Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

291

Несобственный интеграл

∫

сходится (см. пример 24.5).

Следовательно, данный интеграл сходится.

Приведем без доказательства еще один признак сравнения,

также часто применяемый на практике.

Т е о р е м а 24.2. Если f(x) и g (x) – неотрицательные функ-

ции и существует конечный предел

lim

( )

f x

g x

→+∞

= ≠ 0

то несобст-

венные интегралы

f x dx g x dx

a a

( ) ( )

+∞ +∞

∫ ∫

сходятся или расходятся

одновременно.

П р и м е р 24.9. Несобственный интеграл

x x

2−

+∞

∫

сходится.

Действительно, предел отношения функции

f x

x x

( ) =

−

функции

g x

( ) =

конечен:

lim

( )

lim ,

x x

f x

g x

x x

→+∞ →+∞

−

а интег-

рал

+∞

∫

сходится (см. пример 24.1).

Абсолютная и условная сходимость

несобственных интегралов

Отметим важное свойство несобственных интегралов, отлича-

ющее их от обычных определенных интегралов.

Для о п р е д е л е н н о г о интеграла, как известно, справедли-

во следующее утверждение: если существует

f x dx

( ) ,

∫

то сущест-

вует

| ( )| .f x dx

∫

В случае же н е с о б с т в е н н ы х интегралов имеет место та-

кое утверждение: если несобственный интеграл

| ( )|f x dx

+∞

∫

схо-

дится, то сходится и

f x dx

( ) .

+∞

∫

292

Примем это утверждение без доказательства. Обратное утвер-

ждение, вообще говоря, не верно: сходимость интеграла

f x dx

( )

+∞

∫

не влечет сходимость интеграла

| ( )| .f x dx

+∞

∫

Если несобственный интеграл

| ( )|f x dx

+∞

∫

сходится, то говорят,

что интеграл

f x dx

( )

+∞

∫

сходится абсолютно.

Если же интеграл

f x dx

( )

+∞

∫

сходится, a интеграл

| ( )|f x dx

+∞

∫

расходится, то говорят, что интеграл

f x dx

( )

+∞

∫

сходится условно.

Таким образом, из абсолютной сходимости интеграла следует

его сходимость (в обычном смысле): абсолютно сходящийся ин-

теграл сходится.

П р и м е р 24.10. Исследовать сходимость интеграла

cos

+∞

∫

Р е ш е н и е. Очевидно,

cos

x x

2 2

≤

Мы знаем, что интеграл

+∞

∫

сходится (см. пример 24.1). Следовательно, сходится

cos

+∞

∫

т.е. данный интеграл

cos x

+∞

∫

сходится абсолютно.

Отсюда следует, что он сходится.

вопросы

Как определяется несобственный интеграл от функции на

бесконечном полуинтервале вида [a, +∞)? В каком случае ин-

теграл называется сходящимся, а в каком – расходящимся?

Как определяется несобственный интеграл от функции на

бесконечном полуинтервале вида (–∞, b]?

Как определяется несобственный интеграл от функции на

бесконечном интервале (–∞, +∞)?

Какие интегралы называются несобственными интегралами

первого рода?

293

Как определяется несобственный интеграл от неограничен-

ной функции в случае, когда особая точка является одним из

концов отрезка интегрирования?

Как определяется несобственный интеграл от неограничен-

ной функции, когда особая точка является внутренней точкой

отрезка интегрирования?

Каковы признаки сравнения для несобственных интегралов

первого и второго рода?

Всегда ли сходится абсолютно сходящийся несобственный

интеграл?

Какой несобственный интеграл называется условно сходя-

щимся?

294

раздел VII

функцИИ

несколькИх переменных

Глава 25

евклИдово пространство.

понятИе функцИИ несколькИх переменных.

