Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

341

раздел VIII

дИфференцИальные

И разностные уравненИя

Глава 29

дИфференцИальные

уравненИя первоГо порядка

И Их прИмененИе в непрерывных

моделях экономИкИ

29.1. основные понятИя

О п р е д е л е н и е. Дифференциальным уравнением называется

уравнение

F(x, y, y ′, ..., y

(n)

) = 0, (29.1)

которое связывает неизвестную функцию y, ее независимый ар-

гумент x и ее производные y′, …, y

(n)

. Порядком дифференциаль-

ного уравнения называется наибольший порядок производной,

входящей в уравнение.

Например,

′

− =y

y x

есть дифференциальное уравнение

первого порядка, a y″ + 4y = 0 – дифференциальное уравнение

второго порядка.

О п р е д е л е н и е. Решением дифференциального уравнения

называется функция y = ϕ(x), которая при подстановке в уравне-

ние (29.1) превращает его в тождество.

В этой главе будем рассматривать дифференциальные уравне-

ния п е р в о г о порядка, т.е. уравнения вида

F(x, y, y ′) = 0. (29.2)

342

В случае когда из уравнения (29.2) можно выразить y′, оно

имеет вид

y′ = f (x, y). (29.3)

Уравнение (29.3) называется уравнением первого порядка, раз-

решенным относительно производной.

В теории дифференциальных уравнений основной задачей яв-

ляется вопрос о существовании и единственности решения. Приве-

дем без доказательства теорему, которая дает ответ на этот вопрос.

Т е о р е м а 29.1 (теорема Коши). Пусть дано дифференциаль-

ное уравнение (29.3) и пусть функция f(x, y) и ее частная произ-

водная f ′

(x, y) непрерывны в некоторой области D плоскости

Oxy. Тогда в некоторой окрестности любой внутренней точки

M(x

, y

) ∈ D существует единственное решение уравнения (29.3),

удовлетворяющее условию y = y

при x = x

График решения дифференциального уравнения называется

интегральной кривой. В области D содержится бесконечное мно-

жество интегральных кривых. Теорема Коши утверждает, что при

соблюдении определенных условий через каждую внутреннюю

точку области D проходит только одна интегральная кривая.

Условия, которые задают значение функции y в фиксирован-

ной точке x

, называются начальными условиями (или условиями

Коши) и записываются в форме y(x

) = y

или в форме

y y

x x=

(29.4)

Задача нахождения решения уравнения (29.3), удовлетворя-

ющего условию (29.4), называется задачей Коши.

Рисунок 29.1 иллюстрирует теорему 29.1. Вся область D запол-

нена интегральными кривыми, при этом они не могут ни пересе-

каться, ни касаться друг друга.

рис. 29.1. Интегральные кривые

343

Теорема 29.1 позволяет описать множество решений диффе-

ренциального уравнения в виде общего решения.

О п р е д е л е н и е. Общим решением дифференциального урав-

нения (29.2) называется функция

y = ϕ(x, C), (29.5)

зависящая от x и произвольной постоянной C, если выполняют-

ся следующие условия:

1) для любого значения константы C функция (29.5) является

решением дифференциального уравнения (29.2);

2) каково бы ни было начальное условие (29.4), существует та-

кое значение C = C

, что функция y = ϕ(x, C

) удовлетворяет

данному начальному условию.

Общее решение, записанное в неявном виде Φ (x, y, C) = 0, на-

зывается общим интегралом.

О п р е д е л е н и е. Если в общем решении (29.5) зафиксирова-

на константа C = C

, то (29.5) называется частным решением.

Частное решение, представленное в неявном виде, называется

частным интегралом.

Решить дифференциальное уравнение – значит найти его общее

решение или общий интеграл.

29.2. вИды дИфференцИальных уравненИй

первоГо порядка И методы Их решенИя

Уравнения с разделяющимися переменными

Дифференциальное уравнение первого порядка называется

уравнением с разделяющимися переменными, если оно может быть

представлено в виде

f x g y= ( ) ( ).

(29.6)

Метод решения такого вида уравнений носит название «разде-

ление переменных». Умножим обе части уравнения (29.6) на dx и

поделим на g(y), полагая g(y) ≠ 0:

g y

f x dx

( )

( ) .=

(29.7)

Это уравнение с разделенными переменными. Поскольку диффе-

ренциалы равны, то равны и неопределенные интегралы (точнее,

отличаются на константу), поэтому

344

g y

f x dx C

( )

( ) ,

∫ ∫

= +

где C – произвольная постоянная.

