Хейденрайх Р. Основы просвечивающей электронной микроскопии
Подождите немного. Документ загружается.
6_2
____
Г_Л.
1.
ИДЕАЛЬНЫЕ,
ИЛИ
ГАУССОВЫ,
ИЗОБРАЖЕНИЯ
Фиг.
19 .
.картины
рассеяния
в
задней
фокальной
ПЛОСI<ОСТИ
объективноii
линзы
(60
1'>в).
а
-
напыленный
углерод
(мансимумы
соответствуют
2
и
1
.А);
б
-
ноллодий
(слабые
мансиму;"lЫ,
соотвеТСТвующие
4
и
2
.А);
в
-
полИэтилен
(мансимумы
соответствуют
4'h
И
2
А);
г
-
оттененный
германием
углерод
(мансимумы
соответствуют
3 2
и
1 8
А)
зображены
(В
масштабе)
отверстия
апертурной
диафрагмы
(50,
30
Ii 20
"';'n)"
.
ния
для
германия
можно
ожидать,
что
кристаллиты
германия
будут
видны
на
изображении.
Ширина
первого
максимума
(CM~
фиг.
19,
г)
равна
примерно
1,5
ММ,
отсюда
при
L'Л
=
23,80
А,мм
размер
Rристаллитов
в
соответствии
с
(1.23б)
равен
35
А.
Эта
грубая
оценка
СЛУЖИТ
только
для
иллюстрации.
На
фиг.
20
§
3.
РАССЕЯНИЕ
НА
НВАЗИАМОРФНЫХ
ТЕЛАХ
показаны
две
электронные
микрофотографии
этого
образца.
Они
получены
на
микроскопе
с
двойным
нонденсором
и
ускоря
ющим
напряжением
60
кв;
диаметр
апертуры
равен
30
M1'i.
Раз
личие
снимков
состоит
в
том,
что
второй
ИЗ
них
(б)
сделан
при
измененном
на
50
наклоне
образца.
Если
детали
изображения
обусловлены
различной
толщиной
объекта,
то
при
изменении
наклона
образца
изображение
не
должно
сильно
измениться.
Если
же
контраст
обусловлен
наличием
кристаллических
областей,
выявившихся
на
изображении,
наклон
образца
на
50
достаточен
для
изменения
дифракционных
условий
для
многих
кристалли
тов.
В
этом случае
изменение
изображения
будет
существенным.
Исследование
деталей
микрофотографий,
представленных
на
фиг.
20,
показывает
существенное
изменение
локального
конт
раста
при
наклоне.
Это
приводит
к
заключению
о
том,
что
ответ
ственными
за
эти
детали
являются
кристаллиты
объеRта.
Раз
мер
кристаллических
областей
на
изображении
равен
примерно
50
А,
что
согласуется
с
оценкой
их
величины
по
ширине
диф
ракционного
максимума.
В
том
случае,
когда
размер
Rристалли
тов
сравним
с
толщиной
пленки
(образца),
контраст
определяется
Фиг.
20.
Электронные
микрофотографии
оттененного
германием
углеРОi1а
показывающие
изменение
контраста
на
изображении
при
наклоне
образца на
5
о.
а
-
исходное
положение
образца;
б
-
образец
нанлонен
на
50.
Дифранционные
нартина
при
60
nв
поназана
на
фиг.
19,
г.
ГЛ.
1.
ИДЕАЛЬНЫЕ,
ИЛИ
ГАУССОВЫ,
ИЗОБРАЖЕНИЯ
-дифракционными
условиями
и
соотношением
(1.12г),
ибо
кон
траст,
обусловленный
эффективной
толщиной,
не
ответствен
за
детали
фиг.
20.
Того
же
самого
можно
было
бы
ожидать
и
в
случае
полиэти
.лена,
поскольку
первый
максимум
на
фиг.
19,
в
сравним
по
шири
не
с
первым
максимумом
германия
(фиг.
19,
г).
Но
электронные
микрофотографии
показывают
отсутствие
деталей,
обусловлен
ных
дифракционным
контрастом.
В
этом
случае
пленка
была
'то'лщиной
около
1000
А,
а
поэтому
очень
много
изображений
{)тдельных
кристаллитов
накладывалось
друг на
друга.
В
резуль
тате
получить
изображения
отдельных
кристаллитов
невозможно
из-за
недостаточного
контраста.
Полиэтилен,
как
и
многие
дру
гие
кристаллические
органические
материалы,
неблагоприятно
переносит
электронную
бомбардировку,
и
порядок
в
нем
быстро
нарушается.
Вследствие
этого
дифракционную
картину и
микро
фотографии
следует
снимать
при
низкой
интенсивности
падающе
го
пучка
и
за
очень
небольшое
время.
Дифракционная
картина
для
полиэтилена
в
задней
фокальной
плоскости
объектива
может
иметь
острые
максимумы,
как
пока
зано
на
фиг.
21,
а,
где
представлена
картина
рассеяния
на
ориен
тированном
поликристаллическом
образце.
Максимумы
соответ-
,ствуют
расстояниям
в
4,15, 3,72, 2,98
и
2,48
А
[181.
Образец
был
получен
выливанием
кипящего
раствора
марлекса
в
ксилоле
на
согретую
поверхность
стекла.
Толщина
пленки
была
около
1000 1.
Литая
пленка
обнаруживает
сферолитическую
струк
туру
(см.
фиг.
21,
б),
обычную
для
полиэтилена.
Границы
между
-сферолитами
похожи
на
границы
между
зернами
в
металлах.
Характер
максимумов
интенсивности,
представленных
на
фиг.
21,
а,
предсказывает
возможность
получения
изображений
кри
сталликов.
Но
на
изображении
дифракционный
контраст
не
реа
лизуется
вследствие
наложения
большого
числа
кристалликов
по
толщине
пленки-образца.