предел, непрерывность

25.1. евклИдово пространство

О п р е д е л е н и е. Множество всевозможных упорядоченных

совокупностей n действительных чисел (x

, x

, ..., x

) называется

n-мерным координатным пространством A

При этом каждая упорядоченная совокупность (x

, x

, ..., x

)

называется точкой

этого пространства и обозначается одной бук-

вой (например, M). Числа x

, x

, ..., x

называются координатами

точки. Запись M(x

, x

, ..., x

) означает, что точка M имеет коорди-

наты x

, x

, ..., x

О п р е д е л е н и е. Координатное пространство A

называется

n-мерным евклидовым пространством R

, если между любыми

двумя точками M(x

, x

, ..., x

) и M′(x′

, x′

, ..., x′

) пространства A

определено расстояние ρ(M, M′ ) по формуле

ρ( , ) ( ) ( ) ... ( ) .M M x x x x x x

n n

′

− +

′

− + +

′

−

1 1

2 2

(25.1)

Указанное расстояние удовлетворяет следующим условиям:

1) для любых M и M′ выполняется равенство ρ(M, M′ ) =

= ρ(M′, M);

* Не следует удивляться тому, что в начале книги мы назвали упорядочен-

ный набор (упорядоченную совокупность) чисел (x

, x

, ..., x

) вектором,

а здесь – точкой. Мы знаем, в частности, что пара (x, y) может рассматри-

ваться и как пара координат точки на плоскости, и как пара координат

вектора на этой плоскости.

295

2) для любых M и M ′ справедливо неравенство ρ(M, M ′) ≥ 0,

причем если ρ(M, M′ ) = 0, то точки M и M′ совпадают;

3) для любых M, M′ и M′′ выполняется неравенство ρ(M, M′′) ≤

≤ ρ(M, M′ ) + ρ(M′, M′′).

Заметим, что мы уже дали определение n-мерного евклидова

пространства R

(см. § 1.6). Нетрудно убедиться в том, что рас-

стояние, определенное равенством (25.1), есть норма вектора

MM x x x x x x

n n

′

−

′

−

′

−( , , ..., )

1 1 2 2

и данное здесь определение про-

странства R

по существу не отличается от определения, данного в

главе 1.

25.2. множества в евклИдовом пространстве

Рассмотрим простейшие множества точек, или области, в ев-

клидовом пространстве.

1. Множество точек M (x

, x

, ..., x

), координаты которых удов-

летворяют неравенству

x x x x x x r

n n1 1

2 2

−

( )

+ −

( )

+ + −

( )

≤... ,

(25.2)

называется n-мерным шаром радиуса r с центром в точке

, x

, ..., x

Неравенство (25.2) можно коротко записать в виде

ρ(M

, M) ≤ r. (25.3)

Множество всех таких точек M, для которых выполняется

н е р а в е н с т в о ρ(M

, M) < r, называется открытым n-мерным

шаром радиуса r с центром в точке M

. Множество всех таких

точек M, для которых выполняется р а в е н с т в о ρ(M

, M) = r,

называется n-мерной сферой.

2. Множество точек M (x

, x

, ..., x

), координаты которых удов-

летворяют неравенствам

x x d x x d x x d

n n n1 1

1 2 2

− ≤ − ≤ − ≤, , ..., ,

(25.4)

называется n-мерным параллелепипедом с центром в точке

, x

, ..., x

Если в соотношениях (25.4) исключить равенства:

x x d x x d x x d

n n n1 1

1 2 2

− < − < − <, , ..., ,

то этим определится открытый n-мерный параллелепипед.

296

Перейдем к определению окрестностей точки. В пространст-

ве R

различают окрестности двух типов: прямоугольные и сфери-

ческие.

Будем называть ε-окрестностью точки M

, x

, ..., x

) откры-

тый n-мерный шар радиуса ε с центром в точке M

. (Это так назы-

ваемая сферическая окрестность.)

Прямоугольной окрестностью точки M

, x

, ..., x

) назы-

вается любой открытый n-мерный параллелепипед с центром в

точке M

В дальнейшем, говоря об окрестности точки, будем иметь в

виду окрестность одного из двух упомянутых типов.

