Клюшин В.Л. Высшая математика для экономистов

Подождите немного. Документ загружается.

331

Поэтому система имеет единственное решение, которое мож-

но найти по правилу Крамера:

x y x

y n

x x y

x y

i i i

i i

* , * .= =

∑ ∑

∑

∑ ∑

1 1

(27.11)

Итак, мы нашли единственную критическую точку (a*, b*).

Убедимся в том, что в ней достигается минимум функции S(a, b).

Для этого вычислим вторые частные производные:

′′

= =

′′

= =

′′

= =

∑ ∑

S x A S x B S n

aa i

ab i

2 2 2

1 1

, , == C.

Имеем

D AC B n x x d

= − = −













= =

∑ ∑

2 2

1 1

4 4 4 .

Ранее мы отметили, что d > 0. Следовательно, D > 0, поэтому,

согласно достаточному условию экстремума, в рассматриваемой

точке (a*, b*) экстремум есть. Так как

A x

= >

∑

2 0

то этот экс-

тремум – минимум. Из всего сказанного заключаем, что функция

S = S(a, b) имеет единственную точку минимума (a*, b*), опреде-

ляемую из системы нормальных уравнений. Следует заметить, что

в этой точке имеется не только локальный, но и глобальный ми-

нимум, т.е. наименьшее значение функции.

П р и м е р 27.6. Получены следующие данные о стоимости

основных фондов x (тыс. усл. ед.) и прибыли предприятия y

(тыс. усл. ед.):

110 132 154 176 198 220 242

40 43,2 52,8 67,2 64 78,4 96

Предполагая, что между переменными x и y существует ли-

нейная зависимость, найти эмпирическую формулу, используя

метод наименьших квадратов.

Р е ш е н и е. Для определения неизвестных параметров a* и b*

эмпирической формулы y = a*x + b* применим формулы (27.11).

Нам понадобится предварительно вычислить суммы

x y

= =

∑ ∑

1 1

, ,

332

x y x

i i

= =

∑ ∑

(здесь n = 7). Для удобства сведем вычисления в таб-

лицу:

i x

1 110 40,0 12 100 4400,0

2 132 43,2 17 424 5702,4

3 154 52,8 23 716 8131,2

4 176 67,2 30 976 11 827,2

5 198 64,0 39 204 12 672,0

6 220 78,4 48 400 17 248,0

7 242 96,0 58 564 23 232,0

1232 441,6 230 384 83 212,8

Система нормальных уравнений (27.9) имеет вид

230384 1232 83212 8

1232 7 441 6

a b

+ =







, ,

, .

Находим:

d = = ⋅ − =

230384 1232

1232 7

230384 7 1232 94864

,= = =

94864

83212 8 1232

441 6 7

38438 4

94864

0 4005,

= =

−1

94864

230384 83212 8

1232 441 6

780595 2

8864

8 229= − , .

Таким образом, искомая зависимость имеет вид

y = 0,405x – 8,229.

вопросы

Что такое локальный максимум (минимум) функции двух пе-

ременных?

Если f ′

, y

) = 0, то можно ли утверждать, что (x

, y

) – точка

экстремума для f(x, y)?

Что такое критическая (стационарная) точка для функции

двух переменных?

333

В чем заключается достаточное условие экстремума для функ-

ции двух переменных?

Что такое условный экстремум функции n переменных?

Что такое функция Лагранжа?

Что такое эмпирические формулы? Какая линия называется

экспериментальной кривой?

Из скольких этапов состоит обычно решение задачи нахожде-

ния эмпирических формул? Каковы эти этапы?

В чем заключается метод наименьших квадратов?

334

Глава 28

задачИ оптИмИзацИИ

28.1. основные понятИя

Для упрощения изложения отождествим точки евклидова про-

странства R

и векторы их координат, т.е. точку M(x

, x

, ..., x

)

будем записывать как x

—

, где x

—

= (x

, x

, ..., x

). При этом на точки

пространства R

переносятся все операции над векторами и их

свойства. Пусть x

—

и y

—

– две точки евклидова пространства.

О п р е д е л е н и е. Прямой, проходящей через точки x

—

и y

—

ев-

клидова пространства R

, называется множество точек

—

+ t( y

—

– x

—

) (28.1)

этого пространства, где t ∈ (–∞, ∞). Отрезком x

—

, соединяющим

эти точки, называется множество (28.1), где t ∈ [0, 1].