Темнопольное
изображение
показано
на
фиг.
21,
в,
положение.
апертуры
при
этом
показано
контуром
на
фиг.
21,
а
1).
Наиболь
ший
вклад
интенсивности
в
этом
изображении
дают
дифракцион-
ные
максимумы,
соответствующие
расстояниям
4,1
и
3,7
А.
Непосредственно
сравнить
его
со
светлопольным
изображением
нельзя,
так
как
эти
два
изображения
получены
от
разных
участ
ков
образца.
Дело
в том,
что
перемещение
апертуры
вызывает
изменение
поля
наблюдения.
Из
сравнения
двух
этих
изображе
ний
можно
сделать
заключение
о
том,
что
в
данном
случае
кон-
1)
При
этом
положении
обеспечивается
максимум
Пр
(~o)
в
соотноше
нии
(1.16а)
и
максимальная
чувствительность.
,
§ 3.
РАССЕЯНИЕ
НА
НВАЗИАМОРФНЫХ
ТЕЛАХ
65
ф
21
а
-
дифРaIщионная
картина
l{ристаллической
полиэтиленовой
пл:н~'и'
б
-
светлопольное
изображение
полиэтилена
(видны
сфероли:
ты
);
в
_
те~нопольное
изображение,
полученное
после
перемещения
диафрагмы
в
положение,
ПОIшзанное
на
фиг.
а.
т
обусловленный
наличием
кристаллитов,
трудно
отделить
трас
,
Ф
.. ..
б
к
от
контраста,
обусловленного
~ф
ективнои
толщинои
о
ъе
та.
При
толщине
образца
100-:-200
А
больше
шансов
получить
изоб
ражения
кристаллов.
Таким
образом,
мы
видим,
что
не
всегда
наличие
<<Кристаллической»
картины
рассеяния
приводит
к
появ
лению
дифракционного
контраста.
Два
примера,
представленных
5
Р.
Хейденрайх
66
ГЛ.
1.
ИДЕАЛЬНЫЕ,
ИЛИ
ГАУССОВЫ,
И30БРАЖЕ:tIия
на
фиг.
20
и
21,
показывают,
что
для
интерпретации
контраста
на
изображении
должны
быть
исследованы
как
картина
рассеяния,
так
и
изображение.
§ 4.
Общие
замечания
В
настоящей
главе
рассма
тривались
оснОвные
особенности
кон
траста,
формируемого'
системой
объективной
линзы.
Было
принято
предположение,ОР
однократном
рассеянии,
что
привело
к
соотношению
(1.8).
Такой
подход
является
хорошим
прибли
жением
для
объяснения
контраста
на
изображениях
объектов,
толщина
которых
равна
средней
длине
свободного
пробега
электро
на
Л
[соотношение
(1.10)]
или
меньше
ее.
Основным
условием
при
этом
является
требование
того,
чтобы
линейные
размеры
кристаллических
областей
были
меньше
разрешения
линзы.
Если
же
толщина
пленки
велика
по
сравнению
с
размерами
кри
сталлитов"
а
кристаллиты
расположены
хаотически,
то
интерпре
тация,
основанная
на
ПОНятии
эффективной
толщины,
является
прекрасным
приближением
даже
в
том
случае,
когда
размеры
кристаллитов
больше
разрешающей
способности
линзы.
Подобное
положение
часто
встречается
при
исследованиях
полимеров.
;
Интенсивность
светлополъного
изображения
аморфных
?rIaTe-
р:цалов
определяется
толщиной
образца
и
пОлным
сечением
рас
сеяния.
Распределение
интенсив:Н:ост.И
на
темнопольном
изобра
жении
определяется
дифференциальным
сечением
и
плотностью
образца,
что
видно
из
соотношения
(1.15).
На
величину
диффе
ренциального
сечения
рассеяния
оказывает
влияние
интерферен
ция
рассеянных
электронов,
и
это
сечение
содержит
информацию
о
межатомных
расстояниях
объекта.
Картина
рассеяния
характе
ризуется
величинами,
обратными
этим
расстояниям.
Для
того
чтобы
основная
информация
о
расстояниях
в
объекте
была
перенесена
на
изображение,
размеры
в
картине
рассеяния,
обратные
этим
расстояниям,
должны
(шроходиты>
сквозь
аперту
ру
объектива.
Для
интерференционных
или
дифракционных
осо
бенностей,
соответствующих
расстоянию,
в
объекте,
угол
рас
сеяния
определяется
из
соотношения
~~~.
r
Это
соотношение
является
ключевым
в
случае
фазового
контраста,
так
как
основная
фазовая
информация,
переносимая
на
изобра
жение,
ограничивается
неравенством
~
<
~об.
Рассмотрим
двумерную
систему
сферических
рассеивающих
центров,
показанных
на
фиг.
22.
Они
располагаются
вдоль
взаимно
перпендикулярных
прямых
с
шагом
'0-
Если
одну
сферу
§ 4.
ОБЩИЕ
ЗАМЕЧАНИЯ
14-------
2n
-------I-t
Фиг.
22.
Рассеивающие
сферы,
расположенные
в
вершинах
:квадратов,
с
расстоянием
между
центрами,
равным
го.
Для
получения
полного
изображения
необходимо,
чтобы
в
апертуру
объе~тивной
линзы
проходил
дифрагированный
пучок,
соответствующий
расстоянию
то}
У2.
Если
же
проходит
только
пучок,
соответствующий
расстоянию
т.
(кроме
нулевого
пучиа);
.
то
формируется
неполное
изображение.
.
выбрать
за
начальную,
то
координаты
всех
остальных
будут
nх'о
и
nу'о,
где
n
х
и
n
у
-
целые
числа.
