Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2

Подождите немного. Документ загружается.

146

основная задача оптимизации) или обеспечивающих максимальную

надежность системы при ограниченных ресурсах (обратная основная

задача оптимизации). При этом в качестве показателей надежности

могут использоваться вероятность безотказной работы, коэффициент

готовности, средняя наработка и другие характеристики, а в качестве

ресурса – стоимость, масса, габаритные размеры или число элементов.

При отсутствии ограничивающих факторов решение задачи опти-

мального структурного резервирования сводится, как правило, к

определению элемента или элементов, резервирование которых дает

максимальное увеличение показателей надежности или коэффициента

выигрыша надежности (см. гл. 6.1). Для систем с последовательным

соединением элементов для этой цели выбирается самый ненадежный

элемент, для систем с более сложной структурой применяются

различные методы анализа, в том числе в первую очередь – аналити-

ческие.

Кроме того, простейшие задачи оптимального резервирования

часто возникают при проектировании промышленного оборудования

и технологических линий, когда требуется из нескольких возможных

вариантов конструктивного или технологического решения выбрать

наилучший (оптимальный). В этих случаях, как правило, приходится

рассчитывать и анализировать все возможные варианты, сравнивать

их между собой.

Наличие ограничений усложняет задачу оптимизации, и для ее

решения применяют более сложные и трудоемкие методы, в том числе

ориентированные на использование средств вычислительной техники:

метод простого перебора, метод неопределенных множителей

Лагранжа, градиентные методы (метод наискорейшего

покоординатного спуска), метод максимального элемента, метод

динамического программирования, метод ветвей и границ и др.

Метод простого перебора сводится к расчету и сравнению друг

с другом всех возможных в рамках наложенных ограничений

вариантов резервирования, из которых затем выбирается

оптимальный. При большом числе вариантов и для схем со сложной

структурой и большим количеством элементов этот метод становится

очень трудоемким и требует слишком большого объема вычислений.

Пример 6.13.

Рассмотрим решение прямой задачи оптимального

раздельного (поэлементного) нагруженного резервирования системы с

последовательным соединением элементов методом неопределенных

множителей Лагранжа. После введения в структуру системы

резервных элементов в общем случае она будет состоять из

147

последовательно соединенных групп элементов по

(1 <

)

параллельно соединенных элементов в каждой (рис. 6.14).

Рис. 6.14. Раздельное нагруженное резервирование

Если элементы каждой группы идентичны по характеристикам на-

дежности (

=…=

) и переключатели абсолютно надежны,

то вероятность безотказной работы и вероятность отказа такой

системы определяются выражениями:

( )

P q

= -

( )

1 1 1

Q P q

= - = - -

. (6.70)

Если

<<1 и в выражениях (6.70) после раскрытия скобок пренебречь

величинами порядка 2

и выше, то можно записать

1 1

1 ,

i i

n n

k k

i i

P q Q q

= =

» - =

е е

(6.71)

(принятое допущение не внесет существенной погрешности в

точность при mах{

} << 1/

, что часто выполняется).

Если стоимость элемента каждой группы обозначить через

то суммарная стоимость системы после резервирования

i i

C k c

. (5.72)

Формулировка прямой задачи оптимизации (обеспечение

минимальной стоимости при заданной надежности) сводится к

значениям

(

= 1, 2…), обеспечивающим минимальное значение

(

) при

заданном значении

(

) =

или

(

) =

Для решения задачи методом неопределенных множителей

Лагранжа целевую функцию (лагранжиан) запишем в виде

148

( ) ( ) [ ( ) ]

i i i

L k C k y Q k Q

= + -

, (6.73)

где

– неопределенный множитель Лагранжа.

