Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов
Подождите немного. Документ загружается.
251
Для нахождения интегралов п е р в о й группы полагают
P
n
(x) = u (остальные множители составляют dv). Для нахож-
дения интегралов в т о р о й группы полагают P
n
(x)dx = dv
(остальные множители берут в качестве u).
21.3. ИнтеГрИрованИе рацИональных дробей
Выражение
P x
Q x
( )
( )
,
где P(x) и Q(x) – многочлены, называется
рациональной дробью. Рациональная дробь называется правиль-
ной, если степень числителя меньше степени знаменателя. Если
же степень числителя больше или равна степени знаменателя,
то дробь называется неправильной.
Неправильную дробь можно представить в виде суммы много-
члена и правильной дроби, поделив числитель на знаменатель:
P x
Q x
R x
S x
Q x
( )
( )
( )
( )
( )
.= +
Здесь R(x) – некоторый многочлен, а второе слагаемое – правиль-
ная дробь.
Например,
x x x x
x x x
x x
x x
x x
5 4 3 2
3 2
2
2
3
3 2 3
1
2
3 2 3+ + + +
+ − +
= + +
− +
+
22
1− +x
.
Для того чтобы проинтегрировать правильную дробь, ее разла-
гают на простые дроби, предварительно разложив знаменатель на
элементарные множители.
Приведем без доказательства формулу разложения правиль-
ной дроби. Пусть знаменатель Q(x) разлагается на множители
(x – a)
α
(x
2
+ px + q)
β
. Здесь x = a – действительный корень Q(x)
кратности α, x
2
+ px + q – квадратный трехчлен с отрицательным
дискриминантом. Тогда правильная дробь разлагается на сумму
элементарных дробей с помощью так называемого метода неопре-
деленных коэффициентов следующим образом:
P x
x a x px q
A
x a
A
x a
( )
( ) ( ) ( ) ( )
..
− + +
=
−
+
−
+
−α β α α2
1 2
1
.. ...+
−
+ +
A
x a
α
+
+
+ +
+
+
+ +
+ +
−
M x N
x px q
M x N
x px q
M
1 1
2
2 2
2 1
( ) ( )
...
β β
β
xx N
x px q
+
+ +
β
2
,
(21.4)
где коэффициенты подлежат вычислению в процессе разложения
дроби.
252
В связи с упомянутым разложением необходимо рассмотреть
так называемые простые дроби:
I.
A
x a−
.
III.
Mx N
x px q
+
+ +
2
.
II.
A
x a( )
.
−
α
IV.
Mx N
x px q
+
+ +( )
.
2 β
Здесь a, p, q, A, M, N – действительные числа; α, β – натуральные
числа; кроме того, предполагается, что знаменатели дробей III и
IV типов не имеют действительных корней, т.е.
p
q
2
0
2
− < .
Рассмотрим интегралы от простых дробей.
Дроби I и II типов интегрируются просто:
A
x a
dx A x a C
−
= − +
∫
ln| | ,
A
x a
dx
A
x a
C
( ) ( )
.
−
= −
−
−
+
∫
−α α
α
1
1
1
Для вычисления интеграла от дроби III типа из трехчлена в
знаменателе выделяют полный квадрат:
x px q x
p
q
p
x
p
2
2
2
2
2 4 2
+ + = +
+ −
= +
++ a
2
;
Mx N
x px q
dx
M
x p N
Mp
x px q
d
+
+ +
=
+ + −
+ +
∫
2 2
2
2
2
( )
xx
∫
=
=
+
+ +
+ −
+
+
∫
M x p
x px q
dx N
Mp dx
x
p
2
2
2
2
2 2
qq
p
−
=
∫
2
4
= + + +
−
−
+
−
+
M
x px q
N Mp
q p
x p
q p
C
2
2
4
2
4
2
2 2
ln( ) .arctg
П р и м е р 21.6. Найти
3 4
2 5
2
x
x x
dx
+
+ +
∫
.
