Исаев Ю.Н. Лекции по ТОЭ
Подождите немного. Документ загружается.
61
ORIGIN 1
Несимметричная цепь
ae
i 120 de
g
a 0.5 0.866i
Uo 22
0
EUoUoa
2
Uo a
T
R 10 20 30()
T
S
1
3
1
1
1
1
a
a
2
1
a
2
a
S
1
1
1
1
1
0.5 0.866i
0.5 0.866i
1
0.5 0.866i
0.5 0.866i
E
1
R
1
E
2
R
2
E
3
R
3
1
R
1
1
R
2
1
R
3
70 17.321i
Ia
E
1
R
1
Ib
E
2
R
2
Ic
E
3
R
3
I
Ia
Ib
Ic
I
1
I
2
I
3
1.776 10
15
J S
I
J
T
0 12 3 1.732i()
Ia Vo I
1
12
Ib Vo I
2
12
Ic Vo I
3
12
Io
I1
I2
Vo J
1
12
Vo J
2
12
Vo J
3
12
J_a J
2
I
2
J_b J
2
a I2 a
2
J_c J
2
a
2
I2
a
10 8 6 4 20246810121416
12
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
12
62
E
A
E
B
E
C
R
A
R
C
R
B
I
A
I
C
I
B
I
N
I
1
E
1
R
1
I
2
E
2
R
2
I
3
E
3
R
3
I
22
5.5 9.526i
3.667 6.351i
J S
I
J
T
4.278 1.058i 13.444 4.278 1.058i()
Ia Vo I
1
12
Ib Vo I
2
12
Ic Vo I
3
12
Io
I1
I2
Vo J
1
12
Vo J
2
12
Vo J
3
12
J_a J
3
I
1
J_b J
3
a
2
I1
a
J_c J
3
a I1 a
2
Joa J
3
J
2
I
o
Joc J
3
a J
2
a
2
I
o
\
r
5
R101010()
T
Обычный метод
E
1
R
1
r
E
2
R
2
E
3
R
3
1
R
1
r
1
R
2
1
R
3
27.5
I
E
1
R
1
r
E
2
R
2
E
3
R
3
10 8 6 4 2 0 2 4 6 8 10 12 14 16 18 20 22
10
8
6
4
2
2
4
6
8
10
63
R
A
U
2
I
16.5
8.25 19.053i
8.25 19.053i
Метод симметричных
составляющих
Рассмотрим добавочное сопротивление как возмущение в цепи и разложим это
возмущение на симметричные составляющие
E
A
E
B
E
C
R
A
R
C
R
B
U
1
U
2
U
3
U
1
U
2
U
3
U
1
U
2
U
3
i1
E1
U
3
R1
i2
U
3
R1
i1 i2()ro
U
Give
n
E1
U
3
R1
U
3
R1
ro
U
Find U() 3E1
ro
2ro 3R1
UE
1
3r
r2 3R
1
U 82.5
I
1
r
82.5
u
1
U
3
u
2
U
3
J
1
E
1
u
1
R
1
J
2
u
2
R
2
ia J
1
J
2
ib J
1
a
2
J
2
a
ic J
1
a J
2
a
2
I
16.5
8.25 19.053i
8.25 19.053i
ia
ib
ic
16.5
8.25 19.053i
8.25 19.053i
27.5
U
3
27.5
E
A
E
B
E
C
R
A
R
C
R
B
I
A
I
C
I
B
r
E
A
R
A
U
1
64
ORIGIN 1
E
A
E
C
E
B
R
A
R
C
R
B
R
R
R
r
A
I
A
I
B
I
C
Ua 10
0
ae
i 120 de
g
EUaUaa
2
Ua a
T
R 2
0
r
5
Ra
Rr
Rr
E
1
Ra R
E
2
R2
E
3
R2
1
Ra R
1
R2
1
R2
18.182
I
1
E
1
Ra R
I
2
E
2
R2
I
3
E
3
R2
I
T
3.409 1.705 2.165i 1.705 2.165i()
Ir
I
1
R
Rr
Ir 2.727
I_R I
1
I
r
I_R 0.682
S I
1
E
1
I
2
E
2
I
3
E
3
S 886.364
PI
1
2
Ra R() I
2
2
R 2 I
3
2
R
2
P 886.364
Ir
2
r I_R
2
R I
1
2
R
I
2
2
R 2 I
3
2
R 2 886.364
A
1
3
1
1
1
a
2
a
1
a
a
2
1
A
I_r
0
0
1
3
I_r
1
3
I_r
1
3
I_r
I1
I2
I0
1
3
Ir
1
3
Ir
1
3
Ir
I0
U0
R
I2
2U2
R
I1
Ua 2 U1
R
U2
I2
R
2
Ir
R
32
U0 I0 R
Ir
3
R
U1
I1 R Ua
2
1
3
Ir R
Ua
2
65
U
1
U
2
U
0
U
1
U
2
U
0
E
A
E
C
E
B
R
A
R
C
R
B
R
R
R
I
A
I
B
I
C
U
1
U
2
U
0
Ir r U1 U2 U0()
I_r r
I_r
3
R
2
Ua
2
I_r
3
R
2
I_r
3
R solve I_r
30
11
2.727
E
A
R
A
R
I
A
U
1
U
2
U
0
R
A
R
I
A2
U
2
E
A
R
A
R
I
A1
U
1
R
A
U
0
I
1
I
2
I
0
ae
i 120 de
g
Ea 22
0
Eb a
2
E
a
Ec a E
a
R 3
0
L 0.
3
100
r1
0
X
L
Zri
X
RN 1
5
Rn
5
Схема прямой последовательности
Е
Z
R
U
1
66
Схема обратной последовательности Схема нулевой последовательности
Z
R
U
2
Z
R
U
0
3R
N
3R
n
I
1
Ik
3
I
2
Ik
3
I
0
Ik
3
Ua U
1
U
2
U
0
0
Ee
Ea Z
ZR
Ze
RZ
ZR
Ze 26.566 8.092i
Ee 194.816 59.34i
U
1
Ee I
1
Z
e
U
2
I
2
Z
e
Z
R
U
0
3R
N
3R
n
I
кз0
U
0
I
0
R3RN()Z3Rn
()
R3RN Z 3Rn
Ik
0
Give
n
Ee
Ik
3
Ze
Ik
3
Ze
Ik
3
R3RN()Z3Rn
()
R3RN Z 3Rn
0
Ikz Find Ik()
Ikz 5.665
Ikz 5.619 0.719i
com Ikz()
5.665
5.619
7.29
0.719
U
1
Ee
Ikz
3
Z
e
U
2
Ikz
3
Z
e
Е
Z
R
U
1
I
An
I
A
I
кз1
Z
R
U
2
I
кз2
67
U
0
Ikz
3
R3RN()Z3Rn()
R3RN Z 3Rn
Е
Z
R
U
1
I
An
I
A
I
кз1
U
T
91.414 41.757i 143.115 50.548i 51.701 8.791i()
I
1
Ea U
1
R
I
2
U
2
R
I
0
U
0
R3RN
I
T
1.34 3.067 1.748()
Z
R
U
2
I
кз2
A
1
1
1
1
a
2
a
1
a
a
2
Ia
Ib
Ic
A
I
Z
R
U
0
3R
N
3R
n
I
кз0
Ia
Ib
Ic
5.568
2.689
2.131
1
deg
arg Ia()
arg Ib()
arg Ic()
8.63
168.73
68.28
I_
1
U
1
Z
I_
2
U
2
Z
I_
0
U
0
Z3Rn
I_
T
1.031 1.601 0.553()
Ina
Inb
Inc
AI
_
Ina
Inb
Inc
0.163
2.689
2.131
1
deg
arg Ina()
arg Inb()
arg Inc()
134.54
168.73
68.28
IrN Ia Ib I
c
IrN 4.02
arg IrN()
deg
24.55
Irn Ina Inb
In
c
Irn 3.092
arg Irn()
deg
129.41
68
Лекция № 9
ПЕРЕХОДНЫЕ ПРОЦЕССЫ
§4.1 Переходные процессы в простейших цепях. Нулевые начальные условия
Под переходными процессами понимают процессы перехода от одного
установившегося режима работы электрической цепи к другому, чем-либо
отличающемуся от предыдущего, например величиной амплитуды, фазы, частоты или
значениями параметров схемы.
Коммутация это процесс замыкания и размыкания выключателей. Переходные процессы
обычно являются быстропротекающими; длительность их составляет десятые, сотые, а
иногда даже милиарные доли секунд. Сравнительно редко длительность переходных
процессов достигает секунд и десятков секунд.
Физически переходные процессы представляют собой процессы перехода электрической
системы от одного энергетического состояния к другому, то есть это
процесс
перераспределения энергии между элементами цепи.
Рассмотрим переходный процесс в простейшей цепи с источником напряжения,
индуктивностью и сопротивлением
соединённых последовательно.
Пример:
( 100 , 100 , 0, 4E
В
R Ом L Гн
).
Определим ток в цепи. Для этого запишем
второй закон Кирхгофа для цепи после
коммутации:
()
di
R
it L E
dt
.
Мы получили неоднородное дифференциальное уравнение первого порядка с постоянными
коэффициентами. Общее решение ()it такого уравнения записывается в виде суммы двух
составляющих – общего решения однородного уравнения
.
()
оу
itи частного решения
неоднородного уравнения
.
()
чн
it
о.рч.н
() () ()it i t i t
Общее решение однородного уравнения легко найти разделив переменные и осуществляя
следующую последовательность действий:
о.р
() 0 ()
()
ln( ) ln( ) ln( ) ( ) .
R
t
L
di di R di
Rit L Rit L dt
dt dt L i t
R
te A i itAe
L
Частное решение неоднородного уравнения – это любое уравнение которое удовлетворяет
уравнению, и его легко угадать, посмотрев на уравнение:
()
di
R
it L E
dt
,
и если предположить, что ток постоянный то мы получаем:
L
R
E
L
R
E
Рис. Схема цепи до и после коммутации
69
()
di
Rit L
dt
ч.н
E
Ei
R
.
Теперь мы можем записать общее решение неоднородного уравнения в виде:
о.рч.н
() () ()
R
t
L
E
it i t i t Ae
R
.
Константу интегрирования A находим из начальных условий. В схеме до коммутации
ключ был разомкнут и поэтому ток в цепи отсутствовал. Следовательно, мы можем записать:
(0)
E
E
iA A
R
R
.
Запишем окончательное выражение для тока:
() 1
RR
tt
LL
EEE
it e e
RRR
.
В электротехнике общее решение однородного уравнения
.
()
оу
it
называют свободной
составляющей ()
pt
св
it Ae
, потому что эта составляющая не зависит от источника энергии –
внешнего воздействия. То есть она свободна от внешнего влияния и зависит от параметров
цепи.
Частное решение неоднородного уравнения
.
()
чн
it в электротехнике называют
принуждённой составляющей ()
пр
it. Она зависит от источника энергии и полностью
повторяет его функциональную зависимость от времени с неким коэффициентом
пропорциональности. Например, если источник энергии постоянный, то принуждённая
составляющая будет постоянной. Если источник энергии имеет синусоидальный вид, то и
принуждённая составляющая будет иметь синусоидальный вид.
Если обратить внимание на решение то можно заметить, что
свободная составляющие
быстро затухает из-за наличия отрицательного сомножителя в показателе экспоненты
()
pt
св
it Ae ,
R
p
L
, именно она характеризует переходный процесс. Постоянную
R
p
L
называют корнем характеристического уравнения, а обратную её величину
1
||
L
p
R
называют постоянной времени, (это время за которое ток уменьшается в е=2.71
раз, е
-1
=0,367) После быстрого затухания свободной составляющей остаётся только
принуждённая составляющая это означает, что наступил установившийся процесс–
установившийся режим работы цепи. Таким образом можно сказать, что при
установившемся режиме искомая величина (ток или напряжение) равна своей принуждённой
составляющей. Например, для нашего примера это можно записать так:
пр
()
E
it i
R
.
Теперь, решим задачу используя физические соображения. Итак, величина искомого тока
будет состоять из суммы двух составляющих свободной и принуждённой, первая из которых
быстро затухает и имеет экспоненциальный вид, а вторая повторяет форму внешнего
воздействия:
св пр пр
() ()
pt
it i t i Ae i
70
С начало находим принуждённую составляющую в схеме после коммутации при
t
,считая, что индуктивность является закороткой
пр
()
E
it i
R
Затем используя начальные условия находим константу интегрирования А
(0)
E
E
iA A
R
R
Записываем полученное решение
св пр пр
() ()
pt
it i t i Ae i
.
Теперь осталось найти корень характеристического уравнения
p
.
Корень характеристического уравнения находится через входное сопротивление схемы. Если
сделать замену
p
j
и поставить в выражение для сопротивления схемы то можно
получить:
pt
RAe
pt
Lp Ae 00()
R
Lp Z p
() 0 .
R
ZjLR p
L
Из которого легко получить корень характеристического уравнения. Приведём графическую
зависимость результата
() 1
R
t
L
L
E
it e
R
Напомним, что напряжение на индуктивности определяется выражением
()
()
L
di t
ut L
dt
.
Взяв производную тока по времени, и умножив на индуктивность, получаем
()
()
RR
tt
LL
L
di t R E
ut L L e Ee
dt L R
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
0.2
0.4
0.6
0.8
1
1.2
0 0.01 0.02 0.03 0.04 0.05 0.06
2
4
6
8
10
Ток индуктивности Напряжение индуктивности
(См. анимацию)
Запишем последовательность действий для решения задачи на переходный процесс:
() 1
pt
L
E
it e
R
пр
E
i
R
()
pt
L
Ut Ee