Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

261

Интегралы следующих видов:

∫

cosmx ⋅ cosnx dx,

∫

sinmx ⋅ cosnx dx,

∫

sinm x ⋅ sinnx dx берутся с помощью формул, известных из триго-

нометрии:

cos cos cos( ) cos( ) ,α β α β α β= + + −









sin cos sin( ) sin( ) ,α β α β α β= + + −









sin sin cos( ) cos( ) .α β α β α β= − + + −









П р и м е р 21.14. Найти

∫

cos5x ⋅ cos3x dx.

Р е ш е н и е. Воспользуемся формулой произведения коси-

нусов:

cos cos (cos cos )

sin s

5 3

8 2

x x dx x x dx

⋅ = + = +

∫ ∫

iin

C+

«Неберущиеся» интегралы

Известно, что операция дифференцирования не выводит

функцию из класса элементарных функций. С операцией интег-

рирования дело обстоит сложнее. Не всякий интеграл от элемен-

тарной функции можно выразить в конечном виде через элемен-

тарные функции. Такие интегралы называют «неберущимися».

Укажем некоторые из них:

sin x

∫

– интегральный синус;

cos x

∫

– интегральный косинус;

xln

∫

– интегральный логарифм;

∫

–

dx – интеграл Пуассона;

∫

sinx

dx,

∫

cos x

dx – интегралы Френеля.

Эти интегралы играют важную роль в прикладных науках. Для

вычисления «неберущихся» интегралов применяют приближен-

ные методы, позволяющие оценивать и вычислять такие интегра-

лы с любой степенью точности.

262

вопросы

Чему равна производная от первообразной для данной функ-

ции?

Как могут различаться две первообразные одной и той же

функции?

Как отличается первообразная данной функции от неопреде-

ленного интеграла от этой функции?

Чему равна производная от неопределенного интеграла?

Чему равен дифференциал от неопределенного интеграла?

Какие существуют основные методы интегрирования?

На какой формуле основан метод замены переменной в неоп-

ределенном интеграле?

Что такое метод интегрирования по частям? Какова формула

интегрирования по частям?

Что такое подведение под знак дифференциала?

Какая функция называется рациональной дробью?

Какая рациональная дробь называется правильной, а какая –

неправильной?

Как свести интегрирование неправильной рациональной дро-

би к интегрированию правильной рациональной дроби?

Какие рациональные дроби называются простыми?

Каков порядок действий при интегрировании рациональной

дроби, не являющейся простой?

Какой метод применяется при разложении правильной ра-

циональной дроби на простые?

Что такое универсальная тригонометрическая подстановка?

Почему для интегрирования тригонометрических выражений

недостаточно владеть только универсальной тригонометри-

ческой подстановкой?

Всегда ли интеграл от элементарной функции выражается в

конечном виде через элементарные функции?

Что такое «неберущиеся» интегралы? Приведите примеры

«неберущихся» интегралов.

10.

11.

12.

13.

14.

15.

16.

17.

18.

19.

263

Глава 22

определенный ИнтеГрал И еГо свойства

22.1. понятИе определенноГо ИнтеГрала

Пусть функция f(x) определена на отрезке [a, b]. Разобьем от-

резок [a, b] п р о и з в о л ь н ы м образом на n частей точками:

a = x

< x

< ... < x

n – 1

< x

= b.

Выберем в каждом из частичных отрезков [x

i – 1

, x

] п р о и з -

в о л ь н у ю точку ξ

i – 1

≤ ξ

≤ x

, 1 ≤ i ≤ n.

Обозначим через ∆ x

длину i-го частичного отрезка: ∆ x

= x

– x

i – 1

, 1 ≤ i ≤ n. Рассмотрим сумму

σ ξ ξ ξ ξ

n n n i i

f x f x f x f x= ∆ + ∆ + + ∆ = ∆( ) ( ) ... ( ) ( )

1 1 2 2

∑

(22.1)

Cумма (22.1) называется интегральной суммой для функции f(x) на

отрезке [a, b].