Радиус-вектор
любого
центра
равен
(1.27а)
его
длина
I r I
=::'0
V
n~
-+-
n~.
(1.27б).
Систему
можно
ограничить
квадратом
со
стороной,
равной
2n,
в
центре
которого
расположена
начальная
сфера.
Наиболъшее'
расстояние
между
двумя
сферами
(по
диагонали)
равно
I
rмаис
I =
n'о
V"2.
(1.27в)
Минимальное
расстояние
- 'o/V2.
Апертура
объектива,
необхо
димая
для
того,
чтобы
получить
информацию
о
значении
1,
r
f',
5*
68
ГЛ.
1.
ИДЕАЛЬНЫЕ,
ИЛИ
ГАУССОВЫ,
'ИЗОБРАЖЕНИЯ
должна
удовлетворять
условию
л
~об
>
~
= v 2 + 2 •
'о
n
х
n
у
(1.27г)
Наименьшее
расстояние,
которое
можно
получить
на
изобра-
жении,
будет
равно
'
V
--c2°--+~'-2
Л.
(1
27 )
ГО'
n
х
'
n
у
=
~об
• •
д
Из
фиг.
22
видно, что
при
ro/V2" >
лj~Об
на
плоскость
изоб
ражения
переносится
информация
о
всех
расстояниях
в
объекте
и,
таким
образом,
формируется
nолuое
uзображеuuе
1).
Если
же
ro
<
Л/~Об,
то
ro
не'
проявится
на
изображении
и
наименьшее
расстояние
будет
определяться
выражением
(1.27д).
При
этом
формируется
uеnолuое
uзображеНие.
Такое
изображение
полу
чается
при
исследовании
Bce~
реальных
кристаллов.
Если
наи
меньшее
расстояние
в
кристалле
превышает
разрешение
линзы
и
больше
Л/~Об,
то
будет
сф'ормировано
полное
изображение.
Вопрос
только
в
том,
будет
ли
ОНО'
достаточно
контрастным.
Превосходный
пример
периодической
структуры,
удовлетворя
ющей
условиям
для
полного
изображения,
представлен
на
фиг.
23.
Это
-
хорошее
изображение
макромолекулы,
состоящей
из
вирус
ных
частиц,
упакованных
в
форме
кристалла.
Расстояния
здесь
достаточно
большие,
так
что
полная
интерференционная
картина
заключена
в
конусе
с
углом,
равным
5·10-4
рад.
Спектры
высо
ких
порядков,
возможно,
исключены,
но
они
вносят
вклад
в
контраст
и,
кроме
того,
имеют
очень
малую
интенсивность.
Картина
рассеяния,'
обусловленная
атомами,
составляющими
вирусные
частицы,
и
материалом
реплики,
подобна,
конечно,
представленной
на
фиг.
19,
а,
и
соответствующий
ей
контраст
обусловлен
практически
эффективной
толщиной.
На
фиг.
5
было
показано
изображение
межплоскостных
расстояний
в
МоО
з
,
хорошо
иллюстрирующее
неполное
изображение.
Информация
о
других
атомных
расстояниях
в
кристалле
не
достигает
пло
скости
изображения
вследствие
того,
что
картина
рассеяния,
соот
ветствующая
этим
расстояниям,
отсекается
апертурой
объектива.
Поэтому
отдельные
атомы
и
не
дают
изображений
(см.
гл.
10,
§ 4).
Настоящая
глава
была
посвящена
общим
соображениям
отно
сительно
картины'
рассеяния
и
соответствующего
изображения.
В
последующих
главах
будут
рассмотрены
все
детали,
имеющие
отношение
к
получению
изображения,
а
также
некоторые,
иногда
очень
сложные,
специальные
случаи.
Они
не
должны
заслонять
l}
Полное
в
том
смысле,
что
в
создании
изображения
участвуют
и
ампли
ТУДI;IЫЙ,
и
фазовый
механизмы
контраста.
ф
и
г.
23.
Электронная
микрофотография
оттененной
v
металлом
экстрак
ционной
репшши
кристалла вируса
табачнои
мозаики.
о
дифранционная
нартина,
соот
Периодичесная
струн!ура
в
да
нном
~
случае
Ta~o:~,
~pT
оходит
В
апертуру
объентивноЙ
ветствующая
большои
решетне,
по
IТИ
полно
Т
')
А
[20]
линзы.
Расстояние
между
глобулярными
моленулами
равно
примерно
3~O
.
70
гл.
1.
ИДЕАЛЬНЫЕ,
ИЛИ
ГАУССОВЫ,
ИЗОБРАЖЕНИЯ
Основных
ид~й,
изложенных
в
данной
главе,
ПОСRОЛЬRу
все
это
имеет
в
Rакои-то
мере
временное
значение
и
представляет
интерес
ТОлько
потому,
что
еще
нет
усовершенствованных
объеRТИВНЫХ
линз,
которые
должны
появиться
со
временем.
ЛИТЕРАТУРА
1.
Zworykin
V
К
м
lier]
V
..
,
orton
G.
А.!
RambergE.
G.,
Hil-
New YO;k,
~9~5~
е
А.
W.,
Electron
OptlCS
and
the
Electron
Microscope,
~.
~
о
s
~
1
е
t t
V.
Е.,
Introduction
to
Electron
Optics Oxford 1946
4'
S
с
о.
t W.
Т.,
Неу.
Mod.
Phys.,
35, 231 (1963).
'.
' .
5'
m 1
t.h
G.
Н.,
В
u r g
е
Н.
Е.,
Ргос.
Phys. Soc.
~.
61? (1963)
.
В
о
r r 1
е
s
В.,
Zs. Naturforsch.,
4а,
51
(1942)
'\J.
..
~.
~:ll
С.
Е.,
1ourn.