Точка M

называется внутренней точкой множества D, если она

принадлежит множеству D вместе с некоторой своей окрестно-

стью. Множество D называется открытым, если каждая его точка

является внутренней.

Точка M

называется граничной точкой множества D, если каж-

дая ее окрестность содержит как точки, принадлежащие множест-

ву D, так и точки, не принадлежащие ему. Множество D называется

замкнутым, если оно содержит все свои граничныe точки.

Точка M

называется предельной точкой множества D, если в

любой окрестности этой точки имеются точки множества D, от-

личные от M

Последовательности точек в евклидовом пространстве

Если каждому натуральному числу n поставлена в соответст-

вие точка M

евклидова пространства R

, то множество точек M

, …, M

, … называется последовательностью точек евклидова

пространства R

и обозначается {M

Последовательность точек {M

} называется сходящейся к точ-

ке M

, если ρ(M

, M

) является величиной бесконечно малой:

lim ( , ) .

M M

→∞

=ρ

В этом случае точка M

называется пределом последователь-

ности {M

Множество D точек евклидова пространства называется

ограниченным, если оно содержится в некотором параллелепипеде.

На пределы последовательностей точек в евклидовом про-

странстве переносятся многие с в о й с т в а, которые были уста-

297

новлены ранее для числовых последовательностей. Наиболее

важными из них являются:

1) единственность предела;

2) ограниченность сходящейся последовательности.

25.3. понятИе функцИИ мноГИх переменных

О п р е д е л е н и е. Будем говорить, что в области D ⊂ R

задана

функция u = f(M) (или u = f(x

, x

, ..., x

)), если каждой точке M ∈ D

по определенному правилу или закону ставится в соответствие

одно определенное число u.

Координаты точки M (т.е. переменные x

, x

, ..., x

) называются

независимыми переменными, или аргументами, u – зависимой пере-

менной, а символ f – законом соответствия. Множество D называ-

ется областью определения функции.

Область определения функции нескольких переменных (как и

в случае функции одной переменной) либо задается заранее, либо

является естественной областью определения, т.е. множеством

всех таких точек, для которых формула функциональной зависи-

мости f имеет смысл.

В случае когда число аргументов равно двум, функцию обычно

обозначают в виде

z = f(x, y). (25.5)

Область определения такой функции есть некоторое множество

точек на плоскости Oxy. ε-окрестность точки M

, y

) есть

открытый круг с центром в этой точке. Прямоугольная окрестность

точки M

, y

) – открытый прямоугольник с центром в этой

точке.

П р и м е р 25.1. Найти область определения функций

а б) ln( ); ) .z x y z x y

x y

= + = + − +

− −

2 2

Р е ш е н и е. а) Область определения задается неравенством

x + y > 0, т.е. y > –x. Это множество всех точек плоскости, нахо-

дящихся выше прямой y = –x.

б) Очевидно, должны одновременно выполняться неравенства

+ y

– 4 ≥ 0 и 9 – x

– y

> 0. Поэтому область определения есть

множество всех точек плоскости, координаты которых удовлетво-

ряют двойному неравенству:

4 ≤ x

+ y

< 9.

298

Эта область заключена между окружностью x

+ y

= 4 и ок-

ружностью x

+ y

= 9. При этом точки первой окружности при-

надлежат этой области, а точки второй – не принадлежат.

График функции двух аргументов

Известно, что график функции о д н о г о аргумента есть линия

на плоскости. Графиком функции д в у х переменных z = f (x, y)

является поверхность в трехмерном пространстве, состоящая из

точек (x, y, f(x, y)).

П р и м е р 25.2. Рассмотрим функцию

z x y= − −9

2 2

Об-

ластью определения этой функции является круг x

+ y

≤ 9.

График есть полусфера радиуса 3 с центром в начале координат

(рис. 25.1).