Если f (x) > 0, то интегральная сумма σ

представляет собой

сумму площадей прямоугольников с основаниями ∆ x

и высота-

ми f(ξ

), i = 1, 2, …, n, т.е. площадь ступенчатой фигуры, образо-

ванной этими прямоугольниками (рис. 22.1).

0 а = x

n – 1

= b

рис. 22.1. Ступенчатая фигура

264

Обозначим через λ длину наибольшего частичного отрезка

данного разбиения:

λ = ∆

≤ ≤

max .

1 i n

О п р е д е л е н и е. Конечный предел интегральной суммы (22.1)

при λ → 0, если он существует и не зависит ни от способа разби-

ения отрезка [a, b], ни от выбора точек ξ

, называется определен-

ным интегралом от функции f(x) на отрезке [a, b] и обозначается

f x dx

( ) :

∫

f x dx f x

n i i

( ) lim lim ( ) .

∫

∑

= = ∆

→ →

λ λ

σ ξ

0 0

(22.2)

Если определенный интеграл (22.2) существует, то функ-

ция f (x) называется интегрируемой на отрезке [a, b]. Число a в

формуле (22.2) называется нижним пределом, число b – верхним

пределом интеграла, f(x) – подынтегральной функцией, x – перемен-

ной интегрирования, а отрезок [a, b] – отрезком интегрирования.

Отметим р а з л и ч и я в понятиях определенного и неопре-

деленного интегралов: неопределенный интеграл

∫

f(x)dx есть

семейство функций, а определенный интеграл

f x dx

( )

∫

есть опре-

деленное число.

Давая определение понятия определенного интеграла, мы

предполагали, что a < b. Положим по определению:

f x dx f x dx

( ) ( ) .

∫ ∫

= −

(22.3)

Геометрический смысл определенного интеграла

В соответствии с определением понятия определенного интег-

рала, в случае, когда функция f(x) неотрицательна на [a, b], ин-

теграл

f x dx

( )

∫

численно равен площади S фигуры, ограниченной

сверху кривой y = f(x), снизу – осью Ox, с боков – прямыми x = a,

x = b (рис. 22.2).

265

y = f(x)

а b

рис. 22.2. Геометрический смысл определенного интеграла

Экономический смысл определенного интеграла

Пусть функция z = z (t) описывает производительность в зави-

симости от времени t. Тогда объем v продукции, произведенной

за промежуток времени с момента t = t

до момента t = T, выра-

жается интегралом от z(t ) на отрезке [t

, T]:

v z t dt

∫

( ) .

Классы интегрируемых функций

Д о с т а т о ч н о е условие существования определенного интег-

рала дает следующая теорема (приведем ее без доказательства).

Т е о р е м а 22.1. Если функция y = f(x) непрерывна на отрез-

ке [a, b], то она интегрируема на этом отрезке.

Как видно из теоремы 22.1, класс интегрируемых функций ши-

ре класса дифференцируемых функций. Известно, что всякая

дифференцируемая функция непрерывна, но не всякая непре-

рывная функция дифференцируема. Итак, непрерывности функ-

ции недостаточно для ее дифференцируемости, но достаточно для

интегрируемости. Более того, существуют классы интегрируемых

функций, не являющихся непрерывными. Приведем без доказа-

тельства теоремы об этих функциях.

Т е о р е м а 22.2. Если функция f(x) ограничена на отрезке

[a, b] и имеет на нем лишь конечное число точек разрыва, то она

интегрируема на этом отрезке.

Т е о р е м а 22.3. Монотонная на отрезке [a, b] функция f(x)

интегрируема на этом отрезке.

266

Ограниченность интегрируемой функции

Т е о р е м а 22.4. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], то

она ограничена на [a, b].

Д о к а з а т е л ь с т в о. Предположим, что f (x) не ограничена

на [a, b]. Тогда она не ограничена хотя бы на одном из частичных

отрезков [x

i – 1

, x

]. В этом случае за счет выбора точки ξ

можно

сделать произведение f(ξ

)∆x

сколь угодно большим, а следова-

тельно, и интегральную сумму σ

сколь угодно большой; при этих

условиях σ

не имеет конечного предела, следовательно, функ-

ция f(x) не интегрируема. Отсюда делаем вывод, что предположе-

ние не верно.

