Гуськов, А.В., Милевский, К.Е. Надежность технических систем и техногенный риск. Часть 2
Подождите немного. Документ загружается.
37
р = 2000
20
18
16
14
12
10
8
6
4
2
210 230 250 270 290 310 330 350 370 390
1
2
3
Рис. 5.16
. Статистические кривые распределения предела
текучести стали:
1
,
2
– по данным разных заводов;
3
– кривая Гаусса
ходят отношение числа испытаний
n
i
, приходящихся на
i
-й
интервал, к общему числу испытаний:
i
i
n
w
n
=
,
где
w
i
– частота, соответствующая
i
-му интервалу (рис. 5.16).
Сумма частот всех интервалов должна быть, очевидно, равна
единице. Откладывая вдоль оси абсцисс интервалы изменения
случайной величины и строя над каждым из них прямоугольник,
высота которого пропорциональна частоте
iv
, получают график,
называемый гистограммой. Гистограмма является некоторой
графической оценкой плотности распределения исследуемой
случайной величины. При увеличении числа испытаний
упорядоченную выборку можно разбить на все большее число
интервалов, число которых, однако, как правило, не превышает
10...12.
Например, при испытании 106 образцов однонаправленного
стеклопластика на растяжение были получены значения предела
прочности, меняющиеся в пределах 368...602 МПа. В табл. 5.2
представлено распределение предела прочности при разбиении
38
диапазона его изменения на восемь равных интервалов длиной
∆ = 29,25 МПа.
Т а б л и ц а 5.2
Распределение предела прочности
однонаправленного стеклопластика
σ
В
,
МПа
368...
...397,2
5
397,25..
.
...426,5
426,5...
...455,7
5
455,75..
.
...485,0
485,0...
...514,2
5
514,25..
.
...543,5
543,5...
...572,7
5
572,75..
.
...602
n
i
1 6 10 20 29 24 13 3
w
i
0,0094
0,0566
0,0943
0,1887
0,2736
0,2264
0,1226
0,0283
2
10
i
i
w
P
=
∆
0,0323
0,1935
0,3225
0,6451
0,9353
0,7741
0,4193
0,0968
На рис. 5.17 показана гистограмма, построенная на основании
данных, приведенных в табл. 5.2. Оценки математического ожидания и
среднеквадратичного разброса предела прочности соответственно равны
< σ
В
> = 498 МПа,
43
s
=
МПа.
Основной задачей математической статистики является подбор
по известным эмпирическим данным теоретического распределения
изучаемой случайной величины. Трудность решения этой задачи
заключается в выборе теоретической кривой распределения, в некотором
смысле наилучшим образом описывающей заданное статистическое
распределение. Обычно та или иная функция распределения выбирается
либо на основании накопленного опыта, либо из каких-то других
соображений. Проверка гипотезы о приемлемости принятой теоретической
функции распределения для описания случайной величины производится
на основании специаль-
ных критериев согласия. На рис. 5.17 помимо гистограммы приведена
кривая нормального распределения при
B
< σ >
= 498 МПа
и
s
= 43 МПа.
Критерии согласия свидетельствуют о приемлемости
нормального закона для описания распределения предела прочности
однонаправленного стеклопластика при растяжении.
39
В качестве другого примера можно привести результаты
испытаний 302 образцов бетона на сжатие в возрасте 281сут. в условиях
производственного хранения. На основании опытных данных по-
р
⋅
10
2
0,75
0,50
0,25
0
368 498 602
σ
В
, МПа
Рис. 5.17.
Гистограмма и кривая Гаусса для предела
прочности однонаправленного стеклопластика
лучены оценки математического ожидания предела прочности
B
< σ >
= 45,99 МПа среднеквадратичного разброса
s
= 3,46 МПа.
Критерии согласия также подтверждают применимость нормаль-
ного закона для описания распределения предела прочности бето-
на (рис. 5.18). При расчетах строительных конструкций наряду
р
⋅
10
2
0,9
0,6
0,3
0
1,7
46,99
σ
В
, МПа
40
Рис. 5.18.
Гистограмма и кривая Гаусса
для предела прочности бетона
с изменчивостью механических характеристик материала приходится
считаться с изменчивостью геометрических характеристик элементов, в
частности площади поперечного сечения стержней, и внешних
воздействий. Статистический анализ многочисленных замеров натурных
конструкций показывает, что для описания геометрических
характеристик поперечных сечений может быть использован
нормальный закон. При этом числовые значения параметров
распределения могут меняться для разных конструкций в достаточно
широких пределах. Однако статистический разброс геометрических
характеристик чаще всего не очень велик. Например, коэффициент
изменчивости площади поперечного сечения арматуры железобетонных
конструкций, как правило, не превышает значений 0,02...0,03.
Сложнее обстоит дело с описанием внешних нагрузок,
поскольку природа этих нагрузок может быть разной. Для
собственного веса конструкций используется нормальное
распределение. Так, для собственного веса железобетонных
конструкций мостов коэффициент вариации принимается равным
0,033. Другие нагрузки, например снеговая, ветровая, имеют
несимметричное распределение типа логарифмически
нормального или двойного экспоненциального. Учитывая
случайную природу внешних воздействий на конструкцию и
изменчивость геометрических характеристик поперечных сечений
стержней, можно утверждать, что напряжения, возникающие в
этих стержнях, являются случайными величинами.
Следует отметить, что существующие нормы расчета
строительных конструкций по предельным состояниям учитывают
изменчивость нагрузок и сопротивления материала путем
введения соответствующих коэффициентов надежности при
определении значений расчетных сопротивлений расчетных
нагрузок.
Расчет конструкций на прочность сводится к проверке
выполнения условия
R
σ <
. (5.47)
Здесь под
R
понимается предел прочности (или текучести)
материала. Заметим, что в аналогичной форме можно представить
и условие жесткости конструкции. Тогда под
σ
следует понимать
41
перемещение какой-либо точки или узла конструкции, а под
R
–
допускаемое (нормативное) перемещение.
Предел прочности материала и напряжение, действующее в
конструкции, являются случайными величинами. Характер их
изменения таков, что в большинстве случаев нельзя установить
имеющие практический смысл верхний предел для напряжений и
нижний предел для предела прочности. Поэтому условие (5.47) не
может быть заменено неравенством
max min
R
σ <
,
а стало быть, абсолютное требование о выполнении соотношения
(5.47) во всех случаях лишено смысла. Можно лишь требовать,
чтобы это условие выполнялось с большой вероятностью,
достаточно близкой к единице.
Введем новую случайную величину
S
=
R
– σ, (5.48)
с помощью которой условие прочности записывается в виде
S
> 0. (5.49)
Введем также важное понятие отказа, под которым понимается
событие, делающее рассматриваемую систему непригодной для
выполнения своих функций
Обращение
S
в нуль, т.е. нарушение условия (5.49)
соответствует наступлению предельного состояния конструкции,
другими словами – наступлению ее отказа. Тогда вероятность
того, что
S
имеет положительное значение, называется
вероятностью безотказной работы.
Если речь идет о прочностном расчете, то можно говорить о
вероятности неразрушения конструкции. Если обозначить через
р
(
S
) плотность распределения вероятностей величины
S
, то
вероятность безотказной работы будет равна
0
( ) ( )
P p S dS
∞
+ =
∫
, (5.50)
а вероятность наступления отказа
( ) 1 ( )
P P
− = − +
. (5.51)
42
На рис. 5.19 показан график плотности распределения
р
(
S
), на
котором площадь заштрихованной области определяет
вероятность появления отказа (вероятность разрушения)
конструкции.
Вероятность неразрушения долж-
на быть не ниже нормативного
значения
Р
+
:
( )
P P
+
+ >
.
Это неравенство можно
рассматривать как условие
прочности, сформулированное в
терминах теории вероятностей.
Из равенства (5.48) нетрудно
найти математическое ожидание и
дисперсию случайной величины
S
:
S R
= − σ
,
2 2 2
2S R R
= − σ + σ
%
% %
% %
,
где
S S S
= −
%
,
R R R
= −
%
,
σ = σ− σ
%
.
Если случайные величины
R
,
σ
не коррелированны между собой,
т. е.
0
R
σ =
%
%
, то дисперсия величины
S
оказывается равной сумме
дисперсий величин
R
и σ:
2 2 2
S R
= + σ
%
%
%
.
Среднеквадратичный разброс тех же величин равен
2
S
S S
=
%
,
2
R
S R
=
%
,
2
S
σ
= σ
%
.
Назовем отношение
S
S
S
γ =
(5.52)
коэффициентом безопасности.
Эта величина показывает, сколько отрезков, численно рав-
ных
S
S
, может быть отложено в интервале [0, <
S
>] (рис. 5.19).
Выражение (5.52) можно привести к следующему виду:
p
(S)
S
γ
S
S
Рис. 5.19
. Плотность распре-
деления величины
S
43
2 2 2
1
R
k
v k v
σ
−
γ =
+
. (5.53)
Здесь
k R
= σ
– условный коэффициент запаса;
R R
V S R
=
,
V S
σ σ
= σ
– коэффициенты вариации (изменчивости) случайных
величин
R
и
σ
. Часто величины
R
и
σ
подчиняются нормальному
закону распределения. Тогда, как известно,
S
также является
нормально распределенной величиной. В таком случае выражение
(5.50) принимает вид
2
0
1
( ) exp
2
2
S
S
S S
P dS
S
S
∞
−
+ = −
π⋅
∫
. (5.54)
Введем новую переменную интегрирования
S
S S
x
S
−
=
.
После несложных преобразований равенство (5.54) запишется
следующим образом:
( ) 0.5
Ф( )
P
+ = + γ
,
причем выражение
2
0
1
Ф( )
2
x
e dx
γ
−
γ =
π
∫
является функцией Лапласа, таблицы которой содержатся во многих
справочниках по высшей математике и статистике.
В свою очередь, для вероятности разрушения получим
выражение
( ) 0.5
Ф( )
P
− = − γ
.
При расчетах характеристика безопасности
у
имеет перед
Р
(–) то
преимущество, что последняя выражается, как правило, очень малой
десятичной дробью, а γ – небольшим числом, близким к единице. В табл.
5.3 приведены некоторые значения
Р
(–) и соответствующие им значения
γ
, откуда видно, что с увеличением
у
происходит снижение вероятности
наступления отказа.
Т а б л и ц а 5.3
44
ЗНАЧЕНИЯ ВЕРОЯТНОСТИ НАСТУПЛЕНИЯ ОТКАЗА,
ВЕРОЯТНОСТИ БЕЗОТКАЗНОЙ РАБОТЫ, ХАРАКТЕРИСТИКИ
БЕЗОТКАЗНОСТИ
P(–) 0.1 0.01 0.001 0.0001
3.2⋅10
–5
2.9⋅10
–7
P(+) 0.9 0.990 0.9990 0.99990 0.9999683 0.9999997
γ
1.28 2.33 3.1 3.72 4 5
Часто в расчетах характеристику безопасности
γ
принимают
равной трем, что при нормальном законе распределения
соответствует так называемому правилу трех стандартов.
Вероятность наступления отказа при этом оказывается равной
0,00137, а
Р
(+) =
= 0,99863.
Рассмотрена ситуация, когда внешние нагрузки и предел про-
чности остаются неизменными во времени. В таком случае
вероятность безотказной работы также не меняется во времени.
Однако, если нагрузки являются функциями времени, тем более
случайными, то вероятность безотказной работы конструкции
становится также функцией времени.
5.2.2. КВАЗИСТАТИЧЕСКИЕ МОДЕЛИ
Модель нагрузка–сопротивление, описанная формулами
(5.37) – (5.39) является частным случаем более общих моделей
теории надежности, которые не содержат явного времени. Следуя
терминологии, предложенной В.В. Болотиным, будем называть
эти модели квазистатическими. Пусть нагружение дискретное и
однократное, а связь между векторами
u
,
v
и
s
выражена
конечными функциональными соотношениями. Тогда
v
– слу-
чайный вектор, распределение которого зависит от распределений
векторов
r
и
s
. Формула (5.39) для вероятности безотказной
работы принимает вид
( )
P p v dv
Ω
=
∫
, (5.55)
где
р
(
v
) – плотность вероятности вектора
v
;
Ω
– допустимая
область, с которой совпадает область интегрирования.