~ppl.
Phys.,
22, 655 (195'1).
8
~
D
Ь
1
С.
Е.,
IntroductlOn to
Electron
Microscopy New York 1953
сЬ
9
9'
е
у.е
Р.,
Ann. d:
Phys.,
46, 809
(1915)..'
".
.
10
'
ZJ
е
r n 1 k
е
F.,
Р
r 1 n s 1.
А.,
Zs. Phys.
4.1
184 (1927)
а
m
е
s R W
О
t'
1
Р'
. 1 f " .
. 1954
ъ'
9 (.,
Р
lca
ГШСlР
es
о
the
Diffraction
о!
X-Rays, London
О
,с.
имеется
перевод
предыдущего
издания'
Р
Д
ж
е
и
u
м
'
птические
принципы
Ф
. .
с,
11.
·К'!
u g
Н
Р
А
1
ди
ракции
рентгеновских
лучей,
ИЛ,
1950).
line and'
A~orph~u~
aMntd
~
Г
l
L·NE.,
yX-Rа
у
Procedures
[ог
Polycrystal-
12
К
1
а
erla s, ew ork, 1954,
сЬ.
9.
13'
а
r
е
1.,
К
а
r 1
е
J.,
lourn.
СЬеm.
Phys.,
18, 957 (1950)
14'
~n
о
Т.,
1ourn. Phys. Sco.
1apan,
16,2239
(1961). .
15
'
Е
а
r r
~
n
В.
Е.,
Journ.
СЬеm.
Phys. 2
551
(1934)
.
sQulvel
А L W
Ь
' , .
April
1963. . .,
е е
r
А.
Н.,
BuH.
Аmег.
Phys. Soc.,
р.
338,
16. W h i t
е
А
Н
G
е
r m L
Н
J
17.
Н
а
11 i d
а'у
j'
S Q u
~
r . ., ourn.
~bem.
Phys.,
9, 492 (1941).
486 (1960)
..,
1 n n
Т.
F.
J.,
Brlt.
]ourn.
Appl.
Phys.,
99,
18·
.
19'
gunMn
L
C
,
W.,
Trans.
Faraday
Soc., 35, 482 (1939).
20' W
е
.
.,
Nature, 192, 547 (1961).
•
НУ
с
k
о
f f
Н.
W. G., The World of
the
Electron Microscope, New
aven,
1958.
,
ГЛАВА
2
ЧИС.J.Iенные
значения
сечений
рассеяния
В
данной
главе
будут
рассмотрены
численные
значения
введенных
ранее
эффективных
сечений
рассеяния.
Эффективные
сечения
измеряются
в
единицах
площади
и
характеризуют
эффек
тивный
размер
атома,
в
пределах
которого
происходит
взаимо
действие
с
падающим
электроном.
Эффективный
размер
зависит
от
характера
взаимодействия
электрона
с
атомом.
Для
единич
ного,
изолированного
атома
взаимодействие
может
быть
как
упругим,
так
и
неупругим
в
зависимости
от
того,
передает
или
нет
пада.ющиЙ
электрон
энергию
атому.
При
столкновении
электрона
с
реальными
телами
реализуется
еще
один
тип взаимодействия,
так
называемое
коллективное
возбуждение.
В
этом
случае
рас
сеяние является
неупругим;
падающий
электрон
возбуждает
одновременно
группу
атомов
или
электронов,
вместо
того
чтобы
возбудить
только
одну
частицу.
Этот
тип
взаимодействия
будет
рассмотрен
в
гл.
6.
В
нату
задачу
здесь
не
входит
последовательно
излагать
теорию
рассеяния,
исходя
из
основных
принципов.
Вместо
этого
мы
рассмотрим
только
те
понятия
и
результаты,
которые
непо
средственно
приложимы
к оценке
сечений
рассеяния.
Читатель,
желающий
изучить
этот
вопрос
более
подробно,
может
найти
детальное
изложение
в
книгах
[1, 2,
7].
С
точки
зрения
электронной
МИКРОСКQПИИ
и
дифракции
элект
РОНОВ
интерес
представляет
полное
сечение
рассеяния,
опреде
ленное
соотношением
(1.4)
или
(1.25).
На
фиг.
24
схематически
показан
падающий
электрон
с
кине
тической
энергией
Е,
рассеянный
атомом,
находящимся
В
точке
О.
Небольшой
нруг
площадью
dA
нормален
к
направлению
рас
сеяния
ОР.
На
этот
круг
будут
попадать
как
упруго,
так
и
неупруго
рассеянные
атомом
электроны.
Таким
образом,
диф
ференциальное
сечение
рассеяния
будет
определяться
двумя
сла-
гаемыми:
D (Q) = D
(Q)упр
+ D
(Q)неупр'
(2.1а)
7_2
___
гл.
2.
ЧИСЛЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
СЕЧЕНИЙ
РАССЕЯНИЯ
площадьюdА
у
2
Фиг.
24.
Схема
рассеяния
падающего
элеитрона
неподвижным
атомом
находящимся
в
точие
О, в
ИРУЖОI{
ШIOщадью
dA
на
расстоянии
L.
•
Элеменr
телесного
угла
dQ =
dA/L2.
Интенсивность
рассеяния
в
точке
Р
в
силу
(1.7)
будет
равна
1
(~)
_ D
(~)
D
(~)упр
-+
D
(~)неупр
Io---[)-=
L2
.
(2.1.б)
Отсюда
видно,
что
для
определения
интенсивности
рассеяния
необходимо
оценить
дифференциальные
сечения
как для
упру
гого,
так
и
для
неупругого
рассеяния.
После
того
как
это
будет
произведено,
путем
интегрирования
[см.
(1.25) 1
могут
быть
полу=
чены полные
сечения.
§
1.