Решение задачи сводится к решению системы

+ 1 уравнений

с неизвестными

1 2

, ,..., ,

k k k y

1 1

( )

n n

i i i

i i

L k

k c y q Q

k k

q Q

= =

й щ

ж ц

¶ ¶

= + - =

к ъ

з ч

¶ ¶

и ш

к ъ

л ы

е е

= 1, 2,…,

. (6.74)

После дифференцирования первых n уравнений получим

ln 0

i i i

c yq q

+ =

, (6.75)

откуда

y q

. (6.76)

После подстановки выражения (6.76) в последнее уравнение системы (6.74)

получим

y q

- =

, (6.77)

откуда

Q q

= -

. (6.78)

Тогда уравнение (6.76) приобретает вид

c Q

, (6.79)

откуда

149

[ ]

1 1

ln ln ln( )

ln ln ln

i i

i i i

Q c

k A h

q q q

й щ

ж ц

к ъ

з ч

ж ц

к ъ

з ч

= - + - = + -

з ч

к ъ

и ш

з ч

к ъ

з ч

и ш

к ъ

л ы

, (6.80)

где

( )

1 1

P p

» - -

. (6.81)

Аналогично можно решить и обратную задачу оптимизации.

Очевидно, полученные результаты нуждаются в корректировке до це-

лочисленных значений n, что вносит некоторую неоднозначность и многоарнантность

оптимизации. Поэтому в целом полученные решения могут использоваться для

ориентировочных расчетов, даже если допущение (6.71) соблюдается не очень строго.

Для системы с последовательным соединением двух элементов с

вероятностями отказов в течение заданного времени

= 0,3 и

= 0,5,

стоимостью

= 1 и

= 3 (в условных единицах) расчет по формулам

(6.72) показывает, что без резервирования вероятность безотказной

работы системы

(1,1) = 0,35 и вероятность отказа

(1,1) = 0,65. Если

необходимо увеличить вероятность безотказной работы системы до

(

) =

= 0,98 (или снизить вероятность отказа до

(

) =

= 0,02) при минимальной стоимости системы, то расчет по формулам

(6.80) – (6.81) дает следующие результаты:

= 4,77,

= 5,91. Для

получения целочисленного решения необходимо рассмотреть четыре

варианта сочетаний целых значений

, получающихся при

округлении до ближайших меньших и больших: 1)

= 4,

= 5,

(4,5)

= 19,

(4,5) = 0,039 >

; 2)

= 4,

= 6,

(4,6) = 22,

(4,6) = 0,024;

= 5,

(5,5) = 20,

(5,5) = 0,034 >

; 4)

= 5,

= 6,

(5,6) = 23,

(5,6) = 0,018 <

. Из рассмотренных вариантов только

четвертый полностью удовлетворяет поставленным условиям задачи.

Метод неопределенных множителей Лагранжа при решении задач

оптимизации достаточно прост и удобен. Однако в более сложных

случаях (например, при ненагруженном или облегченном

резервировании, при наличии нескольких ограничений и т.д.) его

использование не всегда позволяет найти аналитическое решение и

поэтому для этого часто приходится использовать численные методы,

из-за чего преимущества метода множителей Лагранжа теряются. В

150

этих случаях может быть целесообразно воспользоваться

методом

наискорейшего спуска

, хорошо приспособленным для нахождения

целочисленных решений и использованию средств вычислительной

техники.

Нахождение оптимальной структуры резервированной системы по

методу наискорейшего спуска представляет собой многошаговый про-

цесс, на каждом шаге которого добавляется резервный элемент,

который обеспечит наибольшее удельное приращение надежности в

расчете на единицу затрат. Процесс продолжается до тех пор, пока не

будет достигнуто требуемое значение вероятности безотказной

работы или другой характеристики надежности (при решении прямой

задачи оптимизации), или не будет достигнута предельная стоимость

технической системы (при решении обратной задачи оптимизации). В

качестве начального может рассматриваться как исходное состояние

системы, так и какое-либо приближенное к оптимальному, выбранное

по дополнительным соображениям исходя из конкретных условий

задачи.

Практически выбор элемента для резервирования на каждом шаге

определяется максимальным значением удельного приращения

надежности (например, вероятности безотказной работы) на единицу

стоимости (или другого ограничивающего параметра):

1 2 1

( , ,..., ,..., )

j n

k k k kδ

1 2 1 1 2

( , ,..., ,..., ) ( , ,..., ,..., )

j n j n

P k k k k P k k k k

й щ

= -

л ы

. (6.82)

Пример 6.14.

