Исаев Ю.Н. Лекции по ТОЭ
Подождите немного. Документ загружается.
11
1
2
145 4 5
3
4436 6
4
56562
5
6
00000
100
0 0000
00 1
100110
00 000
01 0
001101 .
000 00
110
010011
101
0000 0
011
00000
R
R
RRR R R
R
RRRR R
R
RRRRR
R
R
Матрицу вектора правых частей тоже можно записать в виде произведения топологических
матриц
1
2
1
3
3
2
100110
001101
0
010011
0
0
E
E
E
E
E
E
.
И, наконец, контурные токи можно выразить через токи в ветвях, используя топологические
матрицы
11
23
1
3
2
2
412
3
513
623
100
00 1
01 0
110
101
011
IJ
IJ
J
I
J
J
I
JJ
J
I
JJ
I
JJ
Следовательно, можно формализовать метод контурных токов, используя топологические
матрицы. Последовательность действий такова:
записываем произведение матриц:
145 4 5
1
4436 6 3
56562 2
40 20 10 50
20 43 8 , 15
10 8 30 30
T
RRR R R
E
RRRR R E
RRRRR E
BRB BE
, (25)
находим контурные токи, а затем и токи в ветвях:
1
1
2
3
2,329
1,121
2,075
T
J
J
J
JBRB BE
. (26)
T
B
B
R
B
Ε
T
B
12
1
2
3
4
5
6
2,329
2,075
1,121
1,209
0,254
0,955
T
I
I
I
I
I
I
IBJ
. (27)
Проверим результат решения, проделав виртуальную лабораторную работу с помощью
программы Electronics Workbench. Измерим токи в ветвях, подключив амперметры
последовательно с сопротивлениями. Листинг программы Electronics Workbench,
представленный на рисунке, свидетельствует о правильном расчете.
Рис 11. Схема, собранная в Electronics Workbench.
§ 1.7. Метод узловых потенциалов
Рассмотрим еще один метод понижения порядка СЛАУ.
Прежде всего, обозначим все узлы на схеме. Затем
выбираем базовый узел, потенциал которого равен нулю.
Пусть это будет узел 4. То есть потенциал узла 4 равен
нулю
4
0.
Для определения потенциалов остальных
узлов нужно составить уравнения относительно
неизвестных потенциалов узлов.
Прежде всего, запишем систему уравнений относительно
токов по первому закону Кирхгофа.
Рис. 12
13
134
456
236
0(1 )
0(2 )
0(3 )
III уз
III уз
III уз
Теперь запишем токи через неизвестные значения потенциалов и известные значения ЕДС и
сопротивлений.
13 3
1112
14 3
23
12 2
456
32133 23
234
0(1 )
0(2 )
0(3 )
E
E
у
з
RR R
уз
RRR
EE
у
з
RRR
Сгруппируем эти уравнения относительно неизвестных
123
,,
и в результате получаем
3
1
123
143 4 3 13
123
4 546 6
3
2
12 3
36 263 23
111 1 1
11111
0
11 111
E
E
RRR R R RR
RRRRR
E
E
R
RRRR RR
Сумма проводимостей ветвей, подходящих к узлу, называется собственной
проводимостью узла. Например, для узлов 1, 2 и 3 это будет соответственно:
11143 22 546
143 546
33 2 6 3
263
111 111
,,
111
,
gggg gggg
R
RR RRR
gggg
RRR
или в матричном виде:
143 4 3
4 546 6
36263
111 1 1
0,217 0,05 0,067
1111 1
, где 0,05 0,375 0,125
0,067 0,125 0, 275
11111
RRR R R
RRRR R
RRRRR
gb g , (29)
а
b – столбцевая матрица правых частей
3
1
13
3
2
23
6
00
3, 5
E
E
RR
E
E
RR
b . (30)
14
Решая систему уравнений (29), получаем потенциалы узлов:
1
1
2
3
26,71
2,539 .
5, 098
gb
(31)
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
11 1
1
23 2
2
31333
4
12 4
5
25
6
23 6
/
2,329
/
2,075
/
1,121
1, 209
/
0,254
/
0,955
/
ER
I
ER
I
I
ER
I
R
I
R
I
R
(32)
§ 1.8. Метод узловых потенциалов на основе матрично-топологического метода
Решим задачу примера 1 матрично-топологическим методом. Прежде всего, запишем
узловую топологическую матрицу учитывая, что базовым узлом является узел 4:
101100
000111
011001
A
(33)
Теперь нам понадобятся диагональная матрица проводимостей, которая равна обратной
диагональной матрице сопротивлений и матрица ЭДС.
1
1
2
3
3
2
1
4
5
6
1
00000
1
00000
0,1 0 0 0 0 0
0 0,083 0 0 0 0
1
00 000
0 0 0,067 0 0 0
,
10000,0500
0
000 00
00000,10
0
1
0 0 0000,125
0
0000 0
1
00000
R
E
R
E
R
E
R
R
R
gR E
50
15
30
0
0
0
(34)
Приведём произведение матриц, результатом которого будет матрица проводимостей узлов:
15
1
2
3
4
5
6
143 4 3
4546 6
3
1 00000
100
01 0000
001
101100
001 000
10 1
000111
0001 00 1 1 0
011001
010
00001 0
011
000001
111 1 1
1111 1
11
T
R
R
R
R
R
R
RRR R R
RRRR R
RR
AgA
6263
0,217 0,05 0,067
0,05 0,375 0,125 .
0,067 0,125 0, 275
111
RRR
(35)
Следующим шагом будет произведение матриц:
1
1
3
1
2
3
13
3
2
4
3
2
5
23
6
1 00000
01 0000
101100 6
001 000
000111 0 0.
0001 00
0
011001 3,5
00001 0
0
0
000001
R
E
E
E
R
E
RR
R
E
R
E
E
R
RR
R
bAgE
(36)
Теперь можно найти потенциалы узлов, используя следующие соотношения:
1
1
2
3
26,71
2,539 .
5,098
T
AgA b
(37)
При известных потенциалах узлов находим напряжения на каждой ветви:
1
1
2
3
1
3
2
2
4
3
5
6
100 23,29
0 0 1 24,902
1 0 1 16,808
.
1 1 0 24,171
0
0 1 0 2,539
0
0 1 1 7,637
0
T
U
E
U
E
U
E
U
U
U
UAE
(38)
И, наконец, находим токи во всех ветвях:
T
A
A
g
16
111
222
333
444
555
666
2,329
2,075
1,121
.
1, 209
0,254
0,955
IUR
IUR
IUR
IUR
IUR
IUR
IgU
(39)
В завершении задачи рекомендуется проверить баланс мощностей и убедиться, что расчет
сделан правильно. В матричной форме баланс мощностей записывается в следующем виде:
161,899 . 161,899 .
T
пи
P
В
т P Вт IRI IЕЕI
Проверим наши данные, проделав виртуальную лабораторную работу в Electronics–
Workbench. Подключив параллельно сопротивлениям вольтметры можно определить
напряжения. Разделив показание вольтметров на соответствующие сопротивления можно
найти токи в ветвях.
Рис. 13 Схема, собранная в Electronics Workbench
Лекция № 3
§ 1.9. Метод эквивалентных преобразований
Рассмотрим фрагмент электрической цепи, приведённой на рисунке 14:
17
Рис. 14
Токи в каждой ветви с ЭДС определяются выражениями:
12
1112 22
12
,,..
ab ab k ab
ab ab k k k ab
k
EU EU E U
IgEUI gEUI gEU
RR R
Ре
зультирующий ток будет определяться суммой всех токов в ветвях:
123 1
00
...
mn nm
kkkabkk
kk k k
I
III I J EgU g J
(40)
С другой стороны, мы видим, что ток в эквивалентной ветви определяется выражением:
Э ab ЭЭЭab Э
I
EUg EgUg (41)
Сравнивая последние два выражения, получаем:
0
0
0
,
nm
kk k
n
kk
ЭЭk
n
k
k
k
Eg J
Egg
g
(42)
Рассмотрим некоторые частные случаи:
а б
Рис. 15
Для рисунка 15 ветви будут преобразованы по формулам для схем а и б соответственно:
12 21 1 2
12 12
,
ЭЭ
ER ER R R
ER
R
RRR
.
111 1
,.
ЭЭ
EEJRRR
(43)
Рис. 16
18
В соответствии с методом эквивалентных преобразований легко получить полезные
преобразования, приведённые на рисунках 16 и 17.
Рис. 17 Перенос ЭДС через узел
§ 1.10. Преобразование треугольника в звезду и звезды в треугольник
Мы рассматривали преобразование сопротивлений, соединённых последовательно или
параллельно. В ряде случаев бывают соединения сопротивлений не подчиняющиеся ни
правилу параллельного соединения, ни последовательного (например, в трехфазных цепях).
В таких случаях могут быть полезными правила преобразования треугольника в звезду или
наобо
рот,
звезд
ы в
треуго
льник,
котор
ые мы
приве
дем
без
доказательств.
Пример 2: Даны сопротивления
12 3
10 , 20 , 15R Ом R Ом R Ом
, соединённые
треугольником. Преобразовать соединение треугольником в соединение звездой.
Решение:
13 23
12
12 13 23
123 123 123
4,444 , 3,333 , 6,666 .
RR RR
RR
R Ом R Ом R Ом
RRR RRR RRR
Рис. 18
19
Рис. 19
Пример 3: Даны сопротивления
12 13 23
4,444 , 3,333 , 6,666R Ом R Ом R Ом
,соединённые звездой. Преобразовать соединение звездой в соединение треугольником.
Решение:
12 13 12 23 23 13
1 12 13 2 12 23 3 13 23
23 13 12
10 , 20 , 15 ,
RR RR RR
RR R Ом RR R Ом RR R Ом
RRR
§ 1.11. Метод эквивалентного генератора
В ряде случаев возникает необходимость найти ток в отдельно взятой ветви электрической
цепи. В этом случае нет необходимости использовать громоздкие методы расчетов
определения токов во всех ветвях. В таких случаях следует использовать метод
эквивалентного генератора (МЭГ). МЭГ хорош еще и тем,
что позволяет определить
сопротивление нагрузки двухполюсника, при котором выделяется максимальная мощность,
что очень важно при последовательном включении каскадов, согласованных по мощности.
Иногда этот метод называют методом холостого хода и короткого замыкания. Суть метода
заключается в том, что в схеме выделяется ветвь, в которой нужно найти ток, а вся
оставшаяся часть
схемы заменяется активным двухполюсник – эквивалентный генератор.
Существуют две схемы замещения активного двухполюсника (см рис 20.): 1-двухполюсник
состоит из источника напряжения, ЭДС –
г
E и сопротивления
г
R
. 2- двухполюсник состоит
из источника тока –
г
J и проводимости
гг
1gR
.
Рис. 20 Схема замещения эквивалентного генератора
Чтобы определить ЭДС генератора
г
E , следует найти напряжение холостого хода–
xx
U
относительно выходных зажимов эквивалентного генератора, это и будет искомая ЭДС. Для
того чтобы найти сопротивление генератора
г
R
, следует найти сопротивление относительно
выходных зажимов генератора. После определения
г
E и
г
R
легко найти ток короткого
замыкания –
кз Г г
I
ER . Источник тока эквивалентного генератора–
г
J равен току
короткого замыкания
гкз
JI . При известных параметрах эквивалентного генератора можно
найти ток в нагрузке:
20
г
н
нг
E
I
R
R
. (44)
Если известен ток короткого замыкания
гкз
JI
, применив правило разброса легко найти ток
в нагрузке, используя соотношение:
гг г
н
нг нг
1
JR J
I
R
RRR
. (45)
Для более глубокого понимания целесообразно рассмотреть
пример.
Пример 4: Даны сопротивления и ЭДС:
123 45
61 2 3
20 , 18 , 25 , 21 , 12 ,
8 , 25 , 35 , 50 .
R Ом R Ом R Ом R Ом R Ом
R Ом E В E В E В
Определить ток
4
I
в четвёртой ветви, используя метод
эквивалентного генератора.
Решение: Прежде всего, необходимо преобразовать схему в двухполюсник: выделяем
ветвь с сопротивлением
4
R
, а всю оставшуюся часть заменяем двухполюсником –
эквивалентным генератором. Затем находим напряжение холостого хода и сопротивление
эквивалентного генератора.
Составляем матрицу сопротивлений и
столбцевую матрицу правых частей, и
находим необходимые токи и
напряжение холостого хода (см. рис 23):
256 56
56 1356
15 5
0
0
1
65 20 0
20 38 0 ,
32 12 1
RRR RR
RR RRRR
RR R
A
13
1
1
22
2
75 1,039
35 , 0,374 ,
25 12,729
xx
EE
I
EI
EU
BAB
Таким образом имеем напряжение холостого хода
xx г
12,729UE
Рис. 21
Рис 22
R
1
E
2
R
2
R
5
R
6
E
1
E
3
R
3
U
хх
I
3
I
1
I
2
Рис 23