СЕЧЕНИЯ
упругого
РАССЕЯНИЯ
ИЗОЛИРОВАННОГО
АТОМА
7:>
§ 1.
Сечения
упругого
рассеяния
изолированного
атома
В
гл.
1
была
введена
амплитуда
рассеяния
электронов
(атом
ный
фактор
рассеяния)
в
связи
с
рассмотрением
радиального·
распределения
интенсивности
рассеяния
[см.
соотношение
(1.1gB)].
При
этом
учитывалась
интерференция
волн.
Величина
s =
=
4л/л
sin
(~/2)
была
названа
параметром
рассеяния.
Мы
виде
ли,
что
дифференциальное
сечение
для
случая
упругого
рас
сеяния
с
учетом
дифракции
дается
соотношением
(1.24).
Если
интерференцией
можно
пренебречь,
то
в
(1.24)
остается
только
первый
член
(2.2))
ЭТО
соотношение
было
использовано
Моттом
[3]
при
вычислении
амплитуды
рассеяния
электронов,
а
также
Ленцом
[4],
Бюрге
и
Смитом
[5]
при
оценке
упругого
сечения
рассеяния
электронов.
с
большой
энергией.
Чтобы
рассчитать
f (s),
необходимо
знать
потенциал
взаимо
действия
между
падающим
электроном
и
атомом.
Это
потенциал,.
который
ответствен
за
рассеяние
электронов
(в
случае
рентге
новских
лучей
рассеяние
происходит
на
заряде).
Он
обычно'
обозначается
V (r),
где
r -
расстояние
от
центра
атома.
Если
кинетическая
энергия
электрона
Е
)'>
V (r),
рассеяние
может
быть
описано
в
борновском
приближении
[6] -
первом
при
ближении
квантовомеханического
рассмотрения
рассеяния
элект
ронов
атомом.
Возьмем
волновую
функцию
падающего
электрона
в
виде
плоской
волны
1)
ei(kr)
(с
амплитудой
А),
распространяющейся
вдоль
оси
z;
k -
волновой
вектор.
Рассеянная
волна
может
быть
записана
в
виде
(1/r')
f
(~)ei(kr),
так что
волновая
функция
для
падающего
и
рассеянного
электрона
будет
определяться
выражением
[7
]
и
(r',
~)
=
А
(
ei(kr)
+ f
~?)
ei(kr'»)
•
(2.Э)
Выражение
(2.3)
должно
удовлетворять
уравнению
Шредингера.
После
соответствующих
вычислений
получаем
амплитуду
а
том
ного
рассеяния
в
виде
2)
00
f
(s)
= _
8:~n
~
о
1)
Волновая
мехаНИI{а
свободного
элеI{трона
дана
в
гл.
4
и
5.
2)
Обозначения
здесь
таиие
же,
RaR
в
работе
[8
J.
(2.4}
74
ГЛ.
2.
ЧИСЛЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИя
СЕЧЕНИЙ
РАССЕЯНИЯ
Фактически
и
амплитуда,
и
фаза
атомного
фактора
рассеяния
яВляются
комплексными
величинами.
В
случае
твердых
тел
фазы
малы
по
сравнению
с
другими
неопределенностями
электронной
дифракции
и
поэтому
могут
не
учитываться.
Для
газов,
содер
жащих
как
легкие,
так
и
тяжелые
атомы,
фаза
атомного
фактора
рассеяния
должна
учитываться.
В
случае
рентгеновского
излучения
а
тОмный
фактор
рассея
ния
выражается
в
виде
00
f
х
(s)
==
4л.
~
р
(r) r
2
Si:/r
dr,
(2.5)
о
где
4лр
(r)
r
2
-
функция
радиального
распределения
электронного
обла:ка
вблизи
ядра.
Выражения
(2.4)
и
(2.5)
связаны
уравне
нием
Пуассона,
что
дает
l
'
(
)=
8л
2
mе
2
(Z-fХ(8»)
.'
s
h2
82
'
(2.6а)
где
.
m-
масса
электрона,
е
-
заряд,
h
---:
постоянная
Планка
и
Z -
атомный
номер
атома.
Выражение
(2.6а)
может
быть
пере-
писано
в
виде
f(s)=~(~
Z-fx(s»)
ао
82
,
(2.6б)
где
ао
=
h
2
/4л
2
mе
2
-
боровский
радиус
водорода.
В
формуле
(2.6б)
т
-
релятивистская
масса
электрона,
данная
выраже
нием
(2)
введения
1).
Оценка
амплитуды
рассеяния,
Основанная
на
СООтношении
(2.4),
зависит
от
выбора
потенциала
взаимодействия
V (r).
Для
атомов
более
тяжелых,
чем
кальций
(Z = 20),
при
оценке
V (r)
используется
метод
Томаса
-
Ферми
-
Дирака
(ТФД).
Для
легких
а
томов
используются
различные
приближения
(Харт
ри
-
Фока
(ХФ)
или
Слэтера
[10 ]).
Значения
f
(s)
со
временем
уточняются.
Последняя
таблица
значений
f (s),
согласующихся
с
fx
(s),
дана
Айберсом
и
Вайнштейном
[11].
Эта
таблица
воспро
изведена
в
табл.
21
(приложение
VI
1 1).
Значения
sin
е/л
табл.
21
обозначаются
здесь
через
sin
(~/2)
/л.
Величины
f
(s)
в
табл.
21
считаются
довольно
надежными
при
sin
е/л>
0,05,
но
при
меньших
значениях
представляются
сомнительными.
Таким
образом,
область,
где
параметр
рассеяния
близок
к
нулю,
наиболее
интересная
для
электронной
микроско
пии,
к
сожалению,
является наименее
надежной.
