представим соотношение
(5.35) в виде:
Ω={V : V
k
> 0; k =1, 2,…, n} . (5.36)
Рассмотрим одномерную модель нагрузка–сопротивление. Допустимая
область для этой модели задана неравенством r > S или V = r – S > 0.
В общем случае оба параметра – случайные функции времени r(t) и
S(t). Если начальное состояние при t = t
0
– работоспособное, то
r(t
0
) > S(t
0
). Отказ наступает при первом пересечении процессов r(t)
и S(t) (рис. 5.10, а) или при первом выходе процесса V(t) из области
V = r – S > 0 (рис. 5.10, б).
30
r
, s
s
s
(
t
)
r(t)
t
0
t
τ
τ
t
0
t
t =
τ
Г
а б
Рис. 5.10. Параметры нагрузки и сопротивления:
а – как функции времени; б – на плоскости качества
Способ вычисления вероятности безотказной работы существенно
зависит от свойств процессов r(t) и S(t). Обычно считают параметр
сопротивления постоянной или непрерывной неубывающей функ-
цией t. Процесс нагружения может быть точечным (рис. 5.11, а),
кусочно-постоянным (рис. 5.11, б), непрерывным (рис. 5.11, в), а
также сочетать различные свойства.
t
0
t
1
t
2
… t
t
t
0
t
1
t
2
t
t
t
0
t
а б в
Рис. 5.11.
Нагружение как случайный процесс:
а
– точечный;
б
– кусочно-постоянный;
в
– непрерывный
В общем случае вычисление вероятности безотказной работы
требует применения теории случайных процессов или численного
моделирования больших реализаций случайных процессов со
статистической обработкой результатов.
В приложениях часто применяют упрощенный,
квазистатический подход, трактуя
r
и
s
не как случайные
31
процессы, а как случайные величины, распределения которых
отвечают некоторым, заранее заданным значениям времени или
наработки. При этом
в основе расчета лежит совместная плотность вероятности
p
(
r
,
s
),
а при условии независимости
r
и
s
– плотности вероятности
p
r
(
r
) и
p
s
(
s
) (рис. 5.12). В первом случае вероятность безотказной работы
P
=
∫ ∫
p
(
r
,
s
)
drds
. (5.37)
r – s
>
0
Во втором случае можно применить одну из двух формул:
∞
P
= 1 –
∫
F
s
(
r
)
p
r
(
r
)
dr
;
–∞
∞
P
= 1 –
∫
F
r
(
s
)
p
s
(
s
)
ds
, (5.38)
–∞
где
F
r
(
r
) и
F
s
(
s
) – функции распределения, соответствующие
плотностям вероятности
p
r
(
r
) и
p
s
(
s
).
р
р
р
s
(s)
р
r
(r)
r, s
r
µ
s
µ
r
р
(r, s) = const
Ω
а б
Рис. 5.12.
Квазистатическая модель нагрузка–сопротивление:
а
– плотности вероятности;
б
– линии равной плотности вероятности
на плоскости качества
Иногда вводят параметр качества
v
=
r – s
с допустимой
областью
v >
0, используя вместо (5.37) формулу
∞
P
=
∫
p
(
v
)
dv
. (5.39)
32
0
Очевидно, что описанный выше подход применим, если все
реализации процесса нагружения
s
(
t
) являются неубывающими
функциями времени, а все реализации соответствующего
сопротивления
r
(
t
) – невозрастающими функциями времени, т.е.
s
(
t
2
) ≥
s
(
t
1
),
r
(
t
2
) ≤
r
(
t
1
) при любых
t
2
>
t
1
.
Если предложить, что параметры
r
и
s
распределены
нормально и независимо, то вычисления по формулам (5.37) –
(5.39) весьма просты. Пусть функции распределения имеют вид
F
r
(
r
) = Ф
r
r
r
−µ
σ
,
F
s
(
s
) = Ф
s
s
s
−µ
σ
, (5.40)
где Ф(
v
) –
нормированная функция Лапласа
Ф(
v
) =
( )
2
1/2
1
exp
2
2
v
u
−∞
−
π
∫
du
, (5.41)
а µ
r
и µ
s
– математические ожидания; σ
2
r
и σ
2
s
– дисперсии
случайных величин.
Тогда параметр качества
v
=
r – s
будет иметь математическое
ожидание µ
r
– µ
s
и дисперсию σ
2
r
+ σ
2
s
. Получаем
( )
1/2
2 2
Ф
r s
r s
P
µ −µ
=
σ + σ
. (5.42)
Преимущество этой простейшей модели – явная зависимость
вероятности безотказной работы
P
от математических ожиданий и
дисперсий случайных величин, входящих в модель. Нетрудно
также учесть корреляцию между
r
и
s
[8,9] (рис. 5.13).
33
r, s
p
r
, (r, t
1
)
p
r
, (r, t
2
)
p
r
, (s, t
2
)
p
r
, (s, t
1
)
s(t)
r(t)
Рис. 5.13.
