Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

271

f x dx f z dz f t dt

( ) ( ) ( ) ... ,

∫ ∫ ∫

= = =

так как смена обозначений никак не влияет на значение интеграла.

Рассмотрим функцию аргумента x:

Φ( ) ( ) .x f t dt

∫

(22.13)

Назовем функцию Φ(x) интегралом с переменным верхним пре-

делом. (В формуле (22.13) переменная интегрирования обозначе-

на через t, чтобы не смешивать ее с верхним пределом x.)

Ранее было установлено, что всякая дифференцируемая функ-

ция непрерывна (см. теорему 16.2), однако функция, непрерыв-

ная в точке, может не иметь производную в этой точке. Докажем

теперь, что каждая непрерывная на данном отрезке функция f(x)

имеет на этом отрезке первообразную.

Т е о р е м а 22.5. Если функция f(x) непрерывна на [a, b], то

функция Φ(x) является первообразной для f(x):

′













′

∫

Φ ( ) ( ) ( ).x f t dt f x

Д о к а з а т е л ь с т в о. Пусть ∆ x таково, что (x + ∆ x) ∈ [a, b].

Тогда

∆ = + ∆ − = − =

+∆

∫ ∫

Φ Φ Φ( ) ( ) ( ) ( ) ( )x x x f t dt f t dt f t

x x

ddt

x x+∆

∫

По теореме о среднем [см. формулу (22.12)]

f t dt f x x x x

x x

( ) ( ) , [ , ],

+∆

∫

= ∆ ∈ + ∆ξ ξ

oтсюда

∆

+ ∆ −

∆

Φ Φ Φ

x x x

( ) ( )

( ).ξ

При ∆ x → 0, очевидно, ξ → x, и так как f(x) непрерывна в

точке x, то

lim ( ) ( ).

→

f f x

Получаем

′

∆

+∆ −

∆

∆ → ∆ →

Φ Φ Φ

( ) lim lim

( ) ( )

limx

x x x

x x0 0 ∆∆ → →

= =

x x

f f f x

( ) lim ( ) ( ).ξ ξ

Теорема доказана.

272

Доказанную т е о р е м у можно сформулировать также в сле-

дующем виде: производная от определенного интеграла по перемен-

ному верхнему пределу равна подынтегральной функции (в которую

вместо переменной интегрирования подставлено значение верх-

него предела).

Формула Ньютона – Лейбница

Согласно теореме 22.5 для непрерывной на [a, b] функции f(x)

интеграл

Φ( ) ( )x f t dt

∫

является первообразной. Пусть F(x) – любая первообразная для

f(x). Тогда

Φ(x) = F(x) + C.

Постоянную C найдем, положив x = a (очевидно, Φ(a) = 0):

0 = Φ(a) = F(a) + C, откуда C = – F (a).

Тогда

Φ(x) = F(x) – F (a).

При x = b получаем Φ(b) = F(b) – F(a), т.е.

f t dt F b F a

( ) ( ) ( ),

∫

= −

или, что то же самое,

f x dx F b F a

( ) ( ) ( ).

∫

= −

(22.14)

Формула (22.14) называется формулой Ньютона – Лейбница.

Это основная формула интегрального исчисления.

Разность F(b) – F(a) записывают символом

F x

( )

(«двойная

подстановка от a до b»). Тогда формула (22.14) принимает вид

f x dx F x

( ) ( ) .

∫

(22.15)

П р и м е р 22.1.

3 3

) ;x dx

∫

= = − =

273

2 1 1

) ln ln ln ;

∫

= = − =

1 0

) .

= = − =

∫

arctg arctg arctg

22.4. замена переменной И ИнтеГрИрованИе

по частям в определенном ИнтеГрале

Замена переменной

Пусть дан интеграл

f x dx

( ) ,

∫

где f (x) – непрерывная на отрез-

ке [a, b] функция. Введем новую переменную, положив x = ϕ(t).