Применение метода наискорейшего спуска

рассмотрим на примере поэлементного резервирования системы из

двух последовательно соединенных элементов при условиях,

приведенных в примере 6.13, но с использованием ненагруженного

резервирования замещением отказавших элементов (рис. 6.15). Такие

или аналогичные задачи часто возникают при комплектовании

оптимального набора запасных элементов для технического

обслуживания и ремонта техни-

151

…………………………………….

Рис. 6.15. Резервирование замещением

ческих объектов. Вероятность безотказной работы такой системы для

идентичных по надежности элементов каждой группы

1 2 1 1 2 2

1 2

1 1

( , ) ( ) ( ) 1 1

! !

P k k P k P k q

k k

й щй щ

= = - -

к ък ъ

л ыл ы

. (6.83)

При реализации метода наискорейшего спуска на каждом шаге рас-

считываются вероятности безотказной работы при добавлении одного

элемента к каждой из групп

( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2 1 1 2 2

1 2

1 1

1, 1 1 1

1 ! !

k k

P k k P k P k q q

k k

й щ

+ = + = - -

к ъ

л ы

, (6.84)

( ) ( ) ( )

( )

1 2

1 2 1 1 2 2

1 2

1 1

, 1 1 1 1

! 1 !

k k

P k k P k P k q q

k k

й щ

+ = + = - -

к ъ

л ы

(6.85)

и удельные приращения надежности на единицу стоимости

( )

( ) ( )

1 2 1 2

1 2

1, ,

P k k P k k

k k

й щ

+ -

л ы

+ =

, (6.86)

152

( )

( ) ( )

1 2 1 2

1 2

, 1 ,

, 1

P k k P k k

k k

й щ

+ -

л ы

+ =

. (6.87)

Затем на каждом шаге к системе добавляется тот элемент, который

обеспечивает максимальное удельное приращение надежности

(

)

(

)

1 2 1 2

max{ 1, , , 1 }

k k k kδ δ δ= + +

. Для новой системы проверяется

выполнение ограничений и расчеты повторяются на новом шаге.

Результаты расчетов для указанных условий сведены в табл. 6.4.

Расчеты показывают, что оптимальная система состоит из трех

элементов первой и четырех элементов второй группы. При этом

вероятность безотказной работы системы

(

) = 0,9929 и ее

суммарная стоимость

(

) = 15 усл. ед. Модификацией метода

наискорейшего спуска является метод

максимального элемента,

который используется при решении комплексных задач оптимизации

показателей надежности сложных систем.

Т а б л и ц а 6.4

Оптимизация методом наискорейшего спуска

Номер шага

Параметры

1 2 3 4 5

1 2 2 3 3

1 1 2 2 3

) 0,7 0,955 0,955 0,9955 0,9955

) 0,5 0,5 0,875 0,875 0,9792

P(k

, k

) 0,35 0,4775 0,8356 0,8711 0,9748

+1) 0,955 0,9955 0,9955 0,9997 0,9997

P(k

+1, k

) 0,4775 0,4978 0,8711 0,8747 0,9788

δ(k

+1, k

) 0,1275 0,203 0,0354 0,0036 0,0041

+1) 0,875 0,875 09792 0,9792 0,9974

P(k

, k

+1) 0,6125 0,8356 0,9351 0,9748 0,9929

δ(k

, k

+1) 0,0875 0,1194 0,0332 0,0346 0,0060

153

2 2 3 3 3

1 2 2 3 4

Список литературы

1. Надежность машин. Машиностроение. Энциклопедия в 40 томах /

Под ред. К.С. Колесникова. – М.: Машиностроение. Т. 3, 1998. – 592 с.

2. Гнеденко Б. В., Беляев Ю. К., Соловьев А.Д. Математические методы

в теории надежности. – М.: Наука, 1965. – 524 с.

3. Хазов Б.Ф., Дидусев Б.А. Справочник по расчету надежности машин

на стадии проектирования. – М.: Машиностроение, 1986. – 224 с.

4. Труханов В. М. Методы обеспечения надежности машиностроения. –

М.: Машиностроение, 1995. – 304 с.

5. Болотин В.В. Ресурс машин и конструкций. – М.: Машиностроение,

1984. – 312 с.