рис. 25.1. График функции

z x y= − −9

2 2

П р и м е р 25.3. Рассмотрим функцию z = x

+ y

. Она опре-

делена на всей плоскости Oxy. График этой функции есть поверх-

ность, называемая параболоидом вращения (рис. 25.2). Эта

поверхность пересекает плоскость Oxz по параболе z = x

, а плос-

кость Oyz – по параболе z = y

рис. 25.2. График функции z = x

+ y

299

Для функции n аргументов при n ≥ 3 формально можно опре-

делить понятие графика (это так называемая гиперповерхность

в (n + 1)-мерном пространстве), однако изобразить его на рисунке

не удается. Следует заметить, что и для функции двух аргументов

построение графика связано со значительными трудностями,

а сам график не столь нагляден, как график функции одного аргу-

мента. Поэтому для образного представления функции двух пе-

ременных используются линии уровня. Линией уровня функ-

ции (25.5) называют линию

f(x, y) = C,

где C – константа.

Например, для функции z = x

– y

любая линия уровня

– y

= C при C ≠ 0 представляет собой гиперболу.

Аналогично для функции трех аргументов w = f(x, y, z) опреде-

ляется поверхность уровня:

f(x, y, z) = C.

Примеры функций нескольких переменных

Рассмотрим некоторые примеры часто встречающихся функ-

ций н е с к о л ь к и х переменных.

1. Линейная функция – это функция вида

u = a

+ a

+...+ a

+ b, (25.6)

где a

, a

, …, a

, b – постоянные числа. Ее можно рассматривать

как сумму n линейных функций, каждая из которых зависит от

одного аргумента.

2. Функция вида

u a x a x x a x a x x a x

nn n

= + + + + +

11 1

12 1 2 22 2

13 1 3

2 2 ...

или, что то же самое,

u a x x

ij i j

i j

∑

(25.7)

где a

– постоянные числа, называется квадратичной формой от n

переменных x

, x

, …, x

(см. § 6.1).

3. В § 13.4 была определена функция полезности. Ее много-

мерный аналог есть функция u = f(x

, x

, …, x

), выражающая по-

лезность приобретения n товаров. Наиболее часто она встречается

в виде:

• логарифмической функции

u a x c a x c

i i i

= − > > ≥

∑

ln( ), , ,

0 0

(25.8)

300

• функции постоянной эластичности

x c a b x c

i i

i i i i

−

− > < < > ≥

−

∑

0 0 1

( ) , , , 00.

(25.9)

4. Функция Кобба – Дугласа

z b x x

b b

0 1 2

1 2

(25.10)

Чаще для ее записи используются другие обозначения:

Q = AK

. (25.11)

При этом α, β ≥ 0, α + β ≤ 1. В частности, при α + β = 1 она име-

ет вид

Q = AK

1 – α

. (25.12)

Это производственная функция, выражающая объем выпуска

продукции Q (в стоимостном или натуральном выражении) при

затратах капитала K и трудовых ресурсов L. Здесь A – параметр

производительности конкретно взятой технологии, α – доля ка-

питала в доходе (0 < α < 1).

В данном разделе, чтобы избежать громоздких обозначений,

будем вести изложение материала в основном для функций двух

переменных. При этом практически все понятия и утверждения,

сформулированные для функции двух переменных, легко пере-

носятся на случай, когда функция зависит от любого числа пе-

ременных.

25.4. предел И непрерывность

Рассмотрим функцию z = f(x, y), определенную на множест-

ве D. Пусть M

, y

) – предельная точка множества D.

О п р е д е л е н и е. Число b называется пределом функции f(x, y)

при стремлении точки M(x, y) к точке M

, y

), если для любого

числа ε > 0 существует такое число δ > 0, что для всех точек

M(x, y), удовлетворяющих условию ρ(M, M

) < δ, выполняется

неравенство

| f(x, y) – b | < ε.