В
том
случае,
h2V1-
V
2
--
1)
Величина
ао
= 4 2 2 = 0,53 V 1 - v
2
А.
Значения
(1-v
2
)-1/2
л
тое
МОЖНО
найти
в
табл.
20.
§ 1.
СЕЧЕНИЯ
упругого
РАССЕЯНИЯ
ИЗОЛИРОВАННОГО
АТОМА
75
когда
параметр
рассеяния
приближается
и
нулю,
Айберс
[8]
.заменяет
f
(8)
значением
f
(О)
~
-з1
Z
(r
2
),
(2.7)
ао
где
(r
2
) -
средний
квадрат
радиуса
атома.
Средний
ивадрат
<r
2
)
связан
с
молярной
диамагнитной
восприимчивостью,
и
поэто
му
величину
t
(О)
определяют
из
эиспериментальных
данных
отно
сительно
восприимчивости.
Но
даже
при
та:ком
подходе
не
исклю
чается
погрешность
в
величине
t (0),
обусловленная
поляризацией
электронного облака
падающим
электроном,
что
не
учитывается
в
борновсиом
приближении.
Браун
и
Бауэр
[12]
ввели
поправ
ну
на
поляризацию
в
потенциал
в
соотношении
(2.4),
с
тем
чтобы
рассмотреть
случай
медленных
электронов.
Они
нашли,
что
при
s
~
О
поправка
на
поляризацию
существенна
даже
для
электро
нов
с
энергией
50
кэв.
Значения
f
(О)
в
табл.
21
приведены
без
учета
этой
поправии.
Амплитуда
рассеяния
ка:к
для
электронов,
так
и
для
рентге
новсиих
лучей
в
случае
изолированного
атома
монотонно
умень
шается
с
увеличением
угла
рассеяния.
Это
результат
интерферен
ции
волн,
рассеянных
на
различных
расстояниях
от
центра
атома,
таи
как
разность
фаз
увеличивается
с
увеличением
угла
рассеяния.
Если
принять
атом
за
математичес:кую
точ:ку,
то
он
будет
изотроп
но
рассеивать
эле:ктроны
по
всем
направлениям.
Абсолютные
значения
.
дифференциальных
сечений
упругого
рассеяния
изо
лированного
атома
для
рентгеновских
лучей и
для
электронов
равны:
для
рентгеновс:ких
лучей
D
реит
(s) = [2,82
.10-13/репl'
(8)]2,
(2.8)
.для
электронов
D
ал
(s) = I f
(8)
12.
в
елучае
атома
нииеля,
например,
при
sin
(~/2)/л
= 0,10
интен
сивность,
рассеянная
на
единице
длины,
равна:
для
рентгеновских
лучей
для
электронов
~
=
D
реит
(0,10) = 5,3 .10-22,
10
~
=
D
ал
(0,10) = 27,7 ·10-16.
/0
Интенсивность
рассеяния
элеRТРОНОВ
примерно
в
5 ·106
раз
пре
вышает
интенсивность
рассеяния
рентгеновских
лучей.
Сле
довательно,
электроны
рассеиваются
гораздо
сильнее
рентге-
76
ГЛ.
2.
ЧИСЛЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
СЕЧЕНИЙ
РАССЕЯНИЯ
новских
-
лучей,
и
поэтому
твердое
тело
значительно
менее
про
зрачно
ДЛЯ
электронов,
чем
ДЛЯ
рентгеновск,их
лучей.
При.
SI11
(~/2)/л
=
1,0
и~тенсивность
рассеяния
равна
0,38·10~22
для
рентгеновских
лучеи и
0,25
·10-16
для
электронов.
Таким
образом,.
интенсивность
рассеяния
уменьшилась
по
сравнению
с
интен-
сивностью
рассеяния
при
(~/2)/л
=
0,10
в
15
раз
в
случае
рент
геновских
лучей
и
в
100
раз
в
случае
электронов.
Поэтому
замет
ное
рассеяние
электронов
наблюдается
при
меньших
углах
чем
рассеяние
рентгеновских
лучей
1).
Картина
рассеяния
элеКТ~ОНОR
под
большими
углами
характеризуется
столь
малой
интенсив
ностью,
что
ее
практически
нельзя
наблюдать
2),
тогда
как
обрат
ные
отражения
рентгеновских
лучей
имеют
значительную
интен
сивность.
При
рассмотрении
амплитуды
рассеяния
можно
заметить
еще
одну
важную
особенность
рассеяния
электронов.
Значе
ние
f (0,10)
для
углерода
(Z = 6)
из
табл.
21
равно
2,09
·10-8
см
так что
дифференциальное
сечение
углерода
равно
примерно
4 2
х,.
х
10-16 2 1/
Ф
,
с,м,
т.
е.
почти
7
диф
еренциального
сечения
никеля~
Поэтому
углерод
рассеивает
значительно
слабее
никеля
и,
сле
довательно,
более
прозрачен
для
электронов.
Таким
образом~
амплитуда
рассеяния,
как
правило,
увеличивается
с
увеличением
атомного
номера.
Для
интерпретации
распределения
интенсивности
на
элект
ронограммах
и
электронно-микроскопических
изображениях
преж
де
всего
нужны
надежные
данные
о
величине
амплитуды
рас
сеяния.
Но
неточность
этих
данных
-
не
единственный
источник
неопределенности.
В
случае
электронной
дифракции
основная
неопределенность
может
быть
обусловлена
наличием
многократ
ного
рассеяния,
для
описания
ноторого
необходимо
привлечение
динамичесной
теории.
В
электронной
минроскопии
дело
обстоит
даже
e~e
хуже
из-за
наличия
двух
источников
неопределенности.
