Klein B. FEM: Grundlagen und Anwendungen der Finite-Element-Methode im Maschinen - und Fahrzeugbau
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Mathematischer Anhang
388
»
¼
º
«
¬
ª
1121
1222
12212211
1
aa
aa
aaaa
1
A . (A20)
Für Handrechnungen ist das zuvor gezeigte Verfahren recht transparent; in EDV-Program-
men wird hingegen meist die Gauß-Jordan-Elimination zur Inversion bevorzugt.
B) Matrizen-Eigenwertproblem
Die vorstehend dargestellten Instabilitätsprobleme (7.3.7/10.5) und die Bestimmung der Ei-
genfrequenzen schwingfähiger Systeme (9.4) führen auf die Lösung des
Eigenwertproblems.
Macht man zum Beispiel für die Schwingungs-DGL
0UKÜM , (B1)
den Ansatz
tȦi
e
xU (B2)
mit dem Eigenvektor
x und der Eigenfrequenz Z, so führt dies zu dem allgemeinen
Matrizen-Eigenwertproblem
0xKM Z
2
. (B3)
Da es in der Numerik jedoch Standardlöser für das so genannte spezielle Eigenwertproblem
gibt, ist zunächst eine Umformung sinnvoll. Mit
2
Z O kann Gl. (B3) geschrieben werden
als
0xAIxKMMM O O
11
. (B4)
Im besonderen Fall liegen mit
M und K noch positiv definite, symmetrische Matrizen vor.
Für die Nutzung der Symmetrie ist dann zweckmäßiger, auf die Massenmatrix eine
Dreieckszerlegung anzuwenden. Ausgangsgleichung hierfür ist
0KLL O
t
. (B5)
Multipliziert man diese Gleichung mit
1
t
L
vor und klammert L aus, so folgt
0xAIxLLKLI O
¸
¹
·
¨
©
§
O
**
1
1
t
. (B6)
Die Symmetrieeigenschaft kann so auf
*A übertragen werden. Durch verschiedene nume-
rische Verfahren (z. B. Jacobi-Iteration, Vektoriteration nach v. Mises) können im Weiteren
die Eigenwerte
OZ
ii
2
und die Eigenvektoren
*x
bestimmt werden. Die richtigen Eigen-
vektoren folgen aus der Rücktransformation
Mathematischer Anhang
389
*
1
xLx
. (B7)
C) Variationsrechnung
Bei der Herleitung der finiten Grundgleichung wurde in Kapitel 3.4.1 von dem Variations-
prinzip Gebrauch gemacht und die Variation einer Funktion
xyG eingeführt. Diese ist defi-
niert als
xyxy
~
y G . (C1)
Im Gegensatz hierzu ist das Differenzial einer Funktion definiert als
xydxxydy . (C2)
Der wesentliche Unterschied ist dabei, dass bei einer Variation die Funktion und bei einer
Differenziation das Argument veränderlich ist.
Diese Darlegung kann auch aus dem Bild 1/C
herausinterpretiert werden.
y
x
x
x
A
x
B
y
B
y
A
A
dx
dy
y(x)
y
~
B
Bild 1/C: Variation und Differenziation einer Funktion
Die Differenziation dy bezeichnet hierin die tatsächliche Änderung von y bei einer Verände-
rung von x. Demgegenüber bezeichnet die Variation
G
y eine gedachte oder virtuelle Ände-
rung der Funktion y(x) nach
xy
~
. Die Funktion
xy
~
soll dabei in der Nachbarschaft von
y(x) liegen.
Mathematischer Anhang
390
Aufgabe der Variationsrechnung (begründet von
Euler und Bernoulli) ist es, einen mög-
lichen Abstand zu minimieren oder allgemein das Minimum eines Funktionals zu finden,
d. h.
Gy 0 . (C3)
Bei dem vorstehenden Problem (Abstandsminderung) kann für die Variation folgender An-
satz gemacht werden:
GDIyx , (C4)
worin
D ein Parameter und
I x eine beliebige Funktion darstellen. An Randbedingungen
ist zu berücksichtigen, dass an den Endpunkten die Kurven zusammenfallen bzw. dort die
Variation
0y
B
/x
A
x
G (C5)
verschwindet. Als Erkenntnis kann daraus gewonnen werden, dass
die Variation einer Funktion
Gy stets beliebig klein ist
und
die Variation an vorgegebenen Stützstellen zu null werden kann, welches einem Zusam-
menfallen von
BA
/xxy
~
und
BA
/xxy
~
entspricht.
In der Mechanik wird die Variation oft auf einen Verschiebungsverlauf angewandt, weshalb
man hier dann auch von
virtuellen Verschiebungen spricht.
Weiterhin werden in den vorstehenden Kapiteln schon die beiden Regeln
G
w
w
w
w
G
y
xx
y
§
©
¨
·
¹
¸
, (C6)
GGydx y dx
³³
(C7)
benutzt, die jetzt mit dem Ansatz von Gl. (C4) beweisbar sind.
D) Stabilität
Ein Problem des zuvor im Kap 9 und 11 benutzten Differenzenverfahrens ist die numerische
Stabilität, d. h., ein Iterationsschritt
t
'
darf nicht über einen bestimmten kritischen Wert
krit
t' liegen. Um dies aufzeigen zu können, sei hier ein 1-Freiheitsgrad-Schwinger ange-
nommen. Für diesen Fall lautet die Bewegungsgleichung:
)t(Fxcxdxm
. (D1)
Mathematischer Anhang
391
Mit Einführung des Lehr’schen Dämpfungsmaßes [ und der Eigenkreisfrequenz
Z
lässt
sich die bekannte DGL aufstellen:
nn
2
nn
pxx2x ZZ[
. (D2)
Werden die zentralen Differenzen für die Geschwindigkeit
t'
2
xx
x
1n1n
n
(D3)
und die Beschleunigung
2
1nn1n
n
2
xx2x
x
t'
(D4)
in die DGL eingesetzt, so folgt
n
2
1nn
22
1n
p
21
x
21
21
x
21
2
x
'Z[
'
'Z[
'Z[
'Z[
'Z
t
t
t
t
t
t
nn
xx . (D5)
In Matrixform lautet die Gleichung auch
n
2
1n
n
22
n
1n
p
0
21
x
x
01
21
21
21
2
x
x
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
'Z[
'
»
¼
º
«
¬
ª
»
»
»
¼
º
«
«
«
¬
ª
'Z[
'Z[
'Z[
'Z
»
¼
º
«
¬
ª
t
t
t
t
t
t
bzw. als Zustandsgleichung
n
n1n
p
LxAx . (D6)
Die Matrix
A wird als Iterationsnäherungsoperator und der Vektor L als Lastoperator be-
zeichnet.
Für den n-ten Zeitschritt, beliebige Anfangsbedingungen
x
o
und lastfreien Schwinger
0p
n
folgt:
xAx
omm
. (D7)
Um eine sinnvolle Lösung zu erhalten, muss die Matrix
A näher betrachtet werden. Hierzu
wird eine spektrale Zerlegung durchgeführt:
PJPA
mtm
. (D8)
Mathematischer Anhang
392
Die Matrix
P enthält die Eigenvektoren und die Matrix J
m
enthält auf der Hauptdiagonalen
die Eigenwerte
i
O
(Jordanform) der Matrix A
m
. Der Vektor J
m
besitzt nur dann eine
Schranke für
fo
m
, wenn der spektrale Radius von A kleiner oder gleich eins ist
>@
1
d
U
A , d. h., der Betrag des größten Eigenwertes der Matrix A muss kleiner oder
gleich eins sein. Wird eine Eigenwertuntersuchung der Matrix
A für ein ungedämpftes
System vorgenommen, so gilt
0
10
01
01
12
22
¸
¸
¹
·
¨
¨
©
§
O
'Z t
det
. (D9)
Für die beiden Eigenwerte folgt sodann
1
4
2
2
2
2
2222
2,1
'Z
r
'Z
O
tt
. (D10)
Wird
1dO gefordert, so folgt hieraus für den Zeitschritt
krit
max
2
tt '{
Z
d' . (D11)
Wird ein gedämpftes System betrachtet, so folgt entsprechend
krit
2
max
1
2
tt '{
¸
¹
·
¨
©
§
[[
Z
d' . (D12)
Bleiben bei der Iteration die Zeitschritte
t
'
unter den kritischen Zeitschritten, so ist das
Verfahren
stabil. Wird der Zeitschritt überschritten, schaukeln sich die Fehler auf, die Lö-
sung wird dann sehr falsch sein.
393
QM-Checkliste einer FE-Berechnung
1. Modellbildung/Idealisierung
x Wahl des Berechnungsalgorithmus
linear, nichtlinear, Zeit- oder
Temperaturabhängigkeit
Idealisierung
elastisch-plastisch, ideal-plastisch
x Modellreduktion
Betrachtung kritischer Beulteile
physikalisch und mechanisch richtig
Topologie
Vernachlässigung von Verrippungen,
Fasen etc.
Symmetrie
Randbedingungen
x Materialeigenschaften
isotrop oder orthotrop
2. Modellgenerierung/Diskretisierung
x Vernetzung
Elementeigenschaften
elastisch, starr
Wahl des Elementtyps
geeignete Elemente,
kompatible Verschiebungsansätze
Wahl der Elementgröße
ausreichende Netzfeinheit
Ansatzfunktionen
Randkonturen
geometrische
Netzverfeinerung bei Kerben, Absätzen,
Rissen
x Elementformulierung
vollständig, Schalendicke etc.
x Gittergenerierung
Übergänge vom groben zum feinen
Netz, Elementformen
x Randbedingungen
Lasteinleitung
Lastgröße bei Symmetrie, Überlagerung,
Flächenlasten etc.
Lagerung
keine Starrkörperbewegung,
realitätsnah, Flächen-Linien
Zwangsbedingungen
Couple DOF
3. Modellzusammenbau
x Funktion
Elementkopplungen
x Kontakt
Definitionen korrekt, Reibung etc.
QM-Checkliste einer FE-Berechnung 394
4. Berechnung
x Fehlerausgabe
Überprüfung der Berechnungsfehler
x Programmfehler
Rundungsfehler
in der Regel vernachlässigbar
Inkompatibilität der
Programmroutinen
Versionswechsel
x Wahl der Iterationsschritte
Konvergenz
5. Beurteilung der Ergebnisse
x Verifikation
visuelle Kontrolle
sind Verschiebungen oder Spannungen
realistisch
Stetigkeit der Spannungen
bei Elementübergängen
Überschlagsrechnung
exakte analytische Lösungen
experimentelle Ergebnisse
x Plausibilität
physikalisch korrekt, Bewegungen,
Durchdringungen
x Prüfen der Ergebnisgüte
Netzverfeinerung, Berechnung mit
anderen FE-Programmen
x linear/nichtlinear
Spannungen unterhalb der zulässigen
Werte
395
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