Очевидно, сами точки x

—

и y

—

получаются из (28.1) при t = 0

и t = 1 соответственно.

О п р е д е л е н и е. Множество D точек евклидова пространства

называется выпуклым, если вместе с его любыми двумя точками

—

и y

—

все точки отрезка x

—

также принадлежат этому множеству.

Примеры выпуклых и невыпуклых плоских множеств показа-

ны на рис. 28.1.

а) б)

рис. 28.1. Множества: выпуклые (а) и невыпуклое (б)

335

О п р е д е л е н и е. Функция f(x

—

), заданная на выпуклом мно-

жестве D ⊂ R

, называется выпуклой на D, если для любых двух

точек x

—

и y

—

из D и любого α ∈ [0, 1] выполняется неравенство

f(α x

—

+ (1 – α

)

—

) ≤ α f(x

—

) + (1 – α) f(y

—

). (28.2а)

Функция f(x

—

) называется вогнутой на выпуклом множестве D,

если для любых двух точек x

—

и y

—

из D и любого α ∈ [0, 1] выпол-

няется неравенство

f(α x

—

+ (

1 –

)

—

) ≥ α f(x

—

) + (1 – α) f(y

—

). (28.2б)

Если неравенства (28.2) заменить на строгие неравенства, то

получим определение строго выпуклой и строго вогнутой функций

соответственно.

Заметим, что график выпуклой функции одной переменной

обращен выпуклостью вниз, а график вогнутой функции – вы-

пуклостью вверх.

Имеет место следующее важное утверждение (приведем его без

доказательства).

Т е о р е м а 28.1. Если функция f ( x

—

) дифференцируема и

строго вогнута (строго выпукла) на выпуклом множестве D, то она

имеет локальный экстремум лишь в одной точке этого мно-

жества.

28.2. наИбольшее значенИе воГнутой функцИИ.

условИя куна

–

таккера

Мы знаем, что линейной функцией n переменных называется

функция l(x

—

) = a

+ a

+...+ a

+ b, где a

, a

, …, a

, b –

константы. Нетрудно убедиться, что линейная функция является

одновременно выпуклой и вогнутой в R

Неравенство вида l (x

—

) ≥ 0, где l (x

—

) – линейная функция,

также называется линейным.

Т е о р е м а 28.2. Пусть выпуклое множество D ⊂ R

заданo

системой линейных неравенств

l x

( ) ,

................

( ) ,

≥











(28.3)

336

D ′ – некоторое выпуклое подмножество в D; f(x

—

) – функция,

вогнутая на D′ и дифференцируемая в точке x

—

∈ D′. Тогда:

1) если для некоторых чисел λ

, …, λ

выполняются условия:

a критическая точка функции) –

( ) ( ) (

L x f x l

1 1

= + λ xx l x

l x i m

m m

i i i

) ... ( );

) ( ) , ,...,

+ +

= ≥ =

λ λб и

0 0 1 ,,











(условия Куна – Таккера)

то f(x

—

) – н а и б о л ь ш е е значение f(x

—

) на D;

2) напротив, если D′ = D и f(x

—

) – наибольшее значение f(x

—

)

на D, то с у щ е с т в у ю т числа λ

, …, λ

, для которых выполня-

ются условия «а» и «б».

Функция L( x

—

) – это уже знакомая нам функция Лагранжа

(см. § 27.3), а числа λ

, …, λ

– множители Лагранжа.

Теорему 28.2 также принимаем без доказательства.

П р и м е р 28.1. Найти точку наибольшего значения (глобаль-

ного максимума) функции u = lnx

+ ln x

при условии

+ 4x

+ 9x

≤ 108.

Р е ш е н и е. Заметим прежде всего, что функция u вогнута.

Действительно, логарифмическая функция одной переменной

вогнута, а сумма вогнутых функций, как легко проверить, есть

вогнутая функция.

Составим функцию Лагранжа:

L(x

—

) = lnx

+ lnx

+ λ(108 – x

– 4x

– 9x

Условия Куна – Таккера имеют вид

4 0

9 0

108 4 9

1 2 3

x x x

− =

− − −

( ) ==

≥











.λ

Из первых трех условий находим:

x x x

1 2 3

1 1

= = =

λ λ λ

, , .

При

этом, очевидно, λ ≠ 0. Подставляя найденные значения x

, x

и x

в четвертое уравнение, получаем

108 4 9 108

1 2 3

− − − = − =x x x

337

Отсюда

λ = = = =

36 9 4

1 2 3

, , , .x x x

Как уже отмечалось, функ-

ция u вогнута, поэтому точка x

—

= (36, 9, 4) есть точка глобально-

го максимума.