22.2. свойства определенноГо ИнтеГрала

Рассмотрим сначала свойства определенного интеграла, выра-

жаемые р а в е н с т в а м и.

1. По определению полагаем

f x dx

( ) ,=

∫

(22.4)

т.е. определенный интеграл с одинаковыми пределами интегрирова-

ния равен нулю.

2. По определению при перестановке верхнего и нижнего преде-

лов интегрирования интеграл меняет знак на противоположный:

f x dx f x dx

( ) ( ) .

∫ ∫

= −

(22.5)

3. Постоянный множитель можно выносить за знак интеграла:

cf x dx c f x dx

( ) ( ) .

∫ ∫

(22.6)

4. Интеграл от алгебраической суммы двух функций равен алгеб-

раической сумме интегралов от этих функций:

( ( ) ( )) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx

± = ±

∫ ∫ ∫

(22.7)

5. Для любых чисел a, b и c имеет место равенство

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) .

∫ ∫ ∫

= +

(22.8)

267

Сформулируем свойства 3–5 более подробно и докажем их.

С в о й с т в о 3. Если функция f(x) интегрируема на [a, b] и

c = const, то функция сf (x) также интегрируема на [a, b] и спра-

ведливо равенство

сf x dx с f x dx

( ) ( ) .

∫ ∫

Д о к а з а т е л ь с т в о. Для интегральных сумм справедливо

очевидное равенство

сf x c f x

i i

( ) ( ) .ξ ξ∆ = ∆

= =

∑ ∑

1 1

Это равенство справедливо при любом разбиении отрезка [a, b] на

частичные отрезки и любом выборе точек ξ

. Обозначая, как и

раньше,

λ = ∆

≤ ≤

max ,

1 i n

переходим к пределу при λ → 0:

cf x dx cf x c f

i i

( ) lim ( ) lim (

∫

∑

= ∆ =

→

→λ λ

ξ ξ

)) ( ) .∆ =

∑

∫

x c f x dx

С в о й с т в о 4. Если f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], то их

алгебраическая сумма также интегрируема на [a, b] и справедливо

равенство

( ( ) ( )) ( ) ( ) .f x g x dx f x dx g x dx

± = ±

∫ ∫ ∫

Д о к а з а т е л ь с т в о. При любом разбиении отрезка [a, b] и

любом выборе точек ξ

для интегральных сумм выполняется ра-

венство

( ( ) ( )) ( ) ( )f g x f x g x

i i i

i i

ξ ξ ξ ξ± ∆ = ∆ ± ∆

= =

∑ ∑

1 1

∑

поэтому

( ( ) ( )) lim ( ( ) ( ))f x g x dx f g x

i i i

± = ± ∆

∫

→

ξ ξ

∑∑

= ∆ ± ∆













→

= =

∑ ∑

lim ( ) ( )

ξ ξ

1 1

f x g x

i i

= ∆ ± ∆ =

→

∑ ∑

lim ( ) lim ( ) (

λ λ

ξ ξ

f x g x f

i i

xx dx g x dx

) ( ) .

∫ ∫

268

С в о й с т в о 5. Для любых трех чисел a, b и c имеет место ра-

венство

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) ,

∫ ∫ ∫

= +

если все эти три интеграла существуют.

Д о к а з а т е л ь с т в о. Рассмотрим сначала случай, когда точка c

расположена между точками a и b, т.е. a < c < b. Составим интег-

ральную сумму для функции f(x) на отрезке [a, b].

Так как для интегрируемой функции предел интегральной

суммы не зависит от способа разбиения отрезка на частичные от-

резки, будем разбивать отрезок [a, b] на части так, чтобы одной из

точек деления (одним из концов частичного отрезка) была точка с.

Обозначим через

∑

интегральную сумму, соответствующую

отрезку [a, b], через

∑

интегральную сумму, соответству-

ющую отрезку [a, c], а через

∑

— соответствующую отрезку [c, b].