Р е ш е н и е. Можно воспользоваться выведенной выше фор-
мулой для интеграла от дроби III типа, но мы еще раз повторим
процесс ее вывода на этом конкретном примере:
253
3 4
2 5
3
2
2 2
2 5 1 4
2 2 2
x
x x
dx
x
x x
dx
dx
x
+
+ +
=
+
+ +
+
+ +
∫ ∫ ∫
( )
==
=
+ +
+ +
+
+ +
= +
∫ ∫
3
2
2 5
2 5 1 4
3
2
2
2
2 2
2
d x x
x x
dx
x
x
( )
( )
ln(
xx
x
C+ +
+
+5
1
2
1
2
) .arctg
Перейдем к вычислению интеграла от дроби IV типа, т.е. ин-
теграла
Mx N
x px q
dx
+
+ +
∫
( )
2 β
при β ≥ 2.
Применим ту же подстановку
x
p
t+ =
2
,
что и в случае с дробью
III типа:
Mx N
x px q
dx
Mt N
Mp
t a
dt
+
+ +
=
+ −
+
=
∫
( ) ( )
2 2 2
2
β β
∫∫
=
+
+ −
+
∫ ∫
M t dt
t a
N
Mp dt
t a
2
2
2
2 2 2 2
( ) ( )
.
β β
Первый из полученных интегралов берется подстановкой
t
2
+ a
2
= z, 2t dt = dz:
2 1
1
1 1
1
1
2 2 1 2
t dt
t a
dz
z z
C
t a( ) (+
= = −
−
+ = −
−
+
∫
−β β β
β β
22 1
)
.
β−
+
∫
C
Вычисление второго из оставшихся интегралов требует опре-
деленных усилий. Итак, нам нужно вычислить интеграл
J
dt
t a
β
β
=
+
∫
( )
2 2
(β = 1, 2, 3, …).
Применим формулу интегрирования по частям. Положим
u
t a
=
+
1
2 2
( )
,
β
dv = dt; отсюда
du
t dt
t a
= −
+
+
2
2 2 1
β
β
( )
,
v = t. Получаем
J
t
t a
t
t a
dt
β
β β
β=
+
+
+
+
∫
( ) ( )
.
2 2
2
2 2 1
2
(*)
Преобразовываем последний интеграл:
t
t a
dt
t a a
t a
dt
2
2 2 1
2 2 2
2 2 1
( ) ( )+
=
+ −
+
=
+ +
∫∫
β β
=
+
−
+
= −
+
+
∫∫
dt
t a
a
dt
t a
J a J
( ) ( )
.
2 2
2
2 2 1
2
1
β β
β β
254
Подставим последнее выражение в равенство (*):
J
t
t a
J a J
β
β
β β
β β=
+
+ −
+
( )
,
2 2
2
1
2 2
откуда
J
a
t
t a a
J
β
β
β
β
β
β
+
=
+
+
−
1
2 2 2 2
1
2
2 1
2
1
( )
.
(**)
Полученная формула сводит вычисление интеграла
J
dt
t a
β
β
+
+
=
+
∫
1
2 2 1
( )
к вычислению интеграла
J
dt
t a
β
β
=
+
∫
( )
.
2 2
(Напомним, что β – натуральное число.)
Очевидно,
J
dt
t a
a
t
a
C
1
2 2
1
=
+
= +
∫
arctg .
Возьмем одно из его значений, а именно при С = 0. По форму-
ле (**) при β = 1 найдем
J
dt
t a a
t
t a a
t
a
2
2 2 2 2 2 2 3
1
2
1
2
=
+
=
+
+
∫
( )
,arctg
при β = 2 получим
J
dt
t a a
t
t a a
J
3
2 2 3 2 2 2 2 2
2
1
4
3
4
=
+
=
+
+ =
∫
( ) ( )
=
+
+
+
+
1
4
3
8
3
8
2 2 2 2 4 2 2 5
a
t
t a a
t
t a a
t
a
( )
arctg
и т.д. Теперь остается только вспомнить, что
t x
p
= +
2
, и вернуться
к переменной x. Заметим, что формулы вида (**), позволяющие
сводить вычисление J
β + 1
к вычислению J
β
с меньшим на единицу
знаком, называются рекуррентными. Мы встречались с рекуррент-
ными соотношениями и раньше, в линейной алгебре – там, где
сводили вычисление определителя порядка n к вычислению оп-
ределителей порядка n – 1 [см. формулу (3.7)].