Пусть ϕ(α) = a, ϕ(β) = b и значения ϕ(t) не выходят за пределы

[a, b], когда t изменяется на [α, β]. Пусть, кроме того, ϕ(t) и ϕ′(t)

непрерывны на [α, β]. Тогда имеет место формула

f x dx f t t dt

( ) ( ( )) ( ) .

∫ ∫

′

ϕ ϕ

(22.16)

Справедливость этой формулы следует из (22.14). Действи-

тельно, если F ′(x) = f(x), то одновременно

f x dx F x F b F a

( ) ( ) ( ) ( ),

∫

= = −

f t t dt F t F F( ( )) ( ) ( ( )) ( ( )) ( ( ))ϕ ϕ ϕ ϕ β ϕ α

′

= = −

∫

== −F b F a( ) ( ),

откуда и вытекает доказываемое равенство (22.16).

Следует заметить, что при вычислении определенного интег-

рала с помощью замены переменной нет необходимости возвра-

щаться к старой переменной, т.е. делать обратную замену.

П р и м е р 22.2. Вычислить

1 2

−

∫

Р е ш е н и е. Применим подстановку x = sint. Тогда dx = cost dt,

t x t x t x= = = = =arcsin , .

π π

2 2

1при и при Получаем

274

1 1

1 2

−

∫ ∫

t dt

/ /

sin

cos

sin

∫ ∫

−

= − − = − + + = −( ) .

ctg t t

π π π

Интегрирование по частям

Пусть функции u = u(x) и v = v(x) имеют непрерывные произ-

водные на отрезке [a, b]. Тогда

(uv)′ = u′v + uv′.

Интегрируем обе части этого равенства:

( ) .uv dx u v dx uv dx

′

∫ ∫ ∫

Так как то Получ( ) , ( ) .uv dx uv C uv dx uv

′

= +

′

∫ ∫

ааем

uv vdu udv

= +

∫ ∫

Следовательно,

udv uv vdu

∫ ∫

= − .

(22.17)

Равенство (22.17) называется формулой интегрирования по частям

в определенном интеграле.

П р и м е р 22.3. Вычислить

x x dxln .

∫

Р е ш е н и е. Положим u = lnx, dv = xdx. Тогда

= =, .

Получаем

x x dx

x dx

xln ln

2 2 2

4 2

e e

∫ ∫

= − = − = −− + =

+e e

2 2

22.5. прИблИженное вычИсленИе

определенных ИнтеГралов

При решении ряда прикладных задач часто приходится иметь

дело с определенными интегралами от функций, для которых

первообразные не являются элементарными функциями. Для

275

вычисления таких интегралов существуют различные методы

п р и б л и ж е н н о г о вычисления. Приведем наиболее простые

из них: формулу прямоугольников, формулу трапеций и формулу

Симпсона.

Пусть на отрезке [a, b] задана непрерывная функция y = f(x).

Требуется вычислить определенный интеграл

f x dx

( ) .

∫

1. Формула прямоугольников. Разделим отрезок [a, b] точками

a = x

, x

, ..., x

= b на n р а в н ы х частей длиной ∆ x:

∆ =

−

b a

Обозначим: y

= f(x

), y

= f(x

), …, y

= f(x

Составим суммы

∆ x + y

∆ x +...+ y

n– 1

∆ x,

∆ x + y

∆ x +...+ y

∆ x,

каждая из которых является интегральной суммой для f(x) на

[a, b]. Поэтому

f x dx

b a

y y y

( ) ( ... ),

∫

≈

−

+ + +

−0 1 1

(22.18)

f x dx

b a

y y y

( ) ( ... ).

∫

≈

−

+ + +

1 2

(22.18′)

Каждая из формул (22.18) и (22.18′ ) называется формулой пря-

моугольников.

Ошибка, совершаемая при вычислении интеграла по формуле

прямоугольников, будет тем меньше, чем больше число n, т.е. чем

меньше частичные отрезки, на которые разбивается отрезок [a, b].

2. Формула трапеций:

f x dx

b a

y y

y y y

( ) ... .

∫

≈

−

+ + + +













−

1 2 1

(22.19)

3. Формула Симпсона. Разделим отрезок [a, b] на ч е т н о е чис-

ло равных частей n = 2m:

f x dx

b a

y y y y y

m m

( ) [ ( ... )

∫

≈

−

+ + + + + +

−

0 2 2 4 2 2

+ 4(y

+ y

+...+ y

2m – 1

)]. (22.20)

276

Заметим, что при одном и том же шаге деления отрезка

∆ =

−

b a

формула трапеций дает несколько более точное значе-

ние определенного интеграла, чем формула прямоугольников,

а формула Симпсона – значительно более точное значение, чем

формула трапеций.

П р и м е р 22.4. Рассмотрим известный интеграл

0 785398

= =

∫

, ....

Разобьем отрезок [0, 1] на четыре равные части: x

= 0; x

= 0,25;

= 0,5; x

= 0,75; x

= 1. Тогда y

= 1,0000; y

≈ 0,9412; y

= 0,8000;

= 0,6400; y

= 0,5000.

По формулам прямоугольников имеем:

1 0 9412 0 8 0 64 0 8453( , , , ) , ,+ + + =

0 9412 0 8 0 64 0 5 0 7203( , , , , ) , ,+ + + =

по формуле трапеций

1 0 5

0 9412 0 8 0 64 0 7828

+ + +













, , , , ,

по формуле Симпсона

1 0 5 3 76471 1 6 2 56 0 78539( , , , , ) , .+ + + + =

(Мы взяли с точностью до 0,00001 значение 4y

≈ 3,76471.)

Таким образом, формула Симпсона дает весьма точный ре-

зультат: все пять знаков верны. Формула трапеций дает ошибку

уже в третьем знаке. Если бы мы разделили отрезок [0, 1] на

10 частей, то формула трапеций дала бы результат, отличающийся

от истинного значения менее чем на 0,0005. Для того же, чтобы

получить удовлетворительный результат с помощью формулы

прямоугольников, необходимо разбить отрезок на значительно

большее число частей.

Вообще, для того чтобы знать, сколько точек деления надо

взять для вычисления интеграла с заданной степенью точности,

нужно воспользоваться формулами оценки погрешности. Эти

оценки можно найти в более подробных курсах математического

анализа.

277

вопросы

Что такое интегральная сумма для данной функции на данном

отрезке?

Что называется определенным интегралом от функции f(x) на

отрезке [a, b]?

В чем различия понятий определенного и неопределенного

интегралов?

В чем заключается геометрический смысл определенного ин-

теграла?

Каков экономический смысл определенного интеграла?

Всякая ли интегрируемая функция дифференцируема? Всякая

ли дифференцируемая функция интегрируема?

Чему равна производная от определенного интеграла по его

переменному верхнему пределу?

Чем отличается применение метода замены переменной при

вычислении определенного интеграла от применения этого

метода при вычислении неопределенного интеграла?

Какие методы применяются для вычисления определенных

интегралов от функций, не имеющих первообразных, которые

выражались бы через элементарные функции?

Какая из приближенных формул дает более точное значение

определенного интеграла при одном и том же шаге деления

отрезка интегрирования: формула прямоугольников, формула

трапеций или формула Симпсона?

10.

278

Глава 23

прИложенИя определенноГо ИнтеГрала

23.1. ГеометрИческИе И механИческИе

прИложенИя определенноГо ИнтеГрала

Площадь плоской фигуры

Как отмечалось ранее, для непрерывной на отрезке [a, b]

функции f(x) ≥ 0 площадь S криволинейной трапеции, ограни-

ченной линиями y = f(x), y = 0, x = a, x = b (см. рис. 22.2), выра-

жается интегралом

S f x dx

∫

( ) .

(23.1)

П р и м е р 23.1. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

графиком функции y = lnx, осью Ox и прямыми х = е, х = е

(рис. 23.1).