П р и м е р 29.1. Решить уравнение xy′ – y = 0.

Р е ш е н и е. Разделим переменные. Для этого представим

уравнение в виде

y= ,

умножим обе части на dx и разделим на xy:

= .

Интегрируем обе части этого уравнения:

ln|y| = ln|x| + C

Представим произвольную постоянную C

в виде C

= ln|C|,

тогда общий интеграл будет иметь вид

ln|y| = ln|x| + ln|C|.

Отсюда получаем общее решение y = ±C x, или, заменяя ±C на C:

y = Cx.

П р и м е р 29.2. Решить дифференциальное уравнение

′

= −

−

и найти частное решение, удовлетворяющее началь-

ному условию y(0) = 1.

Р е ш е н и е. Разделим переменные:

= −

−

xdx

2 2

= −

−

Интегрируя, получаем

x C= − +ln | | ,

oтсюда общий интеграл

y(ln|x

– 1| + C ) = 1.

345

Подставим начальные условия y(0) = 1: 1 ⋅ (0 + C ) = 1. Полу-

чаем C = 1. Отсюда

− +

1 1

ln | |

Однородные дифференциальные уравнения первого порядка

Функция f(x, y) называется однородной функцией n-го измере-

ния, если при любом λ

f(x, y) = λ

f(x, y).

Например, функция f (x, y) = xy – y

является однородной

функцией второго измерения, так как λ xλy – (λy)

= λ

(xy – y

а функция

f x y

( , ) =

– нулевого измерения, так как

= .

Дифференциальное уравнение

y′ = f (x, y)

называется однородным, если f(x, y) – однородная функция нуле-

вого измерения.

Данное уравнение можно решить следующим образом. Пре-

образуем его правую часть, положив

λ λ λ= = =

f x y f x y: ( , ) ( , )













1, .

Уравнение приобретает вид

′













y f

1, .

(29.8)

Сделаем подстановку

= ,

т.е. y = ux. Тогда y ′ = u′x + u.

Подставляя это выражение производной в уравнение (29.8), полу-

чаем

u x

f u+ = ( , ).1

Это уравнение с разделяющимися переменными:

f u u

= −

−

=( , ) ,

( , )

или

Отсюда

f u u

( , )

1 −

= +

∫ ∫

346

После нахождения функции u = u(x) необходимо вернуться к

функции y = ux.

П р и м е р 29.3. Решить уравнение

′

−

x y

Р е ш е н и е. Убедимся, что уравнение однородное:

λ λ

x y

−

x y

Делаем замену

u= .

Подставив u в уравнение, получим,

с учетом того, что

f u u

( , ) ,1

− =

−

− =

−

= +

∫ ∫

oтсюда

arctg u u x C− + = +

ln( ) ln | | .

Возвращаясь к функции y, получим общий интеграл:

arctg

x C− +

























= +

ln ln | | .

Линейные дифференциальные уравнения первого порядка

Линейным дифференциальным уравнением первого порядка на-

зывается уравнение вида

y′ + p (x)y = q(x). (29.9)

Это уравнение называется линейным потому, что неизвестная

функция y и ее производная y′ входят в это уравнение линейно,

т.е. в первой степени, не перемножаясь между собой.

Одним из методов решения линейного уравнения (29.9) явля-

ется метод Бернулли, который заключается в следующем. Будем

искать решение уравнения (29.9) в виде y = u(x) v(x) = uv. Одну из

этих функций можно взять произвольной, другая определится на

основании уравнения (29.9). Сделав замену y = uv, получим

u′v + uv ′ + puv = q,

или

u′v + u (v′ + pv) = q. (29.10)

Выберем функцию v = v(x) такой, чтобы

′

+ = + =v pv

pv0 0, .т.е.

(29.11)

347

Разделяя переменные, находим

pdx= − .

Интегрируя, получаем

ln | | ln | |, ,v pdx C v C

pdx

= − + =

∫

−

или е

где C = ±C

Так как нам достаточно какого-нибудь о д н о г о отличного от

нуля решения уравнения (29.11), то за функцию v = v(x) возьмем

v x

pdx

( ) ,=

∫

−

где

∫

pdx – какая-нибудь первообразная.

Подставим найденное значение v(x) в уравнение (29.10):

′

= =u v x q x v x

q x( ) ( ), ( ) ( ),или

oтсюда

q x

v x

( )

Находим общее решение для u = u(x):

q x

v x

dx C= +

∫

( )

Подставляя u и v в формулу y = uv, окончательно находим

y v x

q x

v x

dx C= +













∫

( )

З а м е ч а н и е. Можно доказать, что общее решение уравне-

ния (29.9) есть сумма любого его ч а с т н о г о решения и о б щ е г о

решения так называемого сопровождающего его однородного

уравнения y′ + p (x)y = 0.