6. Райншке К., Райншке К. Оценка надежности систем с

использованием графов. – М.: Радио и связь, 1988. – 208 с.

7. Болотин В.В. Случайные колебания упругих систем. – М.: Наука,

1979. – 336 с.

8. Augusti G., Baratta A., Casciati F. Probabilistis methods in structural

engineering. London: Chapman and Hall, 1984. – 556 p.

9. Madsen H. O., Krenk S., Zing N. C. Methods of structural safety.

Englewood Cliffs, Prentice – Hall, 1986. – 403 p.

154

10. Александров А. В., Потапов В.Д., Державин В.П. Сопротивление

материалов. – М.: Высшая школа, 2000. – 560 с.

11. Болотин В.В. Методы теории вероятностей и теории надежности в

расчетах сооружений. – М.: Стройиздат, 1982. – 351 с.

12. Королюк В.С., Турбин А.Ф. Полумарковские процессы и их

приложения. – Киев: Наукова думка, 1976. – 184 с.

13. Емелин Н.М. Обработка систем технического обслуживания

летательных аппаратов. – М.: Машиностроение, 1995. – 128 с.

14. Баруга-Рид А.Г. Элементы теории марковских процессов и их

приложения. – М.: Наука, 1969. – 511 с.

15. Розанов Ю.А. Введение в теорию случайных процессов. – М.:

Наука, 1982. – 127 с.

16. Гнеденко Б.В., Коваленко И.Н. Введение в теорию массового

обслуживания. – М.: Наука, 1987. – 336 с.

17. Барзилович Е.Ю. и др. Вопросы математической теории надежности. –

М.: Радио и связь, 1983. – 376 с.

18. Половко А.М. Основы теории надежности. – М.: Наука, 1964. – 446 с.

19. Сборник задач по теории надежности / Под ред. А.М. Половко и

И.М. Маликова. – М.: Сов. радио, 1972. – 407 с.

20. Кондрашкова Г.А., Фесенко Е.П. Надежность измерительных

устройств в целлюлозно-бумажной промышленности. – М.: Лесная

промышленность, 1978. – 160 с.

21. Сотсков Б.С. Основы теории и расчета надежности элементов и

устройств автоматики и вычислительной техники. – М.: Высшая школа, 1970.

– 272 с.

22. Палюх Б.Ф. и др. Надежность систем управления химическими

производствами. – М.: Химия, 1987. – 178 с.

23. Надежность технических систем: Справочник / Под ред. И.А.

Ушакова. – М.: Радио и связь, 1985. – 608 с.

24. Хенли Э., Кумамото Х. Надежность технических систем и оценка

риска. – М.: Машиностроение, 1984. – 528 с.

25. Рябинин И.А., Черкесов Г. Н. Логико-вероятностные методы

исследования надежности структуро-сложных систем. – М.: Радио и связь,

1981. – 264 с.

26. Надежность и эффективность в технике: Справочник: В 10 т. Т. 5.

Проектный анализ надежности. – М.: Машиностроение, 1988. – 316 с.

27. Кафаров В.В. и др. Обеспечение и методы оптимизации надежности

химических и нефтеперерабатывающих производств. – М.: Химия, 1987. –

272 с.

155

28. Кафаров В.В., Перов В.Л., Мешалкин В.П. Принципы

математического моделирования химико-технологических систем. – М.:

Химия, 1974. – 344 с.

29. Жилинский И.Б. Основы надежности и долговечности. Ч. 2. – М.:

Моск. ин-т химич. машиностр., 1976. – 154 с.

30. Наумов В.А. Основы надежности и долговечности в

машиностроении / Омск. политехн. ин-т. – Омск, 1972. – 322 с.

31. Сукач Е.В., Василенко Н.В., Назаров Г.Г., Паньшин А.Б., Карка-

рин А.П. Надежность технических систем / НИИ СУВПТ. – Красноярск,

2000. – 608 с.

32. Барлоу Р.Е., Прошан Ф. Математическая теория надежности. – М.:

Сов. радио, 1969. – 541 с.

33. Райкин А.Л. Вероятностные модели функционирования резервных

устройств. – М.: Наука, 1968. – 303 с.