115
§4.6 Метод пространство состояний
Из всех известных методов расчета переходных процессов наиболее физическим является
метод пространства состояний. Этот метод позволяет одновременно получать все
интересующие нас величины токов и напряжений.
Переменные состояния представляют собой систему наименьшего числа независимых
величин необходимых для полного определения поведения динамической системы.
Переменные состояния это токи индуктивностей и напряжения емкостей, именно они
определяют состояние системы. В математической форме уравнения состояний для сложной
цепи имеют вид
()
() (), ( ,) ()
dt
ttt t
dt
x
Ax BF Dx Ax BF
(8)
() вектор состояния (размерность n)
матрица состояния (размерность nЧn)
() вектор столбец (размерность n)
(,) расширенная матрица
t
t
t
x
A
BF
Dx
Сначала рассмотрим составления уравнения состояния на простейших цепях первого
порядка
Определим напряжение на
конденсаторе после коммутации.
Вектором состояния является
напряжение на емкости. Запишем
второй закон Кирхгофа.
()
C
C
dU
URC et
dt
Перепишем это уравнение относительно производной
C
dU
dt
()
() ( ,)
CC C
CC
dU U dU
et
AU Bt DU t
dt RC RC dt
такой вид уравнения называется нормальным. Таким образом, дифференциальное уравнение,
разрешенное относительно производной называется нормальным.
Рассмотрим еще один пример.
Определим ток через индуктивность. В
данном случае вектором состояния
является ток через индуктивность.
Составляем уравнение по второму
закону Кирхгофа.
()
L
L
di
iR L et
dt
Разрешаем это уравнение относительно
производной и получаем уравнение в нормальной форме
()
() ( ,)
LL
LLL
di diRet
iAiBtDit
dt L L dt
.
L
R
E