Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

281

0 х

рис. 23.4

Очевидно,

tg AOB

= .

Поэтому уравнение прямой OA имеет

вид

x= .

По формуле (23.3) получаем

x dx

H H













= = ⋅

∫ ∫

π π

πR H

Эта формула хорошо известна из школьного курса геометрии.

П р и м е р 23.4. Вычислить объем тела, образуемого вращени-

ем фигуры, ограниченной линиями y = e

, y = 0, x = –1, x = 0,

вокруг оси Ox (рис. 23.5).

–

y = e

рис. 23.5

Р е ш е н и е:

V dx

x x

= = ⋅ = −













−

∫

π π

( ) .e e

2 2

Длина дуги плоской кривой

Пусть кривая на плоскости Oxy задана уравнением y = f(x)

и f(x) имеет непрерывную производную f ′(x) на отрезке [a, b].

Тогда длина l дуги этой кривой равна

l y dx

= +

′

∫

( ) ,

(23.5)

где a и b – абсциссы концов дуги.

(Примем это утверждение без доказательства.)

282

П р и м е р 23.5. Найти длину дуги кривой y = ln sin x от

x =

до

x =

Р е ш е н и е. Вычисляем производную y′ = ctg x и подставляем

ее в формулу (23.5):

l x dx

= + = =

∫ ∫

2 3

ctg tg

sin

= ln .

Механические и физические приложения интеграла

Эти приложения для экономистов малоинтересны, поэтому

бегло упомянем некоторые из них.

Хорошо известно, что пройденный путь есть интеграл от ско-

рости движения. Механическая работа также вычисляется с по-

мощью интеграла. Пусть под воздействием некоторой силы F

материальная точка движется по прямой Os, причем направление

силы совпадает с направлением движения. Требуется найти

работу силы F по перемещению точки из положения s = a в по-

ложение s = b. Если сила F постоянна, то работа A равна произ-

ведению силы F на длину пути: A = F ⋅ (b – a). Если же сила не-

прерывно изменяется, т.е. F = F(s) есть непрерывная функция на

[a, b], то работа A выражается формулой

A F s ds

∫

( ) .

23.2. прИложенИя определенноГо

ИнтеГрала в экономИке

В § 22.1 мы отмечали, что, зная функцию производительности

труда, можно с помощью определенного интеграла выразить объ-

ем произведенной продукции. Рассмотрим пример.

П р и м е р 23.6. Найти дневную выработку P за рабочий день

с 8 до 14 часов, если производительность труда задана эмпиричес-

кой формулой

P P t

t= = − + −( ) .

5 15

(Эта формула отражает процесс работы, при котором произ-

водительность растет на протяжении первых двух часов, а затем

падает.)

283

Р е ш е н и е. Рассматривая функцию производительности

(рис. 23.6) на отрезке [8, 14], выразим дневную выработку интег-

ралом:

t dt

t t

t= − + −













= − + −









∫

3 2

5 15





54.

8 10 14 t

рис. 23.6

Итак, за указанный промежуток времени произведено 54 еди-

ницы продукции.

В § 20.1 мы рассматривали, в частности, предельные издержки,

задаваемые производной функции издержек S(x): MS = S′(x). Эта

производная характеризует затраты на производство единицы до-

полнительной продукции.

Рассмотрим задачу нахождения функции издержек по данной

функции предельных издержек.

П р и м е р 23.7. Задана функция предельных издержек

MS = 3x

– 40x + 125, x ∈ [0, 30]. Найти функцию издержек S(x)

и вычислить издержки при производстве 20 единиц продукции,

если известно, что издержки для производства первой единицы

продукции составляют 100 денежных единиц.

Р е ш е н и е. Функцию издержек находим интегрированием:

S x MS dx C

( ) .= +

∫

При этом константа C определяется условием S(1) = 100, так что

C = 100, так как интеграл обращается в нуль.

Получаем функцию издержек:

S(x) = x

– 20x

+ 125x + 100.

Подставляя x = 20, находим

S(20) = 2600.

284

Еще одним примером приложения определенного интеграла

является дисконтирование. Дисконтированием называется опре-

деление начальной денежной суммы S по ее конечной величине S

через время t при процентной ставке p. Задачи дисконтирования

встречаются при определении экономической эффективности

капитальных вложений.

Как было установлено ранее (см. § 14.5), при непрерывном

начислении процентов конечная сумма рассчитывается по фор-

муле S

= Sе

, где

100

Отсюда S = S

–r t

. Если S

= f(t),

то дисконтированная сумма к моменту времени t составит

S = f(t)e

–rt

Полная дисконтированная сумма S

за время T выражается

формулой

S f t dt

−

∫

( ) .e

(23.6)

вопросы

Как выражается площадь плоской фигуры с помощью опреде-

ленного интеграла?

Объем каких тел и как можно вычислять с помощью опреде-

ленных интегралов?

Можно ли, зная функцию производительности труда, с помо-

щью определенного интеграла выразить объем произведенной

продукции?

Как выражается полная дисконтированная сумма при непре-

рывном начислении процентов?

285

Глава 24

несобственные ИнтеГралы

24.1. несобственные ИнтеГралы

с бесконечнымИ пределамИ ИнтеГрИрованИя

Вводя понятие определенного интеграла, мы предполагали,

что отрезок интегрирования к о н е ч е н, а подынтегральная

функция о г р а н и ч е н а на этом отрезке. Теперь рассмотрим

случаи, когда хотя бы одно из этих условий не выполняется.

О п р е д е л е н и е. Пусть функция y = f(x) определена на беско-

нечном промежутке [a, +∞) и интегрируема на любом конечном

отрезке [a, b], b > a, т.е. существует для любого b > a определен-

ный интеграл

Φ( ) ( ) .b f x dx

∫

Тогда несобственным интегралом

f x dx

( )

+∞

∫

от функции f (x) на

промежутке [a, +∞) называется предел

lim ( ) lim ( ) .

b b

b f x dx

→+∞ →+∞

∫

Следовательно, по определению

f x dx f x dx

( ) lim ( ) .

+∞

→+∞

∫ ∫

(24.1)

Если предел, стоящий в правой части равенства (24.1), сущест-

вует и конечен, то несобственный интеграл называется сходящимся,

в противном случае – расходящимся. Если несобственный интег-

рал (24.1) сходится (т.е. является сходящимся), то функцию f(x)

называют интегрируемой на [a, +∞).

286

П р и м е р 24.1. Вычислить интегралы:

a б) ; ) .

1 1

+∞ +∞

∫ ∫

Р е ш е н и е.

a) lim lim

x dx

+∞

→+∞

−

→+∞

∫ ∫

= = −













1 1

= − +













→+∞

lim ,

т.е. интеграл сходится к 1.

б) lim lim ,

x dx b

2 1

+∞

→+∞

−

→+∞

∫ ∫

= = −

( )

= ∞

т.е. интеграл расходится.

П р и м е р 24.2. Установить, при каких значениях α интеграл

+∞

∫

сходится, а при каких расходится.

Р е ш е н и е. При α ≠ 1 имеем

x b

α α

∫

−

( )

− −

при α = 1

x b

∫

= =ln ln .

Поэтому при α ≠ 1

+∞

→+∞

−

∫

−

( )

lim ,

при α = 1

+∞

→+∞

∫

= lim ln .

Итак, можно сделать следующие выводы:

если α > 1, то

+∞

∫

−

– интеграл сходится;

если α < 1, то

+∞

∫

= ∞

– интеграл расходится;

если α = 1, то

+∞

∫

= ∞

– интеграл расходится.

287

По аналогии с несобственным интегралом, определяемым ра-

венством (24.1), определяется несобственный интеграл с бесконеч-

ным нижним пределом, а именно:

f x dx f x dx

( ) lim ( ) .

−∞

→−∞

∫ ∫

(24.2)

Наконец, можно рассмотреть несобственный интеграл с беско-

нечными нижним и верхним пределами:

f x dx( ) .

−∞

+∞

∫

Для этого возьмем произвольную точку c. Она разобьет число-

вую прямую на две полупрямые. Если существуют несобственные

интегралы

f x dx f x dx

( ) ( ) ,

−∞

+∞

∫ ∫

то по определению существует

и несобственный интеграл

f x dx( ) .

−∞

+∞

∫

В этом случае полагают

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) .

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ ∫

= +

(24.3)

Можно доказать, что правая часть равенства (24.3) не зависит

от выбора точки c.

П р и м е р 24.3. Вычислить

−∞

+∞

∫

Р е ш е н и е:

x1 1 1

2 2

−∞

+∞

−∞

+∞

∫ ∫ ∫

Вычислим каждый из интегралов в правой части последнего

равенства:

1 1

−∞

→−∞ →−∞

∫ ∫

lim lim arctg == − =

→−∞

lim (arc arc ) ,

atg tg0

1 1

+∞

→+∞ →+∞

∫ ∫

lim lim arctg == − =

→+∞

lim (arc arc ) .

btg tg0

Следовательно,

2 2

= + =

−∞

+∞

∫

π π

π.

288

Несобственные интегралы с бесконечными пределами,

т.е. интегралы (24.1), (24.2) и (24.3), называются несобственными

интегралами первого рода.

24.2. несобственные ИнтеГралы

от неоГранИченных функцИй

Пусть функция y = f(x) определена на промежутке [a, b). Точ-

ку x = b будем называть особой, если f(x) не ограничена в любой

окрестности этой точки, но ограничена и интегрируема на любом

отрезке, заключенном в промежутке [a, b).

О п р е д е л е н и е. Если f(x) не ограничена на [a, b), но явля-

ется интегрируемой на любом отрезке [a, b – ε], 0 < ε < b – a, то

несобственным интегралом

f x dx

( )

∫

от функции f(x) на [a, b] на-

зывается предел

lim ( ) .

→

−

∫

f x dx

(24.4)

Таким образом,

f x dx f x dx

( ) lim ( ) .

∫ ∫

→

−

(24.5)

Если предел (24.4) существует и конечен, то интеграл (24.5)

называется сходящимся, в противном случае он называется расхо-

дящимся.

Аналогично определяется несобственный интеграл в случае,

когда особой точкой является л е в ы й конец промежутка:

f x dx f x dx

( ) lim ( ) .

∫ ∫

→

(24.6)

Наконец, если c – единственная в н у т р е н н я я особая точка

на [a, b], то по определению

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) .

∫ ∫ ∫

= +

(24.7)

Несобственные интегралы от неограниченных функций назы-

ваются несобственными интегралами второго рода.

289

П р и м е р 24.4. Вычислить несобственный интеграл

−

∫

Р е ш е н и е. По формуле (24.5) получаем

1 1

2 1

−

= − − = −

∫ ∫

→

−

→

−

lim lim

22 1 2

lim .

→

−

( )

П р и м е р 24.5. Вычислить несобственный интеграл

∫

Р е ш е н и е:

2 2 2

∫ ∫

= = = −

( )

→ → →

lim lim lim

ε == 2.

Заметим, что несобственный интеграл

∫

где α > 0, с х о -

д и т с я при 0 < α < 1 (и равен

1 − α

) и р а с х о д и т с я при α ≥ 1.

(Проверьте это самостоятельно.)

24.3. прИзнакИ сходИмостИ

несобственных ИнтеГралов

При вычислении и исследовании несобственных интегралов

значительное место занимает исследование их сходимости.

Во многих случаях бывает достаточно установить, сходится данный

интеграл или расходится, и оценить его значение. Для исследова-

ния сходимости применяются, в частности, признаки сравнения,

основанные на сопоставлении заданного интеграла с интегралом,

сходимость которого известна.

Примем без доказательства следующее утверждение (признак

сравнения).

Т е о р е м а 24.1. Пусть функции f(x) и g (x) непрерывны на

промежутке [a, +∞) и удовлетворяют на нем условию 0 ≤ f(x) ≤ g(x).

Тогда:

1) из сходимости

g x dx

( )

+∞

∫

следует сходимость

f x dx

( ) ;

+∞

∫

2) из расходимости

f x dx

( )

+∞

∫

следует расходимость

g x dx

( ) .

+∞

∫

290

П р и м е р 24.6. Исследовать сходимость интеграла

+∞

∫

Р е ш е н и е. Очевидно,

1 1+

> = .

Но интеграл

+∞

∫

расходится (см. пример 24.1). Следовательно,

расходится и данный интеграл.

П р и м е р 24.7. Исследовать сходимость интеграла

x x x( )

−

+∞

∫

Р е ш е н и е. Сравним подынтегральную функцию f (x) =

−

1x x x( )

с функцией

g x

x x

( ) =

на [3, +∞). Очевидно, что

x x x x x( )

−

Но интеграл

x x

+∞

∫

сходится (см. пример 24.2 с учетом

α =

Следовательно, сходится и данный интеграл.

Аналогичный признак сравнения имеет место и для несобствен-

ных интегралов второго рода: если функции f(x) и g(x) непрерыв-

ны на промежутке [a, b) и для всех x в некоторой окрестности

особой точки b выполняются условия 0 ≤ f(x) ≤ g (x), то:

1) из сходимости

g x dx

( )

∫

следует сходимость

f x dx

( ) ;

∫

2) из расходимости

f x dx

( )

∫

следует расходимость

g x dx

( ) .

∫

П р и м е р 24.8. Исследовать сходимость интеграла

x x+

∫

Р е ш е н и е. Особой точкой здесь является x = 0. Сравним

подынтегральную функцию с функцией

x x x+

< .