Пер
выи
из
них
связан
с
тем,
что
в
соотношение
для
полног()
сечения
рассеяния
вне
апертуры
:n:
О'ат
=
2л
~
\ f
(s)
12
Sil1
~
d~
(2.9)
/Зоб
при
s,,,
близком
к
нулю,
входят
неопределенные
значения
f
(s)_
Второи,
так
же
нан
и
в
случае
дифракции
электронов,
заключа
ется
в
наличии
многократного
рассеяния.
1)
Это
обусловлено
различием
в
длине
волны.
Чем
больше
длина
волны
тем
~едленнее
изменяется
фаза
с
увеличением
угла
рассеяния.
,.
А
)
Это
не
верно
для
медленных
элен:тронов
с
энергией
ниже
1000
эв
мплитуда
рассеяния,
рассчитанная
для
быстрых
элеl{ТРОНОВ
непригодн~
для
медленных,
так
как
в
этом
случае
неприменимо
борнов~кое
прибли
жение.
§ 1.
СЕЧЕНИЯ
упругого
рАССЕЯНИЯ
ИЗОЛИРОВАННОГО
АТОМА
77
Оценка
сечения,
данного
соотношением
(2.9),
сама
по
себе
является
трудной
задачей.
Ленц
[13]
поэтому
предпочелрассмат
ривать
отдельные
атомные
модели
для
разных
атомнЫХ
номеров
и
вычислил
интеграл
приближенным
методом.
Он
получил
резуль-
'Тат,
отнесенный
к
одному
атому:
00
Zл
2
О'упр=~
8,
uлQо
(2.10)
rде
8 =
~
[4лр
(r) r
2
]
r
2
dr,
а
4лр
(r) r
2
-
'радиальное
распре-
О'
деление
электронОВ
в
атоме.
Основная
неточность
В
(2.10)
заклю-
чается
в
использовании
8,
куда
входит
эффективный
радиус
ато-
ма.
Этот
радиус
равен
a
o
Z-
1
/
з
и
V3a
o
Z-
1
/
2
•
Если
значение
О'упр
из
(2.9)
умножить
на
число
атомОВ
в
1
г,
то
получится
полное
удель
lIoe
сечение
Se.
Сечение
единицы
объема
будет
paBHoQe =
pSel
тде
р
-
плотность.
Недавно
Бурге
и
Смит
[14]
предприняли
оценку(2.
9),исполь-
.зуя
современные
значения
f (s).
Они
заменили
f
(s)
эмпирическим
соотношением
3
\ f
(s)
\ =
~
Aje-
ВjХ
\
j=1
(2.11)
тдех
=
sin
(~/2)/л,аАjИВj
-
постоянные
для
каждого
элемента.
Выражение
(2.11)
соответствует
последним
значениям
f
(s)
с
точ
ностью
до
2%
[15].
Если
соотношение
(2.11)
подставить
в
(2.9)
и
произвести
интегрирование,
то
получим
3 3
А.А.
00
О'упр
=
4:rтл
2
['"
~
-
В.
~
~.
e-(Вi+В
j)
х2
] •
.L.J
l J
/3
0
б/
2л
(2.12)
;=1
i=1
Значения
О'упр
для
каждого
элемента
были
затем
получены
из
(2.12)
на
вычислительной
машине.
Значения
Бурге и
Смита,
полученные
-таким
образом,
сравнимы
с
данными
Ленца
для
Z < 10
и
равны
им
при
Z
~
7.
При
Z > 10
результаты
этих
авторов
расходятся.
Для
золота
(Z = 79),
например,
значения,
полученные
в
работе
{15],
примерно
на
50%
превышают
данные
Ленца.
Интересно
OTM~
-тить,
что
экспериментальные
значения
О'упр
явно
меньше
значении,
подсчитанных
Ленцем,
и
еще
больше
расходятся
с
улучшенными
значениями
Бурге
и
Смита.
Результаты
работ
[13,
14]
представ
лены
на
фиг.
25
и
26.
Легко
видеть,
что
при
Z < 20
сечения,
пред
ставленные
на
фиг.
26,
отражают
структуру
атома
(уровни
К,
L,
М).
78
ГЛ.
2.
ЧИСЛЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
СЕЧЕНИЙ
РАССЕЯНИЯ
10r-------~------~--------~------~---------
Я)
8
1
6
~
...
---
..
-,
CIa
'~'--"""---'--
___
--...._
...
,
...
~2
~
...
-
~
..,
2
--
81
=
(JHZ-
Js
4
..
fIj
-----
R2
=
~НZ-%
2
'-
-----~--------------------~~
В2
o~--------~---------~---------~~---------~---------~
о
80
100
Фиг. 25.
Зависимость
удельного
сечения
упругого
Se
инеупругого
St
рассеяния
от
атомного
номера
Z
для
двух
значений
эффективного
радиуса
(при
75
r>в)
[14J.
"об
~
J)
·10-3
рад;
Qупр
равно
Ве'
умноженному
на
IL,'IOTHOCTb
в
г/сltf.
З
.
Мартон
и
Шифф
[16]
подсчитали
сечения
рассеяния
по
прибли
женной
формуле
А
'12
(Jупр
=
4л:
2
/\'0'
(2.13);
Rоторая
была
получена
в
БОРНОВСRОМ
приближении
с
использо
ванием
формулы
рассеяния
Резерфорда
1).
При
Z>-
6
было
исполь
зовано значение
А
=·22
Z4/
з
•
Формула
(2.13)
до
Z
~
40
дает
сече-
ния,
большие
полученных
Ленцем
и
Бурге
и
Смитом.
При
Z > 40
Ч
л()
-
длина
волны,
соответствующая
массе
покоя.
Эта
формула
спра
ведлива
для
напряжений
до
150
"в,
когда
угол
рассеяния
становится
настоль
ко
малым,
что
выходит
за
пределы,
в
которых
справедливы
расчетные
формулы.
,
..
1.
СЕЧЕНИЯ
УПРУГОГО
РАССЕЯНИЯ
ИЗОЛИРОВАННОГО
АТОМА
79;
50~----_т------._----_,г_----_г------т_----_,
20К8
40
1 30
~
~
~
..
о
- 20
50
"в
...
(1)
75
кв
10
o~-------L------~~------~------~~---~~------~
20
О
Z~
Фиг.
26.
Зависимость
удельного
сечения
упругого
рассеяния
Se
от
атом
ного
номера
[14] .
~об=5.1
0-3
рад.
она
дает
значения,
лежащие
между
ними.
В
табл.
3
приведенЬL
величиНЫ
Se,
взятые
из
упомянутых
работ.
Таблица 3
у
дельные
сечения
упругого
рассеяния
S
е'
полученные
в
различных
приближениях
(75
"8,
~об=5.1О-З
рад)
Ве,
104
с.м,2/г
Элемент
Мар.ои
и
Шифф
I
Ленц
(1954)
I
Бурге
и
Смит
.
(1941)
(
1962)
С
(6)
6,6
4,3
4,7
Ni (28)
9,3
6,0
7,0
Аи
(79)
11,2
8,0
11,9
:80
ГЛ.
2.
ЧИСЛЕННЫЕ
ЗНАЧЕНИЯ
СЕЧЕНИЙ
РАССЕЯНИЯ
ТОНRая
струнтура
элеRТРОННЫХ
оболочеR
в
соотношении
(2.13)
усреднена.
Во
всех
этих
приближениях
принята
одна
и
та
же
зависимость
упругого
сечения
рассеяния
от
длины
волны
вида
(J
упр
,...."
Л
2
•
Введение
реЛЯТИВИСТСRОЙ
попраВRИ
приводит
R
увеличению
ОТRЛО
нения
от
этой
простой
зависимости
с
увеличением
СRоростиэлеRТ
рона.
Это
можно
проиллюстрировать
изменением
сечения
золота
от
7·104
с:м
2
/г
при
105
эв
до
3·104
с:м
2
/г
при
5·105
эв
и
2·104
с:м
2
/г
при
106
эв.
При
100
кэв
релятивистское
сечение
примерно
на
5%
больше
нереЛЯТИВИСТСRОГО.
При
106
эв,
ногда
снорость
элеRтрона
равна
примерно
95 %
СRОРОСТИ
света,
реЛЯТИВИСТСRое
сечение
'пре
нышает
нереЛЯТИВИСТСRое
более
чем
в
2
раза.
§ 2.
Сечения
неупругого
рассеяния
изолированного
атома
Задача
о
рассеянии
быстрых
элеRТРОНОВ
без
изменения
RИ
нетичеСRОЙ
энергии
значительно
проще,
чем
задача
о
рассеянии
с
потерей
энергии,
Упругое
рассеяние
обусловлено
появлением
импульса
вследствие
RУЛОНОВСRОГО
взаимодействия
между
пада
ющим
элеRТРОНОМ
и
ядром
атома.
Имцульс
ядра
равен
изменению
Rоличества
движения
и
в
случае
элеRтрона,
падающего
на
ядро
с
зарядом
Ze,
может
быть
записан
[1]
в
виде
Ze
2
Рn
=--.
Ьnио
Здесь
Ь
n
-
наименьшее
расстояние
между
частицами,
или
nара
.:метр
удара
1).
Соответствующий
импульс,
приобретаемый
элеRТРО
ном,
дается
выражением
где
Vo
-
снорость
падающего
элеRтрона.
Направления
импульсов
р
пир
е
перпеНДИRУЛЯРНЫ
направлению
движения
элеRтрона.
Изменение
Rоличества
движения
при
рассеянии
на
ядрах
значи
'тельно
больше,
чем
при
рассеянии
на
элеRтронах.
RинетичеСRая
энергия,
теряемая
элеRТРОНОМ
при
соударении
с
неподвижной
частицей
массы
т
n
,
равна
АЕ
4Е
mm
n
.
2
~
(2 14)
L1
=
(m+m
n
)2
Sln
2"'
.
где
Е
-
RинетичеСRая
энергия
падающего
элеRтрона.
При
т
n
~
т
потеря
энергии
равна
дЕ
~
4Е
~
sin
2
2~
•
(2.15а)
m
n
1)
Параметр
удара
называют
также
прицельным
расстоянием.-
Прu.м.
ред.
I
61
§ 2.
СЕЧЕНИЯ
НЕ УПРУГОГО
РАССЕЯНИЯ
ИЗОЛИРОВАННОГО
АТОМА
81
ЭлеRТРОН
с
RинетичеСRОЙ
энергией
105
эв,
рассеянный
на
угол
5·10-3
рад
атомом
алюминия,
теряет
ОRОЛО
5·10-5
эв.
Энергия,
RОТОРУЮ
теряет
элеRТРОН
при
СТОЛRновении
с
ядром,
будет
ман
симальна
при
~
=
Л,
т.
е.
В
случае
обратного
движения
после
СТОЛRновения.
Она
равна
(L\Е)маис
==
4
~
Е.
(2.15б)
m
n
При
Е
=
105
эв
и СТОЛRновении
с
атомом
алюминия
маRсимальная
потеря
составляет
ОRОЛО
10
эв.
СТОЛRновения
элеRТРОНОВ
с
изоли-
БО------~----~----~~----т-----_г----~
50
1~
t\)
~
за
~
1..)
з
rIi
20
10
20
К8
20 40
z
---
Фиг.
27.
Зависимость
удельного
сечения
неупругого
рассеяния
Si
от
a'I'OM-
ного
номера
[14] .
tJоб
= 5
·10-3
рад.
6
Р.
Хейденрайх