Р е ш е н и е. Согласно формуле (23.1) искомая площадь

S x dx x x= = − =

∫

ln (ln ) .

1 2 3 4 5 6 7 8

рис. 23.1

Пусть y = f

(x), y = f

(x) – непрерывные на [a, b] функции и

пусть f

(x) ≥ f

(x) на указанном отрезке. Тогда площадь S фигуры,

279

ограниченной графиками функций y = f

(x), y = f

(x) и верти-

кальными прямыми x = a, x = b, вычисляется по формуле

S f x f x dx

= −

∫

( ( ) ( )) .

2 1

(23.2)

Д о к а з а т е л ь с т в о. 1. Пусть f

(x) ≥ 0, f

(x) ≥ 0. Тогда фор-

мула (23.2) является очевидным следствием того, что площадь

фигуры равна разности площадей криволинейных трапеций

(рис. 23.2):

S f x dx f x dx f x f x dx

= − = −

∫ ∫ ∫

2 1 2 1

( ) ( ) ( ( ) ( )) .

y = f

(x)

y = f

(x)

а b

рис. 23.2. Площадь фигуры, ограниченной линиями

y = f

(x), y = f

(x), x = a, x = b

2. Пусть графики функций y = f

(x), y = f

(x) полностью или

частично расположены ниже оси Ox. Так как эти функции

ограничены, то существует такое число M, что f

(x) + M ≥ 0,

(x) + M ≥ 0. Очевидно, фигура, ограниченная линиями y = f

(x) + M,

y = f

(x) + M (находящимися над Ox), получена параллельным пе-

реносом фигуры, ограниченной линиями y = f

(x), y = f

(x), и име-

ет ту же площадь:

S f x M dx f x M dx f x f x

= + − + = −

∫ ∫

( ( ) ) ( ( ) ) ( ( ) (

2 1 2 1

))) .dx

∫

П р и м е р 23.2. Вычислить площадь фигуры, ограниченной

линиями y = x

– 2x, y = 4x – x

Р е ш е н и е. Приравняв правые части этих уравнений, нахо-

дим абсциссы точек пересечения указанных кривых: x

= 0, x

= 3.

Следовательно,

S x x x x dx x x dx x= − − − = − = −

∫ ∫

( ( )) ( )4 2 6 2 3

2 2













= .

280

Объем тела вращения

Рассмотрим тело, которое образовано вращением вокруг оси Ox

криволинейной трапеции, ограниченной графиком непрерывной

на отрезке [a, b] неотрицательной функции y = f (x) и линиями

y = 0, x = a, x = b. Объем этого тела выражается формулой

V f x dx

∫

( ) .

(23.3)

Д о к а ж е м это. Разобьем отрезок [a, b] произвольным обра-

зом на n частей точками a = x

< x

<...< x

= b и на каждом

отрезке [x

i – 1

, x

] произвольно выберем точку ξ

. При вращении

кривой y = f(x) вокруг оси Ox каждый прямоугольник с основа-

нием ∆ x

= x

– x

i – 1

и высотой f (ξ

) описывает цилиндр радиу-

сом f(ξ

) и высотой ∆x

(рис. 23.3).

i –1

рис. 23.3. Вычисление объема тела вращения

Сумма объемов таких цилиндров имеет вид

V f x

n i

= ∆

∑

π ξ

( ) .

(23.4)

При более мелком разбиении отрезка эта сумма дает прибли-

женное значение искомого объема. С другой стороны, эта сумма

есть интегральная сумма для непрерывной функции y = π f

(x).

Переходя к пределу при max∆ x

→ 0, получаем формулу (23.3).

П р и м е р 23.3. Вычислить объем конуса радиусом R и высо-

той H.

Р е ш е н и е. Конус, объем которого мы вычисляем, можно

получить в результате вращения треугольника OAB вокруг оси Ox.

Здесь AB = R, OB = H (рис. 23.4).