Тогда, очевидно, справедливо равенство:

f x f x f x

i i

( ) ( ) ( ) .ξ ξ ξ∆ = ∆ + ∆

∑ ∑ ∑

Переходя в последнем равенстве к пределу при λ → 0, получаем

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) .

∫ ∫ ∫

= +

Пусть теперь точка с находится справа от точки b: a < b < c.

Тогда на основании доказанного справедливо равенство

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) .

∫ ∫ ∫

= +

Отсюда

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) .

∫ ∫ ∫

= −

Однако в соответствии со свойством 2

f x dx f x dx

( ) ( ) ,

∫ ∫

= −

269

поэтому

f x dx f x dx f x dx

( ) ( ) ( ) .

∫ ∫ ∫

= +

Аналогично свойство 5 доказывается и для случая, когда точка с

находится слева от отрезка [a, b], и вообще для любого другого

расположения точек a, b и c.

З а м е ч а н и е. Мы сформулировали и доказали свойство 5 в

предположении, что все три рассматриваемых интеграла суще-

ствуют. Можно было бы ослабить это требование и доказать свой-

ство 5 в предположении, что интеграл существует только для

наибольшего из трех рассматриваемых отрезков.

Теперь рассмотрим свойства определенного интеграла, выра-

жаемые н е р а в е н с т в а м и.

6. Если функция f(x) интегрируема на [a, b], a < b и f (x) ≥ 0, то

f x dx

( ) .

∫

≥ 0

(22.9)

(Это следует из того, что все слагаемые в интегральной сумме

неотрицательны.)

7. Если функции f(x) и g(x) интегрируемы на [a, b], a < b и

f(x) ≥ g(x), то

f x dx g x dx

( ) ( ) .

∫ ∫

≥

(22.10)

Д о к а з а т е л ь с т в о. Так как f (x) – g(x) ≥ 0, то из свойства 6

следует

( ( ) ( )) .f x g x dx

− ≥

∫

Отсюда, учитывая свойство 4, получаем

f x dx g x dx f x dx g x dx

( ) ( ) , ( ) ( )

∫ ∫ ∫

− ≥ ≥0 или

∫∫

8. Пусть функция f(x) интегрируема на [a, b] и удовлетворяет

на [a, b] условию m ≤ f(x) ≤ M. Тогда

m b a f x dx M b a

( ) ( ) ( ).− ≤ ≤ −

∫

(22.11)

270

Д о к а з а т е л ь с т в о. В силу свойства 7

mdx f x dx Mdx

∫ ∫ ∫

≤ ≤( ) ,

но mdx m dx m b a Mdx M dx M b a

∫ ∫ ∫ ∫

= = − = = −( ), ( ),, поэтому

m b a f x dx M b a

( ) ( ) ( ).− ≤ ≤ −

∫

9 (теорема о среднем). Если функция f (x) непрерывна на [a, b],

то существует такое ξ ∈ [a, b], что

f x dx f b a

( ) ( )( ).

∫

= −ξ

(22.12)

Д о к а з а т е л ь с т в о. По второй теореме Вейерштрасса

(см. § 15.2) непрерывная функция f(x) достигает на [a, b] своего

наибольшего значения M и своего наименьшего значения m.

Так как m ≤ f(x) ≤ M, то выполняется неравенство (22.11). Деля

это неравенство почленно на (b – a), получаем

b a

f x dx M

≤

−

≤

∫

( ) .

По второй теореме Больцано – Коши (см. § 15.2) функция f(x)

принимает на [a, b] все промежуточные значения между m и M.

В частности, существует такое ξ ∈ [a, b], что

b a

f x dx

( ) ( ) .ξ =

−

∫

Отсюда получаем (22.12).

22.3. основная формула

ИнтеГральноГо ИсчИсленИя

Интеграл с переменным верхним пределом

Если функция интегрируема на отрезке [a, b], то она интегри-

руема на любом отрезке [a, x], где x ∈ [a, b].

Заметим, что не имеет значения, какой буквой обозначена пе-

ременная интегрирования в определенном интеграле: