Исаев Ю.Н. Лекции по ТОЭ

Подождите немного. Документ загружается.

SEI



Re S( ) 5.66







XL I3



Xc 5.66

Eo V E 10()

Im S( ) 9.811



R I2



R 9.811

u2 V I2 i XL 10()

u21 I2 i XL VI2R





()

u1 I2 i XL I2 R VI1R 10()

i1 V I1 1()1



i2 V I2 1()1



i3 V I3 1



()1





u3 V I3







()

I1 R 11.327

I2 R 8.242



I2 XL 8.242



I3 Xc



11.655



§2.4. Показания приборов

Величины частот, с которыми приходится сталкивать в электротехнике, достаточно

большие, поэтому измеряющие приборы не успевают реагировать на частоту. Вследствие

этого приборы показывают не амплитудное значение, а некоторое усреднённое значение,

называемое

среднеквадратическим значением или действующим значением, которое

определяется соотношением:

С учетом последних замечаний при переводе тригонометрических величин в комплексные,

учитывается величина действующего значения. Например:

222

() sin( )

1cos(2 )

U utdt U tdt

UUU

mmm



















30 30

( ) 10sin( 30 ) 7,07 ,

60 60

() 2sin( 60) 1,41 .

et t E e e B

it t I e e A



 



 

Рассмотрим пример использования символического метода для решения задач.

§2.5. Мощность в цепи переменного тока

Полная мощность определяется выражением

, QPSjQPIES







, P - активная мощность, Q - реактивная мощность.

Знак плюс выбирается, в случае если ЭДС и ток совпадают по направлению (на схему) и

минус в противном случае. * - знак комплексного сопряжения.

Активная и реактивная мощности определяются соотношениями соответственно:

222

111

NNM

PRIQXI XI

kk kk kk

kkk







- активная мощность величина положительная.

- реактивная мощность может быть

как положительной так и отрицательной величиной. Если преобладает индуктивная

составляющая

X то 0Q  . Если

X то 0Q  .

Лекция № 6

§2.6. Цепи с индуктивно связанными элементами

Последовательное соединение катушек с индуктивной связью.

Рассмотрим цепь с взаимной индуктивностью. По

катушкам протекают токи, направленные в одну

сторону. Но провода намотаны в разные стороны.

Условно на рисунке этот факт можно обозначить

звездочками или точками. При этом токи создают

магнитное поле вокруг проводов. В одном случае они

складываются, а в другом они вычитаются. Тогда

можно записать уравнение

Кирхгофа для

последовательного контура, учитывая не идеальность

катушек.

11 2 2

()

di di di di

LiRMLiRMet

dt dt dt dt

    При согласном соединении, когда токи входят в

катушки с одной стороны.

11 2 2

()

di di di di

LiRMLiRMet

dt dt dt dt

    При встречном соединении, когда токи входят в

катушки с разных сторон.

В символической форме это можно записать так.

Рис Условное обозначение катушек









11 2 2

12 1 2

LM L M

LL M

jX jX I R jX jX I E

RR jX X X IE

  

   

При согласном соединении, когда токи входят в

катушки с одной стороны.









11 2 2

12 1 2

LM L M

LL M

jX jX I R jX jX I E

RR jX X X IE

  

   

При встречном соединении, когда токи входят в

катушки с одной стороны.

Здесь ,

MX L



.

Если ввести обозначения для сопротивлений согласного

и встречного

соответственно







12 1 2 12 1 2

2, 2

LL M LL M

RR jX X X Z RR jX X X      , то

можно найти взаимную индукцию

2244

MM M

ZZ X X X M M





    

Как экспериментально определить какой тип соединения в цепи, согласное и встречное

соединение индуктивностей? Ответ – через токи при фиксированном входном напряжении в

цепи. При согласном соединении сопротивление больше

– ток меньше. При встречном

соединении сопротивление больше

– ток больше.

§2.7. Построение диаграммы при встречном и согласном включениях индуктивностей с

магнитной связью

1. По оси

в масштабе тока [/ ]

M Асм

откладываем значение тока в цепи

. Затем,

относительно тока строим топографическую

диаграмму напряжений. Напряжение

откладываем в масштабе напряжения

[/ ]

см . Напряжение

U совпадает по фазе

с током

. Напряжение

U опережает ток на

90 градусов. Затем напряжение взаимной

индукции

U опережает ток на 90 градусов,

потому что мы имеем согласное включение,

при этом взаимные потоки складываются.

Далее откладываем напряжение

U на

сопротивлении

совпадающее по фазе с

током

. Затем откладываем напряжение

опережающее ток на 90 градусов. Далее

откладываем напряжение взаимной

индуктивности

U , опережающее ток на 90

градусов.

U(t)

i(t)

2. По оси

в масштабе тока [/ ]

M Асм откладываем значение тока в цепи

. Затем,

относительно тока строим топографическую диаграмму напряжений. Напряжение

откладываем в масштабе напряжения

[/ ]

см . Напряжение

U совпадает по фазе

с током

. Напряжение

U опережает ток на 90

градусов. Затем напряжение взаимной индукции

U отстает от тока на 90 градусов, потому что

мы имеем встречное включение, при этом

взаимные потоки вычитаются. Далее

откладываем напряжение

U на сопротивлении

совпадающее по фазе с током

. Затем

откладываем напряжение

U опережающее ток

на 90 градусов. И наконец, откладываем

напряжение взаимной индуктивности

U ,

отстающее от тока на 90 градусов.

§2.8. Расчет цепи с магнитно-связанными индуктивностями

Рассмотрим цепь с магнитно-связанными катушками индуктивности. Данные цепи таковы:

( ) 40 2 sin( 45 ), 50 , 20 , 0,1 , 0, 2 , 0,15 ,

60 10

et t f

ц R Ом M Гн L Гн L Гн

C мкФ











Определим величины

,,,,

LL MC

XXXXE

11 2 2

31,416 , 62,832 , 47,124 ,

53,052 , 40

MLL

XM Ом XL Ом XL Ом

X Ом EeВ





  





Запишем законы Кирхгофа, с помощью которых определяются

токи и напряжения в цепи. Запишем эти уравнения для

мгновенных значений токов и напряжений, а затем перепишем

их для комплексных - действующих значений.

В соответствии с представленной схемой имеем.

123

11 2

23321

2()

iii

iR L M i R et

dt dt

di di

LM idtiRiRLM

dt dt C dt dt













Перепишем это уравнение в символической форме:

U(t)

i(t)

Рис.

-M

+M L

-M

123

1232

32332 23

LMC LM

III

IR jX I jX I I R E

jX I jX I jX I I R I R jX I jX I









Приведем подобные члены и упорядочим в матричном виде:





123

LM L MC

III

IR R jX I jX I E

RjX jX I RjX jX jXI



  



  

Теперь можно записать матричное уравнение

 

11 1

LM L MC

R R jX jX

RjX X RjX X X















    









Поставим данные и получим

11 1 0

20 40 62,832 31, 416 , 28, 284 28,284

0 40 94,248 20 25,488 0







  



 



A Β

62,921

151,416

66,539

1,118

0,509 0,996

0,169 0,211 0, 271

0,34 0,784

0,855











   







AI B I A B

По полученным результатам запишем мгновенное значения токов в ветвях

( ) 1,11 2 sin( 62,921) , ( ) 0,271 2 sin( 51, 416) ,

( ) 0,855 2 sin( 66,539) .

it t Ait t A

it t A





  



Использование других методов расчета таких как метод узловых потенциалов, метод

контурных токов затрудняется из-за наличия индуктивной связи, поэтому исходную схему

упрощают, производя развязку индуктивной связи. Пример развязки индуктивной связи

приведен на рисунке. Следует обратить внимание на то, что на рисунке нет направлений

токов поэтому нет смысла говорить о

встречном или согласном соединении.

В нашем случае схема развяжется как указанно на рисунке.

Теперь можно использовать любой известный метод расчета.

Наиболее рациональным методом расчета в данном случае

будет метод узловых потенциалов. Определим

эквивалентные сопротивления ветвей схемы.



20 31, 416 ,

2 40 94, 248 ,

20 25, 488 .

LMC

ZRjX jОм

ZRjXX jОм

ZRjX X X jОм





  

    

Перерисуем схему замещения и запишем уравнения для потенциалов методом узловых

напряжений. Находим проводимости ветвей

12 3

11 1

,,YY Y

  ,

а затем потенциал первого узла:





123 1

118,419

123

13,183 24,363 27,701 .

YYY EY

YYY



 





При известном потенциале можем определить токи во всех ветвях



112213

111

EYI YIY



  

§2.9. Построение векторной диаграммы

Для построения векторной диаграммы в первую очередь нужно задаться масштабом тока и

напряжения. Следующим этапом строится лучевая диаграмма токов, а затем по отношению к

ней строится топографическая диаграмма напряжений. Учитывая, что ток и напряжение на

активном сопротивлении находятся в фазе, векторы напряжения и тока на диаграмме

следует

откладывать параллельно друг другу, и направленными в одну сторону. Напряжение на

индуктивности опережает ток индуктивности на 90 градусов, следовательно, вектор

напряжения откладывается перпендикулярно вектору тока с опережением (откладывается

против часовой стрелки). Напряжение на емкости отстает от тока емкости на 90 градусов,

следовательно, вектор напряжения откладывается перпендикулярно вектору тока с

отставанием (откладывается

по часовой стрелке).

Приведем пример построения диаграммы для нашей схемы. Откладываем в масштабе

токи и напряжения

/, /

M АсмM Всм (см. диаграмму). Вычислим необходимые

значения напряжений на элементах.

11 121

22 23

33 3

22 23

232 12

40 28,28 28, 28

22,369 , 17

2 10,822 , 26,861

17,1 , 45,36

2 10,822 , 26,861

40,292 , 8,5

RLL

RMM

RCC

RMM

LL MM

Ee j

UIR BUIX B

UIR BU IX B

UIR B UIX B

UIR BU IX B

UIX BU IX B



  

 



Определим показания вольтметра:

-M

с n

12 3

1LM

VIRIjX IjX  или





2 28.28 28.28 0,169 0, 211 40 29.27VEIR j j B     

Мощность в цепи переменного тока с взаимной индуктивностью

Полная мощность, как и прежде, определяется выражением

, QPSjQPIES







, P - активная мощность, Q - реактивная мощность.

Активная и реактивная мощности определяются соотношениями соответственно:

11 1 2

222

,2cos()

111

NNM

PRIQXI XIIIX

kk kk kk

kkk



 





Здесь токи

eIe



ветвей, в которых находится индуктивности. Знак плюс выбирается,

когда в цепи согласное включение катушек. В противном случае выбирается знак минус.

Ниже приводится электрическая схема, собранная в программно-интегрированной среде

ElectronicsWorkbench с развязкой индуктивной связи. При развязке индуктивной связи

получается отрицательная индуктивность. В место отрицательной индуктивности можно

поставить эквивалентную емкость, которая определяется

выражением

1/CM





Приведем схему рассмотренной задачи собранную в среде ElectronicsWorkbench.

Ниже приводится программа вычисления в программно-интегрированной среде MathCAD.

Магнитносвязанные катушки

com I1()

1.118

0.509

62.921

0.996















com I2()

0.271

0.169

51.416

0.211















com I3()

0.855

0.34

66.539

0.784















SEI





S 42.567 13.766i

PI1



R I2



R 2 I3





P 42.567



QI2



XL1 I3



XL2 Xc() Xm 2 I2 I3 cos arg I2( ) arg I3()()

Q 13.766



i1 V I1 0.5()

i2 V I2 0.5()

i3 V I3 0.5()

u1 V E 20()

u11 I2 R 2



I2 j XL1 I3 j



 VI1R





()





u2 V I2 R 2 20()

u22 I2 R 2 VI2j XL1 20



()

u23 I2 R



I2 j



XL1





VI3





Xm 20()





u3 V I3 R 20()

u32 I3 R



VI3 j Xc 20



()

u33 I3 R



I3 j





VI3j



XL2





()





u34 I3 R I3 j Xc I3 j



XL2



 VI2 j Xm 20



()

i1 V I1 0.5



()3





i2 V I2 0.5



()3





i3 V I3 0.5()3





Лекция № 7

§2.10. Трансформатор

Электрическая цепь состоит из контуров различного назначения. Может оказаться, что для

различных контуров цепи требуется отличающиеся по величине напряжения. Для

преобразования переменного напряжения и для перераспределения энергии между

контурами цепи, широко применяется такое устройство как трансформатор.

Функциональные и конструктивные особенности трансформаторов весьма разнообразны.

Мы рассмотрим линейный трансформатор, в котором

отсутствуют нелинейные эффекты.

Воздушные трансформаторы являются линейными.

Трансформатор состоит из двух или нескольких индуктивно связанных катушек.

Рассмотрим простой двухобмоточный трансформатор.

Двухобмоточный трансформатор состоит из двух обмоток – первичной и вторичной. К

первичной обмотке подводится питание а ко вторичной подсоединяется нагрузка–

потребитель энергии. Токи и напряжения, относящиеся к первичной и вторичной обмоткам

называются

первичными и вторичными соответственно.

Рис. Трансформатор

Для усиления магнитной связи используют ферромагнитные сердечники вокруг которых

наматываются обмотки трансформатора (но при этом трансформатор становится

нелинейным).

Запишем второй закон Кирхгофа для трансформатора, введя обозначения элементов

первичной и вторичной обмоток:



12222Н 22 2 Н

22 22

,, ,

XRRRX X X

IR jX IjX E

IjX I R jX





 





 





(50)

Умножим первое уравнение на



22 22

jX , а второе уравнение на

X и затем сложим. В

результате получим выражение тока первичной обмотки через входное напряжение и

сопротивления, вносимые вторичной обмоткой

вн вн

X :



1 вн 1 вн

22 22

22 22 22 22

RR jX X

RXjXX

RX RX



 











, (51)

где

22 22

вн вн

22 22

22 22 22 22

XX X

RX RX





Это выражение называется приведение сопротивлений вторичной обмотки к

сопротивлениям первичной обмотки. Из этого выражения вытекает следующее. Для того,

что бы трансформатор передавал максимальную мощность во вторичную обмотку

необходимо, чтобы выполнялось соотношение:

22 22

22 22 22 22

XX X

RX RX





(52)

Построим качественно векторные диаграммы для трансформатора при различных

нагрузках:

а б

Рис. Векторная диаграмма напряжений трансформатора при нагрузках :

а)

НН

RjX

и б)

НН

RjX

Что бы добиться выполнения соотношение (52) в первичную и во вторичную цепи

трансформатора включаются переменные емкости, что позволяет варьировать реактивные

составляющие сопротивлений первичной и вторичной цепях, рис.

Рис.

Для схемы приведенной на рисунке реактивные составляющие будут определятся

выражениями:

1122MН 2

1, 1

XCXXXC



  .

Если разрешить первое выражение (52) относительно

, то можно получить:

22 1 22

RRR



 .

Последнее выражение показывает, что при выполнении неравенства:

122

XRR M





Невозможно получить максимальную мощность во внесенном сопротивлении

вн

-I