Рассмотрим теперь интегрирование рациональных дробей, не
являющихся простыми. Как уже говорилось, рациональная дробь,
255
если она не является правильной, преобразуется и представляется
в виде суммы многочлена и правильной дроби. Затем правильная
дробь разлагается на простые дроби. При этом применяется метод
неопределенных коэффициентов. После того как дробь представ-
лена в виде суммы простых дробей, вычисляют интеграл от нее
как сумму интегралов от этих простых дробей. Рассмотрим это на
примерах.
П р и м е р 21.7. Вычислить интеграл
2 2 1
2 2 2 1
3 2
4 3 2
x x x
x x x x
dx
− + +
− + − +
∫
.
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция – правильная дробь.
Разложим ее на простые дроби. Для этого сначала разложим зна-
менатель на множители: x
4
– 2x
3
+ 2x
2
– 2x + 1 = (x – 1)
2
(x
2
+ 1).
(Это можно сделать, например, найдя подбором корень x = 1 и
деля на (x – 1).) Применяем формулу разложения (21.4):
2 2 1
1 1 1
1
3 2
2 2
1
2
2
x x x
x x
A
x
A
x
Mx N− + +
− +
=
−
+
−
+
+
( ) ( ) ( )
xx
2
1+
.
Умножим обе части этого равенства на знаменатель левой части:
2x
3
– x
2
+ 2x + 1 = A
1
(x
2
+ 1) + A
2
(x – 1)(x
2
+ 1) + (Mx + N)(x – 1)
2
.
После приведения подобных членов получаем
2x
3
– x
2
+ 2x + 1 = (A
2
+ М)x
3
+ (A
1
– A
2
– 2М + N)x
2
+
+ ( A
2
+ М – 2N)x + A
1
– A
2
+ N.
Приравниваем коэффициенты при одинаковых степенях x
слева и справа:
x
x
x
x
A M
A A M N
A M N
A A
3
2
1
0
2
1 2
2
1
2
2 1
2 2
+ =
− − + = −
+ − =
−
,
,
,
22
1+ =N .
Решая систему, находим: A
1
= 2, A
2
= 1, M = 1, N = 0. Итак,
2 2 1
1 1
2
1
1
1
1
3 2
2 2 2 2
x x x
x x x
x
x
x
− + +
− +
=
−
+
−
+
+( ) ( ) ( )
.
256
Интегрируем:
2 2 1
2 2 2 1
2
1
3 2
4 3 2 2
x x x
x x x x
dx
dx
x
dx
x
− + +
− + − +
=
−
+
∫
( )
−−
+
+
=
∫ ∫∫
1
1
2
xdx
x
= −
−
+ − + + +
2
1
1
1
2
1
2
x
x x Cln| | ln( ) .
П р и м е р 21.8. Вычислить интеграл
I
x x x x x x
x x x x
=
− + − + − +
− + − +
2 5 6 10 8 3 15
2 2 4
6 5 4 3 2
5 4 3 2
xx
dx
−
∫
2
.
Р е ш е н и е. Подынтегральная функция – неправильная
рациональная дробь. Деля числитель на знаменатель, выделяем
целую часть:
2x
6
– 5x
5
+ 6x
4
– 10x
3
+ 8x
2
– 3x + 15 =
= (2x – 1)(x
5
– 2x
4
+ 2x
3
– 4x
2
+ x – 2) + 2x
2
+ 2x + 13.
Следовательно, подынтегральная функция имеет вид
2 1
2 2 13
2 2 4 2
2
5 4 3 2
x
x x
x x x x x
− +
+ +
− + − + −
.
Знаменатель оставшейся правильной дроби разложим на мно-
жители:
x
5
– 2x
4
+ 2x
3
– 4x
2
+ x – 2 = x
4
(x – 2) + 2x
2
(x – 2) + x – 2 =
= (x – 2)(x
4
+ 2x
2
+ 1) = (x – 2)(x
2
+ 1)
2
.
(Можно было бы поступить иначе – подбором найти корень зна-
менателя x = 2, а затем разделить знаменатель на (x – 2).)
Итак,
I x dx
x x
x x
dx= − +
+ +
− +
∫ ∫
( )
( )( )
.2 1
2 2 13
2 1
2
2 2
Первый из этих двух интегралов вычисляется сразу:
∫
(2x – 1)dx = x
2
– x + C,
а для вычисления второго интеграла разложим его подынтеграль-
ную функцию, являющуюся правильной дробью, на простые дроби:
2 2 13
2 1
2
1
2
2 2
1 1
2 2
2
x x
x x
A
x
M x N
x
M
+ +
− +
=
−
+
+
+
+
( )( ) ( )
xx N
x
+
+
2
2
1
.