Максимизация прибыли

Пусть F(K, L) – производственная функция (где K и L – со-

ответственно затраты капитала и трудовых ресурсов), P – цена

продукции. Функция прибыли Π вычисляется обычно по формуле

Π(K, L) = P ⋅ F(K, L) – WL – RK, (28.4)

где W и R – соответственно цены на труд и капитальные затраты,

W и R – положительные числа.

Точка (K

, L

) называется оптимальным планом (см. § 10.1), ес-

ли в ней функция прибыли (28.4) принимает м а к с и м а л ь н о е

значение.

Рассмотрим задачу: найти предельную норму замещения про-

изводственной функции F

µ = −

′

при оптимальном плане.

В точке локального максимума первые частные производные

функции прибыли Π(K, L) равны нулю. Система (27.2) в данном

случае имеет вид

P F K L R

P F K L W

⋅

′

− =

⋅

′

− =











( , ) ,

( , ) .

0 0

Отсюда

µ = −

Рассмотрим теперь задачу максимизации функции прибыли.

П р и м е р 28.2. Найти оптимальный план и максимум функ-

ции прибыли (28.4), если производственная функция имеет вид

F(K, L) = 3K

1/3

Р е ш е н и е. Функция прибыли в данном случае имеет вид

Π(K, L) = 3P ⋅ K

1/3

– WL – RK.

Вычисляем первые частные производные по K и L и прирав-

ниваем их к нулю:

P K L R

P K L W

⋅ − =











−

2 3 1 3

1 3 2 3

/ /

338

Отсюда находим координаты оптимального плана:

R W

= =, .

Подставляя эти значения в функцию прибыли, получим

max

Оптимизация спроса

Рассмотрим задачу оптимизации функции полезности при ог-

раничениях на доход потребителя.

П р и м е р 28.3. Найти величины спроса x и y на две разно-

видности товара при ценах на них соответственно p и q, если

доход потребителя равен M, функция полезности имеет вид

U x y x y

p q

( , ) =

+ + + +1 1

и потребитель стремится максимизировать

функцию полезности.

Р е ш е н и е. Из условия следует, что потребитель может поку-

пать только такие наборы (x, y), стоимость которых не превышает

его дохода, т.е.

px + qy ≤ M, x ≥ 0, y ≥ 0. (28.5)

Ограничения (28.5) задают на плоскости замкнутую область в

виде треугольника (рис. 28.2). Надо найти точку максимума функ-

ции U(x, y). Вычислим частные производные функции полез-

ности:

′

+ +

−

+ + + +

U x y

p q

x y

p q

( , ) ;

1 1

′

+ +

−

+ +

U x y

p q

x y

p q

( , ) .

Видим, что внутри области критических точек нет. Стало быть,

максимум может достигаться только на границе. На прямых x = 0,

y = 0 функция полезности равна нулю: U (0, y) = U(х, 0) = 0,

поэтому надо искать точку максимума на прямой px + qy = M.

Oтсюда

M px

−

(*)

339

Подставив это выражение y в U(x, y), получим функцию од-

ной переменной x:

U x

M px

f x q x M px

p q

, ( ) ( )

−













= = −

−

+ + + +1 1

++ +q 1

Вычислим f ′(x):

′

+ +

−



−

+ +

−

+ + + +

f x q

p q

x M px

p q

( ) ( )

1 1





+ +

− −







+ +

−

+ +

p q

x M px p

p q

( ) ( ) .

Приравнивая f ′(x) к нулю, после преобразований получаем

M – px – qx = 0,

откуда

p q

и с учетом (*)

p q

p + q

рис. 28.2. Максимум функции полезности

Заметим, что эту задачу можно было бы решать, выписав функ-

цию Лагранжа и условия Куна – Таккера, однако для такого про-

стого случая в этом не было необходимости.

вопросы

Что такое выпуклое множество в евклидовом пространстве?

Какая функция, заданная на выпуклом множестве, называет-

ся выпуклой (вогнутой)?

340

Сколько локальных экстремумов имеет строго выпуклая функ-

ция на выпуклом множестве?

Может ли функция быть одновременно выпуклой и вогну-

той?

Что такое условия Куна – Таккера?

Что такое функция прибыли? Как она вычисляется?

Что называется оптимальным планом?