П р и м е р 29.4. Решить уравнение

′

− =y

y x

Р е ш е н и е. Сделав замену y = uv, получим

′

− =u v uv

′

−













=u v u v

(*)

348

Приравниваем к нулю выражение в скобках:

′

− = =v

, .откуда

Находим функцию v:

lnv = lnx

, v = x

Подставив v = x

в (*), находим u:

′

= = = +u x x

x u x C

2 3 2

2 2, , .

Oтсюда

y = (x

+ C )x

Уравнение Бернулли

Уравнением Бернулли называется уравнение вида

y′ + p (x)y = q(x)y

где n ≠ 0, n ≠ 1.

Уравнение Бернулли также можно решать методом Бернулли.

П р и м е р 29.5. Решить уравнение y′ + 2y = y

Р е ш е н и е. Сделаем замену y = uv:

u′v + uv ′ + 2uv = (uv)

u′v + u (v′ + 2v) = (uv)

. (**)

Приравниваем к нулю выражение в скобках:

v′ + 2v = 0.

Разделяем переменные:

dx= −2 .

Находим v:

lnv = –2x,

v = e

–2x

Подставляем v в уравнение (**):

u′e

–2x

= u

–4x

oтсюда

′

= =

− −

u u

x x2 2

е т е е, . . .

349

Разделяем переменные:

−

е .

Интегрируем:

− = − +

−

е .

Находим u (заменяя C на –C):

−

Следовательно, общим решением будет

x x x

−

или

е е

, .

29.3. прИмененИе дИфференцИальных уравненИй

в непрерывных моделях экономИкИ

Рассмотрим некоторые примеры применения дифференци-

альных уравнений в динамических задачах экономики. Независи-

мой переменной здесь является время t. Время в экономической

динамике может рассматриваться и как непрерывное, и как диск-

ретное. Мы рассматриваем н е п р е р ы в н о е время, так как в

этом случае можно использовать аппарат дифференциального

исчисления и дифференциальные уравнения.

Начнем с примеров применения самых простых дифференци-

альных уравнений первого порядка – уравнений с разделяющимися

переменными.

Рассмотрим уравнение вида

y′ = g (y). (29.12)

Очевидно, это частный случай дифференциального уравнения

с разделяющимися переменными. Такие уравнения часто встре-

чаются в задачах экономической динамики (иногда их называют

автономными уравнениями, но в теории дифференциальных урав-

нений этот термин не является общеупотребительным).

Если y* – корень уравнения g (y) = 0 (y* = const), то y = y*

является решением уравнения (29.12). Такое решение называется

стационарным.

350

Модель естественного роста выпуска

Обозначим через y (t ) интенсивность выпуска продукции.

Предполагается, что продукция продается по фиксированной це-

не p и что рынок ненасыщаем, т.е. вся производимая продукция

полностью реализуется. Назовем чистыми инвестициями раз-

ность I = I(t ) между общим объемом инвестиций и амортизаци-

онными затратами. Чтобы увеличить интенсивность выпуска y(t),

необходимо, чтобы чистые инвестиции I были больше нуля.

Из предположения о ненасыщаемости рынка следует, что в ре-

зультате расширения производства будет получен прирост дохода,

часть которого опять будет использована для расширения выпус-

ка продукции. Это приведет к росту интенсивности выпуска.

Предполагается, что между I и ростом интенсивности выпус-

ка y ′ прямая пропорциональная зависимость, т.е. имеет место

так называемый принцип акселерации:

I = my ′, (29.13)

где m – норма акселерации (m = const). Пусть a – норма чистых

инвестиций, т.е. часть дохода py, полученного от реализации

продукции, которая тратится на чистые инвестиции, 0 < a < 1.

Тогда

I = apy. (29.14)

Подставляя выражение I из (29.14) в (29.13), получаем

′

Обозначим

k= ,

тогда

y′ = ky. (29.15)

Уравнение (29.15) – это уравнение с разделяющимися пере-

менными. Разделяем переменные:

kdt= .

Интегрируя, находим общее решение:

ln|y| = kt + ln|C|,

y = Ce

. (29.16)

Пусть в начальный момент времени t = t

зафиксирован объем

выпуска y

: y(t

) = y

= Ce