257
Приводя дроби в правой части к общему знаменателю, прирав-
ниваем числители:
2x
2
+ 2x + 13 = A(x
2
+ 1)
2
+ (M
1
x + N
1
)(x – 2) +
+ (M
2
x + N
2
)(x
2
+ 1)(x – 2).
Приравнивая коэффициенты при одинаковых степенях x сле-
ва и справа, приходим к системе из пяти линейных уравнений:
x
4
A + M
2
= 0,
x
3
– 2M
2
+ N
2
= 0,
x
2
2A + M
1
+ M
2
– 2N
2
= 2,
x
1
– 2M
1
– 2M
2
+ N
1
+ N
2
= 2,
x
0
A – 2N
1
– 2N
2
= 13.
Решая эту систему, находим:
A = 1, M
1
= –3, N
1
= –4, M
2
= –1, N
2
= –2.
Получаем
2 2 13
2 1
1
2
3 4
1
2
2
2 2 2 2
x x
x x
x
x
x
x
x
+ +
− +
=
−
−
+
+
−
+
( )( ) ( )
22
1+
.
Вычисляем интегралы от каждого из слагаемых, стоящих справа:
dx
x
x C
−
= − +
∫
2
2ln| | ,
x
x
dx x x C
+
+
= + + +
∫
2
1
1
2
1 2
2
2
ln( ) ,arctg
3 4
1
3
2
2
1
4
1
2 2 2 2 2 2
x
x
dx
x dx
x
dx
x
+
+
=
+
+
+
= −
∫ ∫ ∫
( ) ( ) ( )
33
2 1
4
1
2 2 2
( ) ( )
.
x
dx
x+
+
+
∫
Последний интеграл вычисляется с помощью рекуррентной
формулы (**):
dx
x
x
x
x
( )
.
2 2 2
1
1
2
1
1
2
+
=
+
+
∫
arctg
C учетом коэффициентов после очевидных преобразований
получаем
2 5 6 10 8 3 15
2 2 4
6 5 4 3 2
5 4 3 2
x x x x x x
x x x x x
− + − + − +
− + − + −
22
dx
∫
=
= − +
−
+
+
−
+
− +x x
x
x
x
x
x C
2
2
2
2
1
2
3 4
1
1
2
2
1
4ln
( )
.arctg
258
21.4. ИнтеГрИрованИе
ИррацИональных функцИй
Рассмотрим случаи, когда замена переменной позволяет свес-
ти интегралы от иррациональных функций к интегралам от ра-
циональных функций (т.е. рационализирует интеграл). Обозна-
чим через R (u, v) рациональную функцию от u и v, т.е. функ-
цию, которая получена с использованием лишь арифметических
операций над переменными u и v.
1. Рассмотрим интеграл вида
R x x x dx
m
n
r
s
, , , ...
∫
.
Пусть k –
общий знаменатель дробей
m
n
r
s
, , ... .
Сделаем подстановку:
x = t
k
, dx = kt
k – 1
dt.
Тогда, очевидно, подынтегральная функция преобразуется в ра-
циональную функцию от t.
П р и м е р 21.9. Вычислить интеграл
x dx
x
3
4
1+
∫
.
Р е ш е н и е. Наименьшее общее кратное показателей корней
равно 4. Поэтому делаем подстановку x = t
4
, dx = 4t
3
dt:
x dx
x
t
t
t dt
t
t
dt t
t
t
3
4
2
3
3
5
3
2
2
3
1
4
1
4
1
4
1
+
=
+
=
+
= −
+
∫ ∫
=
∫∫
dt
= −
+
+
= − + + =
∫∫
4
4
3
1
1
4
3
4
3
1
2
3
3
3 3
t dt
d t
t
t t C
( )
ln| |
= − +
( )
+
4
3
1
3
4
3
4
x x Cln .
2. Рассмотрим теперь интеграл вида
R x
ax b
cx d
ax b
cx d
m
n
r
s
, , , ...
+
+
+
+
∫
dx.
Такие интегралы вычисляются подстановкой
ax b
cx d
t
k
+
+
= ,
где k – общий знаменатель дробей
m
n
r
s
, , ... .