По условию вектор
v
связан с векторами
r
и
s
функциональной
зависимостью; поэтому нетрудно выразить вероятность
Р
45
непосредственно через плотность вероятности
р
(
r
,
s
) компонентов
этих векторов:
( , )
P p r s drds
Ω
=
∫∫
. (5.56)
Область интегрирования в (5.56) задана соотношением
Ω = {
r
,
s
:
v
(
r
,
s
)
∈
Ω}.
В более общем случае, когда нагружение происходит в
дискретные моменты времени
t
0
,
t
1
, ...,
t
k
, а значения вектора
v
после
k
-го нагружения случайным образом связаны с его
значениями после (
k
– 1)-го нагружения, имеем
1 1 1 1 1 1
( ) ( , , ) ( , )
k k k k k k k k k k
P t t p v t v t p v t dv dv
− − − − − −
Ω
=
∫
, (5.57)
где
p
(
v
1
k
−
,
t
1
k
−
) – плотность вероятности значений вектора
V
при
t
=
t
k
;
1 1
( , , )
k k k k
p v t v t
− −
– переходные плотности вероятности.
Если считать, что результат предыдущего нагружения не влияет на
состояние и качество в момент, предшествующий следующему
нагружению, то вместо (5.57) получим
P
(
t
k
) =
P
k
(
t
k
)
P
k–
1
(
t
k–
1
)…
P
0
(
t
0
).
В правой части введены обозначения для показателей типа:
( ) ( , )
k k k k k
P t p v t dv
Ω
=
∫
(
k
= 0, 1, 2…),
каждый из которых равен вероятности безотказной работы при
одном из независимых нагружений.
В качестве примера рассмотрим совместное нагружение вала
кругового поперечного сечения изгибающим
M
b
и крутящим
М
t
моментами. Наложим на моменты ограничения, соответствующие
критерию прочности вала по максимальным, касательным
напряжениям (при условии работы материала в пределах
упругости). Пространство
V
– двухмерное, а допустимая область в
нем – открытый круг
46
Ω =
2 2 2
*
{ , :
b t b t
M M M M M
+ <
,
где
М
*
– предельное значение эквивалентного момента.
Если
M
*
– случайная величина, то следует включить
M
*
в число
параметров качества. Пространство станет трехмерным с допусти-
мой областью
Ω =
2 2 2
* * *
{ , , : , 0}.
b t b t
M M M M M M M+ < >
Согласно формуле (5.57)
2 2 2
*
* *
0
( , , )
b t
b t b t
M M M
P p M M M dM dM dM
∞
+ <
=
∫ ∫∫
. (5.58)
Выполним вычисления в правой части этой формулы в
предположении, что моменты
М
b
,
М
t
и
М
*
независимы, причем
значения мо-ментов
М
b
и
М
t
распределены нормально с
математическими ожи-даниями, равными нулю, и дисперсиями
2
b
σ
и
2
t
σ
. Их совместная плотность вероятности
p
(
M
b
,
M
t
) =
2 2
2 2
1 1
exp .
2 2
b t
b t
b t
M M
− +
πσ σ
σ σ
(5.59)
Введем полярные координаты
М
b
=
М
r
cos θ;
M
b
=
M
r
sin θ и
произведем интегрирование по полярному углу θ. В результате
правая часть формулы принимает вид
*
2 2 2
2 2
0 0
1 ( )
exp
4
M
r b t
b t
b t
M
P
∞
σ +σ
= −
σ σ
σ σ
∫ ∫
×
×
2 2 2
0 * *
2 2
( ) ,
4
r b t
r r
b t
M
I p M M dM dM
σ +σ
σ σ
(5.60)
где
I
0
(
α
) – функция Бесселя взаимного аргумента.
Дальнейшие вычисления в общем случае требуют численного
интегрирования.