Условия применимости квази-
статического подхода
В зарубежной литературе часто используют описанную выше
модель для введения гауссового уровня надежности γ,
называемого также индексом безопасности (safety index). Пусть
P
–
вероятность безотказной работы. Назовем гауссовым уровнем γ
величину
1
Ф ( )
P
−
γ =
, (5.43)
где
1
Ф ( )
P
−
– функция, обратная нормированной функции
Лапласа. Удобен также логарифмический индекс надежности,
введенный В.В. Болотиным [5]:
1
lg10
1
r
P
=
−
. (5.44)
Очевидно, что индекс
r
равен «числу девяток» в значении
вероятности безотказной работы (
r
= 2 при
Р
= 0,99,
r
= 3 при
Р
=
0,999
и т.д.). В диапазоне показателей надежности, представляющих
практический интерес, значения γ и
r
имеют одинаковый порядок
(рис. 5.14).
34
B
dP
p
d
=
σ
Кривая Гаусса
2
2
( )
2
1
( )
2
B B
s
B
p e
s
σ −<σ >
σ =
π
0
<
σ
B
>
σ
B
0
σ
B
P
Рис. 5.14.
Нормальный закон распределения
Формулы позволяют связать индекс надежности γ с
коэффициентом запаса
n
= µ
r
/µ
s
, вычисленным по отношению к
математическим µ
r
и µ
s
:
( )
1/2
2 2 2
1
r s
n
w n w
−
γ =
+
,
где
w
r
=
w
s
– коэффициенты вариации параметров сопротивления
и нагрузки соответственно.
Рассмотрим пример 5.1
[10]: многочисленные
экспериментальные данные убедительно свидетельствуют о том,
что предел прочности, предел текучести, модуль упругости и
другие механические характеристики материалов имеют весьма
значительный разброс. Например, при определении предела
прочности бетона на сжатие одинаковые результаты не
получаются даже тогда, когда образцы изготовлены из бетонной
смеси одного замеса. Объясняется это тем, что прочность бетона
является функцией многих факторов: крупности и качества (в том
числе степени загрязненности) заполнителя, активности цемента,
различных технологических факторов и т.п. Принимая во
внимание случайную природу этих факторов, естественно считать
предел прочности бетона случайной величиной.
Аналогичная ситуация имеет место и для других строительных
материалов, таких, как древесина, кирпичная кладка, полимерные
композитные материалы. Даже для классических конструкционных
материалов, таких, как сталь, алюминиевые сплавы, имеет место
35
заметный случайный разброс прочностных характеристик. Для описания
случайных величин используются различные случайные характеристики,
которые определяются в результате статистического анализа опытных
данных, получаемых в процессе массовых испытаний. Простейшими из
них являются математическое ожидание и коэффициент вариации, иначе
называемый коэффициентом изменчивости. Последний представляет
собой отношение среднеквадратичного разброса к математическому
ожиданию случайной величины. Так, в нормах проектирования
железобетонных конструкций коэффициент изменчивости тяжелого
бетона принят постоянным и равным 0,135.
Однако наиболее полную информацию о случайной величине
содержит функция распределения (закон распределения).
Часто в качестве распределения прочности материала
( )
В
P
σ
используется нормальный закон (закон Гаусса), рис. 5.14:
( )
2
2
1
( ) exp
2
2
σ
−∞
σ − σ
σ = − σ
π
∫
В
В В
В В
P d
s
s
, (5.45)
где
( )
В
P
σ
– вероятность того что предел прочности не
превосходит значений
В
σ
;
В
σ
,
s
– математическое ожидание и
среднеквадратичный разброс величины
В
σ
(угловые скобки здесь и
в даль-нейшем означают операцию математического ожидания).
Нормально распределенная случайная величина меняется в
пределах от
−∞
до
+∞
. Однако предел прочности не может иметь
отри-цательного значения. Тем не менее если отношение
В
σ
/
s
>
3…4, то вероятность появления отрицательных значений
оказывается пренебрежимо малой и в таком смысле нормальное
распределение предела прочности можно считать вполне
приемлемым.
В частности, нормальный закон используется для описания
распределения механических свойств стального проката. На рис.
5.15 показаны эмпирические кривые распределения предела
текучести и кривая Гаусса.
36
Р
Р
σ
и
= 0
σ
и
= 0
0
0
σ
В
σ
В
Рис. 5.15.
Распределение Гумбеля–Вейбулла
Другим законом, широко применяемым для описания
распределения предела прочности материала, является распределение
Гумбеля–Вейбулла:
и
и и
0,
( )
1 exp ( ) ,
σ ≤ σ
σ =
− −α σ −σ σ ≥ σ
В
В
m
В В
P
, (5.46)
где
α
,
m
,
и
σ
– параметры распределения.
Здесь предполагается, что предел прочности не может быть
меньше значения
и
σ
. В частном случае параметр
и
σ
может быть
принят равным нулю (рис. 5.15).
Используются и иные законы распределения предела
прочности материалов: распределение Пирсона III типа,
логарифмически нормальное распределение и др.
Если вид распределения случайной величины заранее не
известен, то задача определения закона распределения
существенно усложняется. Для более наглядного представления
опытных данных обычно используется графическая форма, для
чего имеющиеся
n
результатов испытаний располагаются в по-
рядке возрастания. Полученная таким образом упорядоченная
выборка разбивается на несколько, как правило, одинаковых
интервалов. На-