259
П р и м е р 21.10. Вычислить
dx
x x+ + +
( )
∫
5 5 1
4
.
Р е ш е н и е. Здесь a = 1, b = 5, c = 0, d = 1;
m
n
r
s
= =
1
4
1
2
, .
Делаем
подстановку x + 5 = t
4
, dx = 4t
3
dt. Получаем
dx
x x
t dt
t t
t dt
t t
+ + +
( )
=
+
=
+
= −
∫ ∫ ∫
5 5 1
4
1
4
1
4 1
1
4
3
2
( )
++
=
∫
1
dt
= − + + = + − + +
( )
+4 1 4 5 5 1
4 4
( ln| |) ln .t t C x x C
Некоторые интегралы от иррациональных функций рациона-
лизируются тригонометрическими подстановками. В частности,
при вычислении интеграла вида
R x a x dx,
2 2
−
( )
∫
применяется
подстановка x = a sint, а интеграла вида
R x a x dx,
2 2
+
( )
∫
– под-
становка x = a tgt.
П р и м е р 21.11. Найти
dx
x( )
.
4
2 3
−
∫
Р е ш е н и е. Положим x = 2 sint. Тогда dx = 2 cost dt,
dx
x
t dt
t
t dt
( )
cos
( sin )
cos
cos
4
2
4 4
2
8
2 3 2 3
3
−
=
−
=
∫ ∫
tt
dt
t
∫ ∫
= =
1
4
2
cos
= + = + =
−
+ =
−
1
4
1
4
1
4
1
1
4
4
2
tg t C
t
t
C
t
t
C
xsin
cos
sin
sin xx
C
2
+ .
21.5. ИнтеГрИрованИе
трИГонометрИческИх функцИй
Рассмотрим интеграл вида
∫
R(sinx, cosx)dx. Покажем, что он
сводится к интегралу от рациональной функции с помощью под-
становки
t
x
= tg
2
,
называемой универсальной тригонометрической подстановкой.
260
Действительно, выражая sin x, cos x и dx через
tg
x
t
2
= ,
полу-
чаем:
sin , cos , ,x
t
t
x
t
t
x t dx
dt
=
+
=
−
+
= =
2
1
1
1
2
2
1
2
2
2
arctg
++ t
2
.
Подставляя полученные выражения в интеграл, получаем
R x x dx R
t
t
t
t
dt
(sin ,cos ) ,
∫
=
+
−
+
+
2
1
1
1
2
1
2
2
2
tt
R t dt
2
1
∫ ∫
= ( ) .
П р и м е р 21.12. Найти
dx
x1 +
∫
sin
.
Р е ш е н и е. Применяя универсальную подстановку
t
x
= tg
2
,
после очевидных преобразований получаем:
dx
x
dt
t
t
C
x
C
1
2
1
2
1
2
1
2
2
+
=
+
= −
+
+ = −
+
+
∫ ∫
sin
( )
.
tg
Следует заметить, однако, что универсальная тригонометри-
ческая подстановка часто приводит к весьма сложным рациональ-
ным функциям. Поэтому во многих случаях вместo универсаль-
ной подстановки применяют другие подстановки, позволяющие
быстрее и проще достичь цели.
П р и м е р 21.13. Найти
∫
sin
4
x ⋅ cos
3
x dx.
Р е ш е н и е. Положим t = sinx. Тогда dt = cosx dx. Получаем
sin cos sin cos cos ( )
4 3 4 2 4 2
1x x dx x x x dx t t⋅ = ⋅ ⋅ = −
∫ ∫
ddt
∫
=
= − + = − +
t t
C
x x
C
5 7 5 7
5 7 5 7
sin sin
.
Вообще, интеграл вида
∫
sin
m
x ⋅ cos
n
x dx, где m и n – нату-
ральные числа, удобнее вычислять с помощью следующих подста-
новок:
а) если m – ч е т н о е, n – н е ч е т н о е, то подстановка t = sinx;
б) если m – н е ч е т н о е, n – ч е т н о е, то подстановка t = cosx;
в) если m и n – н е ч е т н ы е, то любая из подстановок «а»
или «б»;
г) если m и n – ч е т н ы е, то применяются формулы пониже-
ния степени:
sin
cos
, cos
cos
.
2 2
1 2
2
1 2
2
x
x
x
x
=
−
=
+